2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.4 三角形的中位线同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2018·海南）如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
2．（2020八上·北京市期中）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于 （ ）
A．42° B．48° C．52° D．58°
3．（2023九上·杭州开学考）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2023九上·福州开学考）如图，在 中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·苍南模拟）如图，在三角形ABC中，AB=11，AC=15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC=（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
7．（2023八上·龙泉期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1.5，延长BC至E，使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连结DE，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·绥阳月考）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2016·历城模拟）如图，在 ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为 ．
10．（2023八上·赣州期中）如图，在中，点E是AC的中点，点F是BE的中点，且，则阴影部分的面积为 .
11．（2023九上·苏州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，N；再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，画射线AP，交BC于点D，点E、F分别是AB，AD的中点 ．
12．（2023九上·潼南月考）已知中，点为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，交于，连接．若，则的长为
13．（2023九上·长春月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在直线AC上，AD=1，过点D作DE∥AB交直线BC于点E，连接'BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为
三、解答题
14．（2023九上·北京市月考）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝α，D为AB的中点，过D作DE⊥AC于E，连接CD，F为CD的中点．
（1）图1中，BF与EF的数量关系是 ，∠BFE＝ （用含α的式子表示）；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2所示位置，试判断（1）中的两个结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论．
15．（2023八下·石景山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
四、综合题
16．（2023九上·渠县开学考）如图，四边形ABCD中，，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
17．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE= （BC+CD）=9，
∵BD=12，
∴OD= BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形性质得出BC+CD=18，OD= BD=6，根据三角形的中位线定理得出OE+DE= （BC+CD）=9，从而根据三角形周长的计算方法，得出答案。
2．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠A=∠CDE=48°，
∵将△CDE沿着DE折叠得到△PDE，
∴∠PDE=∠CDE=48°，
∵DE//AB，
∴∠APD=∠PDE=48°，
故答案为：B.
【分析】利用中位线的性质可得DE//AB，证出∠A=∠CDE=48°，再结合∠PDE=∠CDE=48°，可得∠APD=∠PDE=48°.
3．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，分别是，的中点，，，
，是的中点，，，.
故答案为：B.
【分析】根据中位线得，再根据直角三角形斜边中线定理得，进而求解 .
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接DG，EF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE∥DF，且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴点M是DE的中点，
∵点N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
∴MN=，
∵BG=3，CG=1，
∴DC=BC=4，
再Rt△DCG中，DG=，
∴MN=.
故答案为：B。
【分析】首先可证得MN是△EDG的中位线，从而得出MN=，然后根据勾股定理求得DG的长，从而得出MN的长度即可。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 中 ，，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
在直角中，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得，利用三角形中位线定理求出，解直角即可求得.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H.
∵点M是BC的中点
易证△ABM≌△ECM
∴CE=AB=11，A=ME
∵AD是∠BAC的角平分线，MF//AD，且AB//CH
∴∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF
∴AC=CH=15
∴EH=CH-CE=15-11=4
在△AEH中，MG//AH，AM=ME
∴HG=GE=HE=2
∴CF=CG=CE+EG=11+2=13
故答案为：B.
【分析】本题已知点M是BC的中点，AM是△ABC的中线，将中线倍长是常见的解题方法；通过过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H，实现中线倍长构造△ABM≌△ECM（SAS），同时因为AD是∠BAC的角平分线且MF//AD，AB//CH，由平行线的性质可得多个角相等，∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF，于是CE=AB=11，AC=CH=15，EH=CH-CE=15-11=4；由全等所得AM=ME，可知MG为△AEH的中位线，故HG=GE=HE=2，所以CF=CG=CE+EG=11+2=13.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点F，如下图：
∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，
∴
∴
在中，
设则
∵
即
解得：
∴
∵
∴为的中位线，
∴
故答案为：D.
【分析】连接BD交AC于点F，根据折叠的性质得到：根据勾股定理求出AC的长，设则再利用勾股定理列方程解出m，最后根据三角形中位线定理即可求出DE的长.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过B点作于N点，如图，
∵中，，，为的中线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴根据垂线段最短可知：当B、E、F三点共线，且此线与垂直时有最小值，
∴的最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【分析】连接，过B点作于N点，根据三角形中位线定理可得垂直平分，则，根据垂线段最短可得当B、E、F三点共线，且此线与垂直时有最小值，再根据三角形面积公式可得，再代入值即可求出答案.
9．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，
∴AB=2EF=6，
又∵AB=CD，
∴CD=6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB．
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点E是AC的中点，，
∴AE=AC，
∴，
∵点F是BE的中点，
∴，
，
∴，
故答案为： .
【分析】根据三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形的性质计算即可。
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H．如图：
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
根据题意可得AD平分∠CAB，
又∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH，
设DC=DH=x，
则S△ABC=S△ADC+S△ABD，
有
解得：，
∴，
∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AB的值，根据题意可得AD平分∠CAB，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DC=DH，设DC=DH=x，根据三角形的面积公式可求得x的值，求得BD的值，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半即可求解.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点D作DMBC，DNAE，垂足分别为M、N，连接BE交CD与点G，如图，
在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，由勾股定理有
点D为斜边AB的中点，
在△DBC中，DC=DB，DMBC，
由折叠性质可知，DC垂直平分BE，∠CDB=∠CDE，
在△ADE中，AD=DE，DNAE，
DN是△ABE的中位线，
DN//BE，
在△DBC中，由等面积法得
在Rt△ADN中，
，
故答案为：.
【分析】根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得等腰三角形的边长，作辅助线可将所求问题转化成求BE，由折叠性质可得CD是BE的垂直平分线，由三角形的等面积法进一步求得BG，进而求出BE，由等腰三角形的性质，可知DN是三角形的中位线，得到DN等于BE的一半，求出DN，再根据勾股定理求出AN，进而求出AE.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】过O作ONBC交BC于N，（连接OC）
当D在线段AC上，CD=AC-AD=3-1=2
点O是线段BD的中点
点N是线段BC的中点（中位线定理的逆定理）
(中位线定理，也可以在直角三角形OCN中应用勾股定理求ON)
是等腰直角三角形即CD=CE=2
当D在CA的延长线上时，CD=AC+AD=3+1=4
故填：
【分析】根据题意，从问题入手，想办法把OE放在直角三角形中来求，由此想到过O作ONBC交BC于N，这样问题转化为求直角三角形ONE的两条直角边；根据中位线的逆定理或者勾股定理，可求ON、CN；题中未明确D的具体位置，故分两种情况：当D在线段AC上和当D在CA的延长线上两种情况。
14．【答案】（1）相等；180°－2α
（2）解：成立．证明：①先证BF＝EF
延长CB至M，使得BM＝CB连接AM，MD；
延长DE至N，使得EN＝DE连接AN，CN．如图
∵∠ABC＝90°∴AB⊥MC
又∵BM＝CB∴AM＝AC，∠MAC＝2α
同理AD＝AN，∠DAN＝2α
∴∠MAC＋∠DAC＝∠DAC＋∠DAN
即∠MAD＝∠NAC，∴△AMD≌△CAN
∴MD＝CN，∠AMD＝∠ACN
∵BM＝CB，∴B为MC的中点
又∵F为CD的中点，∴
同理
∵MD＝CN，∴BF＝EF；
②再证∠BFE＝180°－2α
延长MD分别交EF、CN于点T、K如图，
∵ ， ，∴∠BFE＝∠MTE＝∠MKN
∵∠MKN＝∠KMC＋∠KCM＝∠KMC＋∠NCA＋∠ACM
＝∠KMC＋∠AMD＋∠ACM＝∠AMC＋∠ACM
＝2∠ACM＝2（90°－α）＝180°－2α
∴∠BFE＝180°－2α
或如图由△AMD≌△CAN
得∠3＝∠4
又∵∠1＝∠2，∴∠MKC＝∠MAC＝2a
∴∠BFE＝180°－2α
法二：取AC的中点P，取AD的中点Q，连接QE，QF，BP，PF
可证△BPF≌△FQE得BF＝EF
∠BFE＝∠BFP＋∠PFQ＋∠QFE
＝∠BFP＋∠PBF＋∠PFQ
＝180°－∠BPF＋∠PFQ
＝180°－∠BPC－∠CPF＋∠PFQ
＝180°－∠BPC
＝180°－2α
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1） ∵∠ABC＝90°，F为CD的中点，
∴，
∴∠FEC=∠FCE，
∴∠DFE=∠FEC+∠FCE=2∠FCE，
∵DE⊥AC ，
∴∠DEC＝90°，又F为CD的中点，
∴，
∴BF=EF；∠FBC=∠FCB，
∴∠DFB=∠FBC+∠FCB=2∠FCB，
∴∠BFE =2 ∠BCE=2(90°-α )= 180°－2α 。
故答案为： 相等 ，180°－2α。
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等腰三角形的性质求解即可；
（2）延长CB至M，使得BM＝CB连接AM，MD； 延长DE至N，使得EN＝DE连接AN，CN．利用（1）中的结论，结合中位线，三角形的全等求解。
15．【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
16．【答案】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴AF∥BC．
∴∠CBE=∠DFE，∠BCE=∠FDE．
∵E是边CD的中点，
∴CE=DE．
∴△BCE≌△FDE（AAS）．
∴BE=EF．
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）解：若△BCD是等腰三角形，
①若BD=BC=3 ．
在Rt△ABD中，AB=．
∴四边形BDFC的面积为S=×3=6；
②若BC=DC=3，
过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG-AD=3-1=2，
在Rt△CDG中，由勾股定理得， ，
∴四边形BDFC的面积为S=．
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）证明△BCE≌△FDE（AAS），可得BE=EF，即可得证；
（2）①若BD=BC=3 ，勾股定理求得AB，进而根据平行四边形的性质求面积即可求解；②若BC=DC=3，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形， 根据勾股定理求得CG，进而根据面积公式，即可求解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立．
17．【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.4 三角形的中位线同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2018·海南）如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE= （BC+CD）=9，
∵BD=12，
∴OD= BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形性质得出BC+CD=18，OD= BD=6，根据三角形的中位线定理得出OE+DE= （BC+CD）=9，从而根据三角形周长的计算方法，得出答案。
2．（2020八上·北京市期中）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于 （ ）
A．42° B．48° C．52° D．58°
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，
∴∠A=∠CDE=48°，
∵将△CDE沿着DE折叠得到△PDE，
∴∠PDE=∠CDE=48°，
∵DE//AB，
∴∠APD=∠PDE=48°，
故答案为：B.
【分析】利用中位线的性质可得DE//AB，证出∠A=∠CDE=48°，再结合∠PDE=∠CDE=48°，可得∠APD=∠PDE=48°.
3．（2023九上·杭州开学考）如图，在中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，分别是，的中点，，，
，是的中点，，，.
故答案为：B.
【分析】根据中位线得，再根据直角三角形斜边中线定理得，进而求解 .
4．（2023·青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接DG，EF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE∥DF，且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴点M是DE的中点，
∵点N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
∴MN=，
∵BG=3，CG=1，
∴DC=BC=4，
再Rt△DCG中，DG=，
∴MN=.
故答案为：B。
【分析】首先可证得MN是△EDG的中位线，从而得出MN=，然后根据勾股定理求得DG的长，从而得出MN的长度即可。
5．（2023九上·福州开学考）如图，在 中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 中 ，，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
在直角中，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得，利用三角形中位线定理求出，解直角即可求得.
6．（2023九上·苍南模拟）如图，在三角形ABC中，AB=11，AC=15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC=（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H.
∵点M是BC的中点
易证△ABM≌△ECM
∴CE=AB=11，A=ME
∵AD是∠BAC的角平分线，MF//AD，且AB//CH
∴∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF
∴AC=CH=15
∴EH=CH-CE=15-11=4
在△AEH中，MG//AH，AM=ME
∴HG=GE=HE=2
∴CF=CG=CE+EG=11+2=13
故答案为：B.
【分析】本题已知点M是BC的中点，AM是△ABC的中线，将中线倍长是常见的解题方法；通过过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H，实现中线倍长构造△ABM≌△ECM（SAS），同时因为AD是∠BAC的角平分线且MF//AD，AB//CH，由平行线的性质可得多个角相等，∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF，于是CE=AB=11，AC=CH=15，EH=CH-CE=15-11=4；由全等所得AM=ME，可知MG为△AEH的中位线，故HG=GE=HE=2，所以CF=CG=CE+EG=11+2=13.
7．（2023八上·龙泉期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1.5，延长BC至E，使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连结DE，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点F，如下图：
∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，
∴
∴
在中，
设则
∵
即
解得：
∴
∵
∴为的中位线，
∴
故答案为：D.
【分析】连接BD交AC于点F，根据折叠的性质得到：根据勾股定理求出AC的长，设则再利用勾股定理列方程解出m，最后根据三角形中位线定理即可求出DE的长.
8．（2023九上·绥阳月考）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过B点作于N点，如图，
∵中，，，为的中线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴根据垂线段最短可知：当B、E、F三点共线，且此线与垂直时有最小值，
∴的最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【分析】连接，过B点作于N点，根据三角形中位线定理可得垂直平分，则，根据垂线段最短可得当B、E、F三点共线，且此线与垂直时有最小值，再根据三角形面积公式可得，再代入值即可求出答案.
二、填空题
9．（2016·历城模拟）如图，在 ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为 ．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，
∴AB=2EF=6，
又∵AB=CD，
∴CD=6．
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB．
10．（2023八上·赣州期中）如图，在中，点E是AC的中点，点F是BE的中点，且，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 点E是AC的中点，，
∴AE=AC，
∴，
∵点F是BE的中点，
∴，
，
∴，
故答案为： .
【分析】根据三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形的性质计算即可。
11．（2023九上·苏州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，N；再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，画射线AP，交BC于点D，点E、F分别是AB，AD的中点 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H．如图：
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
根据题意可得AD平分∠CAB，
又∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC=DH，
设DC=DH=x，
则S△ABC=S△ADC+S△ABD，
有
解得：，
∴，
∵点E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AB的值，根据题意可得AD平分∠CAB，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DC=DH，设DC=DH=x，根据三角形的面积公式可求得x的值，求得BD的值，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半即可求解.
12．（2023九上·潼南月考）已知中，点为斜边的中点，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，交于，连接．若，则的长为
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点D作DMBC，DNAE，垂足分别为M、N，连接BE交CD与点G，如图，
在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，由勾股定理有
点D为斜边AB的中点，
在△DBC中，DC=DB，DMBC，
由折叠性质可知，DC垂直平分BE，∠CDB=∠CDE，
在△ADE中，AD=DE，DNAE，
DN是△ABE的中位线，
DN//BE，
在△DBC中，由等面积法得
在Rt△ADN中，
，
故答案为：.
【分析】根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得等腰三角形的边长，作辅助线可将所求问题转化成求BE，由折叠性质可得CD是BE的垂直平分线，由三角形的等面积法进一步求得BG，进而求出BE，由等腰三角形的性质，可知DN是三角形的中位线，得到DN等于BE的一半，求出DN，再根据勾股定理求出AN，进而求出AE.
13．（2023九上·长春月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在直线AC上，AD=1，过点D作DE∥AB交直线BC于点E，连接'BD，点O是线段BD的中点，连接OE，则OE的长为
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】过O作ONBC交BC于N，（连接OC）
当D在线段AC上，CD=AC-AD=3-1=2
点O是线段BD的中点
点N是线段BC的中点（中位线定理的逆定理）
(中位线定理，也可以在直角三角形OCN中应用勾股定理求ON)
是等腰直角三角形即CD=CE=2
当D在CA的延长线上时，CD=AC+AD=3+1=4
故填：
【分析】根据题意，从问题入手，想办法把OE放在直角三角形中来求，由此想到过O作ONBC交BC于N，这样问题转化为求直角三角形ONE的两条直角边；根据中位线的逆定理或者勾股定理，可求ON、CN；题中未明确D的具体位置，故分两种情况：当D在线段AC上和当D在CA的延长线上两种情况。
三、解答题
14．（2023九上·北京市月考）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝α，D为AB的中点，过D作DE⊥AC于E，连接CD，F为CD的中点．
（1）图1中，BF与EF的数量关系是 ，∠BFE＝ （用含α的式子表示）；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2所示位置，试判断（1）中的两个结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论．
【答案】（1）相等；180°－2α
（2）解：成立．证明：①先证BF＝EF
延长CB至M，使得BM＝CB连接AM，MD；
延长DE至N，使得EN＝DE连接AN，CN．如图
∵∠ABC＝90°∴AB⊥MC
又∵BM＝CB∴AM＝AC，∠MAC＝2α
同理AD＝AN，∠DAN＝2α
∴∠MAC＋∠DAC＝∠DAC＋∠DAN
即∠MAD＝∠NAC，∴△AMD≌△CAN
∴MD＝CN，∠AMD＝∠ACN
∵BM＝CB，∴B为MC的中点
又∵F为CD的中点，∴
同理
∵MD＝CN，∴BF＝EF；
②再证∠BFE＝180°－2α
延长MD分别交EF、CN于点T、K如图，
∵ ， ，∴∠BFE＝∠MTE＝∠MKN
∵∠MKN＝∠KMC＋∠KCM＝∠KMC＋∠NCA＋∠ACM
＝∠KMC＋∠AMD＋∠ACM＝∠AMC＋∠ACM
＝2∠ACM＝2（90°－α）＝180°－2α
∴∠BFE＝180°－2α
或如图由△AMD≌△CAN
得∠3＝∠4
又∵∠1＝∠2，∴∠MKC＝∠MAC＝2a
∴∠BFE＝180°－2α
法二：取AC的中点P，取AD的中点Q，连接QE，QF，BP，PF
可证△BPF≌△FQE得BF＝EF
∠BFE＝∠BFP＋∠PFQ＋∠QFE
＝∠BFP＋∠PBF＋∠PFQ
＝180°－∠BPF＋∠PFQ
＝180°－∠BPC－∠CPF＋∠PFQ
＝180°－∠BPC
＝180°－2α
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1） ∵∠ABC＝90°，F为CD的中点，
∴，
∴∠FEC=∠FCE，
∴∠DFE=∠FEC+∠FCE=2∠FCE，
∵DE⊥AC ，
∴∠DEC＝90°，又F为CD的中点，
∴，
∴BF=EF；∠FBC=∠FCB，
∴∠DFB=∠FBC+∠FCB=2∠FCB，
∴∠BFE =2 ∠BCE=2(90°-α )= 180°－2α 。
故答案为： 相等 ，180°－2α。
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等腰三角形的性质求解即可；
（2）延长CB至M，使得BM＝CB连接AM，MD； 延长DE至N，使得EN＝DE连接AN，CN．利用（1）中的结论，结合中位线，三角形的全等求解。
15．（2023八下·石景山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
四、综合题
16．（2023九上·渠县开学考）如图，四边形ABCD中，，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
【答案】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴AF∥BC．
∴∠CBE=∠DFE，∠BCE=∠FDE．
∵E是边CD的中点，
∴CE=DE．
∴△BCE≌△FDE（AAS）．
∴BE=EF．
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）解：若△BCD是等腰三角形，
①若BD=BC=3 ．
在Rt△ABD中，AB=．
∴四边形BDFC的面积为S=×3=6；
②若BC=DC=3，
过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG-AD=3-1=2，
在Rt△CDG中，由勾股定理得， ，
∴四边形BDFC的面积为S=．
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）证明△BCE≌△FDE（AAS），可得BE=EF，即可得证；
（2）①若BD=BC=3 ，勾股定理求得AB，进而根据平行四边形的性质求面积即可求解；②若BC=DC=3，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形， 根据勾股定理求得CG，进而根据面积公式，即可求解；③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立．
17．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
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