2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.6.1 菱形的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八下·台江期末）如图，菱形的周长为，对角线，交于点，为的中点，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴AD=5，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，点E是斜边AD的中点，
∴OE=AD=2.5.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质得AD=5，AC⊥BD，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
2．（2023八下·杭州期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
∴ 矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.
故答案为：C.
【分析】观察四个选项，都是关于对角线方面的，于是找出菱形与矩形对角线方面的性质，再比较即可.
3．（2023八下·瑶海期末）已知菱形的对角线的长度恰为方程的两个实数根，则菱形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：
(x-6)(x-8)=0
x-6=0，x-8=0
∴x1=6，x2=8
∴菱形ABCD的对角线AC、BD的长度为6和8
菱形的边长：
∴菱形的周长为5×4=20
故答案为：B．
【分析】先解一元二次方程，根据勾股定理求得菱形的边长，进而即可求解．
4．（2023八下·汉阴期末）下列说法错误的是（ ）
A．平行线间的距离处处相等
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相平分的四边形边平行四边形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、“平行线间的距离处处相等”这个说法正确，故选项A不符合题意；
B、由于菱形的对角线只是互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，所以原说法错误，故选项B符合题；
C、根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以原说法正确，故选项C不符合题意；
D、根据矩形的判定定理，有三个角是直角边的四边形是矩形，所以原说法正确，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平行线间的距离定义可得“平行线间的距离处处相等”这个说法正确，据此判断A选项；由菱形的性质，“菱形的对角线只是互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角”可判断B选项；由平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判断C选项；根据矩形的判定定理“三个角是直角边的四边形是矩形”可判断D选项.
5．（2016八下·曲阜期中）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，
∵∠B：∠BCD=1：2，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5．
故选A．
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．
6．（2021八下·来宾期末）如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，
在△ABD中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°﹣∠D）＝ ×（180°﹣140°）＝20°，
∴∠1＝20°，
故答案为：B.
【分析】利用菱形的性质，可证得DA＝DC，∠DAC＝∠1，利用等腰三角形的性质可推出∠DAC＝∠DCA＝∠1，利用三角形的内角和定理求出∠DAC的度数，从而可求出∠1的度数.
7．（2023·）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC边的中点则对角线BD上的动点P到E，C两点的距离之和的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于BD的对称点E1，连接CE1交BD于点P1．
∵BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，
∴E1是边AB的中点．
∵PE+PC=PE1+PC≥CE1，
∴等号在点P与P1重合时成立
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴CE1=
【分析】此题为“将军饮马”题型， 因为四边形ABCD是菱形，故点E关于BD的对称点E1恰好落在AB的中点处，连接CE1与BD的交点就是所求点P处，此时PE+PC=PE1+PC=CE1最小；连接AC， 因为∠ABC=60° ，且BA=BC，可知△ABC为正三角形，由“三线合一”可知，CE1垂直平分AB，所以CE1=.
8．（2023八下·荆门期末）如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接CO，交AB于H，如图：
∵四边形ABCD是菱形，∠AOB=120°，
∴AB⊥OC，∠AOC=∠BOC=60°，AH=BH，AC=BC=AO=4cm，
∴∠BAO=30°，
∴，，
∴，
∴橡皮筋再次被拉长了.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，对角互补；在直角三角形中，30度所对的边是系诶案的一半；勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解得出答案.
二、填空题
9．（2023八下·东丽期末）菱形的对角线长分别为，，则菱形的面积为 ．
【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形ABCD的对角线的长分别为，，
∴菱形ABCD的面积=×AC×BD=，
故答案为：15.
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
10．（2023八下·靖江期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，，，
在中，根据勾股定理得，，
∵S菱形ABCD =AC×BD=BC×AE，
即S菱形ABCD =×6×8=5×AE，
∴AE=.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，可求得OB，OC的值，再根据勾股定理求得菱形的边长，最后再根据菱形的面积获得等式，进而求出高AE的值.
11．（2023八下·裕华期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接PO，
∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=5，
∴AC⊥BD，BO=，AO=5，
∴AB==，
∵，，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=PO，
欲求EF的最小值，即求PO的最小值，
当OP⊥AB时，OP最小，
∴△AOB的面积=AO·OB=AB·OP，即××5=××OP，
∴OP=，
∴的最小值为 .
故答案为：.
【分析】连接PO，由菱形的性质及勾股定理求出AB的长，再证四边形PEOF是矩形，可得EF=PO，
欲求EF的最小值，即求PO的最小值，当OP⊥AB时，OP最小，根据三角形△AOB的面积求出此时OP的长即可.
12．（2023八下·郴州期中）如图，四边形是菱形，，于点，则 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】J解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且OA=，OB=，
∴AB=，
∴S菱形ABCD=AB.DH=5DH，
又S菱形ABCD=，
∴5DH=24，
∴DH=。
故第1空答案为：。
【分析】根据菱形面积的两种不同的求法，即可得出DH的长度。
13．（2023八下·虎门期中）如图，在菱形中，已知，，对角线、交于点，那么菱形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∴BO=，
∴BD=8，
∴S菱形ABCD=AC·BD=×6×8=24.
故答案为：24.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=AC=3，BD=2BO，根据勾股定理得出BO=4，从而得出BD=8，再利用菱形的面积公式进行计算，即可得出答案.
14．（2023八下·石景山期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，M，N分别是，边的中点，连接交于点P，以下说法正确的是 （填写序号即可）．
①②③④
【答案】①③
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】根据菱形的性质：菱形的四边相等，对角线互相平分且互相垂直，可知：DA=DC，MN⊥AC。菱形对角线不一定相等，所以
第二项错；AB、BD不一定相等，若相等，是等边三角形，所以第四项错。
故填：①③.
【分析】考查的是菱形的性质。
三、解答题
15．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF，求证：AE=AF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ .
∵
∴
∴
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，结合BE=DF，然后利用SAS证明△ABE∽△ADF，则可得出AE=AF.
16．如图①，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连结EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．
（1）四边形EFGH的形状是 ▲ ，证明你的结论．
（2）如图②，连结四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件 ▲ 时，四边形EFGH是矩形，证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
【答案】（1）平行四边形；
证明：如图①，连结BD．
∵E，H分别是AB ，AD的中点，∴EH∥BD ， EH=BD，
同理FG∥ BD，FG=BD，∴EH∥ FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）AC⊥BD；
证明：∵E，F，C，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥ BD，HG∥AC．∵AC⊥BD，∴EH⊥HG．
又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图②，连结AC，BD．
∵E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥ BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵EH∥ BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得，，故四边形EFGH是平行四边形．
(2)同(1)利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH是平行四边形，又通过平行线的性质可得EH⊥HG，故四边形EFGH是矩形.
(3)由(2)可得对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，故这个特殊四边形可以是菱形.
四、综合题
17．（2023八下·西青期末）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，分别在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若为的中点，菱形的周长是28，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中
≌，
．
（2）解：如图，连接．
为的中点，
．
由（1）知，
．
四边形是菱形，
．
，．
四边形是平行四边形
．
菱形的周长是28，
．
．
四边形是矩形，
．
【知识点】全等三角形的应用；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形EFGH可得EH∥GF，从而得到∠AHD=∠CFB；由矩形ABCD可得AD=BC且AD∥BC，从而得到∠ADH=∠CBF，由（AAS）可证△ADH≌△CBF，从而得出结论；
（2）由A是EH中点和（1）中结论易得AE=CF，AE∥CF，得四边形AEFC是平行四边形，从而EF=AC，由矩形的性质得BD=AC，由菱形EFGH的周长得EF，即可求解.
18．（2017八下·吴中期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF= CD=2t，
∴DF=AE
（2）解：∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时， AEFD是菱形
（3）解：当t= 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；
当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：
当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t+4t=60，
∴t= 时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD= AE，
AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF= CD=2t，
∴60﹣4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t= 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）分两种情况讨论即可求解．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.6.1 菱形的性质同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八下·台江期末）如图，菱形的周长为，对角线，交于点，为的中点，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·杭州期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
3．（2023八下·瑶海期末）已知菱形的对角线的长度恰为方程的两个实数根，则菱形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
4．（2023八下·汉阴期末）下列说法错误的是（ ）
A．平行线间的距离处处相等
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相平分的四边形边平行四边形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
5．（2016八下·曲阜期中）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（2021八下·来宾期末）如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．（2023·）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC边的中点则对角线BD上的动点P到E，C两点的距离之和的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023八下·荆门期末）如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架，且，，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·东丽期末）菱形的对角线长分别为，，则菱形的面积为 ．
10．（2023八下·靖江期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则 ．
11．（2023八下·裕华期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为 ．
12．（2023八下·郴州期中）如图，四边形是菱形，，于点，则 ．
13．（2023八下·虎门期中）如图，在菱形中，已知，，对角线、交于点，那么菱形的面积为 ．
14．（2023八下·石景山期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，M，N分别是，边的中点，连接交于点P，以下说法正确的是 （填写序号即可）．
①②③④
三、解答题
15．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF，求证：AE=AF.
16．如图①，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连结EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．
（1）四边形EFGH的形状是 ▲ ，证明你的结论．
（2）如图②，连结四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件 ▲ 时，四边形EFGH是矩形，证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
四、综合题
17．（2023八下·西青期末）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，分别在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若为的中点，菱形的周长是28，求的长．
18．（2017八下·吴中期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴AD=5，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
在Rt△AOD中，点E是斜边AD的中点，
∴OE=AD=2.5.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质得AD=5，AC⊥BD，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
∴ 矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.
故答案为：C.
【分析】观察四个选项，都是关于对角线方面的，于是找出菱形与矩形对角线方面的性质，再比较即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：
(x-6)(x-8)=0
x-6=0，x-8=0
∴x1=6，x2=8
∴菱形ABCD的对角线AC、BD的长度为6和8
菱形的边长：
∴菱形的周长为5×4=20
故答案为：B．
【分析】先解一元二次方程，根据勾股定理求得菱形的边长，进而即可求解．
4．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、“平行线间的距离处处相等”这个说法正确，故选项A不符合题意；
B、由于菱形的对角线只是互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，所以原说法错误，故选项B符合题；
C、根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以原说法正确，故选项C不符合题意；
D、根据矩形的判定定理，有三个角是直角边的四边形是矩形，所以原说法正确，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平行线间的距离定义可得“平行线间的距离处处相等”这个说法正确，据此判断A选项；由菱形的性质，“菱形的对角线只是互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角”可判断B选项；由平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判断C选项；根据矩形的判定定理“三个角是直角边的四边形是矩形”可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，
∵∠B：∠BCD=1：2，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=5．
故选A．
【分析】根据题意可得出∠B=60°，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，
在△ABD中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°﹣∠D）＝ ×（180°﹣140°）＝20°，
∴∠1＝20°，
故答案为：B.
【分析】利用菱形的性质，可证得DA＝DC，∠DAC＝∠1，利用等腰三角形的性质可推出∠DAC＝∠DCA＝∠1，利用三角形的内角和定理求出∠DAC的度数，从而可求出∠1的度数.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于BD的对称点E1，连接CE1交BD于点P1．
∵BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，
∴E1是边AB的中点．
∵PE+PC=PE1+PC≥CE1，
∴等号在点P与P1重合时成立
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，
∴CE1=
【分析】此题为“将军饮马”题型， 因为四边形ABCD是菱形，故点E关于BD的对称点E1恰好落在AB的中点处，连接CE1与BD的交点就是所求点P处，此时PE+PC=PE1+PC=CE1最小；连接AC， 因为∠ABC=60° ，且BA=BC，可知△ABC为正三角形，由“三线合一”可知，CE1垂直平分AB，所以CE1=.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接CO，交AB于H，如图：
∵四边形ABCD是菱形，∠AOB=120°，
∴AB⊥OC，∠AOC=∠BOC=60°，AH=BH，AC=BC=AO=4cm，
∴∠BAO=30°，
∴，，
∴，
∴橡皮筋再次被拉长了.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，对角互补；在直角三角形中，30度所对的边是系诶案的一半；勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解得出答案.
9．【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形ABCD的对角线的长分别为，，
∴菱形ABCD的面积=×AC×BD=，
故答案为：15.
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
10．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，，，
在中，根据勾股定理得，，
∵S菱形ABCD =AC×BD=BC×AE，
即S菱形ABCD =×6×8=5×AE，
∴AE=.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，可求得OB，OC的值，再根据勾股定理求得菱形的边长，最后再根据菱形的面积获得等式，进而求出高AE的值.
11．【答案】
【知识点】点到直线的距离；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接PO，
∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=5，
∴AC⊥BD，BO=，AO=5，
∴AB==，
∵，，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=PO，
欲求EF的最小值，即求PO的最小值，
当OP⊥AB时，OP最小，
∴△AOB的面积=AO·OB=AB·OP，即××5=××OP，
∴OP=，
∴的最小值为 .
故答案为：.
【分析】连接PO，由菱形的性质及勾股定理求出AB的长，再证四边形PEOF是矩形，可得EF=PO，
欲求EF的最小值，即求PO的最小值，当OP⊥AB时，OP最小，根据三角形△AOB的面积求出此时OP的长即可.
12．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】J解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且OA=，OB=，
∴AB=，
∴S菱形ABCD=AB.DH=5DH，
又S菱形ABCD=，
∴5DH=24，
∴DH=。
故第1空答案为：。
【分析】根据菱形面积的两种不同的求法，即可得出DH的长度。
13．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∴BO=，
∴BD=8，
∴S菱形ABCD=AC·BD=×6×8=24.
故答案为：24.
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=AC=3，BD=2BO，根据勾股定理得出BO=4，从而得出BD=8，再利用菱形的面积公式进行计算，即可得出答案.
14．【答案】①③
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】根据菱形的性质：菱形的四边相等，对角线互相平分且互相垂直，可知：DA=DC，MN⊥AC。菱形对角线不一定相等，所以
第二项错；AB、BD不一定相等，若相等，是等边三角形，所以第四项错。
故填：①③.
【分析】考查的是菱形的性质。
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ .
∵
∴
∴
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，结合BE=DF，然后利用SAS证明△ABE∽△ADF，则可得出AE=AF.
16．【答案】（1）平行四边形；
证明：如图①，连结BD．
∵E，H分别是AB ，AD的中点，∴EH∥BD ， EH=BD，
同理FG∥ BD，FG=BD，∴EH∥ FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）AC⊥BD；
证明：∵E，F，C，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥ BD，HG∥AC．∵AC⊥BD，∴EH⊥HG．
又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图②，连结AC，BD．
∵E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥ BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵EH∥ BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得，，故四边形EFGH是平行四边形．
(2)同(1)利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH是平行四边形，又通过平行线的性质可得EH⊥HG，故四边形EFGH是矩形.
(3)由(2)可得对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，故这个特殊四边形可以是菱形.
17．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中
≌，
．
（2）解：如图，连接．
为的中点，
．
由（1）知，
．
四边形是菱形，
．
，．
四边形是平行四边形
．
菱形的周长是28，
．
．
四边形是矩形，
．
【知识点】全等三角形的应用；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形EFGH可得EH∥GF，从而得到∠AHD=∠CFB；由矩形ABCD可得AD=BC且AD∥BC，从而得到∠ADH=∠CBF，由（AAS）可证△ADH≌△CBF，从而得出结论；
（2）由A是EH中点和（1）中结论易得AE=CF，AE∥CF，得四边形AEFC是平行四边形，从而EF=AC，由矩形的性质得BD=AC，由菱形EFGH的周长得EF，即可求解.
18．【答案】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF= CD=2t，
∴DF=AE
（2）解：∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时， AEFD是菱形
（3）解：当t= 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；
当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：
当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t+4t=60，
∴t= 时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD= AE，
AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF= CD=2t，
∴60﹣4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t= 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）分两种情况讨论即可求解．
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