湘教版数学八年级下册 2.6.2 菱形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·长安期中） ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A．，对角线相等，能判断平行四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是菱形，符合题意
B．，对角线互相垂直，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C．，对角线平分一组对角 ，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D．，一组邻边相等，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的条件加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角即可得到四边形为菱形，即可求解．
2．如图，下列条件中，能使 ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC
C．AB=BC D．AC=BD
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、 ABCD中，本来就有AB=CD；故本选项错误；
B、 ABCD中本来就有AD=CB；故本选项错误；
C、 ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形；故本选项正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故本选项错误．
故选C．
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
3．（2023九上·宿州月考）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直 D．相等
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；菱形的判定
【解析】【解答】
解：∵E、F、G、H分别时AD、AB、BC、CD的中点，
∴EH=AC，EF=BD，
∵四边形EFGH是菱形 ，
∴EH=EF，
∴AC=BD.
故答案为：B.
【分析】 根据中位线定理，菱形的边=四边形的对角线长，因为菱形的边相等，所以四边形对角线长相等.
4．（2023九上·绥化期中）如图，在中，是边上的点（与两点不重合），过点作，分别交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若垂直平分，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是萎形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、若，则四边形是平行四边形，不一定为矩形，则本项不符合题意；
B、若垂直平分，则四边形是菱形，不是矩形，则本项不符合题意；
C、若，则四边形是平行四边形，不一定为矩形，则本项不符合题意；
D、若平分，则四边形是萎形，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理，逐项判断即可.
5．（2023九上·宿州月考）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．则四边形AOCB的面积是（ ）
A．65 B．120 C．130 D．240
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵ 菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，
又∵AB＝10，OA＝13
设AB，OC交点是D，
∴AD=AB=5，
在RtAOD中，OD==12，
∴OC=2OD=24，
∴四边形AOCB的面积=AB×OC=×10×24=120.
故答案为：B.
【分析】 根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形对角线的性质，利用勾股定理，求得OC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
6．（2023九上·灵石月考）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，下列四种说法，其中正确的有个（ ）
四边形是平行四边形；如果，则四边形是矩形；如果平分，则四边形是菱形；如果且，则四边形是菱形。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ DE∥CA，DF∥BA，
∴ 四边形AEDF为平行四边形···正确；
∵ 若∠BAC=90°，
∴ 四边形AEDF为矩形··· 正确；
∵ 若AD平分∠BAC
∴ ∠EAD=∠FAD=∠FDA
∴ AF=DF
∴ 四边形AEDF为菱形··· 正确；
∵ 若AD⊥BC，AB=AC
∴ AD平分∠BAC
∴∴ ∠EAD=∠FAD=∠FDA
∴ AF=DF
∴ 四边形AEDF为菱形··· 正确；
则正确的有4个
故答案为：D.
【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定和等腰三角形的三线合一性质。熟悉运用其判定方法和性质是解题关键。四边形ABCD是平行四边形时，若有一组对边相等，则为菱形，若有一个角为90°，则为矩形。
7．（2023九上·南海期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形.测得A，B的距离为3，A，C的距离为2，则B，D的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解∶ 如图，过点作，，连接，交于点.
两张纸条的宽度相同，
.
，，
四边形是平行四边形.
，
.
四边形是菱形，
，，.
，
.
.
故答案为∶C．
【分析】过点作，，连接，交于点，先证明四边形是菱形，由勾股定理求得，再由菱形性质即可求解．
8．（2023九上·章丘月考）如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连结，分别交，于点、，连结，则下列结论：
；；由点、、、构成的四边形是菱形；其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中位线，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
平行四边形是菱形，故正确；
，，
是的中位线，
，，
，
，
，故正确；
连接，如图：
是等边三角形，平分，平分，
到三边的距离相等，
，
，故错误；
正确的是，
故选：．
【分析】根据菱形性质，全等三角形的判定定理及性质，三角形中位线定理可判断①正确；根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，可得、是等边三角形，再根据菱形的判定定理可判断③正确；根据三角形中位线定理，三角形面积公式可判断④正确；根据等边三角形性质，角平分线性质，三角形面积公式可判断②错误.
二、填空题
9．（2023九上·成都期中）如图，已知线段AB＝8，分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧交于点P，Q，作直线PQ，连接PA，PB，QA，QB．若AP＝5，则四边形APBQ的面积为 ．
【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】由题意可得 四边形APBQ 为菱形，
AB⊥PQ，
AB＝8，AP＝5，
菱形APBQ的面积为
【分析】根据画图可得四边形APBQ为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求得PQ的值，再利用菱形的面积公式即可求解.
10．（2023九上·滕州月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（1，），
∴OA==2，
∵四边形OABC为菱形，
∴OB=BC=CA=AO=2且AC∥OB，
∴点C的坐标为（3，），
故答案为：（3，）。
【分析】根据菱形的性质，结合点A的坐标求出C点的坐标即可。
11．（2023九上·清苑月考）如图，在的两边上分别截取OA，OB，使；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC，BC，AB，OC．
（1）四边形的形状为 ；
（2）若，四边形的周长为12cm．则OC的长为 cm．
【答案】（1）菱形
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】(1)由作图过程可知
OA=OB=AC=BC
故第一空填：菱形
（2）设菱形的对角线相交与D
则
菱形AOBC的周长是12cm
在直角三角形AOD中，
故第二空填：
【分析】(1)由作图过程可得到菱形的结论；
（2）根据菱形对角线互相垂直且平分的性质，利用勾股定理可求得对角线的长。
12．（2022九上·叙州开学考） 如图，是 的边的垂直平分线，垂足点为点，与的延长线交于点，连结，，，则下列结论：；四边形是菱形；；，其中正确的结论有 填写所有正确结论的序号．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，
，故正确，
，，
，
，故正确，
四边形是平行四边形，
，，
垂直平分，
，，
，
四边形是菱形，
，
，，
，故错误；
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质，菱形的判定定理，三角形面积即可求出答案。
13．（2023八下·望花期末）如图，在菱形中，，与交于点，点为延长线上一点，且，连接，分别交、于点、点，连接、，则下列结论：
；
四边形是菱形；
四边形与四边形面积相等．
其中正确的结论有 个
【答案】3
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB//CD，OB=OD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG= CD=AB，故①正确；
②∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，
∴平行四边形ABDE是菱形，故②正确；
③∵四边形ABDE是菱形，
∴S△DGE=S△AGB，
∵OB=OD，
∴S△GOD=S△GOB，
∴S△DGE+S△GOD=S△AGB+S△GOB，
∴S四边形ODEG=S四边形OBAG，故③正确.
故答案：3.
【分析】①由菱形的性质得AB=BC=CD=DA，AB//CD，OB=OD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证四边形ABDE是平行四边形，得AG=DG，进而由三角形中位线定理得OG= AB，故①正确；
②先证明三角形ABD是等边三角形，得AB=BD，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形得平行四边形ABDE是菱形，故②正确；
③由菱形的性质得S△DGE=S△AGB，再由等底同高三角形面积相等得S△GOD=S△GOB，推出S△DGE+S△GOD=S△AGB+S△GOB，则S四边形ODEG=S四边形OBAG，故③正确即可得出结论．
三、解答题
14．（2023九上·龙湾开学考）如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：
，
，，
，
是的中点，
，
，
是菱形，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键。
(1)由三角形中位线定理可得，则，再证，得然后由平行四边形的判定即可得出结论。
(2)根据勾股定理得出，进而由菱形的判定和性质解答即可。
15．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若AB=AD，EC=1，∠BAE=30°，求AD的长；
（2）如图2，若AD=AE，连接DE，过点A作AF⊥AB交ED于点F，在AB上截取AG=AF，连接DG，交AE于点N，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH=DH；
（3）在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5 ，AH=2 ，请直接写出点C到直线DE的距离．
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，∴BE＝AB，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵BC＝BE+EC，EC＝1，
∴AB＝AB+1，解得：AB=2
∴AD＝AB＝2，即AD的长为2
（2）证明：连接EG，
∵AE⊥BC，AF⊥AB，
∴∠GAE+∠EAF＝∠EAF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∵AG＝AF，AE＝AD，
∴△AEG≌△ADF（SAS），
∴∠AEG＝∠ADF，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AEG＝∠ADF＝45°，
∴∠DEG＝90°，即DE⊥EG，
延长AH交DE于点M，
∵AH平分∠DAE，
∴AM⊥DE，DM＝AM，
∴AM∥EG，
∴，
∵DM＝EM，
∴GH＝DH；
（3）解：点C到DE的距离为
【知识点】三角形内角和定理；全等图形的概念；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）∵AN：AD=2：5，AD=AE
∴AN：NE=2：3
由AM∥EG可得
，即
由（2）知：GH=DH，DM=EM
∴HM是的中位线
在中，DM=EM
作GK⊥BC于K，则是等腰直角三角形
由GK∥AE可得
，即
解得：
作CT⊥DE于T，由
∴也是等腰直角三角形
故答案为：
【分析】（1）根据平行四边形性质，菱形的判断定理即可求出答案；
（2） 连接EG， 根据垂线性质，三角形内角和定理，全等三角形判断定理可得△AEG≌△ADF，可得∠AEG＝∠ADF，再根据等腰直角三角形性质可得∠DEG＝90°，即DE⊥EG，延长AH交DE于点M， 根据角平分线性质可得AM⊥DE，DM＝AM，再根据直线平行性质得，整理即可求出答案；
（1）根据相似三角形的判断定理可得，再根据相似比可求出EG的长，再根据三角形中位线定理求出HM，AM，根据勾股定理可求出AD，再根据等腰直角三角形判定定理及性质，相似三角形的判定定理及性质即可求出答案.
四、综合题
16．（2021·青海）如图， 是 的对角线．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段 的垂直平分线 ，交 ， ， 分别于 ， ， ，连接 ， （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形 的形状并说明理由．
【答案】（1）解：作 的垂直平分线
连接 ， ．
（2）解：四边形 是菱形，
理由如下：
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作图求解即可；
（2）先求出
，
， 再求出
， 最后证明求解即可。
17．（2022八下·乐清期中）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：.
探究：
（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值.
【答案】（1）解：①如图1，四边形ABCD是平行四边形，
，
.
平分，
.
.
.
同理可得：.
点E与点F重合，
.
②如图2，点E与点C重合，
同理可证，
∴ ABCD 是菱形，
，
点F与点D重合，
.
（2）解：情况1，如图3，
可得，
.
情况2，如图4，
同理可得，，
又，
.
情况3，如图5，
由上，同理可以得到，
又，
.
综上：的值可以是，，.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质及角平分线的定义，可推出∠DAE=∠DEA，利用等腰三角形的性质可得DE=AD=5，同理可得BC=CF=5，根据AB=CD=DE+CF=AD+BC，继而得解；
② 点E与点C重合，同理可证， 根据菱形的判定可证 ABCD是菱形， 由点F与点D重合，可得EF=CD=5；
（2）分三种情况：①点E、F在CD上且点E在点F左边，②点E、F在CD上且点E在点F右边，②点E、F在CD的延长线上，据此分别画出图形，分别解答即可.
1 / 1湘教版数学八年级下册 2.6.2 菱形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·长安期中） ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD
2．如图，下列条件中，能使 ABCD成为菱形的是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC
C．AB=BC D．AC=BD
3．（2023九上·宿州月考）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直 D．相等
4．（2023九上·绥化期中）如图，在中，是边上的点（与两点不重合），过点作，分别交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若垂直平分，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是萎形
5．（2023九上·宿州月考）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．则四边形AOCB的面积是（ ）
A．65 B．120 C．130 D．240
6．（2023九上·灵石月考）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，下列四种说法，其中正确的有个（ ）
四边形是平行四边形；如果，则四边形是矩形；如果平分，则四边形是菱形；如果且，则四边形是菱形。
A． B． C． D．
7．（2023九上·南海期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形.测得A，B的距离为3，A，C的距离为2，则B，D的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·章丘月考）如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连结，分别交，于点、，连结，则下列结论：
；；由点、、、构成的四边形是菱形；其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·成都期中）如图，已知线段AB＝8，分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧交于点P，Q，作直线PQ，连接PA，PB，QA，QB．若AP＝5，则四边形APBQ的面积为 ．
10．（2023九上·滕州月考）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为，则点C的坐标为 ．
11．（2023九上·清苑月考）如图，在的两边上分别截取OA，OB，使；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C，连接AC，BC，AB，OC．
（1）四边形的形状为 ；
（2）若，四边形的周长为12cm．则OC的长为 cm．
12．（2022九上·叙州开学考） 如图，是 的边的垂直平分线，垂足点为点，与的延长线交于点，连结，，，则下列结论：；四边形是菱形；；，其中正确的结论有 填写所有正确结论的序号．
13．（2023八下·望花期末）如图，在菱形中，，与交于点，点为延长线上一点，且，连接，分别交、于点、点，连接、，则下列结论：
；
四边形是菱形；
四边形与四边形面积相等．
其中正确的结论有 个
三、解答题
14．（2023九上·龙湾开学考）如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
15．（2023九上·沙坪坝开学考）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若AB=AD，EC=1，∠BAE=30°，求AD的长；
（2）如图2，若AD=AE，连接DE，过点A作AF⊥AB交ED于点F，在AB上截取AG=AF，连接DG，交AE于点N，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH=DH；
（3）在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5 ，AH=2 ，请直接写出点C到直线DE的距离．
四、综合题
16．（2021·青海）如图， 是 的对角线．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段 的垂直平分线 ，交 ， ， 分别于 ， ， ，连接 ， （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形 的形状并说明理由．
17．（2022八下·乐清期中）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：.
探究：
（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变.
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长.
（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A．，对角线相等，能判断平行四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是菱形，符合题意
B．，对角线互相垂直，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C．，对角线平分一组对角 ，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D．，一组邻边相等，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的条件加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角即可得到四边形为菱形，即可求解．
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、 ABCD中，本来就有AB=CD；故本选项错误；
B、 ABCD中本来就有AD=CB；故本选项错误；
C、 ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形；故本选项正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故本选项错误．
故选C．
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；菱形的判定
【解析】【解答】
解：∵E、F、G、H分别时AD、AB、BC、CD的中点，
∴EH=AC，EF=BD，
∵四边形EFGH是菱形 ，
∴EH=EF，
∴AC=BD.
故答案为：B.
【分析】 根据中位线定理，菱形的边=四边形的对角线长，因为菱形的边相等，所以四边形对角线长相等.
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、若，则四边形是平行四边形，不一定为矩形，则本项不符合题意；
B、若垂直平分，则四边形是菱形，不是矩形，则本项不符合题意；
C、若，则四边形是平行四边形，不一定为矩形，则本项不符合题意；
D、若平分，则四边形是萎形，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理，逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵ 菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，
又∵AB＝10，OA＝13
设AB，OC交点是D，
∴AD=AB=5，
在RtAOD中，OD==12，
∴OC=2OD=24，
∴四边形AOCB的面积=AB×OC=×10×24=120.
故答案为：B.
【分析】 根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形对角线的性质，利用勾股定理，求得OC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ DE∥CA，DF∥BA，
∴ 四边形AEDF为平行四边形···正确；
∵ 若∠BAC=90°，
∴ 四边形AEDF为矩形··· 正确；
∵ 若AD平分∠BAC
∴ ∠EAD=∠FAD=∠FDA
∴ AF=DF
∴ 四边形AEDF为菱形··· 正确；
∵ 若AD⊥BC，AB=AC
∴ AD平分∠BAC
∴∴ ∠EAD=∠FAD=∠FDA
∴ AF=DF
∴ 四边形AEDF为菱形··· 正确；
则正确的有4个
故答案为：D.
【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定和等腰三角形的三线合一性质。熟悉运用其判定方法和性质是解题关键。四边形ABCD是平行四边形时，若有一组对边相等，则为菱形，若有一个角为90°，则为矩形。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解∶ 如图，过点作，，连接，交于点.
两张纸条的宽度相同，
.
，，
四边形是平行四边形.
，
.
四边形是菱形，
，，.
，
.
.
故答案为∶C．
【分析】过点作，，连接，交于点，先证明四边形是菱形，由勾股定理求得，再由菱形性质即可求解．
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的中位线，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
、是等边三角形，
，，
平行四边形是菱形，故正确；
，，
是的中位线，
，，
，
，
，故正确；
连接，如图：
是等边三角形，平分，平分，
到三边的距离相等，
，
，故错误；
正确的是，
故选：．
【分析】根据菱形性质，全等三角形的判定定理及性质，三角形中位线定理可判断①正确；根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，可得、是等边三角形，再根据菱形的判定定理可判断③正确；根据三角形中位线定理，三角形面积公式可判断④正确；根据等边三角形性质，角平分线性质，三角形面积公式可判断②错误.
9．【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】由题意可得 四边形APBQ 为菱形，
AB⊥PQ，
AB＝8，AP＝5，
菱形APBQ的面积为
【分析】根据画图可得四边形APBQ为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求得PQ的值，再利用菱形的面积公式即可求解.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（1，），
∴OA==2，
∵四边形OABC为菱形，
∴OB=BC=CA=AO=2且AC∥OB，
∴点C的坐标为（3，），
故答案为：（3，）。
【分析】根据菱形的性质，结合点A的坐标求出C点的坐标即可。
11．【答案】（1）菱形
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】(1)由作图过程可知
OA=OB=AC=BC
故第一空填：菱形
（2）设菱形的对角线相交与D
则
菱形AOBC的周长是12cm
在直角三角形AOD中，
故第二空填：
【分析】(1)由作图过程可得到菱形的结论；
（2）根据菱形对角线互相垂直且平分的性质，利用勾股定理可求得对角线的长。
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故正确，
，
，故正确，
，，
，
，故正确，
四边形是平行四边形，
，，
垂直平分，
，，
，
四边形是菱形，
，
，，
，故错误；
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质，菱形的判定定理，三角形面积即可求出答案。
13．【答案】3
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB//CD，OB=OD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG= CD=AB，故①正确；
②∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，
∴平行四边形ABDE是菱形，故②正确；
③∵四边形ABDE是菱形，
∴S△DGE=S△AGB，
∵OB=OD，
∴S△GOD=S△GOB，
∴S△DGE+S△GOD=S△AGB+S△GOB，
∴S四边形ODEG=S四边形OBAG，故③正确.
故答案：3.
【分析】①由菱形的性质得AB=BC=CD=DA，AB//CD，OB=OD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证四边形ABDE是平行四边形，得AG=DG，进而由三角形中位线定理得OG= AB，故①正确；
②先证明三角形ABD是等边三角形，得AB=BD，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形得平行四边形ABDE是菱形，故②正确；
③由菱形的性质得S△DGE=S△AGB，再由等底同高三角形面积相等得S△GOD=S△GOB，推出S△DGE+S△GOD=S△AGB+S△GOB，则S四边形ODEG=S四边形OBAG，故③正确即可得出结论．
14．【答案】（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：
，
，，
，
是的中点，
，
，
是菱形，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键。
(1)由三角形中位线定理可得，则，再证，得然后由平行四边形的判定即可得出结论。
(2)根据勾股定理得出，进而由菱形的判定和性质解答即可。
15．【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，∴BE＝AB，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵BC＝BE+EC，EC＝1，
∴AB＝AB+1，解得：AB=2
∴AD＝AB＝2，即AD的长为2
（2）证明：连接EG，
∵AE⊥BC，AF⊥AB，
∴∠GAE+∠EAF＝∠EAF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∵AG＝AF，AE＝AD，
∴△AEG≌△ADF（SAS），
∴∠AEG＝∠ADF，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AEG＝∠ADF＝45°，
∴∠DEG＝90°，即DE⊥EG，
延长AH交DE于点M，
∵AH平分∠DAE，
∴AM⊥DE，DM＝AM，
∴AM∥EG，
∴，
∵DM＝EM，
∴GH＝DH；
（3）解：点C到DE的距离为
【知识点】三角形内角和定理；全等图形的概念；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）∵AN：AD=2：5，AD=AE
∴AN：NE=2：3
由AM∥EG可得
，即
由（2）知：GH=DH，DM=EM
∴HM是的中位线
在中，DM=EM
作GK⊥BC于K，则是等腰直角三角形
由GK∥AE可得
，即
解得：
作CT⊥DE于T，由
∴也是等腰直角三角形
故答案为：
【分析】（1）根据平行四边形性质，菱形的判断定理即可求出答案；
（2） 连接EG， 根据垂线性质，三角形内角和定理，全等三角形判断定理可得△AEG≌△ADF，可得∠AEG＝∠ADF，再根据等腰直角三角形性质可得∠DEG＝90°，即DE⊥EG，延长AH交DE于点M， 根据角平分线性质可得AM⊥DE，DM＝AM，再根据直线平行性质得，整理即可求出答案；
（1）根据相似三角形的判断定理可得，再根据相似比可求出EG的长，再根据三角形中位线定理求出HM，AM，根据勾股定理可求出AD，再根据等腰直角三角形判定定理及性质，相似三角形的判定定理及性质即可求出答案.
16．【答案】（1）解：作 的垂直平分线
连接 ， ．
（2）解：四边形 是菱形，
理由如下：
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作图求解即可；
（2）先求出
，
， 再求出
， 最后证明求解即可。
17．【答案】（1）解：①如图1，四边形ABCD是平行四边形，
，
.
平分，
.
.
.
同理可得：.
点E与点F重合，
.
②如图2，点E与点C重合，
同理可证，
∴ ABCD 是菱形，
，
点F与点D重合，
.
（2）解：情况1，如图3，
可得，
.
情况2，如图4，
同理可得，，
又，
.
情况3，如图5，
由上，同理可以得到，
又，
.
综上：的值可以是，，.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①根据平行线的性质及角平分线的定义，可推出∠DAE=∠DEA，利用等腰三角形的性质可得DE=AD=5，同理可得BC=CF=5，根据AB=CD=DE+CF=AD+BC，继而得解；
② 点E与点C重合，同理可证， 根据菱形的判定可证 ABCD是菱形， 由点F与点D重合，可得EF=CD=5；
（2）分三种情况：①点E、F在CD上且点E在点F左边，②点E、F在CD上且点E在点F右边，②点E、F在CD的延长线上，据此分别画出图形，分别解答即可.
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