湘教版数学八年级下册 2.1 多边形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．若一个多边形的内角和等于其外角和的4倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2016·长沙）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．360°
4．（2023八上·沧州月考）下列命题不正确的是（ ）
A．从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线
B．两个全等三角形对应边上的高相等
C．若两个三角形全等，则它们一定关于某条直线成轴对称
D．有两个内角分别为与的三角形是等腰三角形
5．（2023八上·师宗期中）图中x的值是（ ）
A．60 B．50 C．48 D．30
6．（2023七下·建邺期末）下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
7．（2022七下·仙居期中）如图a∥b，与相交，与相交，下列说法：
①若，则；
②若，则c∥d；
③；
④，
正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
8．（2022七下·亭湖期末）如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①：＝AB：BC；②∠APB＋∠ACP＝90°；③∠ABC＋2∠APC＝180°，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．（2022八下·柯桥期末）若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，则这个多边形的边数为 .
10．（2023九上·重庆市月考）如图①是阳泉市城区平坦垴汉代古井遗址，该井为平面九边形的木构支护结构，井壁四周由两端加工成原始榫卯结构的柏木相互搭接成闭合的正九边形后，逐层垒砌．如图②是该古井的平面示意图，则 ．
11．（2023八上·五华期中）如图，在一个三角形的纸片（）中，，则图中的度数为 ．
12．（2023七下·河源期末）如图，在四边形中，，在边上分别找一点E、F，使周长最小，此时 ．
13．（2023·沛县模拟）如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为 度．
三、解答题
14．（初中数学苏科版七年级下册12.3 互逆命题 同步练习）如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A=∠C．
①把△ABC纸片按(如图1)所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕．说明BC//DF；
②把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时(如图2)，探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；
③当点A落在四边形BCED外时(如图3)，∠C与∠1、∠2的关系是 ．(直接写出结论)
15．（2023八下·港南期中）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作 条对角线；同样，经过B点可以作 条；经过C点可以作 条；经过D点可以作 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 条对角线.
四、综合题
16．（2023八上·江油期中）
（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数；
（2）如图，已知中，，为边上一点（不与，重合），点为边上一点，，．
①求的度数；
②若，求的度数．
17．（2023七下·成华期末）如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，直线交直线于点，问与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
（3）如果将（2）中的条件改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的内角和=（n-2）×180°（n为多边形的边数，且n≥3）
∵（n-2）×180°=360°，
∴n=4，
∴四边形的内角和为360°，
故答案为：B.
【分析】利用多边形的内角和公式求解即可。
2．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：(n-2)·180°=4x360°，
∴ n =10，
∴这个多边形的数是10.
故选： D.
【分析】多边形内角和定理：(n- 2)·180°(n≥3且n为整数)，外角和是360°，由此即可计算.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意得：（6﹣2）×180°=720°，
故选B．
【分析】利用多边形的内角和定理计算即可得到结果．此题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解本题的关键．
4．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；多边形的对角线；轴对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：
A、从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，原命题正确，A不合题意；
B、两个全等三角形对应边上的高相等，原命题正确，B不符合题意；
C、若两个三角形全等，则它们不一定关于某条直线成轴对称，原命题错误，C符合题意；
D、有两个内角分别为与的三角形是等腰三角形，原命题正确，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据真命题和假命题，运用多边形的对角线，全等三角形的性质，轴对称图形，等腰三角形的性质即可求解。
5．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得90°+120°+150°+2x+x=（5-2）180°，
解得：x=60°，
故答案为：A.
【分析】利用多边形的内角和定理列出关于x的方程，解方程即可求解.
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；三角形的角平分线、中线和高；多边形的对角线
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
7．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图：
①若∠1=∠2，则a//e//b，则∠3=∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4=180°，由a//b得到，∠5+∠4=180°，则∠1=∠5，则c//d；故此说法正确；
③由a//b得到，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180° ∠1=360°得，∠2+∠3+180° ∠4+180° ∠1=360°，则∠4 ∠2=∠3 ∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故此说法错误.
综上，正确的有①②③.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定及平行线公理的推论，可证得a//e//b，再利用平行线的性质可推出∠3=∠4，可对①作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠5，由此可推出c∥d，可对②作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用四边形的内角和等于360°，可推出∠4 ∠2=∠3 ∠1，可对③作出判断；由题意可知，∠1+∠4=∠2+∠3=180°，才能得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；多边形内角与外角；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，
∴PG=PF，
∴：＝=AB：BC，
∴结论①正确；
过点P作PM⊥AC，垂足为M，根据题意，得PF=PM=PG，
∴PA平分∠EAC，
∴∠PAG=∠PAM，
∵PA=PA，∠PGA=∠PMA=90°
∴△PAG≌△PAM，同理可证，△PCM≌△PCF，△PBG≌△PBF，
∴∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，
∴∠2=∠4，
∵∠4＋∠ACP＝90°，
∴∠2＋∠ACP＝90°，
∴∠APB＋∠ACP＝90°，
∴结论②正确，
∵∠ABC＋∠BGP+ ∠GPF+∠PFB＝360°，∠BGP=∠BFP＝90°，
∴∠ABC＋∠GPF＝180°，
∵∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，
∴∠GPF=2∠APC，
∴∠ABC＋2∠APC＝180°，
∴结论③正确，
故答案为：D.
【分析】由角平分线性质，得PG=PF，结合三角形的面积公式，求出：＝AB：BC 则可判断①；过P作PM⊥AC于M，由角平分线的性质得PF=PM=PG，由角平分线判定得PA平分∠EAC，证△PAG≌△PAM，△PCM≌△PCF，△PBG≌△PBF，得∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5， 则可推出∠2=∠4，从而判断②；根据四边形内角和，结合角的平分线定义，则可推出结论③ .
9．【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
360°=（n-2）×180°-540°，
解之：n=7.
故答案为：7.
【分析】利用n边形的内角和公式（n-2）×180°及已知一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
10．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】这是一个 正九边形 ，
每一个内角的度数为
又四边形的内角和为360°，
【分析】先根据正多边形的边数与每一个内角度数的关系求出正九边形的一个内角的度数，再利用四边形的内角和为360°进而求解.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：270°
【分析】根据三角形内角和定理可得，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点D关于BA、BC的对称点P、Q，连接PQ交AB于点E'，交BC于点F'，则此时△DE'F'的周长即为△DEF周长的最小值，
∵ ，
∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠B=144°，
在△PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠ADC=36°，
由对称可得∠P=∠ADE'，∠Q=∠QDF'，
∴∠ADE'+∠QDF'=∠P+∠Q=36°，
∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE'+∠QDF'）=144°-36°=108°；
故答案为：108°.
【分析】分别作点D关于BA、BC的对称点P、Q，连接PQ交AB于点E'，交BC于点F'，则此时△DE'F'的周长即为△DEF周长的最小值，利用四边形内角和求出∠ADC=144°，再利用三角形内角和求出∠P+∠Q=180°-∠ADC=36°，由对称可得∠P=∠ADE'，∠Q=∠QDF'，即得∠ADE'+∠QDF'=∠P+∠Q=36°，再利用角的和差即可求解.
13．【答案】102
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
四边形、五边形、六边形得各内角相等，
四边形的内角为90°，五边形的内角为108°，六边形的内角为120°，
，
，
，
，
，
.
故答案为：102.
【分析】由多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）定理，求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数即可求解.
14．【答案】解：根据折叠的性质得：∠DFE＝∠A，∵∠A＝∠C，∴∠DFE＝∠C，∴BC∥DF；；解：2∠C＝∠1＋∠2，理由如下：∵四边形的内角和等于360°，∴∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠AEA′＝360°．又∵∠1＋∠ADA′＋∠2＋∠AEA′＝360°，∴∠A＋∠A′＝∠1＋∠2．又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1＋∠2，∵∠A＝∠C，∴2∠C＝∠1＋∠2；；2∠C＝∠2 ∠1
【知识点】平行线的判定；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）∠2 ∠1＝2∠C，理由如下：
由题意得：∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β）；
∵∠2＋2α＝180°，∠1＝β ∠BDE＝β （∠A＋α），
∴∠2 ∠1＝180° （α＋β）＋∠A；
∵∠A＝180° （α＋β），
∴∠2 ∠1＝2∠A，
∵∠A＝∠C，
∴2∠C＝∠2 ∠1．
故答案为：2∠C＝∠2 ∠1．
【分析】（1）根据折叠的性质得∠DFE＝∠A，由已知得∠A＝∠C，故∠DFE＝∠C，根据同位角相等，二直线平行即可得到结论；
（2）先根据四边形的内角和等于360°得出∠A＋∠A′＝∠1＋∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结论；
（3）∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β），于是得到∠2＋2α＝180°，∠1＝β ∠BDE＝β （∠A＋α），推出∠2 ∠1＝180° （α＋β）＋∠A，根据三角形的内角和得到∠A＝180° （α＋β），即∠2 ∠1＝2∠A，于是得到结论．
15．【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（1）通过画图可知（如下图），经过A点可以作1条对角线；经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结，图1共有2条对角线.
故答案为：1；1；1；1；2.
（2）运用（1）的分析方法，如下图所示，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线.
故答案为：5；9.
（3）对于n边形（n＞3），从每个点出发可以引出（n-3）条对角线，共有n（n-3）条对角线，除去两两之间重复的对角线，所以需要除以2，因此共有条对角线.
故答案为：.
（4）十边形，n=10，代入计算，得十边形有35条对角线.
故答案为：35.
【分析】（1）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（2）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的分析探索，可得出规律；
（4）根据对角线数量的公式，将n=10代入计算即可.
16．【答案】（1）解：设这个多边形的变数边，依题意得
答：这个多边形的变数为七边形．
（2）解：①，，
，，．
②，，，
，，
，．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【分析】（1）根据多边形内角和定理即可求出答案.
（2）①根据三角形内角和定理可得，由，即可求出答案.
②由已知条件可得，根据邻补角性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：
∵，
∴，
∵是的平分线，是的平分线
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：结论：
证明：∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴
，
∵在四边形中，，
∴，
∴；
（3）结论：
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵AF、BM分别∠DAB和∠CBE，
∴∠FAB=∠EBG=，
∵∠CBE=180°-∠ABC，
∴∠EBG=，
∵∠ABM=∠EBG，
∴∠ABM=，
∴∠AMB=180°-∠BAM-∠ABM=180°-（180°-∠FAB）-=∠FAB+-90°=，
∴∠AMB=
【分析】（1）可先证明AD∥BC，再根据平行线的性质得出结论；
（2）首先在△ABM中，得出∠AMB=180°-∠1-∠ABM，从而等量代换为：∠AMB=90°-（∠DAB+∠4），然后在四边形ABCD中，根据四边形的内角和，得出 ；
（3）首先在△ABM中，得出∠AMB=180°-∠BAM-∠ABM，从而等量代换为：∠AMB=，根据四边形的内角和，得出
1 / 1湘教版数学八年级下册 2.1 多边形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023·永州）下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的内角和=（n-2）×180°（n为多边形的边数，且n≥3）
∵（n-2）×180°=360°，
∴n=4，
∴四边形的内角和为360°，
故答案为：B.
【分析】利用多边形的内角和公式求解即可。
2．若一个多边形的内角和等于其外角和的4倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：(n-2)·180°=4x360°，
∴ n =10，
∴这个多边形的数是10.
故选： D.
【分析】多边形内角和定理：(n- 2)·180°(n≥3且n为整数)，外角和是360°，由此即可计算.
3．（2016·长沙）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．360°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意得：（6﹣2）×180°=720°，
故选B．
【分析】利用多边形的内角和定理计算即可得到结果．此题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解本题的关键．
4．（2023八上·沧州月考）下列命题不正确的是（ ）
A．从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线
B．两个全等三角形对应边上的高相等
C．若两个三角形全等，则它们一定关于某条直线成轴对称
D．有两个内角分别为与的三角形是等腰三角形
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；多边形的对角线；轴对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：
A、从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，原命题正确，A不合题意；
B、两个全等三角形对应边上的高相等，原命题正确，B不符合题意；
C、若两个三角形全等，则它们不一定关于某条直线成轴对称，原命题错误，C符合题意；
D、有两个内角分别为与的三角形是等腰三角形，原命题正确，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据真命题和假命题，运用多边形的对角线，全等三角形的性质，轴对称图形，等腰三角形的性质即可求解。
5．（2023八上·师宗期中）图中x的值是（ ）
A．60 B．50 C．48 D．30
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得90°+120°+150°+2x+x=（5-2）180°，
解得：x=60°，
故答案为：A.
【分析】利用多边形的内角和定理列出关于x的方程，解方程即可求解.
6．（2023七下·建邺期末）下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（ ）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；三角形的角平分线、中线和高；多边形的对角线
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
7．（2022七下·仙居期中）如图a∥b，与相交，与相交，下列说法：
①若，则；
②若，则c∥d；
③；
④，
正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图：
①若∠1=∠2，则a//e//b，则∠3=∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4=180°，由a//b得到，∠5+∠4=180°，则∠1=∠5，则c//d；故此说法正确；
③由a//b得到，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180° ∠1=360°得，∠2+∠3+180° ∠4+180° ∠1=360°，则∠4 ∠2=∠3 ∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故此说法错误.
综上，正确的有①②③.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定及平行线公理的推论，可证得a//e//b，再利用平行线的性质可推出∠3=∠4，可对①作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠5，由此可推出c∥d，可对②作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用四边形的内角和等于360°，可推出∠4 ∠2=∠3 ∠1，可对③作出判断；由题意可知，∠1+∠4=∠2+∠3=180°，才能得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
8．（2022七下·亭湖期末）如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①：＝AB：BC；②∠APB＋∠ACP＝90°；③∠ABC＋2∠APC＝180°，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；多边形内角与外角；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，
∴PG=PF，
∴：＝=AB：BC，
∴结论①正确；
过点P作PM⊥AC，垂足为M，根据题意，得PF=PM=PG，
∴PA平分∠EAC，
∴∠PAG=∠PAM，
∵PA=PA，∠PGA=∠PMA=90°
∴△PAG≌△PAM，同理可证，△PCM≌△PCF，△PBG≌△PBF，
∴∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，
∴∠2=∠4，
∵∠4＋∠ACP＝90°，
∴∠2＋∠ACP＝90°，
∴∠APB＋∠ACP＝90°，
∴结论②正确，
∵∠ABC＋∠BGP+ ∠GPF+∠PFB＝360°，∠BGP=∠BFP＝90°，
∴∠ABC＋∠GPF＝180°，
∵∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5，
∴∠GPF=2∠APC，
∴∠ABC＋2∠APC＝180°，
∴结论③正确，
故答案为：D.
【分析】由角平分线性质，得PG=PF，结合三角形的面积公式，求出：＝AB：BC 则可判断①；过P作PM⊥AC于M，由角平分线的性质得PF=PM=PG，由角平分线判定得PA平分∠EAC，证△PAG≌△PAM，△PCM≌△PCF，△PBG≌△PBF，得∠1=∠2+∠3，∠1+∠2=∠3+∠4+∠5，∠4=∠5， 则可推出∠2=∠4，从而判断②；根据四边形内角和，结合角的平分线定义，则可推出结论③ .
二、填空题
9．（2022八下·柯桥期末）若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，则这个多边形的边数为 .
【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得
360°=（n-2）×180°-540°，
解之：n=7.
故答案为：7.
【分析】利用n边形的内角和公式（n-2）×180°及已知一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小540°，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
10．（2023九上·重庆市月考）如图①是阳泉市城区平坦垴汉代古井遗址，该井为平面九边形的木构支护结构，井壁四周由两端加工成原始榫卯结构的柏木相互搭接成闭合的正九边形后，逐层垒砌．如图②是该古井的平面示意图，则 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】这是一个 正九边形 ，
每一个内角的度数为
又四边形的内角和为360°，
【分析】先根据正多边形的边数与每一个内角度数的关系求出正九边形的一个内角的度数，再利用四边形的内角和为360°进而求解.
11．（2023八上·五华期中）如图，在一个三角形的纸片（）中，，则图中的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：270°
【分析】根据三角形内角和定理可得，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
12．（2023七下·河源期末）如图，在四边形中，，在边上分别找一点E、F，使周长最小，此时 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点D关于BA、BC的对称点P、Q，连接PQ交AB于点E'，交BC于点F'，则此时△DE'F'的周长即为△DEF周长的最小值，
∵ ，
∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠B=144°，
在△PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠ADC=36°，
由对称可得∠P=∠ADE'，∠Q=∠QDF'，
∴∠ADE'+∠QDF'=∠P+∠Q=36°，
∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE'+∠QDF'）=144°-36°=108°；
故答案为：108°.
【分析】分别作点D关于BA、BC的对称点P、Q，连接PQ交AB于点E'，交BC于点F'，则此时△DE'F'的周长即为△DEF周长的最小值，利用四边形内角和求出∠ADC=144°，再利用三角形内角和求出∠P+∠Q=180°-∠ADC=36°，由对称可得∠P=∠ADE'，∠Q=∠QDF'，即得∠ADE'+∠QDF'=∠P+∠Q=36°，再利用角的和差即可求解.
13．（2023·沛县模拟）如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为 度．
【答案】102
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
四边形、五边形、六边形得各内角相等，
四边形的内角为90°，五边形的内角为108°，六边形的内角为120°，
，
，
，
，
，
.
故答案为：102.
【分析】由多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）定理，求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数即可求解.
三、解答题
14．（初中数学苏科版七年级下册12.3 互逆命题 同步练习）如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A=∠C．
①把△ABC纸片按(如图1)所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕．说明BC//DF；
②把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时(如图2)，探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；
③当点A落在四边形BCED外时(如图3)，∠C与∠1、∠2的关系是 ．(直接写出结论)
【答案】解：根据折叠的性质得：∠DFE＝∠A，∵∠A＝∠C，∴∠DFE＝∠C，∴BC∥DF；；解：2∠C＝∠1＋∠2，理由如下：∵四边形的内角和等于360°，∴∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠AEA′＝360°．又∵∠1＋∠ADA′＋∠2＋∠AEA′＝360°，∴∠A＋∠A′＝∠1＋∠2．又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1＋∠2，∵∠A＝∠C，∴2∠C＝∠1＋∠2；；2∠C＝∠2 ∠1
【知识点】平行线的判定；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）∠2 ∠1＝2∠C，理由如下：
由题意得：∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β）；
∵∠2＋2α＝180°，∠1＝β ∠BDE＝β （∠A＋α），
∴∠2 ∠1＝180° （α＋β）＋∠A；
∵∠A＝180° （α＋β），
∴∠2 ∠1＝2∠A，
∵∠A＝∠C，
∴2∠C＝∠2 ∠1．
故答案为：2∠C＝∠2 ∠1．
【分析】（1）根据折叠的性质得∠DFE＝∠A，由已知得∠A＝∠C，故∠DFE＝∠C，根据同位角相等，二直线平行即可得到结论；
（2）先根据四边形的内角和等于360°得出∠A＋∠A′＝∠1＋∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结论；
（3）∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β），于是得到∠2＋2α＝180°，∠1＝β ∠BDE＝β （∠A＋α），推出∠2 ∠1＝180° （α＋β）＋∠A，根据三角形的内角和得到∠A＝180° （α＋β），即∠2 ∠1＝2∠A，于是得到结论．
15．（2023八下·港南期中）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以作 条对角线；同样，经过B点可以作 条；经过C点可以作 条；经过D点可以作 条对角线.
通过以上分析和总结，图1共有 条对角线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 条对角线；
图3共有 条对角线；
（3）探索归纳：
对于n边形(n>3)，共有 条对角线．(用含n的式子表示)
（4）特例验证：
十边形有 条对角线.
【答案】（1）1；1；1；1；2
（2）5；9
（3）
（4）35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：（1）通过画图可知（如下图），经过A点可以作1条对角线；经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结，图1共有2条对角线.
故答案为：1；1；1；1；2.
（2）运用（1）的分析方法，如下图所示，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线.
故答案为：5；9.
（3）对于n边形（n＞3），从每个点出发可以引出（n-3）条对角线，共有n（n-3）条对角线，除去两两之间重复的对角线，所以需要除以2，因此共有条对角线.
故答案为：.
（4）十边形，n=10，代入计算，得十边形有35条对角线.
故答案为：35.
【分析】（1）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（2）根据要求画出对角线，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的分析探索，可得出规律；
（4）根据对角线数量的公式，将n=10代入计算即可.
四、综合题
16．（2023八上·江油期中）
（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数；
（2）如图，已知中，，为边上一点（不与，重合），点为边上一点，，．
①求的度数；
②若，求的度数．
【答案】（1）解：设这个多边形的变数边，依题意得
答：这个多边形的变数为七边形．
（2）解：①，，
，，．
②，，，
，，
，．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【分析】（1）根据多边形内角和定理即可求出答案.
（2）①根据三角形内角和定理可得，由，即可求出答案.
②由已知条件可得，根据邻补角性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．（2023七下·成华期末）如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，直线交直线于点，问与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
（3）如果将（2）中的条件改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明．
【答案】（1）证明：
∵，
∴，
∵是的平分线，是的平分线
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：结论：
证明：∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴
，
∵在四边形中，，
∴，
∴；
（3）结论：
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵AF、BM分别∠DAB和∠CBE，
∴∠FAB=∠EBG=，
∵∠CBE=180°-∠ABC，
∴∠EBG=，
∵∠ABM=∠EBG，
∴∠ABM=，
∴∠AMB=180°-∠BAM-∠ABM=180°-（180°-∠FAB）-=∠FAB+-90°=，
∴∠AMB=
【分析】（1）可先证明AD∥BC，再根据平行线的性质得出结论；
（2）首先在△ABM中，得出∠AMB=180°-∠1-∠ABM，从而等量代换为：∠AMB=90°-（∠DAB+∠4），然后在四边形ABCD中，根据四边形的内角和，得出 ；
（3）首先在△ABM中，得出∠AMB=180°-∠BAM-∠ABM，从而等量代换为：∠AMB=，根据四边形的内角和，得出
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