2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.5.1 矩形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020八下·东坡期中）如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD = 90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（ ）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，
根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA=OD，∠DAO=45°，
所以∠BOA=∠BAO=45°，即BC=2AB，由矩形ABCD的周长为30cm得到，
30=2AB+2×2AB，
解得AB=5cm．
故答案为：A．
【分析】本题运用矩形的性质通过周长的计算方法求出矩形的边长．
2．（2023八下·青山期末）如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，设与交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠BAD=90°.
∴∠1=∠2.
由折叠可知∠1=∠3，BE=ED，BO=DO.
∴∠2=∠3，
∴BE=BF=5.
∴AE=.
∴AD=AE+ED=AE+BE=4+5=9.
∴BD=
∵BO=OD，
∴OA=OB=BD=.
故答案为：C.
【分析】借助矩形的性质和折叠的性质证明BE=BF，再利用勾股定理求得AE，进一步用勾股定理求出BD，从而可得OA的长.
3．（2023八下·荆门期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AC=BD B．AB⊥DC C．AC⊥BD D．AB=DC
【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 延长BA，CD交于点M，
∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴EF∥AB，EH∥CD，
∴∠AEF+∠BAD=180°，∠HED+∠ADC=180°，
∴∠AEF+∠BAD+∠HED+∠ADC=360°，
又∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠DEH=90°．
∴∠BAD+∠ADC=270°．
∴∠MAD+∠MDA=90°，即∠AMD=90°，
∴AB⊥DC，
故答案为：A.
【分析】根据中位线的判定和性质：连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位；平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；矩形的四个角都是直角，即可求解得出答案.
4．（2023八下·西山期末）数学老师要求学生用一张长方形的纸片折出一个的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（ ）
甲：如图，将纸片沿折痕折 叠，使点落在上的点处， 即为所求，
乙：如图，将纸片沿折痕， 折叠，使，两点分别落在 点，处，与在同一 直线上，即为所求，
A．只有甲的折法正确 B．甲和乙的折法都正确
C．只有乙的折法正确 D．甲和乙的折法都不正确
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：甲：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵折叠，
∴∠EAD=∠BAE=∠BAD=45°，
∴甲的折法正确；
乙：如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵折叠，
∴∠BAE=∠EAD'=∠BAD'，∠DAF=∠FAD'=∠DAD'，
∴∠EAF=∠EAD'+∠FAD'=（∠BAD'+∠DAD'）=∠BAD=45°，
∴乙的折法正确.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得∠BAD=90°，根据折叠（轴对称）的性质即可求得45°的角.
5．（2023八下·秦安期末）在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，．连接，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，则AB=BE，
∵平分交于点，
∴∠ACE=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°，
∴∠BAO=90°-30°=60°，
∵在矩形ABCD中，OA=OB=OC=OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB=AB，
∵AB=BE，
∴OB=BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴BC= AB，故③错误；
∵AO=CO，
∴，故④正确；
故答案为：C．
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，求出∠ACE=30°，再判断出△ABO、△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB=AB，再求出OB=BE，可判断②；由直角三角形的性质可判断③；由面积公式可判断④．
6．（2023八下·瑶海期末）在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（ ）
A． B．3 C．或 D．或3
【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，AB=DC，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
根据折叠的性质可得：GEAE，GB=AB，∠BGE=∠A=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，GE=DE，GB=DC，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG=FD=2，
第一种情况：当点F在线段DC上时，如图所示：
∵CF=1，
∴GB=DC=FD+CF=2+1=3，
∴BF=GB+FG=3+2=5，
∴；
第二种情况：当点F在线段DC的延长线上时，如图所示：
∵DC=FD-CF=2-1=1，
∴GB=DC=1，
∴BF=GB+FG=1+2=3，
∴；
综上，BC的长为或，
故答案为：C.
【分析】分来讨论：第一种情况：当点F在线段DC上时，第二种情况：当点F在线段DC的延长线上时，再分别画出图象并利用线段的和差及勾股定理求解即可.
7．（2023八下·嵊州期末）如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（ ）
A．1.5 B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AC于点G，
∵CF平分∠ACD，
∴FD=GF.
由折叠可得AB=AE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，
∴CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°.
∵CD=AE，∠E=∠D=90°，∠AFE=∠CFD，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF=FC=2，
∴∠FAC=∠FCD.
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠FCD=∠FAC.
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠FCD=30°，
∴DF=CF=1，
∴CD==.
故答案为：B.
【分析】过F作FG⊥AC于点G，由角平分线的性质可得FD=GF，由折叠可得AB=AE，根据矩形的性质可得AB=CD，∠D=90°，则CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°，利用AAS证明△AEF≌△CDF，得到AF=FC=2，则∠FAC=∠FCD，结合角平分线的概念可得∠ACF=∠DCF，则∠ACF=∠FCD=∠FAC，据此可得∠FCD=30°，得到DF=CF=1，然后利用勾股定理计算即可.
8．（2023八下·邗江期末）已知，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：
①；②当点和点互相重合时，；③；④．正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： ①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
由旋转可知：DE=DF，∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠FDG，
∵FG⊥CD，
∴∠DAB=∠FGD=90°，
∴△ADE≌△GDF（AAS），故正确；
②当点H和点G互相重合时，如图，
由旋转可知：DE=DF，∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEG=45°，
∵G是EF的中点，FG⊥DC，
∴DG平分，
∴∠GDE=∠FDE=45°，
∴∠ADE=∠ADG-∠GDE=45°，
∴∠AED=90°-∠ADE=45°，
∴AE=AD=BC=6，故正确；
③由旋转可知：DE=DF，
∵H是EF的中点，
∴DH平分∠EDF，
∴∠DHF=90°，
∵FG⊥DC，
∴∠FGD=90°
∴∠GFH=∠HDC，故错误；
④点E从点A运动到B的过程中，点H在∠DAB的平分线上运动，当点E在点A处时，AH最短为；当点E在点B处时，AH最长为，所以，故正确.
故答案为：C.
【分析】 ① 利用旋转的性质和矩形的性质，可证明 △ADE≌△GDF ；
②通过证明△ADE是等腰直角三角形，可知AD=AE，由矩形的性质可知AD=BC，故可得AE=6；
③可证明∠GFH=∠HDC，但不能说明；
④ 通过运动，发现点H的运动路径，再求解.
二、填空题
9．（2021八下·上虞期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=90°，矩形的面积=6×8=48，AB=DC=6，AD=BC=8，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴S△AOD的面积=S矩形ABCD=12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE＋S△DOE，
∴12＝AO×EO＋DO×EF，
∴12＝×5×EO＋×5×EF，
∴5（EO＋EF）＝24，
∴EO＋EF＝.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质可求出矩形的面积及DC，AB的长，利用勾股定理求出AC的长，从而可求出DO，OA的长，同时求出△AOD的面积；再根据S△AOD＝S△AOE＋S△DOE，利用三角形的面积公式可求出EO+EF的值.
10．（2020八下·灌云月考）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG， 则AG= .
【答案】1.5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，
BD＝ ＝5，
由折叠的性质可得，△ADG≌△A′DG，
∴A′D＝AD＝3，A′G＝AG，
∴A′B＝BD A′D＝5 3＝2，
设AG＝x，则A′G＝AG＝x，BG＝4 x，
在Rt△A′BG中， ，
解得x＝1.5，
即AG＝1.5.
【分析】根据勾股定理可得BD＝5，由折叠的性质可得△ADG≌△A′DG，则A′D＝AD＝3，A′G＝AG，则A′B＝5 3＝2，在Rt△A′BG中根据勾股定理求AG的长即可.
11．（2023八下·晋安期末）在矩形中，、交于点O ， ，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2cm，∠ADC=90°，S△BOC=S矩形ABCD，
在Rt△ADC中，∠ACD=30°，∠ADC=90°，AD=2cm，
∴AC=2AD=4cm，
∴CD=cm，
∴S△BOC=S矩形ABCD=×AD×CD=.
故答案为：.
【分析】由矩形的性质得AD=BC=2cm，∠ADC=90°，S△BOC=S矩形ABCD，在Rt△ADC中，由含30°角直角三角形的性质可算出AC，进而根据勾股定理算出CD，从而根据矩形面积计算公式即可解决此题了.
12．（2022八下·淮安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，，，
∵点E是BC中点，点H是AD中点，
∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB=CD=2，
∴四边形BEDH是平行四边形，，
，
∴，
∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，
∴，
∴点P在BH上，
∵，
∴，
∴，
∵点P在BH上，
∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，
在Rt△CDH中，
∴PC的最小值为，
故答案为：.
【分析】取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形BEDH是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可知当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，利用勾股定理求出CH的长即可.
13．（2023八下·内江期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BC=DF；②；③；④，则，正确的有 ．
【答案】①③④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，∠BAD=90°
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=DF，
∴BC=DF，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，CG⊥AG，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∴∠DGF＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG⊥DG，故③正确；
过点G作GH⊥CD于H，
当 ，
∴设AD=4x=DF，AB=3x，
∴CF=CE=4x-3x=x，BD=5x
∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH= x，DG=GB= x
∴S△DGF= DF×HG=x2，S△BDG=DG×GB= x2，
即
故答案为： ①③④ .
【分析】由矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠BAD= 90°，AC=BD，进而可得∠F=∠FAD=45°，则AD=DF=BC，进而判断①；证明△DCG≌△BEG，得∠BGE=∠DGC，BG=DG，即可判断②和③；过点G作GH⊥CD于H，设AD=4x=DF，AB=3x，勾股定理得出BD=5x，由三角形面积公式可求解，可判断④．
三、解答题
14．（2023八下·巴彦期末）已知矩形的对角线、相交于点，点是边上一点，连接、、，且．
（1）如图，求证：；
（2）如图，设与相交于点，与相交于点，过点作的平行线交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个三角形除外，使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
，，，，，
，
，
，
在与中，
，
∴△ABE≌△DCE，
；
（2）解：△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等，
理由：四边形ABCD是矩形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，，
的面积的面积，的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积，的面积的面积，
，
，
≌，
的面积的面积的面积，
，
，，
≌，
的面积的面积，
，，，都与的面积相等．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用SAS证出△ABE≌△DCE，即可证出BE=CE；
（2）利用HL判断出Rt△BAE≌Rt△CDE，得出∠AEB=∠DEC，进而证出AB∥OE∥CD，得出S△AEO=S△BEO，S△DEO=S△CEO，从而得出S△AEF=S△BFO，S△DHE=S△CHO，利用ASA证出△AEF≌△DEH，得出S△AEF=S△DEH=S△CHO，再利用AAS证出△AEF≌△DEG，得出S△AEF=S△DEG，即可得出答案.
15．（2023八下·合阳月考）在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处．
（1）如图1，若点落在对角线上，且，求的度数．
（2）如图2，若点落在边上，且，，求的长．
（3）如图3，若点是的中点，的沿长线交于点，且，，求的长．
【答案】（1）解：四边形ABCD为长方形
沿AE所在直线折叠
（2）解：四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=10
AD=BC=AF=10，AB=DC=6，
在中，BF=
CF=2，设，则DE=EF=，
在中，，即
解得：，
（3）解：连接EG，如图所示：
E是DC的中点，DE=EF，
DE=EF=EC
四边形ABCD是矩形，，
在中，，
CG=GF，设，AB=6，AD=10
由勾股定理得：，即
解得：
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得∠BAD=90°，从而求出∠CAD=90°-∠BAC=36°，利用折叠的性质可得；
（2）由矩形及折叠可得AD=BC=AF=10，AB=DC=6，，在中，由勾股定理求出BF=8，从而求出CF=2，设，则DE=EF=，在中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可；
（3）连接EG，由E是DC的中点及折叠，可得DE=EF=EC，根据HL证明，可得CG=GF，设，则AG=10+x，BG=10-x，在Rt△ABG中，根据勾股定理建立关于x方程并解之即可.
四、综合题
16．（2023八下·怀化期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，再根据垂直结合平行线的判定得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，，进而即可得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而运用勾股定理即可求解。
17．（2022八下·延庆期末）在平面直角坐标系中，对于直线l：（）与图形M给出如下定义：若直线l与图形M有两个交点P，Q，则线段的长度称为直线l关于图形M的“截距”．如图，矩形的其中三个顶点的坐标为，，．
（1）点C的坐标是 ．
（2）直线关于矩形的“截距”是 ；
直线关于矩形的“截距”是，求m的值．
（3）如果直线（）经过点，且关于矩形的“截距”的最小值是，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2），或
（3）解：当直线（）关于矩形的“截距”是时，
∴经过点或．又∵经过点，∴或．
∴关于矩形的“截距”的最小值是时，或．
【知识点】矩形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：∵是矩形，且，，．∴；
（2）解：由截距的定义可知：经过点，∴关于矩形的“截距”是， ∵直线关于矩形的“截距”是，∴直线经过点或．∴或．
【分析】（1）根据所给的平面直角坐标系求出点C的坐标即可；
（2）先求出，再求解即可；
（3）先求出 经过点或，再求出 或，最后求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.5.1 矩形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2020八下·东坡期中）如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD = 90°，若矩形ABCD的周长为30 cm，则AB的长为（ ）
A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm
2．（2023八下·青山期末）如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，设与交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·荆门期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．AC=BD B．AB⊥DC C．AC⊥BD D．AB=DC
4．（2023八下·西山期末）数学老师要求学生用一张长方形的纸片折出一个的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（ ）
甲：如图，将纸片沿折痕折 叠，使点落在上的点处， 即为所求，
乙：如图，将纸片沿折痕， 折叠，使，两点分别落在 点，处，与在同一 直线上，即为所求，
A．只有甲的折法正确 B．甲和乙的折法都正确
C．只有乙的折法正确 D．甲和乙的折法都不正确
5．（2023八下·秦安期末）在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，．连接，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023八下·瑶海期末）在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（ ）
A． B．3 C．或 D．或3
7．（2023八下·嵊州期末）如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（ ）
A．1.5 B． C． D．
8．（2023八下·邗江期末）已知，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：
①；②当点和点互相重合时，；③；④．正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2021八下·上虞期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 .
10．（2020八下·灌云月考）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG， 则AG= .
11．（2023八下·晋安期末）在矩形中，、交于点O ， ，则的面积为 ．
12．（2022八下·淮安期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是 .
13．（2023八下·内江期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BC=DF；②；③；④，则，正确的有 ．
三、解答题
14．（2023八下·巴彦期末）已知矩形的对角线、相交于点，点是边上一点，连接、、，且．
（1）如图，求证：；
（2）如图，设与相交于点，与相交于点，过点作的平行线交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个三角形除外，使写出的每个三角形的面积都与的面积相等．
15．（2023八下·合阳月考）在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处．
（1）如图1，若点落在对角线上，且，求的度数．
（2）如图2，若点落在边上，且，，求的长．
（3）如图3，若点是的中点，的沿长线交于点，且，，求的长．
四、综合题
16．（2023八下·怀化期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，分别过点作于点，于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
17．（2022八下·延庆期末）在平面直角坐标系中，对于直线l：（）与图形M给出如下定义：若直线l与图形M有两个交点P，Q，则线段的长度称为直线l关于图形M的“截距”．如图，矩形的其中三个顶点的坐标为，，．
（1）点C的坐标是 ．
（2）直线关于矩形的“截距”是 ；
直线关于矩形的“截距”是，求m的值．
（3）如果直线（）经过点，且关于矩形的“截距”的最小值是，求k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，
根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA=OD，∠DAO=45°，
所以∠BOA=∠BAO=45°，即BC=2AB，由矩形ABCD的周长为30cm得到，
30=2AB+2×2AB，
解得AB=5cm．
故答案为：A．
【分析】本题运用矩形的性质通过周长的计算方法求出矩形的边长．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠BAD=90°.
∴∠1=∠2.
由折叠可知∠1=∠3，BE=ED，BO=DO.
∴∠2=∠3，
∴BE=BF=5.
∴AE=.
∴AD=AE+ED=AE+BE=4+5=9.
∴BD=
∵BO=OD，
∴OA=OB=BD=.
故答案为：C.
【分析】借助矩形的性质和折叠的性质证明BE=BF，再利用勾股定理求得AE，进一步用勾股定理求出BD，从而可得OA的长.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 延长BA，CD交于点M，
∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴EF∥AB，EH∥CD，
∴∠AEF+∠BAD=180°，∠HED+∠ADC=180°，
∴∠AEF+∠BAD+∠HED+∠ADC=360°，
又∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠DEH=90°．
∴∠BAD+∠ADC=270°．
∴∠MAD+∠MDA=90°，即∠AMD=90°，
∴AB⊥DC，
故答案为：A.
【分析】根据中位线的判定和性质：连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位；平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；矩形的四个角都是直角，即可求解得出答案.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：甲：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵折叠，
∴∠EAD=∠BAE=∠BAD=45°，
∴甲的折法正确；
乙：如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵折叠，
∴∠BAE=∠EAD'=∠BAD'，∠DAF=∠FAD'=∠DAD'，
∴∠EAF=∠EAD'+∠FAD'=（∠BAD'+∠DAD'）=∠BAD=45°，
∴乙的折法正确.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得∠BAD=90°，根据折叠（轴对称）的性质即可求得45°的角.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，则AB=BE，
∵平分交于点，
∴∠ACE=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°，
∴∠BAO=90°-30°=60°，
∵在矩形ABCD中，OA=OB=OC=OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB=AB，
∵AB=BE，
∴OB=BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴BC= AB，故③错误；
∵AO=CO，
∴，故④正确；
故答案为：C．
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，求出∠ACE=30°，再判断出△ABO、△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB=AB，再求出OB=BE，可判断②；由直角三角形的性质可判断③；由面积公式可判断④．
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，AB=DC，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
根据折叠的性质可得：GEAE，GB=AB，∠BGE=∠A=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，GE=DE，GB=DC，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG=FD=2，
第一种情况：当点F在线段DC上时，如图所示：
∵CF=1，
∴GB=DC=FD+CF=2+1=3，
∴BF=GB+FG=3+2=5，
∴；
第二种情况：当点F在线段DC的延长线上时，如图所示：
∵DC=FD-CF=2-1=1，
∴GB=DC=1，
∴BF=GB+FG=1+2=3，
∴；
综上，BC的长为或，
故答案为：C.
【分析】分来讨论：第一种情况：当点F在线段DC上时，第二种情况：当点F在线段DC的延长线上时，再分别画出图象并利用线段的和差及勾股定理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AC于点G，
∵CF平分∠ACD，
∴FD=GF.
由折叠可得AB=AE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，
∴CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°.
∵CD=AE，∠E=∠D=90°，∠AFE=∠CFD，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF=FC=2，
∴∠FAC=∠FCD.
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠FCD=∠FAC.
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠FCD=30°，
∴DF=CF=1，
∴CD==.
故答案为：B.
【分析】过F作FG⊥AC于点G，由角平分线的性质可得FD=GF，由折叠可得AB=AE，根据矩形的性质可得AB=CD，∠D=90°，则CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°，利用AAS证明△AEF≌△CDF，得到AF=FC=2，则∠FAC=∠FCD，结合角平分线的概念可得∠ACF=∠DCF，则∠ACF=∠FCD=∠FAC，据此可得∠FCD=30°，得到DF=CF=1，然后利用勾股定理计算即可.
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： ①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，
由旋转可知：DE=DF，∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠FDG，
∵FG⊥CD，
∴∠DAB=∠FGD=90°，
∴△ADE≌△GDF（AAS），故正确；
②当点H和点G互相重合时，如图，
由旋转可知：DE=DF，∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEG=45°，
∵G是EF的中点，FG⊥DC，
∴DG平分，
∴∠GDE=∠FDE=45°，
∴∠ADE=∠ADG-∠GDE=45°，
∴∠AED=90°-∠ADE=45°，
∴AE=AD=BC=6，故正确；
③由旋转可知：DE=DF，
∵H是EF的中点，
∴DH平分∠EDF，
∴∠DHF=90°，
∵FG⊥DC，
∴∠FGD=90°
∴∠GFH=∠HDC，故错误；
④点E从点A运动到B的过程中，点H在∠DAB的平分线上运动，当点E在点A处时，AH最短为；当点E在点B处时，AH最长为，所以，故正确.
故答案为：C.
【分析】 ① 利用旋转的性质和矩形的性质，可证明 △ADE≌△GDF ；
②通过证明△ADE是等腰直角三角形，可知AD=AE，由矩形的性质可知AD=BC，故可得AE=6；
③可证明∠GFH=∠HDC，但不能说明；
④ 通过运动，发现点H的运动路径，再求解.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=90°，矩形的面积=6×8=48，AB=DC=6，AD=BC=8，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴S△AOD的面积=S矩形ABCD=12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE＋S△DOE，
∴12＝AO×EO＋DO×EF，
∴12＝×5×EO＋×5×EF，
∴5（EO＋EF）＝24，
∴EO＋EF＝.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质可求出矩形的面积及DC，AB的长，利用勾股定理求出AC的长，从而可求出DO，OA的长，同时求出△AOD的面积；再根据S△AOD＝S△AOE＋S△DOE，利用三角形的面积公式可求出EO+EF的值.
10．【答案】1.5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，
BD＝ ＝5，
由折叠的性质可得，△ADG≌△A′DG，
∴A′D＝AD＝3，A′G＝AG，
∴A′B＝BD A′D＝5 3＝2，
设AG＝x，则A′G＝AG＝x，BG＝4 x，
在Rt△A′BG中， ，
解得x＝1.5，
即AG＝1.5.
【分析】根据勾股定理可得BD＝5，由折叠的性质可得△ADG≌△A′DG，则A′D＝AD＝3，A′G＝AG，则A′B＝5 3＝2，在Rt△A′BG中根据勾股定理求AG的长即可.
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2cm，∠ADC=90°，S△BOC=S矩形ABCD，
在Rt△ADC中，∠ACD=30°，∠ADC=90°，AD=2cm，
∴AC=2AD=4cm，
∴CD=cm，
∴S△BOC=S矩形ABCD=×AD×CD=.
故答案为：.
【分析】由矩形的性质得AD=BC=2cm，∠ADC=90°，S△BOC=S矩形ABCD，在Rt△ADC中，由含30°角直角三角形的性质可算出AC，进而根据勾股定理算出CD，从而根据矩形面积计算公式即可解决此题了.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，，，
∵点E是BC中点，点H是AD中点，
∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB=CD=2，
∴四边形BEDH是平行四边形，，
，
∴，
∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，
∴，
∴点P在BH上，
∵，
∴，
∴，
∵点P在BH上，
∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，
在Rt△CDH中，
∴PC的最小值为，
故答案为：.
【分析】取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形BEDH是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可知当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，利用勾股定理求出CH的长即可.
13．【答案】①③④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，∠BAD=90°
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=DF，
∴BC=DF，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，CG⊥AG，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∴∠DGF＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG⊥DG，故③正确；
过点G作GH⊥CD于H，
当 ，
∴设AD=4x=DF，AB=3x，
∴CF=CE=4x-3x=x，BD=5x
∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH= x，DG=GB= x
∴S△DGF= DF×HG=x2，S△BDG=DG×GB= x2，
即
故答案为： ①③④ .
【分析】由矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠BAD= 90°，AC=BD，进而可得∠F=∠FAD=45°，则AD=DF=BC，进而判断①；证明△DCG≌△BEG，得∠BGE=∠DGC，BG=DG，即可判断②和③；过点G作GH⊥CD于H，设AD=4x=DF，AB=3x，勾股定理得出BD=5x，由三角形面积公式可求解，可判断④．
14．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
，，，，，
，
，
，
在与中，
，
∴△ABE≌△DCE，
；
（2）解：△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等，
理由：四边形ABCD是矩形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，，
的面积的面积，的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积，的面积的面积，
，
，
≌，
的面积的面积的面积，
，
，，
≌，
的面积的面积，
，，，都与的面积相等．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用SAS证出△ABE≌△DCE，即可证出BE=CE；
（2）利用HL判断出Rt△BAE≌Rt△CDE，得出∠AEB=∠DEC，进而证出AB∥OE∥CD，得出S△AEO=S△BEO，S△DEO=S△CEO，从而得出S△AEF=S△BFO，S△DHE=S△CHO，利用ASA证出△AEF≌△DEH，得出S△AEF=S△DEH=S△CHO，再利用AAS证出△AEF≌△DEG，得出S△AEF=S△DEG，即可得出答案.
15．【答案】（1）解：四边形ABCD为长方形
沿AE所在直线折叠
（2）解：四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=10
AD=BC=AF=10，AB=DC=6，
在中，BF=
CF=2，设，则DE=EF=，
在中，，即
解得：，
（3）解：连接EG，如图所示：
E是DC的中点，DE=EF，
DE=EF=EC
四边形ABCD是矩形，，
在中，，
CG=GF，设，AB=6，AD=10
由勾股定理得：，即
解得：
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得∠BAD=90°，从而求出∠CAD=90°-∠BAC=36°，利用折叠的性质可得；
（2）由矩形及折叠可得AD=BC=AF=10，AB=DC=6，，在中，由勾股定理求出BF=8，从而求出CF=2，设，则DE=EF=，在中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可；
（3）连接EG，由E是DC的中点及折叠，可得DE=EF=EC，根据HL证明，可得CG=GF，设，则AG=10+x，BG=10-x，在Rt△ABG中，根据勾股定理建立关于x方程并解之即可.
16．【答案】（1）证明：∵在矩形在中，，，
∴，
又∵，，
，，
在和中，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：在矩形在中，，，
∵，
∴，
∴在中，，
，
∴是等边三角形，
，
∴在中，，，
由勾股定理得，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质结合平行线的性质即可得到，再根据垂直结合平行线的判定得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到，，进而即可得到，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而运用勾股定理即可求解。
17．【答案】（1）
（2），或
（3）解：当直线（）关于矩形的“截距”是时，
∴经过点或．又∵经过点，∴或．
∴关于矩形的“截距”的最小值是时，或．
【知识点】矩形的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：∵是矩形，且，，．∴；
（2）解：由截距的定义可知：经过点，∴关于矩形的“截距”是， ∵直线关于矩形的“截距”是，∴直线经过点或．∴或．
【分析】（1）根据所给的平面直角坐标系求出点C的坐标即可；
（2）先求出，再求解即可；
（3）先求出 经过点或，再求出 或，最后求解即可。
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