2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.5.1 矩形的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】矩形具有平行四边形的一切性质，而且平行四边形的对角线相等但不垂直，而菱形的对角线互相垂直.
2．（2023九上·简阳期中）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，，则线段的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵、分别是、的中点
∴，
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质、三角形的中位线求解。连接，然后勾股定理求得，进而根据三角形中位线的性质即可求解．
3．（2023八上·吉林期中）一个长方形，面积为．一边长为．那么这条边的邻边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵一个长方形，面积为．一边长为
∴这条边的邻边长 =÷=
故答案为：B.
【分析】本题考查根式的计算。根据长方形的面积=长×宽，可得结论。二次根式除法的法则：，注意最终结果化成最简二次根式.
4．（2023九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC，AO=CO，AB=DC=1，∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
∵ ∠BDC=∠ADB
∴ ∠BDC=60°
∴ BC=
∵ AE平分∠BAD
∴ ∠BAE=∠BEA=45°
∴ BE=AB=1
∴ EC=
∵ F为AE的中点，AC=CO
∴ FO=
∴ FO=
故答案为D
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线，勾股定理。熟悉矩形的边、角、对角线的性质是解题关键。
5．（2023九上·丰南期中） 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为.若，则（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°-90°-90°-110°=70°，
∴∠4=90°-70°=20°，
∴α=20°.
故答案为：A
【分析】先根据矩形的性质得到∠B=∠D=∠BAD=90°，再根据旋转的性质得到∠D′=∠D=90°，∠4=α，进而结合题意进行角的运算即可求解。
6．（2023八上·无为月考）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形是矩形，
∴四边形是矩形，
∴，
∵长方形纸片沿对角线折叠，
∴
∴
∴，B正确，故不符合题意；
∵
∴，D正确，故不符合题意；
∴
∴
∴，C正确，故不符合题意；
∴题干条件不能证明，A错误，故A符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据矩形的性质得到，进而根据折叠得到，从而结合题意运用等腰三角形的性质得到，进而即可判断B；再运用三角形全等的判定即可判断D；从而运用全等三角形的性质得到，再结合题意进行角的运算即可判断C，进而即可求解。
7．（2021八上·平定期中）如图，把长方形 沿EF对折，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠以及∠1＝50°，得
∠BFE＝ ∠BFG＝ （180°﹣∠1）＝65°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质可得：∠BFE＝ ∠BFG＝ （180°﹣∠1）＝65°，再利用矩形的性质可得AD//BC，最后利用平行线的性质可得∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
8．（2023九上·小店期中）如图，在矩形ABCD中，，，点E是边CD上一点，连接AE，矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点恰好落在BC上的点F处.则AE的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点恰好落在BC上的点F处，
∴BC=AF=AD=10，AB=CD=6，∠AFE=∠D=90°，
∵∠B=90°，AB=6，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=10-8=2，
设EF=DE=x，则CE=6-x，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，
∴（6-x）2+22=x2，
解得：x=，
在Rt△AEF中，AE=，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BF的长，再设EF=DE=x，则CE=6-x，再利用勾股定理可得（6-x）2+22=x2，求出x的值，最后利用勾股定理求出AE的长即可.
二、填空题
9．（2023八下·南宁期末）如图，在矩形中，对角线和交于点O，若，则 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】 ∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴BD=AC=4．
故答案为：4.
【分析】依据矩形的对角线相等直接求解.
10．（2023九上·光明月考）已知黄金矩形的宽为﹣2，则这个黄金矩形的面积是 ．（注：宽∶长＝的矩形为黄金矩形）
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵黄金矩形的宽为﹣2
∴黄金矩形的长=（﹣2）÷ （）=
∴个黄金矩形的面积 =（﹣2）×==
故答案为：.
【分析】根据宽与长的等量关系，列代数式，求出黄金矩形的长；
根据矩形的面积=长×宽，列代数式求出矩形的面积；
根据二次根式的化简求值，求出代数式的值即可.
11．（2023八下·黄浦期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，那么的周长是 cm．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：BF=DF，
∴△DCF的周长为：DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=14.5(cm)，
故答案为：14.5.
【分析】根据折叠的性质求出BF=DF，再求三角形的周长即可。
12．（2023·河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
【答案】2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：①当∠MND=90°时，则MN⊥AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∴MN∥AB.
∵M为对角线BD的中点，
∴N为AD的中点，
∴AN=DN.
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2.
②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD.
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN.
∵∠A=90°，AB=AN=1，
∴BN=，
∴AD=AN+DN=1+.
综上可得：AD的长为2或1+.
故答案为：2或1+.
【分析】①当∠MND=90°时，则MN⊥AD，由矩形的性质可得 ∠A=90°，则MN∥AB，结合M为对角线BD的中点可得N为AD的中点，据此求解；②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD，易得MN垂直平分BD，则BN=DN，由勾股定理可得BN，然后根据AD=AN+DN进行计算.
13．（2023九上·定西月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，.若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的坐标为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质可得，再利用矩形的性质和勾股定理求得，从而得出的坐标.
三、解答题
14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=10，P是AB上一动点，M，N，E分别是PD，PC，CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形．
（2）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，
∴ME，NE是△PDC的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，即ME∥ PN， EN∥ PM，
∴四边形PMEN是平行四边形．
（2）解：四边形PMEN有可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90° ，设PA=x，则PB=10-x，
DP=，CP=．
在△DPC中，DP2 +CP2 =DC2，
∴16+x2+16+(10-x)2=102 ，解得x=2或x=8．
故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形．
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得ME∥ PN， EN∥ PM，故四边形PMEN是平行四边形．
(2)设PA=x，则PB=10-x，由勾股定理可得DP=，CP=，若四边形PMEN是矩形，则有DP2 +CP2 =DC2，解得x=2或x=8，故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形．
15．（2023八上·乐平期中）如图，长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE向下折叠后得到△GBE，将BG延长线交直线 DC于点F.
（1）若点G恰好落在边BC上，则AD与AB的数量关系是 .
（2）如果点G在长方形ABCD的内部，如图所示.
①试探究线段BF，AB，DF之间的数量关系，并说明理由；
②若DF=DC，AD=8，求AB的长度.
【答案】（1）2AB=AD
（2）解：①BF=AB+DF，
理由如下：如图，连接EF，
由图形的翻折可知，BG=AB，EG=AE，∠BGE=∠BAE=90°，
∴∠EGF=∠EDG=90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED.
∴EG=ED，
又∵EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF （HL），
∴DF=FG，
∴BF=BG+FG，即BF=AB+DF；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠C=90°，BC=AD，
∵根据折叠有AB=BG，
∴BG=DC，
∵DF=DC，
∴ CF=DC-DF=DC，
根据①的结论有GF=DF，
∴GF=DC，
∴ BF=BG+GF=DC+DC=DC，
∵∠C=90°，AD=BC=8，
∴在Rt△BCF中，有，
∴，
解得：DC=，
∴AB=，即AB的长度为；
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1） △ABE沿BE向下折叠后得到△GBE ，且 点G恰好落在边BC上 ，则四边形ABGE为矩形，∠ABE=∠EBG=45°=∠ABG=45°，则进一步得到四边形ABGE为正方形，故AB=AE=AD；
（2）①连接EF，由E为AD中点，易证Rt△EGF≌Rt△EDF ，等量代换后BF=BG+GF=AB+DF ；
②由 DF=DC ，得到GF=DC ，CF=DC ，根据翻折，得到CD=AB=BG，由①中结论可知，BF=AB+DF=DC+DC=DC，在Rt△ FBC中，BF=DC，CF=DC ，BC=AD=8，勾股定理解得AB=DC=。
四、综合题
16．（2021·重庆模拟）如图，矩形ABCD，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE于F.
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
【答案】（1）解：AD=CF
（2）证明： 矩形ABCD， DE=AB， CF⊥DE，
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 （1）（2）由矩形的性质结合已知条件得AB=CD=DE，∠A=∠DFC=90°，AB∥CD，由平行线性质得∠CDF=∠AED，证明△DAE≌△CFD，据此可得结论.
17．（2021九上·长沙期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF.
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°.
∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°.
∴∠D=∠BCF.
在Rt△ADE和Rt△BCF中 ，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF.
∴∠1=∠F.∴AE∥BF.
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形.
（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°.
∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°.
∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB= .
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=5.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠D=∠BCD=90°，利用邻补角的性质可得∠BCF=90°，证明Rt△ADE≌Rt△BCF，得到∠1=∠F，推出AE∥BF，然后利用平行四边形的判定定理进行证明；
（2）根据∠D=90°、∠BEF=∠DAE可得∠BEF+∠1=90°，求出∠AEB=90°，由勾股定理求出AB，然后根据平行四边形的性质进行解答.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.5.1 矩形的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
2．（2023九上·简阳期中）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，，则线段的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．5
3．（2023八上·吉林期中）一个长方形，面积为．一边长为．那么这条边的邻边长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·重庆市开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·丰南期中） 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为.若，则（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．（2023八上·无为月考）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八上·平定期中）如图，把长方形 沿EF对折，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·小店期中）如图，在矩形ABCD中，，，点E是边CD上一点，连接AE，矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点恰好落在BC上的点F处.则AE的长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
9．（2023八下·南宁期末）如图，在矩形中，对角线和交于点O，若，则 ．
10．（2023九上·光明月考）已知黄金矩形的宽为﹣2，则这个黄金矩形的面积是 ．（注：宽∶长＝的矩形为黄金矩形）
11．（2023八下·黄浦期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，那么的周长是 cm．
12．（2023·河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
13．（2023九上·定西月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，.若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的坐标为 .
三、解答题
14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=10，P是AB上一动点，M，N，E分别是PD，PC，CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形．
（2）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
15．（2023八上·乐平期中）如图，长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE向下折叠后得到△GBE，将BG延长线交直线 DC于点F.
（1）若点G恰好落在边BC上，则AD与AB的数量关系是 .
（2）如果点G在长方形ABCD的内部，如图所示.
①试探究线段BF，AB，DF之间的数量关系，并说明理由；
②若DF=DC，AD=8，求AB的长度.
四、综合题
16．（2021·重庆模拟）如图，矩形ABCD，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE于F.
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
17．（2021九上·长沙期中）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF.
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】矩形具有平行四边形的一切性质，而且平行四边形的对角线相等但不垂直，而菱形的对角线互相垂直.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵、分别是、的中点
∴，
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质、三角形的中位线求解。连接，然后勾股定理求得，进而根据三角形中位线的性质即可求解．
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵一个长方形，面积为．一边长为
∴这条边的邻边长 =÷=
故答案为：B.
【分析】本题考查根式的计算。根据长方形的面积=长×宽，可得结论。二次根式除法的法则：，注意最终结果化成最简二次根式.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC，AO=CO，AB=DC=1，∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
∵ ∠BDC=∠ADB
∴ ∠BDC=60°
∴ BC=
∵ AE平分∠BAD
∴ ∠BAE=∠BEA=45°
∴ BE=AB=1
∴ EC=
∵ F为AE的中点，AC=CO
∴ FO=
∴ FO=
故答案为D
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线，勾股定理。熟悉矩形的边、角、对角线的性质是解题关键。
5．【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=110°，
∴∠3=360°-90°-90°-110°=70°，
∴∠4=90°-70°=20°，
∴α=20°.
故答案为：A
【分析】先根据矩形的性质得到∠B=∠D=∠BAD=90°，再根据旋转的性质得到∠D′=∠D=90°，∠4=α，进而结合题意进行角的运算即可求解。
6．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形是矩形，
∴四边形是矩形，
∴，
∵长方形纸片沿对角线折叠，
∴
∴
∴，B正确，故不符合题意；
∵
∴，D正确，故不符合题意；
∴
∴
∴，C正确，故不符合题意；
∴题干条件不能证明，A错误，故A符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据矩形的性质得到，进而根据折叠得到，从而结合题意运用等腰三角形的性质得到，进而即可判断B；再运用三角形全等的判定即可判断D；从而运用全等三角形的性质得到，再结合题意进行角的运算即可判断C，进而即可求解。
7．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠以及∠1＝50°，得
∠BFE＝ ∠BFG＝ （180°﹣∠1）＝65°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质可得：∠BFE＝ ∠BFG＝ （180°﹣∠1）＝65°，再利用矩形的性质可得AD//BC，最后利用平行线的性质可得∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点恰好落在BC上的点F处，
∴BC=AF=AD=10，AB=CD=6，∠AFE=∠D=90°，
∵∠B=90°，AB=6，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=10-8=2，
设EF=DE=x，则CE=6-x，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，
∴（6-x）2+22=x2，
解得：x=，
在Rt△AEF中，AE=，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BF的长，再设EF=DE=x，则CE=6-x，再利用勾股定理可得（6-x）2+22=x2，求出x的值，最后利用勾股定理求出AE的长即可.
9．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】 ∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴BD=AC=4．
故答案为：4.
【分析】依据矩形的对角线相等直接求解.
10．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵黄金矩形的宽为﹣2
∴黄金矩形的长=（﹣2）÷ （）=
∴个黄金矩形的面积 =（﹣2）×==
故答案为：.
【分析】根据宽与长的等量关系，列代数式，求出黄金矩形的长；
根据矩形的面积=长×宽，列代数式求出矩形的面积；
根据二次根式的化简求值，求出代数式的值即可.
11．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：BF=DF，
∴△DCF的周长为：DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=14.5(cm)，
故答案为：14.5.
【分析】根据折叠的性质求出BF=DF，再求三角形的周长即可。
12．【答案】2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：①当∠MND=90°时，则MN⊥AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∴MN∥AB.
∵M为对角线BD的中点，
∴N为AD的中点，
∴AN=DN.
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2.
②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD.
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN.
∵∠A=90°，AB=AN=1，
∴BN=，
∴AD=AN+DN=1+.
综上可得：AD的长为2或1+.
故答案为：2或1+.
【分析】①当∠MND=90°时，则MN⊥AD，由矩形的性质可得 ∠A=90°，则MN∥AB，结合M为对角线BD的中点可得N为AD的中点，据此求解；②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD，易得MN垂直平分BD，则BN=DN，由勾股定理可得BN，然后根据AD=AN+DN进行计算.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的坐标为，
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质可得，再利用矩形的性质和勾股定理求得，从而得出的坐标.
14．【答案】（1）证明：∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，
∴ME，NE是△PDC的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，即ME∥ PN， EN∥ PM，
∴四边形PMEN是平行四边形．
（2）解：四边形PMEN有可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90° ，设PA=x，则PB=10-x，
DP=，CP=．
在△DPC中，DP2 +CP2 =DC2，
∴16+x2+16+(10-x)2=102 ，解得x=2或x=8．
故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形．
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得ME∥ PN， EN∥ PM，故四边形PMEN是平行四边形．
(2)设PA=x，则PB=10-x，由勾股定理可得DP=，CP=，若四边形PMEN是矩形，则有DP2 +CP2 =DC2，解得x=2或x=8，故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形．
15．【答案】（1）2AB=AD
（2）解：①BF=AB+DF，
理由如下：如图，连接EF，
由图形的翻折可知，BG=AB，EG=AE，∠BGE=∠BAE=90°，
∴∠EGF=∠EDG=90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED.
∴EG=ED，
又∵EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF （HL），
∴DF=FG，
∴BF=BG+FG，即BF=AB+DF；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠C=90°，BC=AD，
∵根据折叠有AB=BG，
∴BG=DC，
∵DF=DC，
∴ CF=DC-DF=DC，
根据①的结论有GF=DF，
∴GF=DC，
∴ BF=BG+GF=DC+DC=DC，
∵∠C=90°，AD=BC=8，
∴在Rt△BCF中，有，
∴，
解得：DC=，
∴AB=，即AB的长度为；
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1） △ABE沿BE向下折叠后得到△GBE ，且 点G恰好落在边BC上 ，则四边形ABGE为矩形，∠ABE=∠EBG=45°=∠ABG=45°，则进一步得到四边形ABGE为正方形，故AB=AE=AD；
（2）①连接EF，由E为AD中点，易证Rt△EGF≌Rt△EDF ，等量代换后BF=BG+GF=AB+DF ；
②由 DF=DC ，得到GF=DC ，CF=DC ，根据翻折，得到CD=AB=BG，由①中结论可知，BF=AB+DF=DC+DC=DC，在Rt△ FBC中，BF=DC，CF=DC ，BC=AD=8，勾股定理解得AB=DC=。
16．【答案】（1）解：AD=CF
（2）证明： 矩形ABCD， DE=AB， CF⊥DE，
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 （1）（2）由矩形的性质结合已知条件得AB=CD=DE，∠A=∠DFC=90°，AB∥CD，由平行线性质得∠CDF=∠AED，证明△DAE≌△CFD，据此可得结论.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°.
∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°.
∴∠D=∠BCF.
在Rt△ADE和Rt△BCF中 ，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF.
∴∠1=∠F.∴AE∥BF.
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形.
（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°.
∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°.
∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB= .
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=5.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AD=BC，∠D=∠BCD=90°，利用邻补角的性质可得∠BCF=90°，证明Rt△ADE≌Rt△BCF，得到∠1=∠F，推出AE∥BF，然后利用平行四边形的判定定理进行证明；
（2）根据∠D=90°、∠BEF=∠DAE可得∠BEF+∠1=90°，求出∠AEB=90°，由勾股定理求出AB，然后根据平行四边形的性质进行解答.
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