2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.2.2 平行四边形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·山亭开学考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相平行的四边形为平行四边形）
A符合题意；
B：∵OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）
B符合题意；
C：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相相等的四边形为平行四边形）
C符合题意
D：∵AB∥DC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形
D不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理即可求出答案.
2．（2023八下·番禺期中）如图，在 中，已知，，平分交边于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC
又∵平分交边于点，
∴，，
∴，
∴三角形CED为等腰三角形，CD=CE=5cm，
∴BE=8-5=3cm
故答案为：C.
【分析】本题主要考察平行四边形的性质、平行线的性质（一条直线相较于两条平行直线，内错角相等）以及等腰三角形（两底角相等，对应的两边相等）的性质，
3．（2023·红花岗模拟）如图，点是线段上的动点不与点、重合，分别以、为边向上作等边三角形和，延长、交于点，若，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
四边形DCEF为平行四边形
∴四边形的周长为：DC+EF+DF+CE=2AC+2BC=2(AC+BC)=2AB=8
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质及平行四边形性质可得到四边形DCEF为平行四边形，再根据平行四边形性质即可求出答案。
4．（2023八下·新都期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，∴利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴A不符合题意；
B、∵，，∴利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴B不符合题意；
C、∵，，∴无法利用一组对边平行，另一边相等的四边形是平行四边形，∴C符合题意；
D、∵，，∴利用“ASA”证出△ADO≌△CBO，∴AD=CB，再结合AD//BC，∴利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项判断即可.
5．（2022八下·城固期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴ EF=EC，
∴EF=BD，
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确；
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确；
∵△CEF为等边三角形，CH⊥EF，
FH=FC=，
∴CH==，
∵S平行四边形BDEF=BD·CH=，故 ③ 正确；
S△AEF=S△AEC=S△ABD=，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，再证明△EFC是等边三角形，然后根据一组对比平行且相等判定四边形BDEF是平行四边形，则可判断②；再根据SAS证明△ABD≌△BCF，则可判断①；根据等边三角形的性质和勾股定理求出FH，再计算四边形BDEF的面积，即可判断 ③ ；根据三角形的面积关系求△AEF的面积即可判断 ④ .
6．（2023八下·祥云期末）如图所示，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形还需要条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A： ，一组对边平行且相等才可证明是平行四边形，故不选
B：，可证得 ，进而证明是平行四边形，故正确
C：，邻边相等，不能证明是平行四边形，故不选
D：，只能证明 ，不能证明其他，故不选
故答案为：B
【分析】熟练掌握平行四边形的判断定理。
7．（2023八下·吉安期末）如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴AB2+AC2=32+42=52=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△BCF、△ACE、△ABD是等边三角形，
∴AC=CE=AE，BC=CF，∠BCF=∠ACE=60°，AD=AB，
∴∠ACB=∠ECF，
∴△ACB≌△ECF（SAS），
∴EF=AB=AD=3，
同理可证：△BDF≌△BAC，
∴DF=AC=AE=4，
∴ 四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE=360°-∠DAB-∠EAC-∠BAC=360°-60°-60°90°=150°，
∴∠DFE=150°，故③正确；
∴∠FDA=30°，
如图，过点A作AH⊥DF，
∵AD=AB=3，
∴AH=AD=，
∴平行四边形AEFD的面积为DF·AH=4×=6，故④正确，
∴ 正确的个数是4；
故答案为：D.
【分析】由AB2+AC2=32+42=52=BC2，可得∠BAC=90°，故①正确；△ACB≌△ECF（SAS），△BDF≌△BAC（SAS），可得EF=AB=AD=3，DF=AC=AE=4，根据两组对边分别相等可证四边形AEFD是平行四边形，故②正确；利用平行四边形的性质可得∠DFE=∠DAE，由周角的定义求出∠DAE=150°，即得∠DFE=150°，故③正确；从而可得∠FDA=30°，利用直角三角形的性质求出DF边上的高，根据平行四边形的面积公式求出平行四边形AEFD的面积，即可判断④.
8．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为
【答案】6
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=3×（4×）=6．
即四边形AEFD的面积是6．
故答案为：6．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
10．（2023七下·上城期末）一艘船从处出发，沿南偏东方向行驶至，然后向正东方向行驶至后又改变航向，朝与出发时相反的方向行驶至，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】钟面角、方位角；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：∠MOA= 55°，
∴∠AOB = 35°，
∵AO∥ BC，AC∥OB，
∴四边形AOBC是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOB=35°；
故答案为：35°.
【分析】先根据方向角的定义画出示意图，再利用平行四边形的性质即可解答.
11．（2023八下·鞍山期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥河的两岸互相平行，垂直于河岸，现测得，两点到河岸的距离分别是米，米，河宽米，且，两点之间的水平距离为米，则的最小值是 米
【答案】18
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：解：过点A作AP⊥FG，垂足为P，在AP上截取AH=MN=3米，连接HB交DE于点N，过点N作NM⊥FG，垂足为M，过点B作BC⊥AP，交AP的延长线于点C，交DE于点Q，如图：
由题意得：AH=MN，AH∥MN，
∴四边形AHNM是平行四边形，
∴AM=HN，
∴AM+BN=HN+BN=HB，
此时AM+BN的值最小，且最小值即为HB的长，
在Rt△HBC中，BC=12米，HC=AC-AH=5+3+4-3=9（米），
∴（米），
∴AM+BN的最小值为15米，
∴AM+MN+NB的最小值=15+3=18米，
故答案为：18.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边相等；可得AM=HN，求得AM+BN=HN+BN=HB，推得此时AM+BN的值最小，且最小值即为HB的长；根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；求得HB的值，即可求解得出结论.
12．（2023八上·浙江期中）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点P在AC的延长线上，且AC=CP=4，将△ABC沿AB方向平移得到△A'B'C'，连结PA'，PC'，则△PA'C'的周长的最小值为 .
【答案】+4
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由题意可得AC=A'C'=CP=4且AC//A'C'//CP，因为PA'C'的周长=PA'+A'C'+C'P=4+PA'+C'P，当PA'+C'P最小时，PA'C'的周长最小。
连结A'C，
因为A'C'=CP且A'C'//CP，所以四边形A'CPC'是平行四边形。所以A'C=C'P，即A'C+A'P取最小值。
过B点作C关于AB'的对称点E，连结A'E，即A'E=A'C，当E、A'、P在同一直线上时，A'C+A'P最短，A'C+A'P=EP===4.
所以
故答案为： △4+4 .
【分析】利用平行四边形的条件把C'P转换到A'C，再利用作对称点求出最小值。
13．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，等边三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质，勾股定理即可求出答案。
三、解答题
14．（2023八上·丰南期中） 在等边△ABC中，D为AC中点，延长BC至点E，使CE＝DC，连接ED并延长交AB于点F．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）证明：连接，
△ABC是等边三角形，
，，
D为AC的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
△DBE是等腰三角形；
（2）解：过作，连接，
是等边三角形
D为AC的中点，，
是等边三角形
，，
△ABC是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
∴∠AFD=180°-60°-30°=90°，
是的中点
为AC的中点，
．
．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据等边三角形的性质得到，，进而根据题意得到，从而结合题意证明，再根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）过作，连接，先根据等边三角形的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，，从而根据平行四边形的判定与性质即可得到，再结合题意进行转化即可求解。
15．（2023八下·蒲城期末）如图，在中，点E在上，点F在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的平分线，且，，求的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
的周长为：．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，结合AE=CF可得BE=DF，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形．
（2）由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADE=∠EDC=∠AED，可证为等腰三角形，可得AE=AD=3，从而求出AB的长，根据的周长为即可求解.
四、综合题
16．（2023·内江模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF＝EF，求证：AE＝AD.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），
∵DC＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形
（2）证明：连接BE
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°
∵DC＝EF，
∴EB＝DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE＝AD.
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，则∠ABC＝∠EFB，推出EF∥DC，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）连接BE，易得△EFB是等边三角形，则EB＝EF，∠EBF＝60°，结合DC＝EF可得EB＝DC，由△ABC是等边三角形可得∠ACB＝60°，AB＝AC，则∠EBF＝∠ACB，利用SAS证明△AEB≌△ADC，据此可得结论.
17．（2023七下·迪庆期末）如图
如图，在四边形中，，．
（1）求证：；
（2）如图，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，求证：是的平分线；
（3）如图，在的条件下，点在线段的延长线上，的平分线交于点，若，求的度数提示：需添加辅助线求解
【答案】（1）解：如图中，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：如图中，
，
，，
，
，
，
，
，
是的角平分线
（3）解：如图中，
是的平分线，
，设，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
过点作，
，
，
，
，
，
即 ，
．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质、等角的补角相等求解．
（2）利用平行线的性质证明∠EBG=∠CBG，就可得出是的角平分线．
（3）过点H作HP∥AB，设∠GDH=∠HDC=α，设∠CBG=β，由AD∥BC，可用α表示出∠BCD，可用β表示∠EBG，求的值，利用整体思想求得 ．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.2.2 平行四边形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·山亭开学考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC
2．（2023八下·番禺期中）如图，在 中，已知，，平分交边于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·红花岗模拟）如图，点是线段上的动点不与点、重合，分别以、为边向上作等边三角形和，延长、交于点，若，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·新都期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2022八下·城固期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023八下·祥云期末）如图所示，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形还需要条件（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·吉安期末）如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为
10．（2023七下·上城期末）一艘船从处出发，沿南偏东方向行驶至，然后向正东方向行驶至后又改变航向，朝与出发时相反的方向行驶至，则的度数为 ．
11．（2023八下·鞍山期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥河的两岸互相平行，垂直于河岸，现测得，两点到河岸的距离分别是米，米，河宽米，且，两点之间的水平距离为米，则的最小值是 米
12．（2023八上·浙江期中）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点P在AC的延长线上，且AC=CP=4，将△ABC沿AB方向平移得到△A'B'C'，连结PA'，PC'，则△PA'C'的周长的最小值为 .
13．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
三、解答题
14．（2023八上·丰南期中） 在等边△ABC中，D为AC中点，延长BC至点E，使CE＝DC，连接ED并延长交AB于点F．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由．
15．（2023八下·蒲城期末）如图，在中，点E在上，点F在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的平分线，且，，求的周长．
四、综合题
16．（2023·内江模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝60°，DC＝EF.
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF＝EF，求证：AE＝AD.
17．（2023七下·迪庆期末）如图
如图，在四边形中，，．
（1）求证：；
（2）如图，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，求证：是的平分线；
（3）如图，在的条件下，点在线段的延长线上，的平分线交于点，若，求的度数提示：需添加辅助线求解
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相平行的四边形为平行四边形）
A符合题意；
B：∵OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）
B符合题意；
C：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边互相相等的四边形为平行四边形）
C符合题意
D：∵AB∥DC，AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形
D不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的判定定理即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC
又∵平分交边于点，
∴，，
∴，
∴三角形CED为等腰三角形，CD=CE=5cm，
∴BE=8-5=3cm
故答案为：C.
【分析】本题主要考察平行四边形的性质、平行线的性质（一条直线相较于两条平行直线，内错角相等）以及等腰三角形（两底角相等，对应的两边相等）的性质，
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
四边形DCEF为平行四边形
∴四边形的周长为：DC+EF+DF+CE=2AC+2BC=2(AC+BC)=2AB=8
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质及平行四边形性质可得到四边形DCEF为平行四边形，再根据平行四边形性质即可求出答案。
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，∴利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴A不符合题意；
B、∵，，∴利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴B不符合题意；
C、∵，，∴无法利用一组对边平行，另一边相等的四边形是平行四边形，∴C符合题意；
D、∵，，∴利用“ASA”证出△ADO≌△CBO，∴AD=CB，再结合AD//BC，∴利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定方法逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴ EF=EC，
∴EF=BD，
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确；
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确；
∵△CEF为等边三角形，CH⊥EF，
FH=FC=，
∴CH==，
∵S平行四边形BDEF=BD·CH=，故 ③ 正确；
S△AEF=S△AEC=S△ABD=，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，再证明△EFC是等边三角形，然后根据一组对比平行且相等判定四边形BDEF是平行四边形，则可判断②；再根据SAS证明△ABD≌△BCF，则可判断①；根据等边三角形的性质和勾股定理求出FH，再计算四边形BDEF的面积，即可判断 ③ ；根据三角形的面积关系求△AEF的面积即可判断 ④ .
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A： ，一组对边平行且相等才可证明是平行四边形，故不选
B：，可证得 ，进而证明是平行四边形，故正确
C：，邻边相等，不能证明是平行四边形，故不选
D：，只能证明 ，不能证明其他，故不选
故答案为：B
【分析】熟练掌握平行四边形的判断定理。
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴AB2+AC2=32+42=52=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△BCF、△ACE、△ABD是等边三角形，
∴AC=CE=AE，BC=CF，∠BCF=∠ACE=60°，AD=AB，
∴∠ACB=∠ECF，
∴△ACB≌△ECF（SAS），
∴EF=AB=AD=3，
同理可证：△BDF≌△BAC，
∴DF=AC=AE=4，
∴ 四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE=360°-∠DAB-∠EAC-∠BAC=360°-60°-60°90°=150°，
∴∠DFE=150°，故③正确；
∴∠FDA=30°，
如图，过点A作AH⊥DF，
∵AD=AB=3，
∴AH=AD=，
∴平行四边形AEFD的面积为DF·AH=4×=6，故④正确，
∴ 正确的个数是4；
故答案为：D.
【分析】由AB2+AC2=32+42=52=BC2，可得∠BAC=90°，故①正确；△ACB≌△ECF（SAS），△BDF≌△BAC（SAS），可得EF=AB=AD=3，DF=AC=AE=4，根据两组对边分别相等可证四边形AEFD是平行四边形，故②正确；利用平行四边形的性质可得∠DFE=∠DAE，由周角的定义求出∠DAE=150°，即得∠DFE=150°，故③正确；从而可得∠FDA=30°，利用直角三角形的性质求出DF边上的高，根据平行四边形的面积公式求出平行四边形AEFD的面积，即可判断④.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
9．【答案】6
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=3×（4×）=6．
即四边形AEFD的面积是6．
故答案为：6．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
10．【答案】
【知识点】钟面角、方位角；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：∠MOA= 55°，
∴∠AOB = 35°，
∵AO∥ BC，AC∥OB，
∴四边形AOBC是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOB=35°；
故答案为：35°.
【分析】先根据方向角的定义画出示意图，再利用平行四边形的性质即可解答.
11．【答案】18
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：解：过点A作AP⊥FG，垂足为P，在AP上截取AH=MN=3米，连接HB交DE于点N，过点N作NM⊥FG，垂足为M，过点B作BC⊥AP，交AP的延长线于点C，交DE于点Q，如图：
由题意得：AH=MN，AH∥MN，
∴四边形AHNM是平行四边形，
∴AM=HN，
∴AM+BN=HN+BN=HB，
此时AM+BN的值最小，且最小值即为HB的长，
在Rt△HBC中，BC=12米，HC=AC-AH=5+3+4-3=9（米），
∴（米），
∴AM+BN的最小值为15米，
∴AM+MN+NB的最小值=15+3=18米，
故答案为：18.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边相等；可得AM=HN，求得AM+BN=HN+BN=HB，推得此时AM+BN的值最小，且最小值即为HB的长；根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；求得HB的值，即可求解得出结论.
12．【答案】+4
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由题意可得AC=A'C'=CP=4且AC//A'C'//CP，因为PA'C'的周长=PA'+A'C'+C'P=4+PA'+C'P，当PA'+C'P最小时，PA'C'的周长最小。
连结A'C，
因为A'C'=CP且A'C'//CP，所以四边形A'CPC'是平行四边形。所以A'C=C'P，即A'C+A'P取最小值。
过B点作C关于AB'的对称点E，连结A'E，即A'E=A'C，当E、A'、P在同一直线上时，A'C+A'P最短，A'C+A'P=EP===4.
所以
故答案为： △4+4 .
【分析】利用平行四边形的条件把C'P转换到A'C，再利用作对称点求出最小值。
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，等边三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质，勾股定理即可求出答案。
14．【答案】（1）证明：连接，
△ABC是等边三角形，
，，
D为AC的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
△DBE是等腰三角形；
（2）解：过作，连接，
是等边三角形
D为AC的中点，，
是等边三角形
，，
△ABC是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
∴∠AFD=180°-60°-30°=90°，
是的中点
为AC的中点，
．
．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据等边三角形的性质得到，，进而根据题意得到，从而结合题意证明，再根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）过作，连接，先根据等边三角形的性质得到，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，，从而根据平行四边形的判定与性质即可得到，再结合题意进行转化即可求解。
15．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
的周长为：．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，结合AE=CF可得BE=DF，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形．
（2）由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADE=∠EDC=∠AED，可证为等腰三角形，可得AE=AD=3，从而求出AB的长，根据的周长为即可求解.
16．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠EFB＝60°，
∴∠ABC＝∠EFB，
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），
∵DC＝EF，
∴四边形EFCD是平行四边形
（2）证明：连接BE
∵BF＝EF，∠EFB＝60°，
∴△EFB是等边三角形，
∴EB＝EF，∠EBF＝60°
∵DC＝EF，
∴EB＝DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠EBF＝∠ACB，
∴△AEB≌△ADC，
∴AE＝AD.
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，则∠ABC＝∠EFB，推出EF∥DC，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）连接BE，易得△EFB是等边三角形，则EB＝EF，∠EBF＝60°，结合DC＝EF可得EB＝DC，由△ABC是等边三角形可得∠ACB＝60°，AB＝AC，则∠EBF＝∠ACB，利用SAS证明△AEB≌△ADC，据此可得结论.
17．【答案】（1）解：如图中，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：如图中，
，
，，
，
，
，
，
，
是的角平分线
（3）解：如图中，
是的平分线，
，设，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
过点作，
，
，
，
，
，
即 ，
．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质、等角的补角相等求解．
（2）利用平行线的性质证明∠EBG=∠CBG，就可得出是的角平分线．
（3）过点H作HP∥AB，设∠GDH=∠HDC=α，设∠CBG=β，由AD∥BC，可用α表示出∠BCD，可用β表示∠EBG，求的值，利用整体思想求得 ．
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