2023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.7 正方形同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019九上·深圳期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
2．（2018·宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023八上·深圳期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．（2023九上·高碑店月考）如图，围绕在正方形四周的四条线段，，，中，长度最长的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·北辰期中）如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt中，是斜边BC的中点，连结AM，以AM为边作正方形AMEF.若，则（ ）
A． B． C．12 D．16
7．（2023八下·抚顺期末）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·新余月考）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·吉林开学考） 如图，是正方形内的一点，连结、，将绕点逆时针旋转到的位置，则它旋转了 度．
10．（2023八下·永吉期末）如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A和正方形B的面积分别为25和9，则正方形C的面积为 ．
11．（2023八下·嵊州期末）小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发现通过添加边、角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形．写出条件①中你认为合适的边、角或对角线的条件是 ．（写出一个即可）
12．（2023·广西） 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
三、解答题
14．如图，四边形ABCD是正方形，C是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．求证：DE-BF=EF．
15．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图②，取AB的中点H，连结HE，求证：AE=EF．
（2）如图③，若点E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF"仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
四、综合题
16．（2020八下·韩城期末）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为3 .求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积.
17．（2022七下·杭州期末）如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形.
（1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比.
（2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，A不符合题意；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，B不符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，C不符合题意；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐项进行判断，正确的命题就是真命题，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，
∴S阴= S正方形ABCD= ，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的轴对称性得出四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，从而得出答案。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；正方形的性质
【解析】【解答】解：①已知大正方形面积为49，可知大正方形的边长为7，直角三角形中三边长分别为x、y和7，所以+==49，正确；②小正方形的面积为4，则小正方形的边长为2，由图可知y+2=x，所以x-y=2，正确；③由①可知+=49，即，由②可知x-y=2，所以可得 2xy+4=49 ，正确；④由且x>0，y>0，解得x=，y=，所以x+y=11，错误；所以说法正确的是①②③.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积可以得到大正方形和小正方形的边长；根据勾股定理，可以得到①正确；根据的结构可以得到②正确；配方法以及根据①和②的结论可以推出③正确；列二元一次方程，代入消元法解得x和y的值，进而求出x+y的值，判断④错误.
4．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，b比边长小，c非常接近边长，a和d大于边长
比较a和d
a的下端比d短了一点，
故d最长
故答案为：D
【分析】了解正方形的性质，四条线段分别与边长比较，再根据图示比较出最大值。
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质知：∠ABE=∠DBE，∠CBF=∠DBF，∴∠ABE+∠CBF=∠DBE+∠DBF==45°，∴∠EBF=45°。
故答案为：C.
【分析】根据折叠性质得出∠EBF=，再根据正方形的性质得到∠ABC=90°，从而得到∠EBF=45°。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵四边形AMEF是正方形，
又∵S正方形AMEF＝16，
∴AM2＝16，
∴AM＝4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴，
即BC＝2AM＝8，
在Rt△ABC中，AB＝4，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，在Rt△ABC中通过勾股定理求出AC的长，最后利用直角三角形的面积公式可求出△ABC的面积即可解答．
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴，
∵为等边三角形 ，
∴∠EAO=60°，
∵，
∴
在中，
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得：，再根据等边三角形的性质得∠EAO=60°，进而求得：，根据含30°角的直角三角形的性质得：，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】如图，
由题意可得：∠4=90°，∠5=∠6=60°，
∠3=60°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，
∠1+∠2=360°-∠3-∠4-∠5-∠6=360°-60°-90°-60°-60°=90°，
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质、等边三角形的性质，可得∠4、∠5、∠6的度数，利用6个角的和等于360°，即可求解.
9．【答案】90
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵将绕点逆时针旋转到的位置，
∴旋转了90°，
故答案为：90.
【分析】根据正方形的性质求出∠ABC=90°，再根据旋转的性质计算求解即可。
10．【答案】34
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形A和正方形B的面积分别为25和9，
∴正方形C的面积为25+9=34，
故答案为：34.
【分析】根据正方形的面积，利用勾股定理计算求解即可。
11．【答案】对角线互相垂直（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的矩形是正方形.
故答案为：对角线互相垂直.
【分析】正方形的判定定理：一组邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC=2，
∴
∵点M、N分别是EF和AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴NM=AE，
要使MN最大，则AE的长最大，
∴当点E和点C重合时，AE（AC）最大，
∴.
故答案为：
【分析】连接AE，利用正方形的性质可证得∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理求出AC的长；利用已知易证MN是△AEF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到NM=AE，要使MN最大，则AE的长最大，可得到当点E和点C重合时，AE（AC）最大，即可求出MN的最大值.
13．【答案】
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ，
故答案为：3
【分析】根据正方形的四条边相等和四个角是直角求出对角线AC的长，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得∠E=∠ECA，根据等角对等边得出AE=AC.
14．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°．
∵DE⊥AG，∴∠AED=∠DEF=90°．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEF=∠AED=90°，∴∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠DAE= 90° ，
∴∠BAF= ∠ADE．在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF=AE，AF=DE，
∴AF-AE= EF．∴DE-BF= EF．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠AFB=∠DEF=∠AED=90°，再利用余角的性质证得∠BAF= ∠ADE，然后通过AAS判定△ABF≌△DAE得到BF=AE，AF=DE，进而证得DE-BF= EF．
15．【答案】（1）解：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，
∴∠1+∠AEB=90° ，∠2+∠AEB= 90°，AB=BC，∠DCG= 90°，
∴∠1=∠2．
∵ 点E是边BC的中点， 点H是边AB的中点，
∴BH=AH=AB，BE= CE=BC，
∴BH= BE=AH= CE，∠BHE= 45°，
∵ CF是∠DCG的角平分线，
∴∠ FCG=45°，
∴∠AHE= ∠ ECF= 135° ，
在△AHE和△ECF中，
∴△AHE≌△ECF(ASA) ，
∴AE= EF．
（2）解：AE=EF成立．
证明：如图②，延长BA到点M，使AM=CE，
∵∠AEF=90°，∴∠FEG+∠AEB= 90°．∵∠BAE+∠AEB= 90° ，
∴∠BAE=∠FEG，∴∠MAE=∠CEF．∵AB= BC，∴AB+AM= BC+CE，
即BM=BE，∴∠M=45°，∴∠M=∠FCE．
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF(ASA) ，∴AE=EF．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用余角的性质可得∠1=∠2，再通过正方形的性质证得AH= CE，∠BHE= ∠ FCG=45°，然后通过ASA判定△AHE≌△ECF证得AE= EF．
(2)延长BA到点M，使AM=CE，利用余角的性质证得∠BAE=∠FEG，进而得到∠MAE=∠CEF，再通过正方形的性质证得BM=BE得到∠M=∠FCE，然后由ASA判定△AME≌△ECF证得AE=EF．
16．【答案】（1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为：
（ ）
（2）解：长方体盒子的体积：
（ ）
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）长方体盒子的面积等于原来正方形的面积减去四个小正方形的面积.
（2）根据长方体体积计算公式，底面积×高，即可计算出.
17．【答案】（1）解：根据题意得： 种小麦： ， 种小麦： ，
则 ， 两种小麦单位面积产量的比为 ： ；
（2）解：把 代入得： ， ，
，
种小麦单位产量较大；
（3）解：根据题意得： ，
整理得： ，
， ，
，
整理得： .
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】（1）由题意可得A种小麦单位面积产量为，B种小麦单位面积产量为，然后求比值即可；
（2）将a=2b分别代入、中进行计算，然后比较即可；
（3）令=，整理可得4a2-4b2=4(a+b)(a-b)=(a+b)2，则4(a-b)=a+b，化简即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数八年级下册 2.7 正方形同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019九上·深圳期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，A不符合题意；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，B不符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，C不符合题意；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐项进行判断，正确的命题就是真命题，即可求解.
2．（2018·宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，
∴S阴= S正方形ABCD= ，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的轴对称性得出四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，从而得出答案。
3．（2023八上·深圳期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；正方形的性质
【解析】【解答】解：①已知大正方形面积为49，可知大正方形的边长为7，直角三角形中三边长分别为x、y和7，所以+==49，正确；②小正方形的面积为4，则小正方形的边长为2，由图可知y+2=x，所以x-y=2，正确；③由①可知+=49，即，由②可知x-y=2，所以可得 2xy+4=49 ，正确；④由且x>0，y>0，解得x=，y=，所以x+y=11，错误；所以说法正确的是①②③.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的面积可以得到大正方形和小正方形的边长；根据勾股定理，可以得到①正确；根据的结构可以得到②正确；配方法以及根据①和②的结论可以推出③正确；列二元一次方程，代入消元法解得x和y的值，进而求出x+y的值，判断④错误.
4．（2023九上·高碑店月考）如图，围绕在正方形四周的四条线段，，，中，长度最长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，b比边长小，c非常接近边长，a和d大于边长
比较a和d
a的下端比d短了一点，
故d最长
故答案为：D
【分析】了解正方形的性质，四条线段分别与边长比较，再根据图示比较出最大值。
5．（2023八下·北辰期中）如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠性质知：∠ABE=∠DBE，∠CBF=∠DBF，∴∠ABE+∠CBF=∠DBE+∠DBF==45°，∴∠EBF=45°。
故答案为：C.
【分析】根据折叠性质得出∠EBF=，再根据正方形的性质得到∠ABC=90°，从而得到∠EBF=45°。
6．如图，在Rt中，是斜边BC的中点，连结AM，以AM为边作正方形AMEF.若，则（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵四边形AMEF是正方形，
又∵S正方形AMEF＝16，
∴AM2＝16，
∴AM＝4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴，
即BC＝2AM＝8，
在Rt△ABC中，AB＝4，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，在Rt△ABC中通过勾股定理求出AC的长，最后利用直角三角形的面积公式可求出△ABC的面积即可解答．
7．（2023八下·抚顺期末）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴，
∵为等边三角形 ，
∴∠EAO=60°，
∵，
∴
在中，
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得：，再根据等边三角形的性质得∠EAO=60°，进而求得：，根据含30°角的直角三角形的性质得：，即可求解.
8．（2023八上·新余月考）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；正方形的性质
【解析】【解答】如图，
由题意可得：∠4=90°，∠5=∠6=60°，
∠3=60°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，
∠1+∠2=360°-∠3-∠4-∠5-∠6=360°-60°-90°-60°-60°=90°，
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质、等边三角形的性质，可得∠4、∠5、∠6的度数，利用6个角的和等于360°，即可求解.
二、填空题
9．（2023八上·吉林开学考） 如图，是正方形内的一点，连结、，将绕点逆时针旋转到的位置，则它旋转了 度．
【答案】90
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵将绕点逆时针旋转到的位置，
∴旋转了90°，
故答案为：90.
【分析】根据正方形的性质求出∠ABC=90°，再根据旋转的性质计算求解即可。
10．（2023八下·永吉期末）如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A和正方形B的面积分别为25和9，则正方形C的面积为 ．
【答案】34
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形A和正方形B的面积分别为25和9，
∴正方形C的面积为25+9=34，
故答案为：34.
【分析】根据正方形的面积，利用勾股定理计算求解即可。
11．（2023八下·嵊州期末）小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发现通过添加边、角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形．写出条件①中你认为合适的边、角或对角线的条件是 ．（写出一个即可）
【答案】对角线互相垂直（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的矩形是正方形.
故答案为：对角线互相垂直.
【分析】正方形的判定定理：一组邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形.
12．（2023·广西） 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC=2，
∴
∵点M、N分别是EF和AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴NM=AE，
要使MN最大，则AE的长最大，
∴当点E和点C重合时，AE（AC）最大，
∴.
故答案为：
【分析】连接AE，利用正方形的性质可证得∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理求出AC的长；利用已知易证MN是△AEF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到NM=AE，要使MN最大，则AE的长最大，可得到当点E和点C重合时，AE（AC）最大，即可求出MN的最大值.
13．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
【答案】
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ，
故答案为：3
【分析】根据正方形的四条边相等和四个角是直角求出对角线AC的长，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得∠E=∠ECA，根据等角对等边得出AE=AC.
三、解答题
14．如图，四边形ABCD是正方形，C是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．求证：DE-BF=EF．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°．
∵DE⊥AG，∴∠AED=∠DEF=90°．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEF=∠AED=90°，∴∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠DAE= 90° ，
∴∠BAF= ∠ADE．在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF=AE，AF=DE，
∴AF-AE= EF．∴DE-BF= EF．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠AFB=∠DEF=∠AED=90°，再利用余角的性质证得∠BAF= ∠ADE，然后通过AAS判定△ABF≌△DAE得到BF=AE，AF=DE，进而证得DE-BF= EF．
15．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图②，取AB的中点H，连结HE，求证：AE=EF．
（2）如图③，若点E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF"仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，
∴∠1+∠AEB=90° ，∠2+∠AEB= 90°，AB=BC，∠DCG= 90°，
∴∠1=∠2．
∵ 点E是边BC的中点， 点H是边AB的中点，
∴BH=AH=AB，BE= CE=BC，
∴BH= BE=AH= CE，∠BHE= 45°，
∵ CF是∠DCG的角平分线，
∴∠ FCG=45°，
∴∠AHE= ∠ ECF= 135° ，
在△AHE和△ECF中，
∴△AHE≌△ECF(ASA) ，
∴AE= EF．
（2）解：AE=EF成立．
证明：如图②，延长BA到点M，使AM=CE，
∵∠AEF=90°，∴∠FEG+∠AEB= 90°．∵∠BAE+∠AEB= 90° ，
∴∠BAE=∠FEG，∴∠MAE=∠CEF．∵AB= BC，∴AB+AM= BC+CE，
即BM=BE，∴∠M=45°，∴∠M=∠FCE．
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF(ASA) ，∴AE=EF．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用余角的性质可得∠1=∠2，再通过正方形的性质证得AH= CE，∠BHE= ∠ FCG=45°，然后通过ASA判定△AHE≌△ECF证得AE= EF．
(2)延长BA到点M，使AM=CE，利用余角的性质证得∠BAE=∠FEG，进而得到∠MAE=∠CEF，再通过正方形的性质证得BM=BE得到∠M=∠FCE，然后由ASA判定△AME≌△ECF证得AE=EF．
四、综合题
16．（2020八下·韩城期末）如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为3 .求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积.
【答案】（1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为：
（ ）
（2）解：长方体盒子的体积：
（ ）
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）长方体盒子的面积等于原来正方形的面积减去四个小正方形的面积.
（2）根据长方体体积计算公式，底面积×高，即可计算出.
17．（2022七下·杭州期末）如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形.
（1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比.
（2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式.
【答案】（1）解：根据题意得： 种小麦： ， 种小麦： ，
则 ， 两种小麦单位面积产量的比为 ： ；
（2）解：把 代入得： ， ，
，
种小麦单位产量较大；
（3）解：根据题意得： ，
整理得： ，
， ，
，
整理得： .
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】（1）由题意可得A种小麦单位面积产量为，B种小麦单位面积产量为，然后求比值即可；
（2）将a=2b分别代入、中进行计算，然后比较即可；
（3）令=，整理可得4a2-4b2=4(a+b)(a-b)=(a+b)2，则4(a-b)=a+b，化简即可.
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