湘教版数学八年级下册 2.7 正方形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017八下·港南期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2．（2017八下·凉山期末）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF=（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八下·包河期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（ ）
A．四边形ADEF一定是平行四边形
B．若∠B+∠C=90°，则四边形ADEF是矩形
C．若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形
D．若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形
5．（2017八下·江阴期中）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线。将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG。则下列结论：
①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②
6．（2023八下·辛集期末）如图，中，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·台江期末）如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2023八下·綦江期中）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
10．（2019八下·温州期中）如图，△ABC中，∠ACB =90°，AC=9，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，已知DF=4，则AD的长是 .
11．（2020八下·海安月考）如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是 .
12．（2023八下·青秀期末）如图，正方形的边长为，点，分别在，上若，，则的长为 ．
13．（2023八下·武鸣期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，作交于点P，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则：等于 ．
三、解答题
14．（2023八下·裕华期末）如图，在中，，过点的直线，为上一点，过点作，交直线于点，垂足为，连接，．
（1）求证：；
（2）当点是的中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）请直接写出在的条件下，当 时，四边形是正方形．
15．（2023八下·青秀期末）已知正方形．
（1）如图所示，若点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，则与的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图所示，若是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接和请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图所示，在（2）的条件下，连接若，，求线段的长．
四、综合题
16．（2023八下·香河期末）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．
（1）在图1中补全图形， （填“”“”或“”）；
（2）猜想和的数量关系，并证明．
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
17．（2023八下·海淀期末）在正方形中，点为边上一点不与点、重合，于点，于点．
（1）如图，求证：；
（2）如图，若为中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
（3）若，，直接写出线段的长是 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
2．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AC= ，
∴AB= ，
∴BE= ﹣x= ，
∴BE+DF= x﹣x≠ x，（故④错误），
∵S△CEF= x2，
S△ABE= x2，
∴2S△ABE= x2=S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
3．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=1，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，∠CBO=∠BCO=45°，OB=BD，
∴BD==，∠BOC=90°，
∴OB=，
∵PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴∠OEP=∠OFP=90°=∠EOF，△BEP是等腰直角三角形，
∴四边形OEPF是矩形，PE=BE，
∴PF=OE，
∴PE+PF=BE+OE=OB=；
故选：B．
【分析】先根据勾股定理求出对角线BD，证明△BEP是等腰直角三角形，得出PE=BE，再证明四边形OEPF是矩形，得出PF=OE，得出PE+PF=BE+OE=OB即可．
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴EF=AD=DB= AB，DE=AF=FC= AC，EF∥AB，DE∥AC
∴四边形ADEF是平行四边形
故A符合题意，
若∠B+∠C=90°，则∠A=90°
∴四边形ADEF是矩形，
故B符合题意，
若四边形ADEF是菱形，则AD=AF，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
故C不一定符合题意
若四边形ADEF是正方形，则AD=AF，∠A=90°
∴AB=AC，∠A=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
故D符合题意
故答案为：C．
【分析】利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴△AED≌△GED，故①正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故②正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE= AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜ ，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质，ABCD是正方形得到AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，再由旋转的性质，得到Rt△AED≌Rt△GED，得到AE=EG，得到四边形AEGF是菱形，再根据三角形的外角性质，求出∠DFG的度数.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】连接PF，设PC交AF于点G，AM交EF于点H，
由题知∠F=∠GAB=90°，AF=BA，∠FAH=∠ABG，∴△AFH≌△BAG，
同理可证得△ABC≌△AFQ，△ABC≌△EBN，△EMH≌△FPG，
∴S1+S3=S2=S4=S△ABC
∵
∴
故B正确，A、C、D错误。
故答案为： B
【分析】利用正方形和直角三角形所具有的性质，论证图中所有的全等三角形，等面积转化可知阴影部分面积是三角形ABC面积的三倍，故可求正确答案。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°=∠BCD=∠D=∠A，BC=CD=AB=AD=6，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE=，
∴AE=AB-BE=3，
延长AB至点G，使BG=DF，连接CG，EF，
在△CDF与△CBG中，
∵CD=CB，∠D=∠CBG=90°，DF=BG，
∴△CDF≌△CBG（SAS），
∴CF=CG，∠DCF=∠BCG，
∵∠ECF=45°，
∴∠DCF+∠BCE=90°-∠ECF=45°=∠BCE+∠BCG=∠ECG=45°，
∴∠ECG=∠ECF=45°，
在△ECF与△ECG中，
∵CF=CG，∠ECG=∠ECF，CE=CE，
∴△ECF≌△ECG（SAS），
∴EG=EF，
设AF=x，则DF=BG=6-x，EG=EF=3+6-x=9-x，
在Rt△AEF中，∵AF2+AE2=EF2，∴x2+32=(9-x)2，
解得x=4，
∴AF=4.
故答案为：D.
【分析】首先由正方形性质得∠B=90°=∠BCD=∠D=∠A，BC=CD=AB=AD=6，在Rt△BCE中，由勾股定理算出BE，从而可得AE的长；延长AB至点G，使BG=DF，连接CG，EF，利用SAS证△CDF≌△CBG，得CF=CG，∠DCF=∠BCG，进而根据角的和差及等量代换可得∠ECG=∠ECF=45°，再由SAS证△ECF≌△ECG，得EG=EF，设AF=x，则DF=BG=6-x，EG=EF=3+6-x=9-x，在Rt△AEF中，利用勾股定理建立方程求解可得答案.
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四边形BCFN是矩形，
∴NP=EP=BE，BC=NF，
∴AN=PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
在△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF，（故②正确）；
∵P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形不一定成立，（故③错误）；
∵AP=EF，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值即EF有最小值，
∵AB=AD，AP⊥BD，
∴此时P为BD的中点，
又∵∠BAD=90°，
∴，即EF的最小值为（故⑤正确）
故正确的是：①②④⑤．
故选：C．
【分析】根据正方形性质，全等三角形的判定定理及性质，等腰三角形的判定定理及性质即可求出答案。
9．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】如图所示：
连接OD，OC
∵ O为正方形ABCD的中心，边长为4
∴ OD=OC，OD⊥OC，∠ODM=∠OCN=45°，
∵ 四边形GOEF为正方形
∴ ∠MON=90°
∴ ∠MOD+∠ODN=∠NOC+∠ODN
∴ ∠MOD=∠NOC
∴
∴=4
∴图中阴影部分的面积为 4
【分析】本题考查正方形的性质。根据O为正方形的中心，可利用中心构造三角形全等，把阴影部分的面积分割，替换，可得阴影部分的面积是正方形面积的.方法二：如图所示：过点O作OH⊥AD，OK⊥DC，证，可得=4.灵活运用正方形的性质很重要。
10．【答案】
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】 在 中， CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F
，
四边形EDFC是正方形，
，
根据勾股定理可知：
可得
，
故答案为：
【分析】利用角平分线的性质，易证DE=DF，再证明四边形EDFC是正方形，利用正方形的性质求出DE、AE的长，然后利用勾股定理求出AD的长。
11．【答案】5.
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，
∴∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
∵在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，
∵在Rt△ABE中，AB＝6，AE=2，
∴由勾股定理得：BE=，
∴CE＝BC-BE＝6-2＝4，
设：DF＝x，则BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6-x，
∵在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2，
∴42+（6-x）2＝（2+x）2，解得x＝3，
∴DF＝3，
∵在Rt△ADF中，
∴由勾股定理得：AF=，
故答案为：.
【分析】如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，先利用SAS证明△ABG≌△ADF，得出AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，然后利用∠EAF＝45°，求出∠EAG＝45°，得出∠EAF＝∠EAG，再利用SAS证明△EAG≌△EAF，得出EG＝EF，在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE＝2，然后设DF＝x，分别用含x的式子表示出BG、EG、EF、CF的长，最后根据勾股定理列方程求解即可．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG=45°，CP⊥ CG，
∴∠BCP=45°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，即CP平分∠ ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴ PM=PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1=4，S2=7，
∴正方形BCFG的面积=7-4=3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】本题首先作出辅助线，得到PM=PN，再根据两个正方形的面积之比得到AC与BC的比，通过AC与BC的比即可得到两个三角形的面积之比.
14．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
（3）45
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）若为中点，当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴CD=DB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形；
故答案为：45°.
【分析】（1）由垂直的定义可得=90°，可得AC∥DE，由CE∥AD，根据两组对边分别平行可证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论；
（2） 四边形是菱形，理由：先证四边形是平行四边形， 由直角三角形斜边中线的性质可得CD=BD，根据菱形的判定即证结论；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，根据正方形的判定定理证明即可.
15．【答案】（1）；
（2）解： ， ，理由如下：
延长BE 、 GD相交于点H.
正方形ECGF 、正方形ABCD ，
， ， ，
，即 ，
≌ ，
， ，
正方形ECGF ，
，
， ，
，
又 ，
，
；
， ；
（3）解：如图所示，过点G作GM⊥AD交AD延长线于M，过点G作GN⊥AB于N，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
≌ ，
， ，
，
， ，
四边形AMGN是矩形，
， ，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）如图所示，延长GD交BE于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠BCD＝90°，
∵四边形ECGF是正方形，
∴CG＝CE，∠ECG＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE＝90°，
在△DCG和△BCE中，
，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴DG＝BE，∠DGC＝∠BEC，
∵∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠DGC＝90°，
∴∠BHG＝180°-∠HBG-∠HGB＝90°，
∴BE⊥DG，
∴BE与DG的数量关系为DG＝BE，位置关系为BE⊥DG，
故答案为：DG＝BE，BE⊥DG；
【分析】（1）如图所示，延长GD交BE于H，利用SAS证明出△DCG≌△BCE，得到DG＝BE，∠DGC＝∠BEC，然后根据三角形内角和定理求出∠BHG＝90°，即BE⊥DG；
（2）延长BE、GD相交于点H，利用SAS证明出△DCG≌△BCE，从而得到DG＝BE，∠BEC=∠DGC，再由正方形的性质可得知∠FEC=90°，然后根据同角的余角相等得出∠HEF＝∠FGH，由此可证得∠H＝∠F＝90°，则DG⊥BE；
（3）如图所示，过点G作GM⊥AD交AD延长线于M，过点G作GN⊥AB于N，利用AAS证明△ABE≌△MDG，得到DM＝AB＝3，MG＝AE＝1，从而求出AM＝AD+DM＝6，再由三个角是直角证明四边形AMGN是矩形，得到GN＝AM＝6，AN＝MG＝1，BN＝2，最后在Rt△BNG中利用勾股定理即可求出BG的长．
16．【答案】（1）补全图形如图所示 ； =
（2）解：，证明如下：
由（1）可知，
∵四边形是正方形，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
（3）解：，证明如下：
如图，过点A作，与射线交于点Q．
∵，
∴，
由对称性可知，
又∵，
∴为等腰直角三角形．
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵点D、F关于对称，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：=
【分析】
(1)∠BAP和∠DAP互余，∠ADF也和∠DAP互余，可得∠BAP=∠ADF，再结合对称可得出∠ADF=∠AFD，从而得出结论。
(2)先证明AF=AD=AB，得出∠AFB=∠ABF，再根据外角的性质和(1)中结论推导 出结果。
(3)过A作AQ⊥AP与PD相交于Q，证明△ABP≌△ADQ，得BP=DQ，AP=AQ，再结合勾股定理证得结论
17．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
在和中
∴．
∴．
（2）解：．
理由如下：
如图所示，过点分别作，的垂线，分别交，于点，，设的中点为，连接．
根据题意可知．
∵四边形是正方形，
∴．
∴四边形是矩形．
∴，．
∵为中点，
∴．
∵为的中点，为的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
设．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
（3）
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】(3)解：根据(1)的结论，BF=CG，AF=BG
在直角三角形中，
故填：
【分析】 (1)通过证两边所在的三角形全等，证得边相等；
(2)AD是正方形边长，与BC相等，可以通过勾股定理在BC所在的直角三角形中求，利用(1)的结论，根据线段之间的关系，分别表示各线段长，DF在直角三角形中求，通过作辅助线把它的两条直角边找到，用已知线段表示未知线段，根据勾股定理找到等式，求解即可得到相等的结论。
(3)根据1的结论，由勾股定理求DF，先求两直角边，就要找到这两未知线段与已知线段的关系，通过矩形性质和勾股定理可以做到这一点。
1 / 1湘教版数学八年级下册 2.7 正方形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2017八下·港南期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
2．（2017八下·凉山期末）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AC= ，
∴AB= ，
∴BE= ﹣x= ，
∴BE+DF= x﹣x≠ x，（故④错误），
∵S△CEF= x2，
S△ABE= x2，
∴2S△ABE= x2=S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
3．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=1，AC⊥BD，∠ABC=∠BCD=90°，∠CBO=∠BCO=45°，OB=BD，
∴BD==，∠BOC=90°，
∴OB=，
∵PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴∠OEP=∠OFP=90°=∠EOF，△BEP是等腰直角三角形，
∴四边形OEPF是矩形，PE=BE，
∴PF=OE，
∴PE+PF=BE+OE=OB=；
故选：B．
【分析】先根据勾股定理求出对角线BD，证明△BEP是等腰直角三角形，得出PE=BE，再证明四边形OEPF是矩形，得出PF=OE，得出PE+PF=BE+OE=OB即可．
4．（2019八下·包河期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（ ）
A．四边形ADEF一定是平行四边形
B．若∠B+∠C=90°，则四边形ADEF是矩形
C．若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形
D．若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴EF=AD=DB= AB，DE=AF=FC= AC，EF∥AB，DE∥AC
∴四边形ADEF是平行四边形
故A符合题意，
若∠B+∠C=90°，则∠A=90°
∴四边形ADEF是矩形，
故B符合题意，
若四边形ADEF是菱形，则AD=AF，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
故C不一定符合题意
若四边形ADEF是正方形，则AD=AF，∠A=90°
∴AB=AC，∠A=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
故D符合题意
故答案为：C．
【分析】利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．
5．（2017八下·江阴期中）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线。将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG。则下列结论：
①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴△AED≌△GED，故①正确，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，故②正确，
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．
∵AE=FG=EG=BG，BE= AE，
∴BE＞AE，
∴AE＜ ，
∴CB+FG＜1.5，故④错误．
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质，ABCD是正方形得到AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，再由旋转的性质，得到Rt△AED≌Rt△GED，得到AE=EG，得到四边形AEGF是菱形，再根据三角形的外角性质，求出∠DFG的度数.
6．（2023八下·辛集期末）如图，中，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】连接PF，设PC交AF于点G，AM交EF于点H，
由题知∠F=∠GAB=90°，AF=BA，∠FAH=∠ABG，∴△AFH≌△BAG，
同理可证得△ABC≌△AFQ，△ABC≌△EBN，△EMH≌△FPG，
∴S1+S3=S2=S4=S△ABC
∵
∴
故B正确，A、C、D错误。
故答案为： B
【分析】利用正方形和直角三角形所具有的性质，论证图中所有的全等三角形，等面积转化可知阴影部分面积是三角形ABC面积的三倍，故可求正确答案。
7．（2023八下·台江期末）如图，正方形的边长为，点，分别在，上，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°=∠BCD=∠D=∠A，BC=CD=AB=AD=6，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE=，
∴AE=AB-BE=3，
延长AB至点G，使BG=DF，连接CG，EF，
在△CDF与△CBG中，
∵CD=CB，∠D=∠CBG=90°，DF=BG，
∴△CDF≌△CBG（SAS），
∴CF=CG，∠DCF=∠BCG，
∵∠ECF=45°，
∴∠DCF+∠BCE=90°-∠ECF=45°=∠BCE+∠BCG=∠ECG=45°，
∴∠ECG=∠ECF=45°，
在△ECF与△ECG中，
∵CF=CG，∠ECG=∠ECF，CE=CE，
∴△ECF≌△ECG（SAS），
∴EG=EF，
设AF=x，则DF=BG=6-x，EG=EF=3+6-x=9-x，
在Rt△AEF中，∵AF2+AE2=EF2，∴x2+32=(9-x)2，
解得x=4，
∴AF=4.
故答案为：D.
【分析】首先由正方形性质得∠B=90°=∠BCD=∠D=∠A，BC=CD=AB=AD=6，在Rt△BCE中，由勾股定理算出BE，从而可得AE的长；延长AB至点G，使BG=DF，连接CG，EF，利用SAS证△CDF≌△CBG，得CF=CG，∠DCF=∠BCG，进而根据角的和差及等量代换可得∠ECG=∠ECF=45°，再由SAS证△ECF≌△ECG，得EG=EF，设AF=x，则DF=BG=6-x，EG=EF=3+6-x=9-x，在Rt△AEF中，利用勾股定理建立方程求解可得答案.
8．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四边形BCFN是矩形，
∴NP=EP=BE，BC=NF，
∴AN=PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
在△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF，（故②正确）；
∵P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形不一定成立，（故③错误）；
∵AP=EF，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值即EF有最小值，
∵AB=AD，AP⊥BD，
∴此时P为BD的中点，
又∵∠BAD=90°，
∴，即EF的最小值为（故⑤正确）
故正确的是：①②④⑤．
故选：C．
【分析】根据正方形性质，全等三角形的判定定理及性质，等腰三角形的判定定理及性质即可求出答案。
二、填空题
9．（2023八下·綦江期中）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】如图所示：
连接OD，OC
∵ O为正方形ABCD的中心，边长为4
∴ OD=OC，OD⊥OC，∠ODM=∠OCN=45°，
∵ 四边形GOEF为正方形
∴ ∠MON=90°
∴ ∠MOD+∠ODN=∠NOC+∠ODN
∴ ∠MOD=∠NOC
∴
∴=4
∴图中阴影部分的面积为 4
【分析】本题考查正方形的性质。根据O为正方形的中心，可利用中心构造三角形全等，把阴影部分的面积分割，替换，可得阴影部分的面积是正方形面积的.方法二：如图所示：过点O作OH⊥AD，OK⊥DC，证，可得=4.灵活运用正方形的性质很重要。
10．（2019八下·温州期中）如图，△ABC中，∠ACB =90°，AC=9，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，已知DF=4，则AD的长是 .
【答案】
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】 在 中， CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F
，
四边形EDFC是正方形，
，
根据勾股定理可知：
可得
，
故答案为：
【分析】利用角平分线的性质，易证DE=DF，再证明四边形EDFC是正方形，利用正方形的性质求出DE、AE的长，然后利用勾股定理求出AD的长。
11．（2020八下·海安月考）如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是 .
【答案】5.
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5.
【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积.
12．（2023八下·青秀期末）如图，正方形的边长为，点，分别在，上若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，
∴∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
∵在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，
∵在Rt△ABE中，AB＝6，AE=2，
∴由勾股定理得：BE=，
∴CE＝BC-BE＝6-2＝4，
设：DF＝x，则BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6-x，
∵在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2，
∴42+（6-x）2＝（2+x）2，解得x＝3，
∴DF＝3，
∵在Rt△ADF中，
∴由勾股定理得：AF=，
故答案为：.
【分析】如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，先利用SAS证明△ABG≌△ADF，得出AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，然后利用∠EAF＝45°，求出∠EAG＝45°，得出∠EAF＝∠EAG，再利用SAS证明△EAG≌△EAF，得出EG＝EF，在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE＝2，然后设DF＝x，分别用含x的式子表示出BG、EG、EF、CF的长，最后根据勾股定理列方程求解即可．
13．（2023八下·武鸣期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，作交于点P，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则：等于 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG=45°，CP⊥ CG，
∴∠BCP=45°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，即CP平分∠ ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴ PM=PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1=4，S2=7，
∴正方形BCFG的面积=7-4=3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】本题首先作出辅助线，得到PM=PN，再根据两个正方形的面积之比得到AC与BC的比，通过AC与BC的比即可得到两个三角形的面积之比.
三、解答题
14．（2023八下·裕华期末）如图，在中，，过点的直线，为上一点，过点作，交直线于点，垂足为，连接，．
（1）求证：；
（2）当点是的中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
（3）请直接写出在的条件下，当 时，四边形是正方形．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
（3）45
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）若为中点，当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴CD=DB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形；
故答案为：45°.
【分析】（1）由垂直的定义可得=90°，可得AC∥DE，由CE∥AD，根据两组对边分别平行可证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论；
（2） 四边形是菱形，理由：先证四边形是平行四边形， 由直角三角形斜边中线的性质可得CD=BD，根据菱形的判定即证结论；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，根据正方形的判定定理证明即可.
15．（2023八下·青秀期末）已知正方形．
（1）如图所示，若点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，则与的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）如图所示，若是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接和请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图所示，在（2）的条件下，连接若，，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）解： ， ，理由如下：
延长BE 、 GD相交于点H.
正方形ECGF 、正方形ABCD ，
， ， ，
，即 ，
≌ ，
， ，
正方形ECGF ，
，
， ，
，
又 ，
，
；
， ；
（3）解：如图所示，过点G作GM⊥AD交AD延长线于M，过点G作GN⊥AB于N，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
≌ ，
， ，
，
， ，
四边形AMGN是矩形，
， ，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）如图所示，延长GD交BE于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠BCD＝90°，
∵四边形ECGF是正方形，
∴CG＝CE，∠ECG＝90°，
∴∠DCG＝∠BCE＝90°，
在△DCG和△BCE中，
，
∴△DCG≌△BCE（SAS），
∴DG＝BE，∠DGC＝∠BEC，
∵∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠DGC＝90°，
∴∠BHG＝180°-∠HBG-∠HGB＝90°，
∴BE⊥DG，
∴BE与DG的数量关系为DG＝BE，位置关系为BE⊥DG，
故答案为：DG＝BE，BE⊥DG；
【分析】（1）如图所示，延长GD交BE于H，利用SAS证明出△DCG≌△BCE，得到DG＝BE，∠DGC＝∠BEC，然后根据三角形内角和定理求出∠BHG＝90°，即BE⊥DG；
（2）延长BE、GD相交于点H，利用SAS证明出△DCG≌△BCE，从而得到DG＝BE，∠BEC=∠DGC，再由正方形的性质可得知∠FEC=90°，然后根据同角的余角相等得出∠HEF＝∠FGH，由此可证得∠H＝∠F＝90°，则DG⊥BE；
（3）如图所示，过点G作GM⊥AD交AD延长线于M，过点G作GN⊥AB于N，利用AAS证明△ABE≌△MDG，得到DM＝AB＝3，MG＝AE＝1，从而求出AM＝AD+DM＝6，再由三个角是直角证明四边形AMGN是矩形，得到GN＝AM＝6，AN＝MG＝1，BN＝2，最后在Rt△BNG中利用勾股定理即可求出BG的长．
四、综合题
16．（2023八下·香河期末）如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．
（1）在图1中补全图形， （填“”“”或“”）；
（2）猜想和的数量关系，并证明．
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形如图所示 ； =
（2）解：，证明如下：
由（1）可知，
∵四边形是正方形，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
（3）解：，证明如下：
如图，过点A作，与射线交于点Q．
∵，
∴，
由对称性可知，
又∵，
∴为等腰直角三角形．
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）∵点D、F关于对称，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：=
【分析】
(1)∠BAP和∠DAP互余，∠ADF也和∠DAP互余，可得∠BAP=∠ADF，再结合对称可得出∠ADF=∠AFD，从而得出结论。
(2)先证明AF=AD=AB，得出∠AFB=∠ABF，再根据外角的性质和(1)中结论推导 出结果。
(3)过A作AQ⊥AP与PD相交于Q，证明△ABP≌△ADQ，得BP=DQ，AP=AQ，再结合勾股定理证得结论
17．（2023八下·海淀期末）在正方形中，点为边上一点不与点、重合，于点，于点．
（1）如图，求证：；
（2）如图，若为中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
（3）若，，直接写出线段的长是 ．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
在和中
∴．
∴．
（2）解：．
理由如下：
如图所示，过点分别作，的垂线，分别交，于点，，设的中点为，连接．
根据题意可知．
∵四边形是正方形，
∴．
∴四边形是矩形．
∴，．
∵为中点，
∴．
∵为的中点，为的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
设．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
（3）
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】(3)解：根据(1)的结论，BF=CG，AF=BG
在直角三角形中，
故填：
【分析】 (1)通过证两边所在的三角形全等，证得边相等；
(2)AD是正方形边长，与BC相等，可以通过勾股定理在BC所在的直角三角形中求，利用(1)的结论，根据线段之间的关系，分别表示各线段长，DF在直角三角形中求，通过作辅助线把它的两条直角边找到，用已知线段表示未知线段，根据勾股定理找到等式，求解即可得到相等的结论。
(3)根据1的结论，由勾股定理求DF，先求两直角边，就要找到这两未知线段与已知线段的关系，通过矩形性质和勾股定理可以做到这一点。
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