2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.2.1平行四边形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·番禺期中）如图，在 中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2015八下·滦县期中）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5， ABCD的周长（ ）
A．11 B．13 C．16 D．22
3．（2023八下·晋安期末）如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接恰好垂直于边，若，则的长是（ ）
A．6 B．8 C．1 D．1
4．（2021八下·成都期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．18
5．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
6．（2020八下·深圳期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF． 下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△BEF=S△ABE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023八下·九江期末）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
8．（2023八下·新城期末）如图，为平行四边形的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为 ．
9．（2023八下·温江期末）如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，已知的周长为12，则的周长为 ．
10．（2023八下·番禺期中）如图， 的对角线、相交于点，若，则 的面积为 ．
11．（2023八下·新都期末）在中，，，，为外的一点，且．若点到边上的最短距离记为，当绕旋转时，的取值范围是 ．
12．（2023八下·历城期末）如图，已知中，，，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接，则线段的最小值是 ．
三、解答题
13．（2023七上·青神期中）已知平行四边形ABCD内有一点P，S△PAB=4，S△PBC=6，计算图中阴影部分△PBD的面积(要求写出过程)
14．（2017·绍兴）如图1，已知 ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3，4），点B在第四象限，点P是 ABCD边上的一个动点.
（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标.
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标.
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）.
四、综合题
15．（2011·义乌）如图，已知E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）．
16．（2023八下·吉安期末）如图，在中，，，，点P沿AB边从点A开始以2cm秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形．
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边的内角和为360°，且对角相等，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边的性质，题中直接使用平行四边的内角和为360°，且对角相等的性质直接计算即可.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5，
∵AE=EB，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴ ABCD的周长=2×（AB+BC）=22．
故选D．
【分析】由 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，易得DE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得直线EF是线段AB的垂直平分线，
∴BG=AG=6，
∵BD=16，
∴GD=BD-BG=10，
∵AG⊥AD，
∴∠GAD=90°，
∴AD=.
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BG=AG=6，由线段的和差算出GD的长，进而在Rt△ADG中，利用勾股定理算出AD的长.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴BE=2BF，
∵AF＝5，BE＝24，
∴BF=12，
∴AB= ，
∴CD= AB=13，
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB=CD，由平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE，进而推出AB=AE，结合等腰三角形的性质可得BE=2BF，然后由勾股定理可得AB，进而得到CD的值.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC=AD=DE=3，又有CD=AB=5，可求EC的长．
【解答】根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=5，AD=BC=3．
根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
又∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED．
∴ED=AD=3，
∴EC=CD-ED=5-3=2．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AD=BC，
∴ ，
又∵AE平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，故②符合题意；
∴ ，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD，故①符合题意；
若AD与AF相等，即 ，
即EC=CD=BE，
即BC=2CD，
题中未限定这一条件，
∴③④不一定符合题意；
故正确的是①②符合题意；
故答案为：B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，AD=BC，又因为AE平分 ，可得 ，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，则 ，所以△ABC≌△EAD，即可得到结果．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：取AD的中点M，连接CM，AG，AC，过点A作AN⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，AB=4，
∴∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，
∴AM=DM=DC=4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=AM，
∴∠MAC= ∠MCA=30°，
∴∠ACD =∠MCA+∠MCD= 90°，
∴，
∵∠ACN=∠DAC=30°，
∴，
∵AE = EH，GF = FH，
∴
∴EF的最大值与最小值的差为，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，再求出△CDM是等边三角形，最后利用勾股定理和直角三角形30°角的性质等计算求解即可。
8．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠F=∠BCE，
在△BCE和△AFE中
∴△BCE≌△AFE（ASA），
∴BC=AF，
∴AF=AD，
∵AC⊥BC，AD∥BC，
∴AC⊥DF，
∴AC垂直平分DF，
∴DC=CF=2EF=8.
故答案为：8.
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠F=∠BCE，利用ASA证明△BCE≌△AFE，利用全等三角形的性质可证得BC=AF=AD；再证明AC⊥DF，可推出AC垂直平分DF，利用垂直平分线的性质可证得DC=CF，据此可求出CD的长.
9．【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵交于点E，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵的周长为12，
∴BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB=12，
∴的周长=2×（AB+BC）=2×12=24，
故答案为：24.
【分析】先证出AE=CE，再利用三角形的周长公式及等量代换求出BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB=12，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
10．【答案】8
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴S△AOD=S△DOC=S△COB=S△AOB=2，
∴S =4S△AOB=8，
故答案为：8.
【分析】本题主要考察平行四边形的性质以及三角形中线的性质，平行四边形的两条对角线相互平分，三角形的中线将三角形的面积平分，二者结合即可求解.
11．【答案】
【知识点】点到直线的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 绕 旋转可看作 不动，点 绕点 旋转．
①当 在直线 上时，点 到 边上的最短距离 最小．
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，此时 ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
②当 时，点 到 边上的最短距离 最大．
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，此时 ．
根据题意可知四边形 为矩形，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【分析】分情况分析，①当 在直线 上时，点 到 边上的最短距离 最小．②当 时，点 到 边上的最短距离 最大．再分别画出图象并求出最大值及最小值，即可得到d的取值范围.
12．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD，连接OE，
∵OA+OE≥AE，
∴当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=BC=AD=8，，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=8，BE=DE=4，
∴AE=，
在Rt△BOD中，BE=DE，
∴OE=BD=4，
∴最小值OA=AE-OE=
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BD，连接OE，由OA+OE≥AE，可知当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，易求△ABD为等边三角形，可得BD=AB=8，BE=DE=4，由勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，继而得解.
13．【答案】解：阴影面积为2
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵S△PAB+S△PAD+S阴影=S平行四边形，
S△PAD+S△PBC=S平行四边形，
∴S△PAB+S△PAD+S阴影=S△PAD+S△PBC，
∴S阴影=S△PBC-S△PAB=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】 根据图形得出S△PAB+S△PAD+S阴影=S△PAD+S△PBC=S平行四边形，代入即可求出．
14．【答案】（1）解：在 ABCD中， CD=AB=6，
所以点P与点C重合，
所以点P的坐标为（3，4）.
（2）解：①当点P在边AD上时，
由已知得，直线AD的函数表达式为y=-2x-2，
设P（a，-2a-2），且-3≤a≤1，
若点P关于x轴对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，
所以2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3，4）。
若点Ｐ关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，
所以-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）.
②当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1≤a≤7，
若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，
所以4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）.
若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，
所以-4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）.
综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）.
（3）解：因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2）.
①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4），且-3≤m≤3，
则可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，
易证得△OGM′~△HM′P，
则 ，
即 ，
则OM′= ，
在Rt△OGM′中，
由勾股定理得， ，
解得m= 或 ，
则P（ ，4）或（ ，4）；
②如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2），
则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，
易证得△OGM′~△HM′P，
则 ，
即 ，
则OM′= ，
在Rt△OGM′中，
由勾股定理得， ，
整理得m= ，
则P（ ，3）；
如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），
此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，
所以GM=PM=4-2=2，
则P（2，-4）.
综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（ ，3）或（ ，4）或（ ，4）.
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠FCD，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS）
（2）答：△ABC≌△CDA，△BCE≌△DAF
【知识点】垂线；平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出∠BAE=∠FCD，根据垂直的定义得到∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS即可得到答案；（2）根据SSS得到△ABC≌△CDA，根据SAS得到△BCE≌△DAF．
16．【答案】（1）解：，，
∵当△PAQ是等边三角形时，，即，解得．
∴当时，△PAQ是等边三角形；
（2）解：∵△PAQ是直角三角形，
∴或，
当时，有，
，即，
∴，解得（秒），
当时，有，，
即
∴，
解得（秒）．
∴当或时，△PAQ是直角三角形．
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意得AP=2t，AQ=6-t，由∠A=60°，当AP=AQ时，△PAQ是等边三角形，据此列出方程并解之即可；
（2）由∠A=60°，当 △PAQ是直角三角形 ，可分两种情况： 或， 根据直角三角形的性质分别解答即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.2.1平行四边形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·番禺期中）如图，在 中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边的内角和为360°，且对角相等，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边的性质，题中直接使用平行四边的内角和为360°，且对角相等的性质直接计算即可.
2．（2015八下·滦县期中）如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5， ABCD的周长（ ）
A．11 B．13 C．16 D．22
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5，
∵AE=EB，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴ ABCD的周长=2×（AB+BC）=22．
故选D．
【分析】由 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，易得DE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．
3．（2023八下·晋安期末）如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接恰好垂直于边，若，则的长是（ ）
A．6 B．8 C．1 D．1
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得直线EF是线段AB的垂直平分线，
∴BG=AG=6，
∵BD=16，
∴GD=BD-BG=10，
∵AG⊥AD，
∴∠GAD=90°，
∴AD=.
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BG=AG=6，由线段的和差算出GD的长，进而在Rt△ADG中，利用勾股定理算出AD的长.
4．（2021八下·成都期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴BE=2BF，
∵AF＝5，BE＝24，
∴BF=12，
∴AB= ，
∴CD= AB=13，
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB=CD，由平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE，进而推出AB=AE，结合等腰三角形的性质可得BE=2BF，然后由勾股定理可得AB，进而得到CD的值.
5．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC=AD=DE=3，又有CD=AB=5，可求EC的长．
【解答】根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=5，AD=BC=3．
根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
又∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED．
∴ED=AD=3，
∴EC=CD-ED=5-3=2．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
6．（2020八下·深圳期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF． 下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△BEF=S△ABE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AD=BC，
∴ ，
又∵AE平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，故②符合题意；
∴ ，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD，故①符合题意；
若AD与AF相等，即 ，
即EC=CD=BE，
即BC=2CD，
题中未限定这一条件，
∴③④不一定符合题意；
故正确的是①②符合题意；
故答案为：B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，AD=BC，又因为AE平分 ，可得 ，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，则 ，所以△ABC≌△EAD，即可得到结果．
7．（2023八下·九江期末）如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：取AD的中点M，连接CM，AG，AC，过点A作AN⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，AB=4，
∴∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，
∴AM=DM=DC=4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，CM=AM，
∴∠MAC= ∠MCA=30°，
∴∠ACD =∠MCA+∠MCD= 90°，
∴，
∵∠ACN=∠DAC=30°，
∴，
∵AE = EH，GF = FH，
∴
∴EF的最大值与最小值的差为，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质求出∠D= 180°-∠BCD=60°，AB= CD=4，再求出△CDM是等边三角形，最后利用勾股定理和直角三角形30°角的性质等计算求解即可。
二、填空题
8．（2023八下·新城期末）如图，为平行四边形的对角线，，点在上，连接，分别延长，交于点，若，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠F=∠BCE，
在△BCE和△AFE中
∴△BCE≌△AFE（ASA），
∴BC=AF，
∴AF=AD，
∵AC⊥BC，AD∥BC，
∴AC⊥DF，
∴AC垂直平分DF，
∴DC=CF=2EF=8.
故答案为：8.
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠F=∠BCE，利用ASA证明△BCE≌△AFE，利用全等三角形的性质可证得BC=AF=AD；再证明AC⊥DF，可推出AC垂直平分DF，利用垂直平分线的性质可证得DC=CF，据此可求出CD的长.
9．（2023八下·温江期末）如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，已知的周长为12，则的周长为 ．
【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵交于点E，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵的周长为12，
∴BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB=12，
∴的周长=2×（AB+BC）=2×12=24，
故答案为：24.
【分析】先证出AE=CE，再利用三角形的周长公式及等量代换求出BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB=12，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
10．（2023八下·番禺期中）如图， 的对角线、相交于点，若，则 的面积为 ．
【答案】8
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴S△AOD=S△DOC=S△COB=S△AOB=2，
∴S =4S△AOB=8，
故答案为：8.
【分析】本题主要考察平行四边形的性质以及三角形中线的性质，平行四边形的两条对角线相互平分，三角形的中线将三角形的面积平分，二者结合即可求解.
11．（2023八下·新都期末）在中，，，，为外的一点，且．若点到边上的最短距离记为，当绕旋转时，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 绕 旋转可看作 不动，点 绕点 旋转．
①当 在直线 上时，点 到 边上的最短距离 最小．
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，此时 ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
②当 时，点 到 边上的最短距离 最大．
如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，此时 ．
根据题意可知四边形 为矩形，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【分析】分情况分析，①当 在直线 上时，点 到 边上的最短距离 最小．②当 时，点 到 边上的最短距离 最大．再分别画出图象并求出最大值及最小值，即可得到d的取值范围.
12．（2023八下·历城期末）如图，已知中，，，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接，则线段的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD，连接OE，
∵OA+OE≥AE，
∴当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=BC=AD=8，，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=8，BE=DE=4，
∴AE=，
在Rt△BOD中，BE=DE，
∴OE=BD=4，
∴最小值OA=AE-OE=
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BD，连接OE，由OA+OE≥AE，可知当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，易求△ABD为等边三角形，可得BD=AB=8，BE=DE=4，由勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，继而得解.
三、解答题
13．（2023七上·青神期中）已知平行四边形ABCD内有一点P，S△PAB=4，S△PBC=6，计算图中阴影部分△PBD的面积(要求写出过程)
【答案】解：阴影面积为2
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵S△PAB+S△PAD+S阴影=S平行四边形，
S△PAD+S△PBC=S平行四边形，
∴S△PAB+S△PAD+S阴影=S△PAD+S△PBC，
∴S阴影=S△PBC-S△PAB=6-4=2.
故答案为：2.
【分析】 根据图形得出S△PAB+S△PAD+S阴影=S△PAD+S△PBC=S平行四边形，代入即可求出．
14．（2017·绍兴）如图1，已知 ABCD，AB//x轴，AB=6，点A的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3，4），点B在第四象限，点P是 ABCD边上的一个动点.
（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标.
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上，求点P的坐标.
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）.
【答案】（1）解：在 ABCD中， CD=AB=6，
所以点P与点C重合，
所以点P的坐标为（3，4）.
（2）解：①当点P在边AD上时，
由已知得，直线AD的函数表达式为y=-2x-2，
设P（a，-2a-2），且-3≤a≤1，
若点P关于x轴对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，
所以2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3，4）。
若点Ｐ关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，
所以-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）.
②当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1≤a≤7，
若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，
所以4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）.
若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，
所以-4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）.
综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）.
（3）解：因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2）.
①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4），且-3≤m≤3，
则可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，
易证得△OGM′~△HM′P，
则 ，
即 ，
则OM′= ，
在Rt△OGM′中，
由勾股定理得， ，
解得m= 或 ，
则P（ ，4）或（ ，4）；
②如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2），
则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，
易证得△OGM′~△HM′P，
则 ，
即 ，
则OM′= ，
在Rt△OGM′中，
由勾股定理得， ，
整理得m= ，
则P（ ，3）；
如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），
此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，
所以GM=PM=4-2=2，
则P（2，-4）.
综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（ ，3）或（ ，4）或（ ，4）.
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解.
四、综合题
15．（2011·义乌）如图，已知E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠FCD，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS）
（2）答：△ABC≌△CDA，△BCE≌△DAF
【知识点】垂线；平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出∠BAE=∠FCD，根据垂直的定义得到∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS即可得到答案；（2）根据SSS得到△ABC≌△CDA，根据SAS得到△BCE≌△DAF．
16．（2023八下·吉安期末）如图，在中，，，，点P沿AB边从点A开始以2cm秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形．
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形．
【答案】（1）解：，，
∵当△PAQ是等边三角形时，，即，解得．
∴当时，△PAQ是等边三角形；
（2）解：∵△PAQ是直角三角形，
∴或，
当时，有，
，即，
∴，解得（秒），
当时，有，，
即
∴，
解得（秒）．
∴当或时，△PAQ是直角三角形．
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意得AP=2t，AQ=6-t，由∠A=60°，当AP=AQ时，△PAQ是等边三角形，据此列出方程并解之即可；
（2）由∠A=60°，当 △PAQ是直角三角形 ，可分两种情况： 或， 根据直角三角形的性质分别解答即可.
1 / 1
