2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.2.2 平行四边形的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八下·黄陂期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板左上方所成的是，那么光线与纸板右下方所成的的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠2=∠1= ；
故答案为：C.
【分析】先判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的对角相等即可求解.
2．（2023八下·杭州期中）在中，点D，E分别是，上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件后，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵BD∥CF，DE∥BC，∴四边形BDFC是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵DF=BC，DE∥BC，∴四边形BDFC是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、由BD=CF，DE∥BC，不能判判定四边形BDFC是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵DE∥BC，
∴∠B+∠BDF=180°，
∵∠B=∠F，
∴∠BDF+∠F=180°，
∴BD∥CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断A选项；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断B选项；由一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是梯形，可判断C选项；由平行线的性质及等量代换可推出∠BDF+∠F=180°，进而可得BD∥CF，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断D选项.
3．（2023九上·中牟开学考）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃.
故答案为：C.
【分析】只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，平行四边形的四个顶点确定了，平行四边形也就确定了.
4．（2023八下·曲靖期末）如图是嘉淇不完整的推理过程．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A＋∠D=180°，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定方法即可求解.
5．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：两个完全一样的三角形，即两个全等三角形，一定可以拼成一个平行四边形。
骨答案为：D.
【分析】在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形即可得出答案。
6．（2023·丹东）如图，在四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵AB=AG=4，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠AGB=∠CBH，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AG+DG=4+5=9，
∵AB∥CH，
∴∠ABG=∠CHB，
∴∠CBH=∠CHB，
∴CH=CB=9.
故答案为：C.
【分析】根据作图方法可得BH平分∠ABC；根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ABH=∠CBH，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的腰所对的角相等可得∠ABG=∠AGB，推得∠AGB=∠CBH；根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CB；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对应边相等可得BC=AD=9；根据两直线平行，内错角相等得∠ABG=∠CHB，推得∠CBH=∠CHB；根据等腰三角形的性质即可求解.
7．（2023八下·辛集期末） 如图，在 中，点，是对角线上的两个点，且，连接，求证：．
证法：如图，在 中，，， ． 又， ≌， ， ， 即，． 证法：如图，连接交于点，连接，． 在 中，，． 又， ，即． 四边形是平行四边形， ．
下列说法错误的是（ ）
A．证法中证明三角形全等的直接依据是
B．证法中用到了平行四边形的对角线互相平分
C．证法和证法都用到了平行四边形的判定
D．证法和证法都用到了平行四边形的性质
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】方法一：利用边角边证明两三角形全等 ，对应角相等，然后等角的补角相等，内错角相等两直线平行；
方法二：利用平行四边形的性质及已知AE=CF，再次论证四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的边所具有的性质判定平行。
故C正确，A、B、D错误。
故答案为： C
【分析】论证两直线平行，思考用平行线的判定结合图形可知利用内错角相等两直线平行；也可以论证四边形DEBF是平行四边形对边平行来论证。
8．（2023九上·子洲开学考）如图，四边形是平行四边形，连接，，与的延长线交于点E，连接交于F，连接，下列结论中：①四边形是平行四边形；②；③若，则；④.正确的结论个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EC即AD∥BE，AD=BC
∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，故①正确；
∴AD=BE，
∴BE=BC即 ，故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠CEF，
∵∠ADF=∠BCF，
∴∠ADF=∠CEF=∠BCF，
∴EF=CE，
∵BE=BC，
∴AB⊥EC，
∴∠ABC=90°，故③正确；
∵平行四边形ADBE，
∴S△ADF=S△BEF，
∵BE=BC，
∴S△BEF=S△BCF=S△ADF，故④正确；
∴正确结论的序号为①②③④，一共4个
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥EC即AD∥BE，AD=BC利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBD是平行四边形，可对①作出判断；利用平行四边形的性质可证得AD=BC=CE，可对②作出判断；利用平行线的性质去证明∠ADF=∠CEF=∠BCF，利用等角对等边可证得EF=EC，利用等腰三角形的性质可推出∠ABC=90°，可对③作出判断；利用平行四边形的性质及线段中点可证得S△BEF=S△BCF=S△ADF， 可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
9．（2023八下·松江期末）在四边形ABCD中，已知∠A+∠B=180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填写一种情况）
【答案】AB∥CD
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】 在四边形ABCD中 ，
∵ ∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC
要使四边形ABCD是平行四边形
可有：AB∥CD 或 AD=BC 或∠C+∠B=180°或∠C+∠A=180°或∠B=∠D或∠A=∠C
【分析】本题考查平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。要熟悉判定方法，才能写出符合的条件。
10．如图，，过点的直线分别交于点． 下列结论：
①若为的中点，则；
②若于点，则为的中点；
③若为的中点，则；
④．
其中正确的结论有 ． (填写序号即可)
【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①在的延长线上截取，连接，则，如图1所示：
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故结论①正确；
②过点作交的延长线于，连接，如图2所示：
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∴，
即点为的中点，
故结论②正确；
③当为的中点时，
由①的解答过程可知：，
∴
故结论③正确；
④延长到，使，连接，如图3所示：
∴
∵过点的直线分别交于点，
∴无法判定，点为的中点，
因此无法判定成立，
故结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】①根据平行四边形的判定和性质，可得HD=AB=AC，∠HDA+∠DAB=180°；
根据周角为360°和等量代换原则，可得∠HDA=∠CAE，DH=AC；
根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠DHA=∠CEA，AH=CE；
根据等量代换原则，可得∠ANE=90°，即ANCE；
②根据平行四边形的性质和周角、平角的度数，可得∠TDA=∠CAE；
根据等量代换原则，可得∠1=∠2；
根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得TD=AC；
根据等量代换原则和平行四边形的性质，可得DM=BM；
③由①可得AH=2AM，AH=CE，根据等量代换原则可得CE=2AM.
11．（2019八下·嘉定期末）已知四边形 ，点 是对角线 与 的交点，且 ，请再添加一个条件，使得四边形 成为平行四边形，那么添加的条件可以是 ．（用数学符号语言表达）
【答案】OB=OD
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵OA=OC，
由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴可以是OB=OD（答案不唯一）．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案．
12．（2023八上·丰南期中） 如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：
在和中，
，
∴，
∴，
∵为水平线，
∴，
∵，，
∴，
∴为平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，从而即可求解。
13．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 ．（填写一组序号即可）
【答案】①③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：可选条件①③，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：①③．
【分析】根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO=DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．
三、解答题
14．（2023·碧江模拟）如图，在四边形中，，，，，
（1）求证；四边形为平行四边形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
四边形的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求得AO，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；
（2）根据平行四边形的面积公式即可求解．
15．（2023九上·泸州期中）如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，AE＝CF．求证：BF∥DE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∵AE＝CF，
∴DF＝EB，DF∥EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质定理得出 AB＝DC，AB∥DC， 然后再根据等式的性质得出 DF＝EB，DF∥EB， 再根据平行四边形的判定得出 四边形DFBE是平行四边形， 根据平行四边形的性质定理即可得出 DE∥BF．
四、综合题
16．（2021八下·海拉尔期末）如图，点 是 内一点，连接 ， ，并将 ， ， ， 的中点 ， ， ， 依次连接，得到四边形 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 为 的中点， ， 和 互余，求 的长度．
【答案】（1）证明： 、 分别是 、 的中点，
， ，
同理， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 和 互余，
，又 为 的中点，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到 ，根据平行四边形的性质可得答案。
17．（2023八下·丽水期末）如图，在中，，A，B，C是一个平行四边形的三个顶点，画出一个平行四边形.
（1）请用三角板画出一个平行四边形的示意图：
（2）若，，求出你所画的平行四边形两条对角线的长.
【答案】（1）解：如图所示：
方法一：
方法二：
方法三：
（2）解：方法一（图①）：
在中，，，，
，
连接交于点O，
是平行四边形，
∴，
∴.
对角线，；
方法二（图②）：对角线；
方法三（图3）：连接交于点O，
是平行四边形，
∴，
∴.
对角线，.
【知识点】平行四边形的判定；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，分别为AC，AB，BC为对角线，可以画出不同的平行四边形.
（2）方法一：利用勾股定理求出AB的长，连接BD交AC于点O，利用平行四边形的性质可求出OC的长，利用勾股定理求出OB的长，可得到BD的长；方法二：利用矩形的判定和性质及勾股定理可求出AB的长；方法三：连接AD交BC于点O，利用平行四边形的性质求出OC的长，利用勾股定理求出OA的长，可得到AD的长.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.2.2 平行四边形的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八下·黄陂期末）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板左上方所成的是，那么光线与纸板右下方所成的的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·杭州期中）在中，点D，E分别是，上的点，且，点F是延长线上一点，连接．添加下列条件后，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·中牟开学考）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·曲靖期末）如图是嘉淇不完整的推理过程．
A． B．
C． D．
5．下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
6．（2023·丹东）如图，在四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·辛集期末） 如图，在 中，点，是对角线上的两个点，且，连接，求证：．
证法：如图，在 中，，， ． 又， ≌， ， ， 即，． 证法：如图，连接交于点，连接，． 在 中，，． 又， ，即． 四边形是平行四边形， ．
下列说法错误的是（ ）
A．证法中证明三角形全等的直接依据是
B．证法中用到了平行四边形的对角线互相平分
C．证法和证法都用到了平行四边形的判定
D．证法和证法都用到了平行四边形的性质
8．（2023九上·子洲开学考）如图，四边形是平行四边形，连接，，与的延长线交于点E，连接交于F，连接，下列结论中：①四边形是平行四边形；②；③若，则；④.正确的结论个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
9．（2023八下·松江期末）在四边形ABCD中，已知∠A+∠B=180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填写一种情况）
10．如图，，过点的直线分别交于点． 下列结论：
①若为的中点，则；
②若于点，则为的中点；
③若为的中点，则；
④．
其中正确的结论有 ． (填写序号即可)
11．（2019八下·嘉定期末）已知四边形 ，点 是对角线 与 的交点，且 ，请再添加一个条件，使得四边形 成为平行四边形，那么添加的条件可以是 ．（用数学符号语言表达）
12．（2023八上·丰南期中） 如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为 ．
13．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是 ．（填写一组序号即可）
三、解答题
14．（2023·碧江模拟）如图，在四边形中，，，，，
（1）求证；四边形为平行四边形；
（2）求四边形的面积．
15．（2023九上·泸州期中）如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，AE＝CF．求证：BF∥DE．
四、综合题
16．（2021八下·海拉尔期末）如图，点 是 内一点，连接 ， ，并将 ， ， ， 的中点 ， ， ， 依次连接，得到四边形 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 为 的中点， ， 和 互余，求 的长度．
17．（2023八下·丽水期末）如图，在中，，A，B，C是一个平行四边形的三个顶点，画出一个平行四边形.
（1）请用三角板画出一个平行四边形的示意图：
（2）若，，求出你所画的平行四边形两条对角线的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠2=∠1= ；
故答案为：C.
【分析】先判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的对角相等即可求解.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵BD∥CF，DE∥BC，∴四边形BDFC是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、∵DF=BC，DE∥BC，∴四边形BDFC是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、由BD=CF，DE∥BC，不能判判定四边形BDFC是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵DE∥BC，
∴∠B+∠BDF=180°，
∵∠B=∠F，
∴∠BDF+∠F=180°，
∴BD∥CF，
∴四边形BDFC是平行四边形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断A选项；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断B选项；由一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是梯形，可判断C选项；由平行线的性质及等量代换可推出∠BDF+∠F=180°，进而可得BD∥CF，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃.
故答案为：C.
【分析】只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，平行四边形的四个顶点确定了，平行四边形也就确定了.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A＋∠D=180°，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定方法即可求解.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：两个完全一样的三角形，即两个全等三角形，一定可以拼成一个平行四边形。
骨答案为：D.
【分析】在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵AB=AG=4，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠AGB=∠CBH，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AG+DG=4+5=9，
∵AB∥CH，
∴∠ABG=∠CHB，
∴∠CBH=∠CHB，
∴CH=CB=9.
故答案为：C.
【分析】根据作图方法可得BH平分∠ABC；根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ABH=∠CBH，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的腰所对的角相等可得∠ABG=∠AGB，推得∠AGB=∠CBH；根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CB；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对应边相等可得BC=AD=9；根据两直线平行，内错角相等得∠ABG=∠CHB，推得∠CBH=∠CHB；根据等腰三角形的性质即可求解.
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】方法一：利用边角边证明两三角形全等 ，对应角相等，然后等角的补角相等，内错角相等两直线平行；
方法二：利用平行四边形的性质及已知AE=CF，再次论证四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的边所具有的性质判定平行。
故C正确，A、B、D错误。
故答案为： C
【分析】论证两直线平行，思考用平行线的判定结合图形可知利用内错角相等两直线平行；也可以论证四边形DEBF是平行四边形对边平行来论证。
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EC即AD∥BE，AD=BC
∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，故①正确；
∴AD=BE，
∴BE=BC即 ，故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠CEF，
∵∠ADF=∠BCF，
∴∠ADF=∠CEF=∠BCF，
∴EF=CE，
∵BE=BC，
∴AB⊥EC，
∴∠ABC=90°，故③正确；
∵平行四边形ADBE，
∴S△ADF=S△BEF，
∵BE=BC，
∴S△BEF=S△BCF=S△ADF，故④正确；
∴正确结论的序号为①②③④，一共4个
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AD∥EC即AD∥BE，AD=BC利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBD是平行四边形，可对①作出判断；利用平行四边形的性质可证得AD=BC=CE，可对②作出判断；利用平行线的性质去证明∠ADF=∠CEF=∠BCF，利用等角对等边可证得EF=EC，利用等腰三角形的性质可推出∠ABC=90°，可对③作出判断；利用平行四边形的性质及线段中点可证得S△BEF=S△BCF=S△ADF， 可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】AB∥CD
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】 在四边形ABCD中 ，
∵ ∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC
要使四边形ABCD是平行四边形
可有：AB∥CD 或 AD=BC 或∠C+∠B=180°或∠C+∠A=180°或∠B=∠D或∠A=∠C
【分析】本题考查平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。要熟悉判定方法，才能写出符合的条件。
10．【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①在的延长线上截取，连接，则，如图1所示：
∵为的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故结论①正确；
②过点作交的延长线于，连接，如图2所示：
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∴，
即点为的中点，
故结论②正确；
③当为的中点时，
由①的解答过程可知：，
∴
故结论③正确；
④延长到，使，连接，如图3所示：
∴
∵过点的直线分别交于点，
∴无法判定，点为的中点，
因此无法判定成立，
故结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】①根据平行四边形的判定和性质，可得HD=AB=AC，∠HDA+∠DAB=180°；
根据周角为360°和等量代换原则，可得∠HDA=∠CAE，DH=AC；
根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠DHA=∠CEA，AH=CE；
根据等量代换原则，可得∠ANE=90°，即ANCE；
②根据平行四边形的性质和周角、平角的度数，可得∠TDA=∠CAE；
根据等量代换原则，可得∠1=∠2；
根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得TD=AC；
根据等量代换原则和平行四边形的性质，可得DM=BM；
③由①可得AH=2AM，AH=CE，根据等量代换原则可得CE=2AM.
11．【答案】OB=OD
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
∵OA=OC，
由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴可以是OB=OD（答案不唯一）．
故答案为：OB=OD（答案不唯一）．
【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案．
12．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：
在和中，
，
∴，
∴，
∵为水平线，
∴，
∵，，
∴，
∴为平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，从而即可求解。
13．【答案】①③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：可选条件①③，
∵AD∥BC，
∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：①③．
【分析】根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO=DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．
14．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
四边形的面积．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求得AO，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；
（2）根据平行四边形的面积公式即可求解．
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∵AE＝CF，
∴DF＝EB，DF∥EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质定理得出 AB＝DC，AB∥DC， 然后再根据等式的性质得出 DF＝EB，DF∥EB， 再根据平行四边形的判定得出 四边形DFBE是平行四边形， 根据平行四边形的性质定理即可得出 DE∥BF．
16．【答案】（1）证明： 、 分别是 、 的中点，
， ，
同理， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 和 互余，
，又 为 的中点，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到 ，根据平行四边形的性质可得答案。
17．【答案】（1）解：如图所示：
方法一：
方法二：
方法三：
（2）解：方法一（图①）：
在中，，，，
，
连接交于点O，
是平行四边形，
∴，
∴.
对角线，；
方法二（图②）：对角线；
方法三（图3）：连接交于点O，
是平行四边形，
∴，
∴.
对角线，.
【知识点】平行四边形的判定；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，分别为AC，AB，BC为对角线，可以画出不同的平行四边形.
（2）方法一：利用勾股定理求出AB的长，连接BD交AC于点O，利用平行四边形的性质可求出OC的长，利用勾股定理求出OB的长，可得到BD的长；方法二：利用矩形的判定和性质及勾股定理可求出AB的长；方法三：连接AD交BC于点O，利用平行四边形的性质求出OC的长，利用勾股定理求出OA的长，可得到AD的长.
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