湘教版数学八年级下册 1.4 角平分线的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·丰南期中）如图，在中，和分别是，的平分线，，与交于点，若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
2．（2018八上·岳池期末）如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024八上·昆明期中）如图，在中，平分，，垂足为．若，，，则的面积为（ ）
A． B．3 C．5 D．6
4．（2024八上·昆明期中）如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
5．（2023八上·安宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2023八上·丰南期中）如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023八上·南明期中）如图所示，在△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离OD是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023八上·江夏期中）如图，在中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，于点E，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④若，，则，其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023七上·新宁月考）如图，∠AOB＝75°，∠BOC＝15°，OD是∠AOC的平分线，则∠BOD的度数为 ．
10．（2023八上·章贡期中）如图，在中，，CD是的平分线，于点E，.则的面积为 .
11．（2023八上·无为月考）如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，．
⑴若，则的度数是 ．
⑵若，，则，之间的数量关系是 ．
12．（2023八上·萧山期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则.其中正确的是 ．
13．（2023八上·小榄期中）如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
14．（2023七上·石家庄期中）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图1，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数．
15．（2023八上·丰南期中） 如图1，点、分别在射线、上运动（不与点重合），、分别是和的角平分线，延长线交于点．
（1）若，则 （直接写出答案）
（2）若，求出的度数（用含的代数式表示并写出理由）
（3）如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系．
四、综合题
16．（2023八上·合肥期中）
（1）如图，在中，，的角平分线交于点，则如图，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，求证：．
（2）如图，当、被等分时，内部有个点，则与的关系为： 用含的代数式表示
17．（2023·延庆模拟）如图，在中，，，是边上的高，点是边上的一动点不与点，重合，连接交于点将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图，当是的角平分线时，
求证：；
直接写出
（2）依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
，
，，
是的角平分线，是的角平分线，
，，
，，
，，
，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，，进而根据角平分线的性质得到，，从而根据等腰三角形的性质得到，，再结合题意进行运算即可求解。
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，
∴∠AMP=90°，
∵AD∥BC
，∴∠BNP=∠AMP=90°，
∵PM⊥AD，PE⊥AB，AP是∠DAB的角平分线，
∴PM=PE=3，同理PM=PE=3，
∴MN=PM+PN=6
故答案为：D.
【分析】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BNP=∠AMP=90°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PM=PE=3，PM=PE=3，然后根据线段的和差，由MN=PM+PN，即可算出答案。
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=1，
∴△ACD边AC上的高为1
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=3×1×+2×1×=2.5
故答案为：A.
【分析】根据AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=1，可知角平分线上的点D到角两边的距离相等可得△ADC的AC边上的高为1，在把△ABC分成S△ABD与S△ADC，计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，因此①正确；②角平分线上的点 到角两边的距离相等，因此②正确；③等腰三角形三线合一，因此③正确；④∠B+∠BDE=∠C+∠CDF=90°，∠B=∠C，则∠BDE=∠CDF，因此④正确；则正确的有①②③④
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、角平分线的性质、解题即可。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故答案为：C.
【分析】依据基本作图得到AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
连接，如图所示：
∵，平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值是6，
故答案为：D
【分析】连接，先根据角平分线的性质结合题意得到，进而得到，从而结合题意得到P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，进而根据角平分线的性质结合题意进行运算即可求解。
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，
∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点， OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，OD⊥BC于点D，
∴OD=OE=OF，
∴，
∴OD=3。
故答案为：C。
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，根据角平分线的性质，可得出OD=OE=OF，然后根据，即可得出OD的长度。
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DC为的外角平分线，，，
∴
∵D在的垂直平分线上，
∴则①正确；
在EA上截取，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴则④正确；
∵
∴
∴
∵
∴则③正确；
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，则②正确；
综上所述，正确的有：①②③④，共四个.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质和垂直平分线的性质得DE=DF，∠F=∠AED，AD=BD，再利用"HL"判断出Rt△ADE≌Rt△BDF，即可判断①；利用三角形外角的性质和全等三角形的性质即可得到∠DCF=∠ABD据此即可判断②；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可判断③；在EA上截取EM=EC，再利用"AAS"证明△AMD≌△ACD进而即可判断④.
9．【答案】45°
【知识点】角的运算；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝75°﹣15°＝60°，
又∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝15°+30°＝45°，
故答案为：45°
【分析】先根据题意得到∠AOC的度数，进而根据角平分线的性质得到∠COD＝∠AOC＝×60°＝30°，再结合题意即可求解。
10．【答案】9
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F
∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，DE=2
∴DF=DE=2
∴
故答案为：9
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线性质可得DF=DE=2，再根据三角形面积公式即可求出答案.
11．【答案】30°；
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而结合题意进行角的运算即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意进行角的运算即可求解。
12．【答案】①②
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：解：如图，延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，
∵ ∠A＝90° ，角平分线CE、BD交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，
∵ IF⊥CE ，
∴∠DIF=45°，∠FIC=∠MIC=90°，故①正确；
∵∠FIC=∠MIC=90°，∠FCI=∠MCI，CI=CI，
∴△FCI≌△MCI（ASA），
∴CF=CM，
∵∠MIB=∠EIB=45°，BI=BI，∠EBI=∠MBI，
∴△MBI≌△EBI（ASA），
∴BE=BI，
∴BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；
∵ AB＝3，AC＝4 ， ∠A＝90° ，
∴BC=5，
∵EA⊥AC，EH⊥BC，EC平分∠ACB，
∴EA=EH，
∵△ACE的面积=AC·EA，△BCE的面积=BC·EH，
∴AE：BE=AC：BC=4：5，
∵AE+BE=AB=3，
∴BE=，BM=，
∴CF=CM=5-=，
∴AF=4-=，故③错误.
故答案为：①②.
【分析】延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，由角平分线的定义及三角形内角和可求∠IBC+∠ICB=45°，利用三角形外角的性质及对顶角相等可得∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，由IF⊥CE可得∠DIF=45°，故①正确；证明△FCI≌△MCI（ASA），可得CF=CM，再证△MBI≌△EBI（ASA），可得BE=BI，从而得出BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；由勾股定理求BC=5，由角平分线的性质可得EA=EH，利用三角形的面积可推出AE：BE=AC：BC=4：5，据此求出BE、BM、CF的长，从而求出AF的长，即可判断③.
13．【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点P'，再过点P'作P'Q'⊥AC于点Q'，
∵AD平分∠BAC，CE⊥AB，P'Q'⊥AC，
∴P'E=P'Q'，
∵CP'+P'Q'=CP'+P'E=CE，由垂线段最短可得CE最短，
∴当P点运动到P'位置，Q点运动到Q'点位置的时候，PC+PQ最小值等于CE，
∵S△ABC=×AC×BC=×AB×CE，
∴6×8=10×CE，
∴CE=4.8，
即PC+PQ的最小值等于4.8.
故答案为：4.8.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交AD于点P'，再过点P'作P'Q'⊥AC于点Q'，由角平分线上的点到角两边的距离相等得P'E=P'Q'，进而根据线段的和差及等量代换得CP'+P'Q'=CP'+P'E=CE，由垂线段最短可得CE最短，故当P点运动到P'位置，Q点运动到Q'点位置的时候，PC+PQ最小值等于CE，从而由等面积法建立方程可求出CE的长，此题得解了.
14．【答案】（1）25
（2）解：∵是的角平分线，
即；
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC=65°，
∴∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°，
故答案为：25；
（3）当在左边时，
当在右边时，
，
，
∴的度数为或．
【分析】（1）观察图形，根据∠MOC=∠MON-∠BOC计算求解即可；
（2）根据角平分线求出∠MOB=130°，再求出∠BON和∠CON的度数，最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，根据旋转计算求解即可。
15．【答案】（1）
（2）解：，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
由（2）得：．
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】（1）先根据题意得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意进行运算即可求解；
（2）先根据题意得到，进而结合角平分线的性质得到，，再结合题意进行运算即可求解；
（3）先根据平行线的性质即可得到，由（2）得：，从而即可求解。
16．【答案】（1）解：证明：在中，
和分别是、的三等分线，
，，
（2）解：.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（2）由图1，图2的规律可得 ∠BO1C=
故答案为：
【分析】（1）由三等分角线可得 ∠O1BC=∠ABC，∠O1CB=∠ACB，结合题中规律即可求证。
（2）观察图1与图2两个特例即可求解。
17．【答案】（1）解：证明：在中，，，
，
是边上的高，
，
，
是的角平分线，
，
，，
，
．
45
（2）解：依题意补全图，，证明如下：
过点作于点，交的延长线于点，
则，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
由旋转的性质得：，，
．
，
≌，
，
，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M
故答案为：45
【分析】（1）根据等腰三角形性质，角平分线性质及三角形外角性质即可求出答案；
过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，根据角平分线性质，进行角之间的等量替换，再根据全等三角形的判定定理及性质即可求出答案；
（2）过点作于点，交的延长线于点，根据等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形判定定理及性质即可求出答案。
1 / 1湘教版数学八年级下册 1.4 角平分线的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八上·丰南期中）如图，在中，和分别是，的平分线，，与交于点，若，，则的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
，
，，
是的角平分线，是的角平分线，
，，
，，
，，
，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，，进而根据角平分线的性质得到，，从而根据等腰三角形的性质得到，，再结合题意进行运算即可求解。
2．（2018八上·岳池期末）如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，
∴∠AMP=90°，
∵AD∥BC
，∴∠BNP=∠AMP=90°，
∵PM⊥AD，PE⊥AB，AP是∠DAB的角平分线，
∴PM=PE=3，同理PM=PE=3，
∴MN=PM+PN=6
故答案为：D.
【分析】过点P作PM⊥AD于点M，交BC于点N，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠BNP=∠AMP=90°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PM=PE=3，PM=PE=3，然后根据线段的和差，由MN=PM+PN，即可算出答案。
3．（2024八上·昆明期中）如图，在中，平分，，垂足为．若，，，则的面积为（ ）
A． B．3 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=1，
∴△ACD边AC上的高为1
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=3×1×+2×1×=2.5
故答案为：A.
【分析】根据AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=1，可知角平分线上的点D到角两边的距离相等可得△ADC的AC边上的高为1，在把△ABC分成S△ABD与S△ADC，计算求解即可。
4．（2024八上·昆明期中）如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，因此①正确；②角平分线上的点 到角两边的距离相等，因此②正确；③等腰三角形三线合一，因此③正确；④∠B+∠BDE=∠C+∠CDF=90°，∠B=∠C，则∠BDE=∠CDF，因此④正确；则正确的有①②③④
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、角平分线的性质、解题即可。
5．（2023八上·安宁期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故答案为：C.
【分析】依据基本作图得到AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
6．（2023八上·丰南期中）如图，在中，，，、是的两条角平分线，，是上的一个动点，则线段最小值的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
连接，如图所示：
∵，平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值是6，
故答案为：D
【分析】连接，先根据角平分线的性质结合题意得到，进而得到，从而结合题意得到P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，进而根据角平分线的性质结合题意进行运算即可求解。
7．（2023八上·南明期中）如图所示，在△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离OD是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，
∵点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点， OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，OD⊥BC于点D，
∴OD=OE=OF，
∴，
∴OD=3。
故答案为：C。
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，根据角平分线的性质，可得出OD=OE=OF，然后根据，即可得出OD的长度。
8．（2023八上·江夏期中）如图，在中，的垂直平分线与的外角平分线交于点D，于点E，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④若，，则，其中一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DC为的外角平分线，，，
∴
∵D在的垂直平分线上，
∴则①正确；
在EA上截取，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴则④正确；
∵
∴
∴
∵
∴则③正确；
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，则②正确；
综上所述，正确的有：①②③④，共四个.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质和垂直平分线的性质得DE=DF，∠F=∠AED，AD=BD，再利用"HL"判断出Rt△ADE≌Rt△BDF，即可判断①；利用三角形外角的性质和全等三角形的性质即可得到∠DCF=∠ABD据此即可判断②；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可判断③；在EA上截取EM=EC，再利用"AAS"证明△AMD≌△ACD进而即可判断④.
二、填空题
9．（2023七上·新宁月考）如图，∠AOB＝75°，∠BOC＝15°，OD是∠AOC的平分线，则∠BOD的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】角的运算；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝75°﹣15°＝60°，
又∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝15°+30°＝45°，
故答案为：45°
【分析】先根据题意得到∠AOC的度数，进而根据角平分线的性质得到∠COD＝∠AOC＝×60°＝30°，再结合题意即可求解。
10．（2023八上·章贡期中）如图，在中，，CD是的平分线，于点E，.则的面积为 .
【答案】9
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F
∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，DE=2
∴DF=DE=2
∴
故答案为：9
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线性质可得DF=DE=2，再根据三角形面积公式即可求出答案.
11．（2023八上·无为月考）如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，．
⑴若，则的度数是 ．
⑵若，，则，之间的数量关系是 ．
【答案】30°；
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而结合题意进行角的运算即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意进行角的运算即可求解。
12．（2023八上·萧山期中）如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则.其中正确的是 ．
【答案】①②
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：解：如图，延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，
∵ ∠A＝90° ，角平分线CE、BD交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，
∵ IF⊥CE ，
∴∠DIF=45°，∠FIC=∠MIC=90°，故①正确；
∵∠FIC=∠MIC=90°，∠FCI=∠MCI，CI=CI，
∴△FCI≌△MCI（ASA），
∴CF=CM，
∵∠MIB=∠EIB=45°，BI=BI，∠EBI=∠MBI，
∴△MBI≌△EBI（ASA），
∴BE=BI，
∴BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；
∵ AB＝3，AC＝4 ， ∠A＝90° ，
∴BC=5，
∵EA⊥AC，EH⊥BC，EC平分∠ACB，
∴EA=EH，
∵△ACE的面积=AC·EA，△BCE的面积=BC·EH，
∴AE：BE=AC：BC=4：5，
∵AE+BE=AB=3，
∴BE=，BM=，
∴CF=CM=5-=，
∴AF=4-=，故③错误.
故答案为：①②.
【分析】延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，由角平分线的定义及三角形内角和可求∠IBC+∠ICB=45°，利用三角形外角的性质及对顶角相等可得∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，由IF⊥CE可得∠DIF=45°，故①正确；证明△FCI≌△MCI（ASA），可得CF=CM，再证△MBI≌△EBI（ASA），可得BE=BI，从而得出BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；由勾股定理求BC=5，由角平分线的性质可得EA=EH，利用三角形的面积可推出AE：BE=AC：BC=4：5，据此求出BE、BM、CF的长，从而求出AF的长，即可判断③.
13．（2023八上·小榄期中）如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】4.8
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点P'，再过点P'作P'Q'⊥AC于点Q'，
∵AD平分∠BAC，CE⊥AB，P'Q'⊥AC，
∴P'E=P'Q'，
∵CP'+P'Q'=CP'+P'E=CE，由垂线段最短可得CE最短，
∴当P点运动到P'位置，Q点运动到Q'点位置的时候，PC+PQ最小值等于CE，
∵S△ABC=×AC×BC=×AB×CE，
∴6×8=10×CE，
∴CE=4.8，
即PC+PQ的最小值等于4.8.
故答案为：4.8.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交AD于点P'，再过点P'作P'Q'⊥AC于点Q'，由角平分线上的点到角两边的距离相等得P'E=P'Q'，进而根据线段的和差及等量代换得CP'+P'Q'=CP'+P'E=CE，由垂线段最短可得CE最短，故当P点运动到P'位置，Q点运动到Q'点位置的时候，PC+PQ最小值等于CE，从而由等面积法建立方程可求出CE的长，此题得解了.
三、解答题
14．（2023七上·石家庄期中）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．
（1）如图1，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数．
【答案】（1）25
（2）解：∵是的角平分线，
即；
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵∠BOC=65°，
∴∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°，
故答案为：25；
（3）当在左边时，
当在右边时，
，
，
∴的度数为或．
【分析】（1）观察图形，根据∠MOC=∠MON-∠BOC计算求解即可；
（2）根据角平分线求出∠MOB=130°，再求出∠BON和∠CON的度数，最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，根据旋转计算求解即可。
15．（2023八上·丰南期中） 如图1，点、分别在射线、上运动（不与点重合），、分别是和的角平分线，延长线交于点．
（1）若，则 （直接写出答案）
（2）若，求出的度数（用含的代数式表示并写出理由）
（3）如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
由（2）得：．
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】（1）先根据题意得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意进行运算即可求解；
（2）先根据题意得到，进而结合角平分线的性质得到，，再结合题意进行运算即可求解；
（3）先根据平行线的性质即可得到，由（2）得：，从而即可求解。
四、综合题
16．（2023八上·合肥期中）
（1）如图，在中，，的角平分线交于点，则如图，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，求证：．
（2）如图，当、被等分时，内部有个点，则与的关系为： 用含的代数式表示
【答案】（1）解：证明：在中，
和分别是、的三等分线，
，，
（2）解：.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（2）由图1，图2的规律可得 ∠BO1C=
故答案为：
【分析】（1）由三等分角线可得 ∠O1BC=∠ABC，∠O1CB=∠ACB，结合题中规律即可求证。
（2）观察图1与图2两个特例即可求解。
17．（2023·延庆模拟）如图，在中，，，是边上的高，点是边上的一动点不与点，重合，连接交于点将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图，当是的角平分线时，
求证：；
直接写出
（2）依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：证明：在中，，，
，
是边上的高，
，
，
是的角平分线，
，
，，
，
．
45
（2）解：依题意补全图，，证明如下：
过点作于点，交的延长线于点，
则，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
由旋转的性质得：，，
．
，
≌，
，
，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M
故答案为：45
【分析】（1）根据等腰三角形性质，角平分线性质及三角形外角性质即可求出答案；
过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，根据角平分线性质，进行角之间的等量替换，再根据全等三角形的判定定理及性质即可求出答案；
（2）过点作于点，交的延长线于点，根据等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形判定定理及性质即可求出答案。
1 / 1
