1.1锐角三角函数第1课时正切课件(共31张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册

(共31张PPT)
1.1锐角三角函数
第1课时 正切
1.理解正切的概念，感受正切与现实生活的联系；
2.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.
学习目标
难点
重点
梯子是我们日常生活中常见的物体.如何比较这两个梯子的倾斜程度呢？
新课引入
通过观察或者测量倾斜角！
铅直高度
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度
A
C
B
倾斜角越大，梯子越陡；倾斜角越小，梯子越缓
(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
A
B
C
D
E
F
5m
5m
2m
2.5m
梯子AB更陡.
依据：当铅直高度一样，梯子EF的水平宽度比梯子AB的大，所以梯子AB更陡.
(2)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
A
B
C
D
E
F
4m
3m
2m
2m
梯子AB更陡.
依据：当梯子的水平宽度一样，梯子EF的铅直高度比梯子AB的小，所以梯子AB更陡.
(3)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
A
B
C
D
E
F
4m
2m
2m
1m
铅直高度与水平宽度都不一样
比较铅直高度与水平宽度的比值
(3)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
梯子AB和EF一样陡.
依据：当两个梯子的铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡.
A
B
C
D
E
F
4m
2m
2m
1m
同学们，咱们可以用三角形的三边比值来表示哪个梯子更陡，比如铅直高度与水平宽度的比值.
那么能否用铅直高度与斜边的比值或者水平宽度与斜边的比值呢 大家可以动手计算一下下面的习题,看看你有什么发现？
A
B
C
D
E
F
4m
3m
2m
1m
(4)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
梯子EF更陡.
依据：铅直高度与水平宽度的比值：比值越大，梯子越陡.
铅直高度与斜边的比值：
水平宽度与斜边的比值：
<
<
>
一 正切的定义
思考
如图,小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗？
A
C1
C2
B2
B1
新知学习
两个直角三角形相似
(1)直角△AB1C1和直角△AB2C2有什么关系
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3 )呢
由此你得出什么结论
A
B1
C2
C1
B2
C3
B3
相等
当梯子的倾斜角确定一定时，它的竖直高度与水平宽度的比值一定.
有什么关系？
归纳
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
tanA=
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的对边
∠A的邻边
当锐角A变化时，tanA的值也随之变化.
思考
如图，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
tanA的值越大，梯子越陡.
温馨提示
1.tan A不表示“tan”乘“A”. tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切.
2.tan A中习惯省去角的符号“∠”，tan∠BAC不省略角的符号“∠”.
3.tan A＞0且没有单位，它表示一个比值，tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
4.求正切， 寻找这个角所在的直角三角形,如果没有直角三角形构造直角去求.
思考
锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
A
B
C
┌
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.
例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中,
β
6m
┐
8m
α
5m
┌
13m
乙梯中,
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
甲
乙
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
1.倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
2.利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角越大，则夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”．
归纳
例2 在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
易知BD=5，由勾股定理得AD=12.
二 正切与坡度(角)的关系
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角；
坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
α
铅直高度
水平宽度
水平高度
铅直高度
坡度=
坡角
坡角越大，坡度越大，坡面就越陡.
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:
100m
60m
┌
α
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是( )
A. B. 3
C. D.
D
随堂练习
2 . 一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值(　　)
A．都没有变化 　　　　　
B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 　　　　　
D．不能确定是否发生变化
A
3. 如图， 是河堤横断面的迎水坡，其中河堤的高 ，水平距离 ，则斜坡 的坡度为( @1@ )
A. B. C. D.
C
4. 如图，有一斜坡 ，坡顶离地面的高 的长为 ，斜坡 的坡度为 ，现有一辆小车从 点以 的速度沿 爬坡，则当爬到坡顶 处时，需要时间为_ _______ .(结果保留根号)

5. 如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
解： ∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，
∴D是AC的中点．
B
C
A
┌
D
1.5
4
∴DC＝AD＝ AC＝2.
在Rt△BCD中，tan C＝ ＝ ＝ .
求正切经常通过构造直角三角形来求！
6. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 N 在 BC上，M、N 两点关于对角线 AC 对称，若 DM = 1，求 tan∠ADN的值.
A
D
B
N
M
C
解：由正方形的性质可知，
∠ADN=∠DNC，BC = DC = 4,
∵ M、N 两点关于对角线 AC 对称, ∴ BN = DM = 1.
7.如图，在平面直角坐标系中，P(x,y) 是第一象限内直线 y = -x+6上的点， 点 A(5,0) ，O 是坐标原点，△PAO 的面积为 S .
（1）求 S 与 y 的函数关系式；
（2）当 S = 10 时，求 tan∠PAO 的值.
解：(1)过点 P 作 PM⊥OA 于点 M，
M
（2）当 S = 10 时 , 求 tan∠PAO 的值.
解：
又∵点 P 在直线 y = -x+6上，
∴x = 2.
∴ AM = OA-OM = 5-2 = 3.
∴ y = 4.
M
坡度
定义
正切
与梯子倾斜
程度的关系
tanA=
∠A的邻边
∠A的对边
∠A越大，tanA越大,梯子越陡
课堂小结