2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.5.2 矩形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·白银期中）如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴
∵BH平分∠ABC，CF平分∠BCD
∴
∴
同理可得：
∴四边形EFGH是矩形
故答案为：B
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据角平分线性质可得，再根据三角形内角和定理可得，同理可得，即可求出答案.
2．（2023九上·菏泽月考）如图所示，在正方形中，是对角线上一点，过作，，垂足分别为、，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接PC，由题意可得：
AD=CD，∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中
∴△APD≌△CPD（SAS）
∴AP=CP
∵∠DCB=90°，，
∴四边形PFCE是矩形
∴AP=CP=EF=5
故答案为：A
【分析】根据正方形性质和全等三角形判定定理可得△APD≌△CPD，则AP=CP，再根据矩形判定定理可得四边形PFCE是矩形，根据矩形对角线相等性质即可求出答案.
3．（2023九上·高碑店月考）在中，，是的中点，求证：．
证明：如图，延长至点，使，连接，．
……
，
．
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∵；③∵，；④∴四边形是矩形．
A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据提示，先由对角线互相平分证明四边形是平行四边形
故③，；
①四边形是平行四边形；
再由平行四边形证明是矩形
故②；
④四边形是矩形．
证明过程为 ③①②④
故答案为：A
【分析】从结论入手，要证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，显然不能应该斜边中线定理，看到提示的两行证明，有对角线相等，由此根据矩形的对角线互相平分且对角线相等的性质，作辅助线补全四边形，先证平行四边形再证矩形，即可推出结论。
4．（2023九上·滕州月考）如图，矩形ABCD中，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】B
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：
连接AP和EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD
∴AEP=AFP=90°，
∵四边形BACD为矩形，
∴AP=EF，即可得到求EF的最小值即为AP的最小值，
∴当AP⊥BD时，AP的值最小，
∴在直角三角形ABD中，∵BAD=90°，AB=6，AD=8，
∴BD==10，
∵S△ABD=AB·BD=AP·BD，
∴AP=.
故答案为：B.
【分析】根据题意，由四边形BACD为矩形，结合矩形的对角线相等求出EF的最小值即为AP的最小值，结合垂线段最短，在直角三角形ABD中求出EF的最值即可。
5．（2023九上·北京市开学考）下列命题中错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对边相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】
A：矩形的对角线相等，描述正确，不符合题意；
B：对角线相等的四边形是矩形，描述错误，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
C：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，描述正确，不符合题意；
D：平行四边形的对边相等，描述正确，不符合题意。
故选：B
【分析】根据平行四边形和矩形的判定定理及性质，进行判断。
6．（2023九上·滕州开学考）如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点要使四边形为矩形，可以添加的一个条件是（ ）
A．四边形是矩形 B．、互相平分
C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，，分别是边，，，的中点
EF是三角形ABC的中位线
（中位线定理：三角形中位线平行于底边且等于底边的一半）
同理，
(平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行)
四边形ABCD是平行四边形
根据矩形的判定定理：
A：四边形是矩形，不符合题意；
B：、互相平分，只能证明四边形是平行四边形无法证明是矩形，不符合题意；
C：，对角线相等的四边形，有可能是平行四边形，也可能不是，不符合题意；
D：，可推导出，有一个角是直角的平行四边形是矩形，符合题意。
故答案为：D
【分析】根据已知的中点条件，利用中位线定理先判定出四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理进一步找到充分条件。
7．（2023八下·海曙期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为．若知道与的周长和，则一定能求出（ ）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形的周长
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过P作PG⊥AH于点G，连接PO，
∵PF⊥BD，AH⊥BD，
∴四边形PFHG为矩形，
∴FH=PG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OC=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠BAH+∠HAD=∠HAD+∠ADO=90°，
∴∠BAH=∠ADO.
同理可得∠BAH=∠APG，
∴∠APG=∠EAP.
∵AP=PA，∠AEP=∠AGP=90°，∠APG=∠EAP，
∴△APE≌△PAG（AAS），
∴AE=PG，
∴AE=HF.
∵S△APO+S△PDO=S△AOD，
∴AO·PE+OD·PF=OD·AH，
∴PE+PF=AH，
∴△APE和△DPF的周长和=PA+PE+AE+PD+PF+DF=AD+AH+PG+DF=AD+AH+HF+DF=AD+AH+HD，
∴知道△APE和△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长.
故答案为：B.
【分析】过P作PG⊥AH于点G，连接PO，则四边形PFHG为矩形，FH=PG，由矩形的性质可得OA=OC=OB=OD，由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，根据同角的余角相等可得∠BAH=∠ADO，同理可得∠BAH=∠APG，则∠APG=∠EAP，利用AAS证明△APE≌△PAG，得到AE=PG，则AE=HF，由S△APO+S△PDO=S△AOD结合三角形的面积公式可得PE+PF=AH，进而可将
△APE和△DPF的周长和转化为AD+AH+HD，据此解答.
8．（2023八下·茶陵期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（ ）
A．① ③ B．① ② ③
C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：①过点作PG⊥DA于点G，连接CP，如图所示：
易得△PBC≌△PBA，
∴AP=PC，
∵PF⊥ CD，PE⊥BC，∠DCB=90°，
∴四边形FCEP为矩形，
∴FE=PC，
∴AP＝EF，①正确；
②延长PA交CB于点H，连接CP交FE于点O，如图所示：
由①得∠ECO=∠CEO，∠PCB=∠PAB，
∵∠BHA+∠PAB=90°，
∴∠BHA+∠PCB=90°，
∴∠BHA+∠CEO=90°，
∴PA⊥EF，②正确；
③由①和②得∠PFE＝∠BAP，③正确；
④∵四边形FCEP为矩形，
∴CE=PF，
∴PD＞PF=EC，④错误；
⑤过点P作GP⊥DA于点G，连接PG，如图所示：
易得四边形DFOG、FCEP、EGAB为矩形，
∴FD=GP，EC=FP，EB=GA，
∴，
∵，
∴，⑤正确；
故答案为：D
【分析】①过点作PG⊥DA于点G，连接CP，易得△PBC≌△PBA，进而根据三角形全等的性质即可得到AP=PC，再根据题意结合矩形的判定与性质即可得到FE=PC，进而即可判断①；②延长PA交CB于点H，连接CP交FE于点O，由①得∠ECO=∠CEO，∠PCB=∠PAB，进而根据题意得到∠BHA+∠CEO=90°，即可判断②；由①和②即可判断③；④根据矩形的性质即可得到CE=PF，进而结合题意即可判断④；⑤过点P作GP⊥DA于点G，连接PG，易得四边形DFOG、FCEP、EGAB为矩形，进而根据矩形的性质即可得到FD=GP，EC=FP，EB=GA，再运用勾股定理即可得到，，进而即可判断⑤。
二、填空题
9．（2023八上·海淀月考）如图，AC平分∠BAD，AB∥CD， BC=4， ∠BAD＝30°，∠B＝90° ，则CD的长为 ．
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作DEAB于E
AC平分∠BAD
故答案为：8
【分析】观察已知线段和所求线段，它们位于一个图形内，是矩形，因此尝试作辅助线把图形补全；根据矩形性质，DE=BC=4cm，已知条件中有30°角，它的对边是斜边的一半，故可求斜边AC=8，根据角平分线定义和平行线内错角相等的性质，等量代换得到AD=CD=8cm，至此整理思路，重新求证即可。
10．（2023八下·吉首期末）如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：取DC的中点O，连接GA交ED于点O，连接GB，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=4，DC=BA=6，BA∥DC，
∴EB=GC=GD=EA=3，
∴GA=5，
∴四边形DGEA为矩形，
∴O为ED的中点，GO为点P的运动轨迹，
∴当PB⊥GO时，PB存在最小值，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】取DC的中点O，连接GA交ED于点O，连接GB，先根据矩形的性质得到CB=DA=4，DC=BA=6，BA∥DC，进而结合题意即可得到GA=5，再根据矩形的判定与性质结合三角形的面积公式即可求解。
11．（2023八下·荆门期末）如图，在Rt中，为边BC上一个动点不与B、C重合），PE⊥AB于于F，M为EF中点，则AM的最小值是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接PA，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEA=∠PFA=∠EAF=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵M为EF中点，
∴，
当PA⊥CB时，，
∴此时AM有最小值为，
故答案为：.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得BC=10，根据有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得EF=AP，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，然后根据三角形的面积公式求出PA的最小值可得AM的最小值．
12．（2023九上·锦江期中）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
【答案】3+2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，
∵∠BET=∠FEG=30°，
∴∠BEF=∠TEG，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B=∠ETG=90°，
∴点G的在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴∠JET=90°，GJ=TE=BE=2，
∵∠BET =30°，
∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°，
∵，
∴，
∴CG=CJ+GJ=.
∴CG的最小值为.
故答案为：
【分析】将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，先根据矩形的性质得到AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，进而结合三角形全等的判定与性质证明△EBF≌△ETG（SAS）即可得到∠B=∠ETG=90°，从而得到当CG⊥TG时，CG的值最小，再根据矩形的判定与性质即可得到∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°，从而结合勾股定理即可求解。
13．（2023八上·邛崃月考）如图，点P是矩形内任意一点，连结，记，则下列各结论一定成立的有 （填序号）
①；②若，则；
③；④，则P在对角线上
【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：
①S△PAD+S△PBC=AD·h1+AD·h2=AD·AB=S矩形ABCD，
S△PAB+S△PCD=AB·h1+AB·h2=AB·AD=S矩形ABCD，∴S△PAD+S△PBC=S△PAB+S△PCD，正确；
②∵∠APB=80°，∠DPC=50°，
∴∠PAB+∠PBA=100°，∠PCD+∠PDC=130°，
∴∠PAB-∠PBC=∠PAB-（90°-∠PBA）=∠PAB+∠PBA-90°=1-2，
∴∠PCD-∠PDA=∠PCD-（90°-∠PDC）=∠PCD+∠PDC-90°=3-4，
∴1-2+3-4=∠PAB+∠PBA-90°+∠PCD+∠PDC-90°=50°；
③过点P作EF∥BC，交AB于点E，交CD于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB⊥EF，DC⊥EF，
∴在直角三角形APE中，PA2=AE2+PE2，同理，PC2=CF2+PF2，PB2=BE2+PE2，PD2=DF2+PF2，
∴PA2+PC2=AE2+PE2+CF2+PF2，PB2+PD2=BE2+PE2+DF2+PF2，
∵AB⊥EF，DC⊥EF，AD⊥AB，
∴四边形ADFE为矩形，
∴AE=DF，同理可证CF=BE，
∴AE2=DF2，CF2=BE2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2，正确；
④∵S△ABP=S△ADP，S△PAD+S△PBC=S△PAB+S△PCD，
∴S△PBC=S△PCD，
∴S△ABP+S△PBC=S△APD+S△PCD=SABCD'，
∴点P在对角线AC上，正确；
∴①②③④正确。
故答案为：①②③④.
【分析】根据矩形的判定定理和性质、三角形的面积、勾股定理、三角形的内角和定理等分别判断。
三、解答题
14．（2023九上·市南区期中） 如图所示，中，是中点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，连接．
（1）判断并证明四边形的形状；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形，证明你的结论．
【答案】（1）解：结论：四边形是平行四边形．
理由：点是的中点，，
又，，
又，，，
又是边上的中线，，，
，四边形是平行四边形．
（2）解：结论：．
理由如下：
，，，
四边形为平行四边形，四边形为矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）首先根据ASA证得 ，从而得出FA=DC，再根据点D是BC的中点，即可得出DB=DC，从而等量代换为：FA=BD，，又知道故而得出四边形是平行四边形 ；
(2) 时， 四边形是矩形；根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出∠ADB=90°，由（1）知四边形是平行四边形，故而得出四边形为矩形．
15．（2023九上·成都月考）如图，在中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，若，，求线段的长；
（3）如图，若，，点为中点，的延长线与交于点，与交于点，求线段的长．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
又，，
≌，
（2）解：过点作于点，过点作于点，
由知，≌，，
，，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
同理可得，，
，
，
，
即的长为；
（3）解：连接，过点做于，
，点为中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
即的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、矩形的性质与判定、含30° 的直角三角形的性质及勾股定理的计算。
（1）根据AC=BC和∠ACB得∠CAD，则有 ∠ACD=∠BCE，结合，证≌，得 ；
（2） 过点作于点M，过点E作于点N，由（1）知≌，，结合∠ACD和AD，得和，则，结合，可判定四边形MNEC是矩形得MN=CE，由得，，得NE，AN，则AE可求；（3） 连接DP，过点N做于Q，证，计算和，设BN=X得NQ，BQ，由PQ=NQ和PPQ+QB，计算可得BN长。
四、综合题
16．（2022八下·沂南期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC
∴，
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE⊥BC
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解： 由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
在Rt△ABE中，∠ABF＝，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形中，对角线AC，BD交于点O，
∴O是BD中点，
∴．
又∵四边形ADFE是矩形，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形ADFE是平行四边形，再结合AE⊥BC，即可得到四边形ADFE是矩形；
（2）先证明∠BFD为直角，再利用勾股定理求出BD的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
17．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【答案】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵ ，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF，∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行，得到内错角相等，再由角平分线的性质，得到∠CEF=∠F，得到CE=CF；（2）由已知得到四边形ABCD为矩形，再根据角平分线的性质得到△ECF为等腰直角三角形，由SAS得到△BEG≌△DCG，得到对应边BG=DG，由CG⊥EF，得到△DGB为等腰直角三角形，得到∠BDG=45°；（3）由已知得到四边形AHFD为平行四边形，由角平分线定义和已知得到△DAF为等腰三角形，得到平行四边形AHFD为菱形，得到△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再根据SAS得到△BHD≌△GFD，得到对应角相等，得到∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.5.2 矩形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·白银期中）如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．（2023九上·菏泽月考）如图所示，在正方形中，是对角线上一点，过作，，垂足分别为、，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·高碑店月考）在中，，是的中点，求证：．
证明：如图，延长至点，使，连接，．
……
，
．
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∵；③∵，；④∴四边形是矩形．
A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④
4．（2023九上·滕州月考）如图，矩形ABCD中，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（ ）
A． B． C．5 D．7
5．（2023九上·北京市开学考）下列命题中错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对边相等
6．（2023九上·滕州开学考）如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点要使四边形为矩形，可以添加的一个条件是（ ）
A．四边形是矩形 B．、互相平分
C． D．
7．（2023八下·海曙期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为．若知道与的周长和，则一定能求出（ ）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形的周长
8．（2023八下·茶陵期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（ ）
A．① ③ B．① ② ③
C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤
二、填空题
9．（2023八上·海淀月考）如图，AC平分∠BAD，AB∥CD， BC=4， ∠BAD＝30°，∠B＝90° ，则CD的长为 ．
10．（2023八下·吉首期末）如图，矩形中，，，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
11．（2023八下·荆门期末）如图，在Rt中，为边BC上一个动点不与B、C重合），PE⊥AB于于F，M为EF中点，则AM的最小值是 .
12．（2023九上·锦江期中）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
13．（2023八上·邛崃月考）如图，点P是矩形内任意一点，连结，记，则下列各结论一定成立的有 （填序号）
①；②若，则；
③；④，则P在对角线上
三、解答题
14．（2023九上·市南区期中） 如图所示，中，是中点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，连接．
（1）判断并证明四边形的形状；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形，证明你的结论．
15．（2023九上·成都月考）如图，在中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
（1）求的度数；
（2）连接，若，，求线段的长；
（3）如图，若，，点为中点，的延长线与交于点，与交于点，求线段的长．
四、综合题
16．（2022八下·沂南期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
17．在 ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴
∵BH平分∠ABC，CF平分∠BCD
∴
∴
同理可得：
∴四边形EFGH是矩形
故答案为：B
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据角平分线性质可得，再根据三角形内角和定理可得，同理可得，即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接PC，由题意可得：
AD=CD，∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中
∴△APD≌△CPD（SAS）
∴AP=CP
∵∠DCB=90°，，
∴四边形PFCE是矩形
∴AP=CP=EF=5
故答案为：A
【分析】根据正方形性质和全等三角形判定定理可得△APD≌△CPD，则AP=CP，再根据矩形判定定理可得四边形PFCE是矩形，根据矩形对角线相等性质即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据提示，先由对角线互相平分证明四边形是平行四边形
故③，；
①四边形是平行四边形；
再由平行四边形证明是矩形
故②；
④四边形是矩形．
证明过程为 ③①②④
故答案为：A
【分析】从结论入手，要证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，显然不能应该斜边中线定理，看到提示的两行证明，有对角线相等，由此根据矩形的对角线互相平分且对角线相等的性质，作辅助线补全四边形，先证平行四边形再证矩形，即可推出结论。
4．【答案】B
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：
连接AP和EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD
∴AEP=AFP=90°，
∵四边形BACD为矩形，
∴AP=EF，即可得到求EF的最小值即为AP的最小值，
∴当AP⊥BD时，AP的值最小，
∴在直角三角形ABD中，∵BAD=90°，AB=6，AD=8，
∴BD==10，
∵S△ABD=AB·BD=AP·BD，
∴AP=.
故答案为：B.
【分析】根据题意，由四边形BACD为矩形，结合矩形的对角线相等求出EF的最小值即为AP的最小值，结合垂线段最短，在直角三角形ABD中求出EF的最值即可。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】
A：矩形的对角线相等，描述正确，不符合题意；
B：对角线相等的四边形是矩形，描述错误，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
C：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，描述正确，不符合题意；
D：平行四边形的对边相等，描述正确，不符合题意。
故选：B
【分析】根据平行四边形和矩形的判定定理及性质，进行判断。
6．【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，，分别是边，，，的中点
EF是三角形ABC的中位线
（中位线定理：三角形中位线平行于底边且等于底边的一半）
同理，
(平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行)
四边形ABCD是平行四边形
根据矩形的判定定理：
A：四边形是矩形，不符合题意；
B：、互相平分，只能证明四边形是平行四边形无法证明是矩形，不符合题意；
C：，对角线相等的四边形，有可能是平行四边形，也可能不是，不符合题意；
D：，可推导出，有一个角是直角的平行四边形是矩形，符合题意。
故答案为：D
【分析】根据已知的中点条件，利用中位线定理先判定出四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理进一步找到充分条件。
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过P作PG⊥AH于点G，连接PO，
∵PF⊥BD，AH⊥BD，
∴四边形PFHG为矩形，
∴FH=PG.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OC=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠BAH+∠HAD=∠HAD+∠ADO=90°，
∴∠BAH=∠ADO.
同理可得∠BAH=∠APG，
∴∠APG=∠EAP.
∵AP=PA，∠AEP=∠AGP=90°，∠APG=∠EAP，
∴△APE≌△PAG（AAS），
∴AE=PG，
∴AE=HF.
∵S△APO+S△PDO=S△AOD，
∴AO·PE+OD·PF=OD·AH，
∴PE+PF=AH，
∴△APE和△DPF的周长和=PA+PE+AE+PD+PF+DF=AD+AH+PG+DF=AD+AH+HF+DF=AD+AH+HD，
∴知道△APE和△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长.
故答案为：B.
【分析】过P作PG⊥AH于点G，连接PO，则四边形PFHG为矩形，FH=PG，由矩形的性质可得OA=OC=OB=OD，由等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ODA，根据同角的余角相等可得∠BAH=∠ADO，同理可得∠BAH=∠APG，则∠APG=∠EAP，利用AAS证明△APE≌△PAG，得到AE=PG，则AE=HF，由S△APO+S△PDO=S△AOD结合三角形的面积公式可得PE+PF=AH，进而可将
△APE和△DPF的周长和转化为AD+AH+HD，据此解答.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：①过点作PG⊥DA于点G，连接CP，如图所示：
易得△PBC≌△PBA，
∴AP=PC，
∵PF⊥ CD，PE⊥BC，∠DCB=90°，
∴四边形FCEP为矩形，
∴FE=PC，
∴AP＝EF，①正确；
②延长PA交CB于点H，连接CP交FE于点O，如图所示：
由①得∠ECO=∠CEO，∠PCB=∠PAB，
∵∠BHA+∠PAB=90°，
∴∠BHA+∠PCB=90°，
∴∠BHA+∠CEO=90°，
∴PA⊥EF，②正确；
③由①和②得∠PFE＝∠BAP，③正确；
④∵四边形FCEP为矩形，
∴CE=PF，
∴PD＞PF=EC，④错误；
⑤过点P作GP⊥DA于点G，连接PG，如图所示：
易得四边形DFOG、FCEP、EGAB为矩形，
∴FD=GP，EC=FP，EB=GA，
∴，
∵，
∴，⑤正确；
故答案为：D
【分析】①过点作PG⊥DA于点G，连接CP，易得△PBC≌△PBA，进而根据三角形全等的性质即可得到AP=PC，再根据题意结合矩形的判定与性质即可得到FE=PC，进而即可判断①；②延长PA交CB于点H，连接CP交FE于点O，由①得∠ECO=∠CEO，∠PCB=∠PAB，进而根据题意得到∠BHA+∠CEO=90°，即可判断②；由①和②即可判断③；④根据矩形的性质即可得到CE=PF，进而结合题意即可判断④；⑤过点P作GP⊥DA于点G，连接PG，易得四边形DFOG、FCEP、EGAB为矩形，进而根据矩形的性质即可得到FD=GP，EC=FP，EB=GA，再运用勾股定理即可得到，，进而即可判断⑤。
9．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作DEAB于E
AC平分∠BAD
故答案为：8
【分析】观察已知线段和所求线段，它们位于一个图形内，是矩形，因此尝试作辅助线把图形补全；根据矩形性质，DE=BC=4cm，已知条件中有30°角，它的对边是斜边的一半，故可求斜边AC=8，根据角平分线定义和平行线内错角相等的性质，等量代换得到AD=CD=8cm，至此整理思路，重新求证即可。
10．【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：取DC的中点O，连接GA交ED于点O，连接GB，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=4，DC=BA=6，BA∥DC，
∴EB=GC=GD=EA=3，
∴GA=5，
∴四边形DGEA为矩形，
∴O为ED的中点，GO为点P的运动轨迹，
∴当PB⊥GO时，PB存在最小值，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】取DC的中点O，连接GA交ED于点O，连接GB，先根据矩形的性质得到CB=DA=4，DC=BA=6，BA∥DC，进而结合题意即可得到GA=5，再根据矩形的判定与性质结合三角形的面积公式即可求解。
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接PA，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEA=∠PFA=∠EAF=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵M为EF中点，
∴，
当PA⊥CB时，，
∴此时AM有最小值为，
故答案为：.
【分析】根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得BC=10，根据有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得EF=AP，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，然后根据三角形的面积公式求出PA的最小值可得AM的最小值．
12．【答案】3+2
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，
∵∠BET=∠FEG=30°，
∴∠BEF=∠TEG，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B=∠ETG=90°，
∴点G的在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴∠JET=90°，GJ=TE=BE=2，
∵∠BET =30°，
∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°，
∵，
∴，
∴CG=CJ+GJ=.
∴CG的最小值为.
故答案为：
【分析】将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，先根据矩形的性质得到AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，进而结合三角形全等的判定与性质证明△EBF≌△ETG（SAS）即可得到∠B=∠ETG=90°，从而得到当CG⊥TG时，CG的值最小，再根据矩形的判定与性质即可得到∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°，从而结合勾股定理即可求解。
13．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：
①S△PAD+S△PBC=AD·h1+AD·h2=AD·AB=S矩形ABCD，
S△PAB+S△PCD=AB·h1+AB·h2=AB·AD=S矩形ABCD，∴S△PAD+S△PBC=S△PAB+S△PCD，正确；
②∵∠APB=80°，∠DPC=50°，
∴∠PAB+∠PBA=100°，∠PCD+∠PDC=130°，
∴∠PAB-∠PBC=∠PAB-（90°-∠PBA）=∠PAB+∠PBA-90°=1-2，
∴∠PCD-∠PDA=∠PCD-（90°-∠PDC）=∠PCD+∠PDC-90°=3-4，
∴1-2+3-4=∠PAB+∠PBA-90°+∠PCD+∠PDC-90°=50°；
③过点P作EF∥BC，交AB于点E，交CD于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB⊥EF，DC⊥EF，
∴在直角三角形APE中，PA2=AE2+PE2，同理，PC2=CF2+PF2，PB2=BE2+PE2，PD2=DF2+PF2，
∴PA2+PC2=AE2+PE2+CF2+PF2，PB2+PD2=BE2+PE2+DF2+PF2，
∵AB⊥EF，DC⊥EF，AD⊥AB，
∴四边形ADFE为矩形，
∴AE=DF，同理可证CF=BE，
∴AE2=DF2，CF2=BE2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2，正确；
④∵S△ABP=S△ADP，S△PAD+S△PBC=S△PAB+S△PCD，
∴S△PBC=S△PCD，
∴S△ABP+S△PBC=S△APD+S△PCD=SABCD'，
∴点P在对角线AC上，正确；
∴①②③④正确。
故答案为：①②③④.
【分析】根据矩形的判定定理和性质、三角形的面积、勾股定理、三角形的内角和定理等分别判断。
14．【答案】（1）解：结论：四边形是平行四边形．
理由：点是的中点，，
又，，
又，，，
又是边上的中线，，，
，四边形是平行四边形．
（2）解：结论：．
理由如下：
，，，
四边形为平行四边形，四边形为矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）首先根据ASA证得 ，从而得出FA=DC，再根据点D是BC的中点，即可得出DB=DC，从而等量代换为：FA=BD，，又知道故而得出四边形是平行四边形 ；
(2) 时， 四边形是矩形；根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出∠ADB=90°，由（1）知四边形是平行四边形，故而得出四边形为矩形．
15．【答案】（1）解：，，
，
，
，
又，，
≌，
（2）解：过点作于点，过点作于点，
由知，≌，，
，，
，，
，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
同理可得，，
，
，
，
即的长为；
（3）解：连接，过点做于，
，点为中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
解得，
即的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、矩形的性质与判定、含30° 的直角三角形的性质及勾股定理的计算。
（1）根据AC=BC和∠ACB得∠CAD，则有 ∠ACD=∠BCE，结合，证≌，得 ；
（2） 过点作于点M，过点E作于点N，由（1）知≌，，结合∠ACD和AD，得和，则，结合，可判定四边形MNEC是矩形得MN=CE，由得，，得NE，AN，则AE可求；（3） 连接DP，过点N做于Q，证，计算和，设BN=X得NQ，BQ，由PQ=NQ和PPQ+QB，计算可得BN长。
16．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC
∴，
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE⊥BC
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解： 由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
在Rt△ABE中，∠ABF＝，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形中，对角线AC，BD交于点O，
∴O是BD中点，
∴．
又∵四边形ADFE是矩形，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形ADFE是平行四边形，再结合AE⊥BC，即可得到四边形ADFE是矩形；
（2）先证明∠BFD为直角，再利用勾股定理求出BD的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
17．【答案】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵ ，
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF，∴CE=CF，
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵ ，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行，得到内错角相等，再由角平分线的性质，得到∠CEF=∠F，得到CE=CF；（2）由已知得到四边形ABCD为矩形，再根据角平分线的性质得到△ECF为等腰直角三角形，由SAS得到△BEG≌△DCG，得到对应边BG=DG，由CG⊥EF，得到△DGB为等腰直角三角形，得到∠BDG=45°；（3）由已知得到四边形AHFD为平行四边形，由角平分线定义和已知得到△DAF为等腰三角形，得到平行四边形AHFD为菱形，得到△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再根据SAS得到△BHD≌△GFD，得到对应角相等，得到∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.
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