2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.6.2 菱形的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019八下·湖北期末）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．两组邻边分别相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．（2023八下·榆树期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD是菱形
B．若，则四边形ABCD是矩形
C．若，，则四边形ABCD是正方形
D．若，，则四边形ABCD是平行四边形
3．（2023八下·九龙期中）下列说法正确的是（ ）
A．邻边相等的平行四边形是矩形
B．矩形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
4．（2023八下·浏阳期中）如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5．（2016八下·高安期中）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
6．（2022八下·宁安期末）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
7．（2023八下·安达期末）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
8．（2023八下·望花期末）两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，与交于点，与交于点，且，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·蒙城期末）平行四边形中，对角线与互相垂直，那么这个四边形的邻边 ．（填“相等”或“不相等”）．
10．（2021八下·松山期中）如图，请你添加一个适当的条件 ，使平行四边形ABCD成为菱形．
11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是 ．
12．（2023八下·佛山期末）如图，，，点是射线上的任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连，则线段的最小值为 ．
13．（2023八下·江源期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，，如果，则
三、解答题
14．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）①当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是菱形，请说明理由；
②当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是矩形，请说明理由．
15．（2023八下·青秀期末）如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
四、综合题
16．（2023八下·茶陵期中）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
17．（2023八下·官渡期末）如图
如图，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB=AD，CB=CD，但AB≠CB的四边形，故答案为：A中的命题是假命题，故答案为：A符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故答案为：B不符合题意；
四个角相等的四边形是矩形是真命题，故答案为：C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故答案为：D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】菱形的判定“四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形数菱形”；矩形的判定“四个角相等的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且平分的四边形是矩形；”，根据判定定理即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A： 若，则四边形ABCD不一定是菱形，A错误
B：若，则四边形ABCD不一定是矩形，B错误
C：若，，则四边形ABCD不一定是正方形，C错误
故答案为：D
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形性质即可求出答案。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A：邻边相等的平行四边形是菱形，A错误；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误；
D： 一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，D错误；
故答案为：B
【分析】利用菱形性质，矩形性质，平行四边形的判定及可求出答案。
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由作图过程可得出：AB=BC=CD=DA
所以判定依据是“四条边相等的四边形是菱形”
故答案为B
【分析】由作图过程及菱形的判定定理即可求出答案。
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH= AC，EH∥AC，FG= AC，FG∥AC，EF= BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH= AC，EF= BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF= BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质结合AM=CN，即可得到△AMO≌△CNO，可得AO=CO，即可得到BO⊥AC，继而得到∠OBC的度数。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连接EF，AE与BF交于点O，
∵AO平分∠BAD，
∴∠FAE=∠BAE，
∵平行四边形ABCD，
∴AF∥BE，
∴∠FAE=∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
由作图可知AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，AE=2AO，
∴∠AOB=90°，OB=BF=6，
∴，
∴AB=2×8=16.
故答案为：B.
【分析】连接EF，AE与BF交于点O，利用角平分线的定义可证得∠FAE=∠BAE，利用平行四边形和平行线的性质可证得∠FAE=∠AEB=∠BAE，利用等角对等边可证得AB=BE，由作图可知AB=AF，可推出AF=BE，由此可证得四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质可证得AE⊥BF，AE=2AO，可求出OB的长；再利用勾股定理求出AO的长，即可得到AB的长.
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形，
∴AD//BC，AE//CF，∠B=∠F=90°，
∴四边形AGCH是平行四边形，∠AGB=∠GCH=∠AHF，
∴△AFH≌△AGB(AAS)，
∴AH=AG，
∴平行四边形AGCH是菱形，
∴AG=GC=CH=HA，
∵在Rt△ABG中，∠AGB=30°，AB=2，
∴AG=4，
∴四边形AGCH的周长为4×4=16．
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得AD//BC，AE//CF，∠B=∠F=90°，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形AGCH是平行四边形，利用AAS证明△AFH≌△AGB，得出AH=AG，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证明出四边形AGCH是菱形，再根据含30°角直角三角形的性质求出AG即可解答.
9．【答案】相等
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形为菱形
则这个四边形为菱形，邻边相等。
故答案为：相等
【分析】根据菱形的判定定理及性质即可求出答案。
10．【答案】
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得，应添加条件：
，
故答案为：
．
【分析】根据菱形的判定定理即可得出答案。
11．【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】先根据MN垂直平分AC，推导出△AOM≌△CON，进而的而出AM=CN，再根据AM∥CN，判定四边形AMCN是平行四边形，最后根据MN⊥AC，得出四边形AMCN是菱形．
【分析】菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
12．【答案】4
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：当时，DE最短，
∵四边形ADBE为平行四边形，且，
∴四边形ADBE为菱形，
∵
∴
∴为等边三角形，
∴
故答案为：.
【分析】根据垂线段最短得：当时，DE最短，利用平行四边形性质和菱形的性质即可求解.
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形
∴ DC∥AB，∠DCB=90°
∴ ∠FCO=∠EAO
∵ FE垂直平分AC
∴ AF=CF，OA=OC
∵ ∠FOC=∠EOA
∴
∴ FC=EA
∴ 四边形FAEC为菱形
∴ ∠ECA=∠ECA=∠CAF
∵ ∠BCE=26°
∴ ∠CAF=32°
故答案为：32°.
【分析】本题考查矩形性质、菱形判定、线段垂直平分线的性质和三角形全等的判定。根据矩形性质，线段垂直平分线性质，求出四边形FAEC为菱形，是解题关键。
14．【答案】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG=AB ，EG∥AB，同理，FH=AB， FH∥AB，
∴EG=FH， EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）①AB=CD，理由：∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG=CD， FG∥ CD．
由(1)得EG=AB，
∴当AB= CD时，EG=FG，∴四边形EGFH是菱形．
②AB⊥CD，理由：
∵HF∥AB，∴∠HFC=∠ABC． ．
∵FG∥CD，∴∠CFB=∠DCB．
∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠DCB= 90°，
∴∠HFC+∠GFB= 90° ，
∴∠GFH=90°，
∴四边形EGFH是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得，，故四边形EGFH是平行四边形．
(2) ① 利用三角形的中位线定理可得，，由AB=CD可得EG=FG，故平行四边形EGFH是菱形．
② 利用三角形的中位线定理可得HF∥AB，FG∥CD，再根据平行线的性质证得∠GFH=90°，故平行四边形EGFH是矩形．
15．【答案】（1）证明： 点 是 的中点， ，
是 的垂直平分线，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
．
在 和 中，
， ， ，
≌ ，
，
，
四边形AECF为菱形；
（2）解： 点 是 的中点， ，
， ，
，
由菱形的性质可知： ，
菱形AECF的面积 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得AF＝FC，EA＝EC，OA＝OC，然后根据四边形ABCD是矩形，可利用AAS证出△AOF≌△COE，则可得AF＝CE，从而得出四边形AECF的四边都相等即证得结论；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分先求出OA的长，然后利用勾股定理可得OF的长，从而求出EF＝2OF＝12，再利用菱形AECF的面积计算公式即可解答．
16．【答案】（1）证明：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质即可得到，，进而根据题意即可得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，进而得到，再根据勾股定理即可求出CD。
17．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分．
，
，
，
四边形是菱形
（2）解：连接，，
由知，四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形关于对角线所在直线对称，
，
周长，
周长的最小值为，
在中，
，
周长的最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)首先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明一组邻边相等证得四边形ABCD是菱形；
(2)先求解CM的长度，再根据轴对称-最短距离问题求解PC+PM的最小值，即可求解△PCM周长的最小值.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.6.2 菱形的判定同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019八下·湖北期末）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．两组邻边分别相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB=AD，CB=CD，但AB≠CB的四边形，故答案为：A中的命题是假命题，故答案为：A符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故答案为：B不符合题意；
四个角相等的四边形是矩形是真命题，故答案为：C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故答案为：D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】菱形的判定“四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形数菱形”；矩形的判定“四个角相等的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且平分的四边形是矩形；”，根据判定定理即可判断求解.
2．（2023八下·榆树期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD是菱形
B．若，则四边形ABCD是矩形
C．若，，则四边形ABCD是正方形
D．若，，则四边形ABCD是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A： 若，则四边形ABCD不一定是菱形，A错误
B：若，则四边形ABCD不一定是矩形，B错误
C：若，，则四边形ABCD不一定是正方形，C错误
故答案为：D
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形性质即可求出答案。
3．（2023八下·九龙期中）下列说法正确的是（ ）
A．邻边相等的平行四边形是矩形
B．矩形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A：邻边相等的平行四边形是菱形，A错误；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误；
D： 一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，D错误；
故答案为：B
【分析】利用菱形性质，矩形性质，平行四边形的判定及可求出答案。
4．（2023八下·浏阳期中）如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由作图过程可得出：AB=BC=CD=DA
所以判定依据是“四条边相等的四边形是菱形”
故答案为B
【分析】由作图过程及菱形的判定定理即可求出答案。
5．（2016八下·高安期中）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH= AC，EH∥AC，FG= AC，FG∥AC，EF= BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH= AC，EF= BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF= BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
6．（2022八下·宁安期末）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝28°，
∴∠BCA＝∠DAC＝28°，
∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质结合AM=CN，即可得到△AMO≌△CNO，可得AO=CO，即可得到BO⊥AC，继而得到∠OBC的度数。
7．（2023八下·安达期末）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连接EF，AE与BF交于点O，
∵AO平分∠BAD，
∴∠FAE=∠BAE，
∵平行四边形ABCD，
∴AF∥BE，
∴∠FAE=∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
由作图可知AB=AF，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，AE=2AO，
∴∠AOB=90°，OB=BF=6，
∴，
∴AB=2×8=16.
故答案为：B.
【分析】连接EF，AE与BF交于点O，利用角平分线的定义可证得∠FAE=∠BAE，利用平行四边形和平行线的性质可证得∠FAE=∠AEB=∠BAE，利用等角对等边可证得AB=BE，由作图可知AB=AF，可推出AF=BE，由此可证得四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质可证得AE⊥BF，AE=2AO，可求出OB的长；再利用勾股定理求出AO的长，即可得到AB的长.
8．（2023八下·望花期末）两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，与交于点，与交于点，且，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形，
∴AD//BC，AE//CF，∠B=∠F=90°，
∴四边形AGCH是平行四边形，∠AGB=∠GCH=∠AHF，
∴△AFH≌△AGB(AAS)，
∴AH=AG，
∴平行四边形AGCH是菱形，
∴AG=GC=CH=HA，
∵在Rt△ABG中，∠AGB=30°，AB=2，
∴AG=4，
∴四边形AGCH的周长为4×4=16．
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质得AD//BC，AE//CF，∠B=∠F=90°，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形AGCH是平行四边形，利用AAS证明△AFH≌△AGB，得出AH=AG，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证明出四边形AGCH是菱形，再根据含30°角直角三角形的性质求出AG即可解答.
二、填空题
9．（2023八下·蒙城期末）平行四边形中，对角线与互相垂直，那么这个四边形的邻边 ．（填“相等”或“不相等”）．
【答案】相等
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形为菱形
则这个四边形为菱形，邻边相等。
故答案为：相等
【分析】根据菱形的判定定理及性质即可求出答案。
10．（2021八下·松山期中）如图，请你添加一个适当的条件 ，使平行四边形ABCD成为菱形．
【答案】
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得，应添加条件：
，
故答案为：
．
【分析】根据菱形的判定定理即可得出答案。
11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是 ．
【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】先根据MN垂直平分AC，推导出△AOM≌△CON，进而的而出AM=CN，再根据AM∥CN，判定四边形AMCN是平行四边形，最后根据MN⊥AC，得出四边形AMCN是菱形．
【分析】菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
12．（2023八下·佛山期末）如图，，，点是射线上的任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连，则线段的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：当时，DE最短，
∵四边形ADBE为平行四边形，且，
∴四边形ADBE为菱形，
∵
∴
∴为等边三角形，
∴
故答案为：.
【分析】根据垂线段最短得：当时，DE最短，利用平行四边形性质和菱形的性质即可求解.
13．（2023八下·江源期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，连接，，如果，则
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形
∴ DC∥AB，∠DCB=90°
∴ ∠FCO=∠EAO
∵ FE垂直平分AC
∴ AF=CF，OA=OC
∵ ∠FOC=∠EOA
∴
∴ FC=EA
∴ 四边形FAEC为菱形
∴ ∠ECA=∠ECA=∠CAF
∵ ∠BCE=26°
∴ ∠CAF=32°
故答案为：32°.
【分析】本题考查矩形性质、菱形判定、线段垂直平分线的性质和三角形全等的判定。根据矩形性质，线段垂直平分线性质，求出四边形FAEC为菱形，是解题关键。
三、解答题
14．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）①当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是菱形，请说明理由；
②当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是矩形，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG=AB ，EG∥AB，同理，FH=AB， FH∥AB，
∴EG=FH， EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）①AB=CD，理由：∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG=CD， FG∥ CD．
由(1)得EG=AB，
∴当AB= CD时，EG=FG，∴四边形EGFH是菱形．
②AB⊥CD，理由：
∵HF∥AB，∴∠HFC=∠ABC． ．
∵FG∥CD，∴∠CFB=∠DCB．
∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠DCB= 90°，
∴∠HFC+∠GFB= 90° ，
∴∠GFH=90°，
∴四边形EGFH是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得，，故四边形EGFH是平行四边形．
(2) ① 利用三角形的中位线定理可得，，由AB=CD可得EG=FG，故平行四边形EGFH是菱形．
② 利用三角形的中位线定理可得HF∥AB，FG∥CD，再根据平行线的性质证得∠GFH=90°，故平行四边形EGFH是矩形．
15．（2023八下·青秀期末）如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明： 点 是 的中点， ，
是 的垂直平分线，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
．
在 和 中，
， ， ，
≌ ，
，
，
四边形AECF为菱形；
（2）解： 点 是 的中点， ，
， ，
，
由菱形的性质可知： ，
菱形AECF的面积 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得AF＝FC，EA＝EC，OA＝OC，然后根据四边形ABCD是矩形，可利用AAS证出△AOF≌△COE，则可得AF＝CE，从而得出四边形AECF的四边都相等即证得结论；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分先求出OA的长，然后利用勾股定理可得OF的长，从而求出EF＝2OF＝12，再利用菱形AECF的面积计算公式即可解答．
四、综合题
16．（2023八下·茶陵期中）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质即可得到，，进而根据题意即可得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，进而得到，再根据勾股定理即可求出CD。
17．（2023八下·官渡期末）如图
如图，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分．
，
，
，
四边形是菱形
（2）解：连接，，
由知，四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形关于对角线所在直线对称，
，
周长，
周长的最小值为，
在中，
，
周长的最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)首先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明一组邻边相等证得四边形ABCD是菱形；
(2)先求解CM的长度，再根据轴对称-最短距离问题求解PC+PM的最小值，即可求解△PCM周长的最小值.
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