2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.1 二次函数同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九下·江都）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
2．（2023九下·婺城月考）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出混合组，求解即可.
3．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：圆的面积公式S=πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可。
4．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B． y=2x2
C． y=﹣ x2 D．y= x2
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】设抛物线的解析式为y=ax2，根据题意求出抛物线的图形上一个点的坐标，然后代入解析式即可求出。
5．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（ ）
A．y=﹣10x2+100x+2000 B．y=10x2+100x+2000
C． y=﹣10x2+200x D．y=﹣10x2﹣100x+2000
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y=（60﹣50+x）（200﹣10x），
=（10+x）（200﹣10x），
=﹣10x2+100x+2000．
故答案为：A．
【分析】设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，根据总利润=每件商品的利润×销售量列出函数关系式即可。
6．已知函数①y=5x﹣4，②t= x2﹣6x，③y=2x3﹣8x2+3，④y= x2﹣1，⑤y= +2，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】①y=5x﹣4，③y=2x3﹣8x2+3，⑤y= +2不符合二次函数定义，
②t= x2﹣6x，④y= x2﹣1符合二次函数定义，有两个．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）观察已知函数，就可得出是二次函数的个数。
7．如果函数y=（k﹣2）x +kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是（ ）
A．1或2 B．0或2 C．2 D．0
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=（k﹣2）x +kx+1是关于x的二次函数，
∴k﹣2≠0，k2﹣2k+2=2．
解得k=0．
故选：D．
【分析】依据二次函数的定义可知k﹣2≠0，k2﹣2k+2=2，从而可求得k的值．
8．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．
∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= （1-x），BG= ，
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=
=
当x=0或x=1时，S△EFB有最大值；
故答案为：A。
【分析】过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．由菱形的性质可将EM、NE用含x的代数式表示出来，用勾股定理可求得BG的长，根据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积即可写出y与x之间的函数关系式，由题意知，当x=0或x=1时，函数有最大值，由此即可判断正确的图像。
二、填空题
9．（2023九上·游仙月考）已知函数是二次函数，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意
是二次函数
解得m=1
故填：1
【分析】根据二次函数的定义，最高项二次项须存在，根据这个条件可找到m的取值。
10．（2023九上·绍兴月考）已知二次函数y=1－5x+3x2，则二次项系数a= ，一次项系数b= .
【答案】3；5
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数的二次项系数，一次项系数，
故答案为：3；-5.
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据二次函数的定义即可求解．
11．（2023九上·瑞安月考）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ．
【答案】y=200（1+x）2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：y=200（1+x）2．
故答案为：y=200（1+x）2.
【分析】利用玩具厂9月份生产该玩具的数量=玩具厂7月份生产该玩具的数量×（1+该玩具的月平均增长率）2，即可找出y与x之间的函数表达式．
12．（2023九上·涪城期中）若是关于自变量x的二次函数，则n＝ ．
【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由题意得：
解得n=2
【分析】根据 是关于自变量x的二次函数， 得解之得出结论.
13．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
【答案】y=2x2﹣4x+4
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=2．
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF=90°，EH=EF．
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△AHE与△BEF中，
∵ ，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；
即y=2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
故答案为：y=2x2﹣4x+4．
【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，再根据勾股定理，求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式．
三、解答题
14．已知函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1．
（1）当m为何值时，y是关于x的二次函数？
（2） 当m为何值时，y是关于x的一次函数？
【答案】（1）解：∵函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1是关于x的二次函数，
∴，
∴m= -1；
（2）解：∵函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1是关于x的一次函数，
∴，
∴m=0.
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义得出，即可得出m= -1；
（2）根据一次函数的定义得出，即可得出m=0.
15．如图1，等腰直角三角形ABC的直角边AC与正方形DEFG的边DG都在直线上（点与点重合），且它们都在直线同侧，，现等腰直角三角形ABC以每秒1个单位的速度从左到右沿直线运动，当点运动到与点重合时运动结束.设运动时间为与正方形DEFG重叠部分的面积为.
（1）请直接写出与之间的函数表达式及自变量的取值范围.
（2）当时，求的值.
【答案】（1）解：
（2）解：当时，
若，则，
解得.
若，则，
解得(舍去).
综上，当时，或.
【知识点】函数值；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）根据题意并结合题意可得，当0≤t≤6时，S=，当6【分析】(1)①当点C由点D运动到点G时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积是一个以CD为长的等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出答案.
②当点A由点D运动到点G时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积是△ABC的面积减去以CG为长的等腰直角三角形面积，根据三角形面积公式进行计算即可求出答案.
（2）由于 与之间的函数表达式为：则当 S=10 时，t的值有两种情况：①当时，将S=10代入解析式中得，，求得②当时，求得t=10或2（舍去），从而得出或.
四、综合题
16．（2021九上·通榆月考）如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为工米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y关于x的函数解析式．(不必写出x的取值范围)
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
【答案】（1）y =2 x2 -42x +160
（2）解：依题意，得 2 x2 -42x +160=120 ，
整理，得 x 2 -21 x +20=0 ，
解得 x 1 =1 ， x 2 =20.
当 x =1 时， 10-2 x =8>0 ，符合题意 .
当 x =20 时， 10-2 x =-30<0 ，不符合题意，舍去 .
答：竖甬道的宽度为 1 米
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）横甬道的宽度为 2 x 米，剩余部分可合成长( 16- x )米，宽( 10-2 x )米的矩形 .依题意，得 y = ( 16- x )( 10-2 x ) =2 x 2 -42 x +160.
【分析】（1）根据题意得出横甬道的宽度为2x米，剩余部分合成长为（16- x ）米，宽为( 10-2x )米的矩形，利用矩形的面积公式得出y=（16- x ）（10- 2x ），进行化简即可得出答案；
（2）根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
17．（2023·广西）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．
（1）求证：；
（2）设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
【答案】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：
在等边中，，，
∴，
∴，
设的长为x，则，，
∴，
∴，
同理（1）可知，
∴，
∵的面积为y，
∴
（3）解：由（2）可知：，
∴，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；等边三角形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得AB=BC=AC=4，∠A=∠B=∠C=60°，结合已知可推出AF=BD=CE，利用SAS证明△ADF≌△BED.
（2）过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，利用解直角三角形求出CH的长，利用三角形的面积公式可得到△ABC的面积；设AD=x，可表示出AF的长，利用解直角三角形表示出FG的长，利用三角形的面积公式可表示出△ADF的面积；同理可证得△ADF、△BED、△CFE的面积相等，由此可得到y与x的函数解析式.
（3）利用（2）中的y与x的函数解析式，利用二次函数的性质，可得到△DEF的面积随着AD的增大的变化情况.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.1 二次函数同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九下·江都）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B． C． D．
2．（2023九下·婺城月考）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．0或4
3．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
4．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B． y=2x2
C． y=﹣ x2 D．y= x2
5．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（ ）
A．y=﹣10x2+100x+2000 B．y=10x2+100x+2000
C． y=﹣10x2+200x D．y=﹣10x2﹣100x+2000
6．已知函数①y=5x﹣4，②t= x2﹣6x，③y=2x3﹣8x2+3，④y= x2﹣1，⑤y= +2，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如果函数y=（k﹣2）x +kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是（ ）
A．1或2 B．0或2 C．2 D．0
8．已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023九上·游仙月考）已知函数是二次函数，则 ．
10．（2023九上·绍兴月考）已知二次函数y=1－5x+3x2，则二次项系数a= ，一次项系数b= .
11．（2023九上·瑞安月考）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ．
12．（2023九上·涪城期中）若是关于自变量x的二次函数，则n＝ ．
13．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
三、解答题
14．已知函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1．
（1）当m为何值时，y是关于x的二次函数？
（2） 当m为何值时，y是关于x的一次函数？
15．如图1，等腰直角三角形ABC的直角边AC与正方形DEFG的边DG都在直线上（点与点重合），且它们都在直线同侧，，现等腰直角三角形ABC以每秒1个单位的速度从左到右沿直线运动，当点运动到与点重合时运动结束.设运动时间为与正方形DEFG重叠部分的面积为.
（1）请直接写出与之间的函数表达式及自变量的取值范围.
（2）当时，求的值.
四、综合题
16．（2021九上·通榆月考）如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为工米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y关于x的函数解析式．(不必写出x的取值范围)
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
17．（2023·广西）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．
（1）求证：；
（2）设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
解得：.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此列出混合组，求解即可.
3．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：圆的面积公式S=πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可。
4．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣ ，
那么y=﹣ x2．
故答案为：C．
【分析】设抛物线的解析式为y=ax2，根据题意求出抛物线的图形上一个点的坐标，然后代入解析式即可求出。
5．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y=（60﹣50+x）（200﹣10x），
=（10+x）（200﹣10x），
=﹣10x2+100x+2000．
故答案为：A．
【分析】设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，根据总利润=每件商品的利润×销售量列出函数关系式即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】①y=5x﹣4，③y=2x3﹣8x2+3，⑤y= +2不符合二次函数定义，
②t= x2﹣6x，④y= x2﹣1符合二次函数定义，有两个．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）观察已知函数，就可得出是二次函数的个数。
7．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y=（k﹣2）x +kx+1是关于x的二次函数，
∴k﹣2≠0，k2﹣2k+2=2．
解得k=0．
故选：D．
【分析】依据二次函数的定义可知k﹣2≠0，k2﹣2k+2=2，从而可求得k的值．
8．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．
∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= （1-x），BG= ，
∵△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积，
∴y=
=
当x=0或x=1时，S△EFB有最大值；
故答案为：A。
【分析】过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．由菱形的性质可将EM、NE用含x的代数式表示出来，用勾股定理可求得BG的长，根据△EFB的面积=菱形的面积-△AEB的面积-△DFE的面积-△FCB的面积即可写出y与x之间的函数关系式，由题意知，当x=0或x=1时，函数有最大值，由此即可判断正确的图像。
9．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意
是二次函数
解得m=1
故填：1
【分析】根据二次函数的定义，最高项二次项须存在，根据这个条件可找到m的取值。
10．【答案】3；5
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数的二次项系数，一次项系数，
故答案为：3；-5.
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据二次函数的定义即可求解．
11．【答案】y=200（1+x）2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得：y=200（1+x）2．
故答案为：y=200（1+x）2.
【分析】利用玩具厂9月份生产该玩具的数量=玩具厂7月份生产该玩具的数量×（1+该玩具的月平均增长率）2，即可找出y与x之间的函数表达式．
12．【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由题意得：
解得n=2
【分析】根据 是关于自变量x的二次函数， 得解之得出结论.
13．【答案】y=2x2﹣4x+4
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=2．
∴∠1+∠2=90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF=90°，EH=EF．
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△AHE与△BEF中，
∵ ，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；
即y=2x2﹣4x+4（0＜x＜2），
故答案为：y=2x2﹣4x+4．
【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，再根据勾股定理，求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式．
14．【答案】（1）解：∵函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1是关于x的二次函数，
∴，
∴m= -1；
（2）解：∵函数y=m(m+1)x3+mx2+2x+1是关于x的一次函数，
∴，
∴m=0.
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义得出，即可得出m= -1；
（2）根据一次函数的定义得出，即可得出m=0.
15．【答案】（1）解：
（2）解：当时，
若，则，
解得.
若，则，
解得(舍去).
综上，当时，或.
【知识点】函数值；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）根据题意并结合题意可得，当0≤t≤6时，S=，当6【分析】(1)①当点C由点D运动到点G时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积是一个以CD为长的等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出答案.
②当点A由点D运动到点G时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积是△ABC的面积减去以CG为长的等腰直角三角形面积，根据三角形面积公式进行计算即可求出答案.
（2）由于 与之间的函数表达式为：则当 S=10 时，t的值有两种情况：①当时，将S=10代入解析式中得，，求得②当时，求得t=10或2（舍去），从而得出或.
16．【答案】（1）y =2 x2 -42x +160
（2）解：依题意，得 2 x2 -42x +160=120 ，
整理，得 x 2 -21 x +20=0 ，
解得 x 1 =1 ， x 2 =20.
当 x =1 时， 10-2 x =8>0 ，符合题意 .
当 x =20 时， 10-2 x =-30<0 ，不符合题意，舍去 .
答：竖甬道的宽度为 1 米
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）横甬道的宽度为 2 x 米，剩余部分可合成长( 16- x )米，宽( 10-2 x )米的矩形 .依题意，得 y = ( 16- x )( 10-2 x ) =2 x 2 -42 x +160.
【分析】（1）根据题意得出横甬道的宽度为2x米，剩余部分合成长为（16- x ）米，宽为( 10-2x )米的矩形，利用矩形的面积公式得出y=（16- x ）（10- 2x ），进行化简即可得出答案；
（2）根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
17．【答案】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：
在等边中，，，
∴，
∴，
设的长为x，则，，
∴，
∴，
同理（1）可知，
∴，
∵的面积为y，
∴
（3）解：由（2）可知：，
∴，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；等边三角形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得AB=BC=AC=4，∠A=∠B=∠C=60°，结合已知可推出AF=BD=CE，利用SAS证明△ADF≌△BED.
（2）过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，利用解直角三角形求出CH的长，利用三角形的面积公式可得到△ABC的面积；设AD=x，可表示出AF的长，利用解直角三角形表示出FG的长，利用三角形的面积公式可表示出△ADF的面积；同理可证得△ADF、△BED、△CFE的面积相等，由此可得到y与x的函数解析式.
（3）利用（2）中的y与x的函数解析式，利用二次函数的性质，可得到△DEF的面积随着AD的增大的变化情况.
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