1.2 30°，45°，60°角的三角函数值课件(共22张PPT)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册

(共22张PPT)
1.2 30°,45°,60°角的三角函数值
学习目标
难点
重点
1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义.
2. 能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算
3.能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应的锐角的度数.
新课引入
如图所示，在 Rt△ABC中，∠C=90°.
b
A
B
C
a
┌
c
问题2 观察一副三角尺，回答下列问题.
（1）这副三角尺包含有几个锐角？它们分别等于多少度？
3个，分别等于30°，45°，60°.
新知学习
30°
60°
45°
45°
一、30°，45°，60°角的三角函数值
（2）用手中的三角板推出30°， 45°，60°角的三角函数值.
30°
60°
45°
45°
方法一：度量法
是否还有其他方法呢？我们一起探究一下吧！
（3）观察30°角的直角板，当看到30°能想到我们之前学过的知识，30°所对的直角边是斜边的一半，那么这里对边和斜边的比就是我们学的sin30°，你能自己独立求出其他的三角函数值吗？与同伴进行交流.
30°
60°
45°
45°
解：设 30° 所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a，则另一条直角边长为
∴sin 30° = cos 30° =
tan 30° = sin 60° =
cos 60° = tan 60° =
30°
60°
a
2a
方法二：设参法
45°
45°
设两条直角边长为 a，则斜边长为
∴sin 45° =
cos 45° =
tan 45° = =1.
a
a
请同学们运用上述方法求出45°角的正弦值、余弦值和正切值;
归纳
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
sinα cosα
tanα
30°
45°
60°
三角函
数
角α
三角
函数值
1
45°
45°
60°
30°
a
a
a
2a
若∠A为锐角，则
sinA=cos(90°-A)
cosA=sin(90°-A)
tanA与tan(90°-A)互为倒数.
归纳
sinα cosα
tanα
30°
45°
60°
三角函数
角α
三角
函数值
1
通过这张表你还可以看出哪些内在联系？这些数值有什么特点？
观察
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .
增大（或减小）
减小（或增大）
例1 计算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
温性提示:sin260°可表示为(sin60°)2,cos260°可表示为(cos60°)2
解: (1)原式
(2)原式
(2)由
得 cosa=
∴锐角a=60°.
例2.求适合下列条件的锐角a:
(1) sina-1=0 ; (2) ; (3)3tana=
(1)由 sina-1=0
得 sina= 1
得sina=
∴锐角a=45°.
(3)由3tana=
得 tana=
∴锐角a=30°.
解:在Rt△ABC中，∠C=90°
∠A=30°,AC= 2 ，
cos 30° =
AB=4.
tan 30° =
BC=2.
例3.已知在Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A=30°，AC=2 ,求AB和BC的长.
A
B
C
二 特殊三角函数值的运用
例4 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
∠AOD OD=2.5m,
A
C
O
B
D
解:如图,根据题意可知,
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
在Rt△OCD中
随堂练习
1.用特殊角的三角函数填空:
=________=________;
=________=________;
1 =________;
=________;
sin60°
cos30°
sin45°
cos45°
tan45°
tan60°
2. 将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是(　　)
A. cm
B. cm
C. cm
D．2 cm
B
O
3. 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 α 的度数.
A
B
O
解： 在Rt△AOB中，
∴ α = 60°.
∵ tanα =
4. 如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，连接 ，若 ，则 的长为( @12@ )
A. B. C. D.
D
5.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan15°时,如图,在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan15°= . 类比这种方法,计算 的值为________.
课堂小结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
sinα cosα
tanα
30°
45°
60°
三角函
数
角α
三角
函数值
1
45°
45°
60°
30°
a
a
a
2a