2023-2024学年度北师大版数学九年级下册1.4解直角三角形 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
1.4 解直角三角形
1.了解解直角三角形的含义；
2.经历解直角三角形的过程，掌握解直角三角形的方法.
学习目标
难点
重点
sinα cosα tanα
30°
45°
60°
三角函数
锐角α
还记得特殊角的三角函数吗？
新课引入
在Rt△ABC中，其中∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c,那么其余两个锐角和三条边之间有怎样的关系呢？
A
C
B
c
b
a
两锐角之间的关系
三边之间的关系
边角之间的关系
知两边求一角
知一角一边求边
知一角求另一角
知两边求第三边
∠A+∠B=90°
a2+b2=c2
sinA= ，cosA= ，tanA=
新知学习
什么叫解直角三角形？
一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素.
A
B
C
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,
在Rt△ABC中，
勾股定理
三角函数
两锐角互余
一 已知两边解直角三角形
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且 ,求这个直角三角形的其他元素.
A
B
C
还有其他方法吗？
温馨提示
解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：
1.为了减少误差，尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；
2.尽量选择便于计算的关系式；
3.能用乘法计算的要避免使用除法计算.
二 已知一边及一锐角解直角三角形
在Rt△ABC中，如果已知一边和一锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B＝25°，求这个直角三角形的其他元素(sin25°=0.423，cos25°=0.906，tan25°=0.466，边长精确到1）.
A
B
C
b
30
c
a
25°
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°.
两锐角互余
三角函数
三角函数
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B＝25°，求这个直角三角形的其他元素(sin25°=0.423，cos25°=0.906，tan25°=0.466，边长精确到1）.
A
B
C
b
30
c
a
25°
还有其他方法吗？
归纳
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
1.在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，则a等于(　　)
A.
B.
C．6
D.
B
A
B
C
b＝3
a
随堂练习
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90° ，AC = ，BC = ，解这个三角形.
A
C
B
解： ，
分析:给了两条边的长，没有已知的锐角.
可以先求第三条边，也可以先求角
3. 在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a， b， c，根据下列条 件求出直角三角形的其他元素:
（sin27°=0.454，cos27°=0.891，tan27°=0.510，角度精确到1°)
(1) 已知 a = 4, b =8;
∵∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A≈63°.
解：在Rt△ABC 中，由勾股定理得 c＝ ＝ .
∵sin A＝ ＝ ＝ ， ∴∠A≈27°.
A
B
C
b=8
a=4
由勾股定理得a＝ ＝ .
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°.
∴c＝ ＝ ＝ .
(2) 已知 b =10， ∠B＝60°;
∵sin B＝ ，b＝10，
A
B
C
b=10
60°
a
c
(3) 已知 c =20， ∠A＝60°;
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin A＝ ，c＝20，
∴a＝c·sin A＝20×sin 60°＝20× ＝ .
由勾股定理得b＝ ＝10.
B
A
C
c=20
60°
a
b
4. 如图，工件上有一V形槽(AC=BC)，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角∠ACB的度数(tan27.5°=0.521，结果精确到1°)
解：过点C作CD⊥AB与点D，
∵AC =BC，CD⊥AB，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD=10，DC=19.2.
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角α等于多少 这时人是否能够安全使用这个梯子 （精确到1°）
5. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所形成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6m的梯子，问:
（sin50°=0.77，sin66°=0.91，cos66°=0.41，sin75°=0.97）
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 （精确到0.1m）
5. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所形成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 （精确到0.1m）
解：(1)当∠BAC=75°时，梯子能安全使用且它的顶端最高，
BC=AB·sin∠BAC=6sin75°≈5.8
答:安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度约为5.8m.
在Rt△ABC中，有sin∠BAC
5. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所形成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6m的梯子，问:
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的锐角α等于多少 这时人是否能够安全使用这个梯子 （精确到1°）
∴∠BAC≈66°,
∵50°≤66°≤75°
∴α等于66°,这时人安全.
解：(2)在Rt△ABC中，有cos∠BAC
6. (真实问题情景)如图①为某银行人工自助终端机，图②是其侧面结构示意图，已知控制板的长 为 ，支撑它的底座 ， 的长均为 ，且 ，控制板 可以在点 处转动，且 ， .当 时，求点 到地面 的距离.(结果精确到 ，参考数据： , ， ， )
解：如解图，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，
解图
，
，
，
，

， ，
，
，
过点 作 于点 ，
， ，
，
，
.
答：点 到地面 的距离约为 .
解图
7.（选做题）学习了解直角三角形的相关知识，掌握了利用锐角三角函数的定义来解决直角三角形的问题，还掌握了通过作高来解决斜三角形(即锐角三角形与钝角三角形)的问题以及相关的实际应用问题.下面请同学们利用这些学习经验,应用类比的方法来解决下面的新问题.定义:如图1,在△ABC中，AB=AC,我们称它的腰与底的长度之比为顶角∠A的余对( csdA )，记作csdA=
(l)填空:csd60°=______;csd90°=______ ;
csd120°= ______
1
(2)如图2,在Rt△ABC中，∠C=90°, cosA= ，求csdA的值.
( 2 )如图2中，过点C作CH⊥AB于点H,在AB上截取AF,使得AF=AC .
∵cosA =
∴可以假设AC=4k,AB=5k,则BC=3k,
∵cosA =
∴
H
∴CH=
∴FH=AF-AH=4k- =
∴CF=
∴
H
课堂小结
A
C
B
c
b
a
两锐角之间的关系
三边之间的关系
边角之间的关系
知两边求一角
知一角一边求边
知一角求另一角
知两边求第三边
∠A+∠B=90°
a2+b2=c2
sinA= ，cosA= ，tanA=