1.1锐角三角函数第2课时正弦和余弦课件(共31张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.1锐角三角函数第2课时正弦和余弦课件(共31张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-29 14:58:32 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
1.1锐角三角函数
第2课时正弦和余弦
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义；
2.能够运用正弦、余弦表示直角三角形中两边的比.
3.能够根据直角三角形的边角关系进行简单计算
学习目标
难点
重点
意大利比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，塔顶中心点偏离垂直中心线 2.1 m. 1972年比萨地区发生地震，这座高 54.5 m 的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线 5.2m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从 1990 年对斜塔进行维修纠偏，2001年囤工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了 43.8 cm.
新课引入
我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角 ”来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角 的度数吗
5.2
54.5
分析：在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽像成什么数学问题？
问题可以转化为：已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数.
5.2
54.5
∟
A
B
C
想一想怎么求出来的度数呢？
一 正弦的定义
探究
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
新知学习
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以△ABC∽△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
A
B
C
A'
B'
C'
归纳
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ，即
A
B
C
∠A的对边
斜边
∠A的邻边
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.
解： 在Rt△ABC中，
即
∴ BC=200×0.6=120.
A
B
C
针对训练
1.如图，在下列Rt△ABC 中，∠C = 90°，分别求两个三角形 sin A 和 sin B 的值.
B
C
A
5
13
∟
B
C
A
3
4
∟
B
C
A
5
13
∟
AC = =12.
因此 sin A =
sin B =
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：
B
C
A
3
4
∟
AB = =5.
sin B =
因此 sin A =
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：
二 余弦的定义
探究
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以△ABC∽△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
A
B
C
A'
B'
C'
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
归纳
A
B
C
∠A的对边
斜边
∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
温馨提示
定义中应注意的几个问题:
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角.
（做题时注意数形结合，构造直角三角形）.
2.sinA,cosA是一个完整的符号，不是sin与A、cos与A的乘积.
3.sinA,cosA是一个比值，没有单位.
定义中应注意的几个问题:
4.sinA,cosA分别表示∠A的正弦、余弦，习惯省去“∠”符号，但sin∠1、 cos∠1、sin∠ABC、cos∠ABC一般带上“∠”符号。
5.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 这里并没有强调三个字母表示角时怎么写？
温馨提示
例2 如图，在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB.
5
5
6
A
B
C
┌
D
提示:过点A作AD⊥BC于D.
解：过点A作AD⊥BC于点D，则在Rt△ABD中，AB=5，易知BD=3，AD=4.
如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？
sinA的值越大，梯子的倾斜程度越陡；
cosA的值越小，梯子的倾斜程度越陡。
思考
正弦和余弦的相互转化
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA= ， AC=10，AB等于多少呢？sinB呢？
A
C
B
解：在Rt△ABC中， AC=10，
∴AB=
∴
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
sinA=cosB
通过上题，我们发现sinA与cosB有什么样的关系呢
思考
归纳
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AB＝5，BC＝3，则cos B的值是( )
A.
B.
C.
D.
A
针对训练
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝40， 求△ABC的周长和面积．
解：∵sin A＝ ∴AB＝
△ABC的面积为 BC·AC＝ ×40×30＝600.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝120，
又∵AC＝
∵BC＝40，sin A＝ ，∴AB＝50.
3.在Rt△ABC 中,锐角A的对边和邻边同时扩大10倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
C
随堂练习
1. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，若 ，则 _ ____.
菱形对角线相互垂直，即AC⊥BD
△AOB为直角三角形
根据勾股定理
=
2. 如图，在等腰 中， ， ，则
_ ______， _ __ __.
3. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1， 的
顶点 ， ， 都在格点上，则( @26@ )
A.
C.
A
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、tanA的值．
A
B
C
解：∵cos A＝
∴设AC=15k，则AB=17k，
∴BC=15k，则AB=17k，
∴
∴
5．如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，BE = 3AE，求 sin∠ECM.
解：设正方形ABCD的边长为 4x，
∵M 是 AD 的中点，BE = 3AE，
∴ AM ＝ DM ＝ 2x，AE ＝ x，
BE ＝ 3x．由勾股定理可知，
A
M
E
D
B
C
由勾股定理逆定理可知，△EMC 为直角三角形.
A
M
E
D
B
C
1.结合图象请说出锐角的正弦、余弦的概念.
在Rt△ABC中
2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：
sinA的值越大,梯子越陡;
cosA的值越小,梯子越陡.
课堂小结
1.1锐角三角函数
第2课时正弦和余弦
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义；
2.能够运用正弦、余弦表示直角三角形中两边的比.
3.能够根据直角三角形的边角关系进行简单计算
学习目标
难点
重点
意大利比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，塔顶中心点偏离垂直中心线 2.1 m. 1972年比萨地区发生地震，这座高 54.5 m 的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线 5.2m，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险．当地从 1990 年对斜塔进行维修纠偏，2001年囤工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离减少了 43.8 cm.
新课引入
我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角 ”来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角 的度数吗
5.2
54.5
分析：在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽像成什么数学问题？
问题可以转化为：已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数.
5.2
54.5
∟
A
B
C
想一想怎么求出来的度数呢？
一 正弦的定义
探究
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
新知学习
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以△ABC∽△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
A
B
C
A'
B'
C'
归纳
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ，即
A
B
C
∠A的对边
斜边
∠A的邻边
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.
解： 在Rt△ABC中，
即
∴ BC=200×0.6=120.
A
B
C
针对训练
1.如图，在下列Rt△ABC 中，∠C = 90°，分别求两个三角形 sin A 和 sin B 的值.
B
C
A
5
13
∟
B
C
A
3
4
∟
B
C
A
5
13
∟
AC = =12.
因此 sin A =
sin B =
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：
B
C
A
3
4
∟
AB = =5.
sin B =
因此 sin A =
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：
二 余弦的定义
探究
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能试着分析一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以△ABC∽△A'B'C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．
A
B
C
A'
B'
C'
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
归纳
A
B
C
∠A的对边
斜边
∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
温馨提示
定义中应注意的几个问题:
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角.
（做题时注意数形结合，构造直角三角形）.
2.sinA,cosA是一个完整的符号，不是sin与A、cos与A的乘积.
3.sinA,cosA是一个比值，没有单位.
定义中应注意的几个问题:
4.sinA,cosA分别表示∠A的正弦、余弦，习惯省去“∠”符号，但sin∠1、 cos∠1、sin∠ABC、cos∠ABC一般带上“∠”符号。
5.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 这里并没有强调三个字母表示角时怎么写？
温馨提示
例2 如图，在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB.
5
5
6
A
B
C
┌
D
提示:过点A作AD⊥BC于D.
解：过点A作AD⊥BC于点D，则在Rt△ABD中，AB=5，易知BD=3，AD=4.
如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？
sinA的值越大，梯子的倾斜程度越陡；
cosA的值越小，梯子的倾斜程度越陡。
思考
正弦和余弦的相互转化
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA= ， AC=10，AB等于多少呢？sinB呢？
A
C
B
解：在Rt△ABC中， AC=10，
∴AB=
∴
如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
sinA=cosB
通过上题，我们发现sinA与cosB有什么样的关系呢
思考
归纳
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AB＝5，BC＝3，则cos B的值是( )
A.
B.
C.
D.
A
针对训练
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝40， 求△ABC的周长和面积．
解：∵sin A＝ ∴AB＝
△ABC的面积为 BC·AC＝ ×40×30＝600.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝120，
又∵AC＝
∵BC＝40，sin A＝ ，∴AB＝50.
3.在Rt△ABC 中,锐角A的对边和邻边同时扩大10倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
C
随堂练习
1. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，若 ，则 _ ____.
菱形对角线相互垂直，即AC⊥BD
△AOB为直角三角形
根据勾股定理
=
2. 如图，在等腰 中， ， ，则
_ ______， _ __ __.
3. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1， 的
顶点 ， ， 都在格点上，则( @26@ )
A.
C.
A
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、tanA的值．
A
B
C
解：∵cos A＝
∴设AC=15k，则AB=17k，
∴BC=15k，则AB=17k，
∴
∴
5．如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，BE = 3AE，求 sin∠ECM.
解：设正方形ABCD的边长为 4x，
∵M 是 AD 的中点，BE = 3AE，
∴ AM ＝ DM ＝ 2x，AE ＝ x，
BE ＝ 3x．由勾股定理可知，
A
M
E
D
B
C
由勾股定理逆定理可知，△EMC 为直角三角形.
A
M
E
D
B
C
1.结合图象请说出锐角的正弦、余弦的概念.
在Rt△ABC中
2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：
sinA的值越大,梯子越陡;
cosA的值越小,梯子越陡.
课堂小结