湘教版数学八年级下册 2.6.1 菱形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022·宁波模拟）菱形的两条对角线的长分别为10和24，则边的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．17
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO，
又AC=10，BD=24，
∴AO=5，BO=12，
∴．
故答案为：C.
【分析】画出示意图，根据菱形的性质可得△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO，结合AC、BD的值可得AO=5，BO=12，然后根据勾股定理进行计算.
2．（2022·金乡县模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE=2，则菱形的周长为 （ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】四边形ABCD是菱形，
AB=BC=CD=AD，BO=DO，
又点E是CD的中点，
OE是△BCD的中位线，
BC=2OE=2×2=4，
菱形ABCD的周长=4×4=16，
故答案选：C．
【分析】由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，BO=DO，由点E是CD的中点可得OE是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得BC=2OE=4，从而求出菱形的周长.
3．（2023九上·莱芜期中）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：
过点A作AF⊥PE于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABC=∠D=30°，AD=CD，
∴∠DAC=（180°-∠D）=75°，
根据折叠的性质可得，∠E=∠D=30°，
∴∠APE=∠DAC-∠AEP=45°，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴PF=AF=AP=×=，
在直角三角形AEF中，∵∠E=30°，
∴EF=AF=3，
∴PD=PE=PF+EF=+3；
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质、折叠的性质，直角三角形的性质求出答案即可。
4．（2023九上·仪陇期中）如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD，AC=2，BD=8
∴ AO=OC=1，BO=DO=4，AC⊥BD
∵将绕着点C旋转得到，连接，
∴ 点A，O，C，O'四点共线，≌
∴ OC=O'C=1，BO=B'O'=4，∠O'=90°
∴ 在Rt中，AO'=AC+O'C=3，
∴ AB'=
故答案为：C
【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质及勾股定理。熟悉菱形的性质及旋转的性质是解题之本。由菱形ABCD得AO=OC=1，BO=DO=4，AC⊥BD，由旋转得 OC=O'C=1，BO=B'O'=4，∠O'=90°，根据勾股定理得AB'.
5．（2023九上·东光期中）平面内菱形和线段的位置如图所示（点，在点的正上方，），将线段绕点逆时针旋转，则下列菱形的顶点最可能在扫过范围内的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；菱形的性质
【解析】【解答】连接AN，MC，MA，如图所示：
∵点C、A在点N的正上方，
∴点C在线段AN上，且AN⊥MN，
∴MC>MN，MA>MN，
∵点D在点A、C的右边，
∴MD>MN，
∴点C、A、D一定不在MN扫过的范围内，
∵点B在点A、C的左边，
∴点可能在扫过的范围内，
故答案为：B.
【分析】利用菱形的性质及垂线段最短的性质分析求解即可.
6．（2023九上·东港月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：延长B'C交x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，
∴∠COD=30°，
∵将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，
∴∠C'OC=∠AOC=60°，
∴∠C'OC+∠COD=60°+30°=90°，
∴点C'在y轴上，
∴B'C//y轴，
∴CD⊥OB，
∴，，
∴，
∴ 点的坐标是，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质求出∠COD=30°，再根据旋转的性质求出∠C'OC=∠AOC=60°，最后计算求解即可。
7．（2023九上·滕州开学考）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O， ．将菱形绕原点点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵将菱形绕原点o，逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4
∴转4次后回到原来的位置
∵2023÷4=505……3
∴第2023次旋转结束时，点c在第三象限
如图：过A点作AE⊥X轴于点E ，延长OB到C 点，使OC =OA， 过点C 作C F⊥X轴于点F.
∴ ∠AEO=∠OFC =90° ∴∠OAE+∠AOE=90°
∵ 四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=OC AC⊥BD
∴∠C OF+∠AOE=90° ∴∠AOE=∠C OF
∴ △OAE≌ C OF (AAS) ∴ AE=OF OE=C F
∵ A(-2，2) ∴OE=2 AE=2 ∴ OF=2 C F=2
∴ C (-2，2) 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为（-2，-2）
故答案为：C.
【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，得到第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作AE⊥X轴于点E，延长OB到C 点，使OC =OA 过C 点作C F⊥X轴于点F ，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，求出C 点的坐标，得到C点的的坐标。
8．（2023八下·泗水期末）如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连接．若四边形是菱形，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】
设AB=x，MD=y，
∵AD=2AB，
∴AD=2x，
由菱形MBND可得BM=MD=y，
∴AM=AD-MD=2x-y
由勾股定理可得
∴
整理得，
∴
∴
故答案为：B
【分析】
设AB=x，MD=y，结合菱形的性质和勾股定理列方程求出x和y的比。
二、填空题
9．（2016九下·临泽开学考）已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为 cm2．
【答案】96
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：因为周长是40cm，所以边长是10cm．
如图所示：AB=10cm，AC=16cm．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=8cm，
∴BO=6cm，BD=12cm．
∴面积S= ×16×12=96（cm2）．
故答案为96．
【分析】画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
10．（2023九上·五华期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，点A的坐标是，，，若将菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D1作D1E⊥AB于点E
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=CD=2
由旋转性质可得：
∴AB1⊥x轴，
∴
∴
∵四边形是菱形
∴AB1∥C1D1
∴C1D1⊥x轴
∴点C1，D1，E三点共线
∴C1E=C1D1+D1E=3
∵点A坐标为（1，0）
∴OA=1
∴
∴点C1的坐标为
故答案为：
【分析】过点D1作D1E⊥AB于点E，根据菱形的性质可得AB=AD=CD=2，再根据旋转性质可得，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，由勾股定理求出，再根据菱形性质，直线平行性质可得点C1，D1，E三点共线，则C1E=C1D1+D1E=3，根据点A坐标得OA=1，则，即可求出答案.
11．（2023八上·朝阳期中） 数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：
①用直尺的一边贴在∠AOB的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；
②再用直尺的一边贴在∠AOB的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；
③作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．
请回答：小明的画图依据是 ．
【答案】菱形的每一条对角线平分一组对角
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】小明的画图依据是：菱形的每一条对角线平分一组对角。
由①知：
由②知：
故填：菱形的每一条对角线平分一组对角
【分析】根据画图过程可知画出的是菱形，根据菱形的性质菱形的每一条对角线平分一组对角可得出OD是∠AOB的平分线的结论。
12．（2023九上·南海期中）如图，菱形的边长为4，且，E是的中点P点在上，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点A、C关于BD对称，连接AE，与BD的交点即为所求作的点P.
∵∠ABC= 60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形.
∵AB=BC=4，点E是BC的中点，
∴BE=2.
∴AE⊥BC.
∴AE=
即PE+PC的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质，点A、C关于BD对称，连接AE，根据轴对称确定最短路线问题，AE与BD的交点即为点P，再根据∠ABC=60°，判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AE，即为PE+PC的最小值.
13．（2023九上·南明期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE， S△BEC＝12，则线段CE的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作EM⊥OA于M，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥OA，OD＝OB，
∴EM∥OB，
∴AM：MO＝AE：EB，
∵AE＝BE，
∴AM＝OM，
∴EM是△ABO的中位线，
∴EM＝OB，
∵DF＝OF，
∴OF＝OD，
∴EM＝OF，
∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，
∴△EMG≌△FOG（AAS），
∴MG＝OG＝1，
∴OM＝2OG＝2，
∴OA＝2OM＝3，
∴AC＝2OA＝8，
∵AE＝BE，
∴△BAC的面积＝6×△BEC的面积＝2×12＝24，
∴AC OB＝24，
∴OB＝6，
∴EM＝OB＝3，
∵CM＝OM+OC＝2+7＝6，
∴CE＝＝3．
故答案为：2．
【分析】作EM⊥OA于M，先根据菱形的性质得到BD⊥OA，OD＝OB，进而根据三角形中位线定理即可得到EM＝OB，再结合三角形全等的判定与性质证明△EMG≌△FOG（AAS）即可得到MG＝OG＝1，再结合题意运用勾股定理即可求解。
三、解答题
14．（2023九上·成都开学考）如图，矩形中，，，点E，F分别在边，上，且．
（1）如图1，连接，当四边形为菱形时，求的长；
（2）点M，N在对角线上，顺次连接E、M、F、N，当四边形为矩形时，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴解得，
∴的长为6．
（2）解：当时，如图2，作于点G，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，作于点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】⑴、四边形EBFD是菱形，所以四边相等，故ED=EB，而四边形ABCD是矩形，所以四个角都是直角，所以三角形ABE是直角三角形，利用勾股定理列方程可求AE长。
⑵、矩形ABCD的AB、BC已知，利用勾股定理可求对角线BD长，又BM等于DN已知，故可求MN长，由四边形EMFN是矩形，所以EF=MN ，过点E作EG垂直于BC于点G，构造直角三角形EGF，求GF，又AE等于CF，故BG=CF，可求BG，进而求BF长。特别的随AE大小的不同须分类讨论，AEED (CF>BF )，分别求解。
15．（2023九上·滕州开学考）如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当 时，四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，，
点是中点，
，
≌，
，
四边形是平行四边形
（2）3
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：ABCD是菱形，
AD=AB=BC=CD=6
又
AD=AB=BD=6
三角形ABD和三角形BDC是等边三角形
四边形DECF是矩形，
E是底边BC上的中点(等腰三角形三线合一)
故填：3
【分析】（1）根据菱形的性质得到一组边平行，再由平行得到两组角相等，结合已知的一组相等的边，可证得三角形全等，进而证得对应边相等，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理可证得；
（2）在（1）的结论下，四边形DECF是平行四边形，如果DEBC，则平行四边形是矩形；故在这垂直的条件下，由菱形和60°角可以找到等边三角形，进一步根据三线合一定理得到BE的长。
四、综合题
16．（2021九上·莲湖期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
在中，是的中点，
，
，
，
OG∥EF
四边形是平行四边形，
EF⊥AB，
四边形是矩形．
（2）解：，是的中点，
在中，是的中点，
EF⊥AB，
在中，
四边形是菱形，
四边形是矩形．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由题意可知OE是△ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得OE=AE=AD，结合已知易得得OE∥FG，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OEFG是平行四边形，再证∠EFG＝90°，然后由矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得四边形OEFG是矩形；
（2）由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝AD＝AE，然后由勾股定理求得AF的值，由矩形的性质可得FG=EO，再根据线段的构成得BG=AB-AF-AG即可求解．
17．（2023八下·铁东期末）如图，四边形为菱形，．，，．
（1）点坐标为 ，四边形的面积为 ；
（2）如图，点在线段上运动，为等边三角形．
求证：，并求的最小值；
点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标若变化，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：证明；如图中，设交于．
四边形是菱形，
，，，
，
，
，都是等边三角形，
，
，
，，
≌．
，
当时，的值最小，
，，
，
在中，
，
的最小值为；
解：不变．
理由：过点作于，
≌，
，．
，
≌，
，
点的横坐标为，不变．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
∵ 四边形ABCD为菱形，B（-，0），C（，0）
∴ AB=BC=AD=
过点A作AE⊥x轴于E
∴ 四边形AEOD为矩形
∴ AD=EO=
∵ ∠ABC=120°
∴ ∠ABE=60°
∴ AE=3
∴ A（-，3）
【分析】本题考查菱形性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质和三角形全等的判定。（1）根据菱形的性质，结合勾股定理，易得点A的坐标和四边形ABOD的面积；（2） 连接BD交AC于J，结合菱形的性质和 为等边三角形 ，易证≌，则可得AF=BE。求AF最小值，即求BE的最小值，BE的最小值为，可得AF最小值为； 过点F作FH⊥AD于H，可证≌，得DH=DJ=，是定值。此题构造三角形，证明全等，得出替换线段是关键。
1 / 1湘教版数学八年级下册 2.6.1 菱形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2022·宁波模拟）菱形的两条对角线的长分别为10和24，则边的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．17
2．（2022·金乡县模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE=2，则菱形的周长为 （ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
3．（2023九上·莱芜期中）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·仪陇期中）如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
5．（2023九上·东光期中）平面内菱形和线段的位置如图所示（点，在点的正上方，），将线段绕点逆时针旋转，则下列菱形的顶点最可能在扫过范围内的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2023九上·东港月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·滕州开学考）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O， ．将菱形绕原点点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·泗水期末）如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连接．若四边形是菱形，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2016九下·临泽开学考）已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为 cm2．
10．（2023九上·五华期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，点A的坐标是，，，若将菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，则点的坐标是 ．
11．（2023八上·朝阳期中） 数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：
①用直尺的一边贴在∠AOB的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；
②再用直尺的一边贴在∠AOB的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；
③作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．
请回答：小明的画图依据是 ．
12．（2023九上·南海期中）如图，菱形的边长为4，且，E是的中点P点在上，则的最小值是 .
13．（2023九上·南明期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE， S△BEC＝12，则线段CE的长为 ．
三、解答题
14．（2023九上·成都开学考）如图，矩形中，，，点E，F分别在边，上，且．
（1）如图1，连接，当四边形为菱形时，求的长；
（2）点M，N在对角线上，顺次连接E、M、F、N，当四边形为矩形时，求的长．
15．（2023九上·滕州开学考）如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当 时，四边形是矩形．
四、综合题
16．（2021九上·莲湖期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
17．（2023八下·铁东期末）如图，四边形为菱形，．，，．
（1）点坐标为 ，四边形的面积为 ；
（2）如图，点在线段上运动，为等边三角形．
求证：，并求的最小值；
点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标若变化，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO，
又AC=10，BD=24，
∴AO=5，BO=12，
∴．
故答案为：C.
【分析】画出示意图，根据菱形的性质可得△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO，结合AC、BD的值可得AO=5，BO=12，然后根据勾股定理进行计算.
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】四边形ABCD是菱形，
AB=BC=CD=AD，BO=DO，
又点E是CD的中点，
OE是△BCD的中位线，
BC=2OE=2×2=4，
菱形ABCD的周长=4×4=16，
故答案选：C．
【分析】由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，BO=DO，由点E是CD的中点可得OE是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得BC=2OE=4，从而求出菱形的周长.
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：
过点A作AF⊥PE于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABC=∠D=30°，AD=CD，
∴∠DAC=（180°-∠D）=75°，
根据折叠的性质可得，∠E=∠D=30°，
∴∠APE=∠DAC-∠AEP=45°，
∴△APF为等腰直角三角形，
∴PF=AF=AP=×=，
在直角三角形AEF中，∵∠E=30°，
∴EF=AF=3，
∴PD=PE=PF+EF=+3；
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质、折叠的性质，直角三角形的性质求出答案即可。
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD，AC=2，BD=8
∴ AO=OC=1，BO=DO=4，AC⊥BD
∵将绕着点C旋转得到，连接，
∴ 点A，O，C，O'四点共线，≌
∴ OC=O'C=1，BO=B'O'=4，∠O'=90°
∴ 在Rt中，AO'=AC+O'C=3，
∴ AB'=
故答案为：C
【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质及勾股定理。熟悉菱形的性质及旋转的性质是解题之本。由菱形ABCD得AO=OC=1，BO=DO=4，AC⊥BD，由旋转得 OC=O'C=1，BO=B'O'=4，∠O'=90°，根据勾股定理得AB'.
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；菱形的性质
【解析】【解答】连接AN，MC，MA，如图所示：
∵点C、A在点N的正上方，
∴点C在线段AN上，且AN⊥MN，
∴MC>MN，MA>MN，
∵点D在点A、C的右边，
∴MD>MN，
∴点C、A、D一定不在MN扫过的范围内，
∵点B在点A、C的左边，
∴点可能在扫过的范围内，
故答案为：B.
【分析】利用菱形的性质及垂线段最短的性质分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示：延长B'C交x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，
∴∠COD=30°，
∵将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，
∴∠C'OC=∠AOC=60°，
∴∠C'OC+∠COD=60°+30°=90°，
∴点C'在y轴上，
∴B'C//y轴，
∴CD⊥OB，
∴，，
∴，
∴ 点的坐标是，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质求出∠COD=30°，再根据旋转的性质求出∠C'OC=∠AOC=60°，最后计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵将菱形绕原点o，逆时针旋转，每次旋转90°，360°÷90°=4
∴转4次后回到原来的位置
∵2023÷4=505……3
∴第2023次旋转结束时，点c在第三象限
如图：过A点作AE⊥X轴于点E ，延长OB到C 点，使OC =OA， 过点C 作C F⊥X轴于点F.
∴ ∠AEO=∠OFC =90° ∴∠OAE+∠AOE=90°
∵ 四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=OC AC⊥BD
∴∠C OF+∠AOE=90° ∴∠AOE=∠C OF
∴ △OAE≌ C OF (AAS) ∴ AE=OF OE=C F
∵ A(-2，2) ∴OE=2 AE=2 ∴ OF=2 C F=2
∴ C (-2，2) 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为（-2，-2）
故答案为：C.
【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，得到第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作AE⊥X轴于点E，延长OB到C 点，使OC =OA 过C 点作C F⊥X轴于点F ，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，求出C 点的坐标，得到C点的的坐标。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】
设AB=x，MD=y，
∵AD=2AB，
∴AD=2x，
由菱形MBND可得BM=MD=y，
∴AM=AD-MD=2x-y
由勾股定理可得
∴
整理得，
∴
∴
故答案为：B
【分析】
设AB=x，MD=y，结合菱形的性质和勾股定理列方程求出x和y的比。
9．【答案】96
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：因为周长是40cm，所以边长是10cm．
如图所示：AB=10cm，AC=16cm．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=8cm，
∴BO=6cm，BD=12cm．
∴面积S= ×16×12=96（cm2）．
故答案为96．
【分析】画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
10．【答案】
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D1作D1E⊥AB于点E
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=CD=2
由旋转性质可得：
∴AB1⊥x轴，
∴
∴
∵四边形是菱形
∴AB1∥C1D1
∴C1D1⊥x轴
∴点C1，D1，E三点共线
∴C1E=C1D1+D1E=3
∵点A坐标为（1，0）
∴OA=1
∴
∴点C1的坐标为
故答案为：
【分析】过点D1作D1E⊥AB于点E，根据菱形的性质可得AB=AD=CD=2，再根据旋转性质可得，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，由勾股定理求出，再根据菱形性质，直线平行性质可得点C1，D1，E三点共线，则C1E=C1D1+D1E=3，根据点A坐标得OA=1，则，即可求出答案.
11．【答案】菱形的每一条对角线平分一组对角
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】小明的画图依据是：菱形的每一条对角线平分一组对角。
由①知：
由②知：
故填：菱形的每一条对角线平分一组对角
【分析】根据画图过程可知画出的是菱形，根据菱形的性质菱形的每一条对角线平分一组对角可得出OD是∠AOB的平分线的结论。
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点A、C关于BD对称，连接AE，与BD的交点即为所求作的点P.
∵∠ABC= 60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形.
∵AB=BC=4，点E是BC的中点，
∴BE=2.
∴AE⊥BC.
∴AE=
即PE+PC的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质，点A、C关于BD对称，连接AE，根据轴对称确定最短路线问题，AE与BD的交点即为点P，再根据∠ABC=60°，判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AE，即为PE+PC的最小值.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作EM⊥OA于M，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥OA，OD＝OB，
∴EM∥OB，
∴AM：MO＝AE：EB，
∵AE＝BE，
∴AM＝OM，
∴EM是△ABO的中位线，
∴EM＝OB，
∵DF＝OF，
∴OF＝OD，
∴EM＝OF，
∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，
∴△EMG≌△FOG（AAS），
∴MG＝OG＝1，
∴OM＝2OG＝2，
∴OA＝2OM＝3，
∴AC＝2OA＝8，
∵AE＝BE，
∴△BAC的面积＝6×△BEC的面积＝2×12＝24，
∴AC OB＝24，
∴OB＝6，
∴EM＝OB＝3，
∵CM＝OM+OC＝2+7＝6，
∴CE＝＝3．
故答案为：2．
【分析】作EM⊥OA于M，先根据菱形的性质得到BD⊥OA，OD＝OB，进而根据三角形中位线定理即可得到EM＝OB，再结合三角形全等的判定与性质证明△EMG≌△FOG（AAS）即可得到MG＝OG＝1，再结合题意运用勾股定理即可求解。
14．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴解得，
∴的长为6．
（2）解：当时，如图2，作于点G，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，作于点H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】⑴、四边形EBFD是菱形，所以四边相等，故ED=EB，而四边形ABCD是矩形，所以四个角都是直角，所以三角形ABE是直角三角形，利用勾股定理列方程可求AE长。
⑵、矩形ABCD的AB、BC已知，利用勾股定理可求对角线BD长，又BM等于DN已知，故可求MN长，由四边形EMFN是矩形，所以EF=MN ，过点E作EG垂直于BC于点G，构造直角三角形EGF，求GF，又AE等于CF，故BG=CF，可求BG，进而求BF长。特别的随AE大小的不同须分类讨论，AEED (CF>BF )，分别求解。
15．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，，
点是中点，
，
≌，
，
四边形是平行四边形
（2）3
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：ABCD是菱形，
AD=AB=BC=CD=6
又
AD=AB=BD=6
三角形ABD和三角形BDC是等边三角形
四边形DECF是矩形，
E是底边BC上的中点(等腰三角形三线合一)
故填：3
【分析】（1）根据菱形的性质得到一组边平行，再由平行得到两组角相等，结合已知的一组相等的边，可证得三角形全等，进而证得对应边相等，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理可证得；
（2）在（1）的结论下，四边形DECF是平行四边形，如果DEBC，则平行四边形是矩形；故在这垂直的条件下，由菱形和60°角可以找到等边三角形，进一步根据三线合一定理得到BE的长。
16．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
在中，是的中点，
，
，
，
OG∥EF
四边形是平行四边形，
EF⊥AB，
四边形是矩形．
（2）解：，是的中点，
在中，是的中点，
EF⊥AB，
在中，
四边形是菱形，
四边形是矩形．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由题意可知OE是△ABD的中位线，根据三角形的中位线定理可得OE=AE=AD，结合已知易得得OE∥FG，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OEFG是平行四边形，再证∠EFG＝90°，然后由矩形的判定定理“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得四边形OEFG是矩形；
（2）由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝AD＝AE，然后由勾股定理求得AF的值，由矩形的性质可得FG=EO，再根据线段的构成得BG=AB-AF-AG即可求解．
17．【答案】（1）；
（2）解：证明；如图中，设交于．
四边形是菱形，
，，，
，
，
，都是等边三角形，
，
，
，，
≌．
，
当时，的值最小，
，，
，
在中，
，
的最小值为；
解：不变．
理由：过点作于，
≌，
，．
，
≌，
，
点的横坐标为，不变．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
∵ 四边形ABCD为菱形，B（-，0），C（，0）
∴ AB=BC=AD=
过点A作AE⊥x轴于E
∴ 四边形AEOD为矩形
∴ AD=EO=
∵ ∠ABC=120°
∴ ∠ABE=60°
∴ AE=3
∴ A（-，3）
【分析】本题考查菱形性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质和三角形全等的判定。（1）根据菱形的性质，结合勾股定理，易得点A的坐标和四边形ABOD的面积；（2） 连接BD交AC于J，结合菱形的性质和 为等边三角形 ，易证≌，则可得AF=BE。求AF最小值，即求BE的最小值，BE的最小值为，可得AF最小值为； 过点F作FH⊥AD于H，可证≌，得DH=DJ=，是定值。此题构造三角形，证明全等，得出替换线段是关键。
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