2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.1 二次函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·路北期中）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
3．（2023九上·茶山期中）若是二次函数，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-2或2
4．（2023九上·庐江月考）如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）． 现将ΔPCD沿PD翻折，得到ΔPC’D，作∠BPC＇的平分线，交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列符合题意的函数关系式是（ ）
A．y＝－x2 ＋x（0＜x＜4） B．y＝－x2－x（0＜x＜4）
C．y＝－x2 ＋2x（0＜x＜4） D．y＝x2 －2x（0＜x＜4）
5．（2017·东平模拟）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
6．下列实际问题中的y关于x的函数表达式是二次函数的为（ ）.
A．正方体集装箱的体积y m3，棱长x m
B．高为14 m的圆柱形储油罐的体积y m3，底面圆半径x m
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的质量为y千克，单价为x元/千克
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海y km
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )
A． B． C． D．
8．如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·禄劝开学考）如果函数是二次函数，那么的值为 ．
10．（2020九上·衢州期中）如图，用长为16m的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇1m宽的门的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为ym2，则y与x的函数表达式为 ．
11．（2019九上·大同期中）如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 （写出顶点式和一般式均可）．
12．（2019九上·哈尔滨月考）二次函数的解析式为 ，则常数m的值为 ．
13．（2019九上·邯郸月考）矩形周长等于40，设矩形的一边长为 ，那么矩形面积 与边长 之间的函数关系式为 .
三、解答题
14．如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N．
（1）当tanMOF=时，求的值；
（2）设OM=x，ON=y，当时，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．
15．如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为与在同一条直线上.开始时点与点重合，正方形不动，以的速度向左运动，最终点与点重合.
（1）求重叠部分的面积关于时间的函数表达式和自变量的取值范围.
（2）分别求当t=1，2时，重叠部分的面积..
四、综合题
16．（2019九上·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(12,0),B(8,6),C(0,6)．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向OA终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ =y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；
（2）当PQ=3 时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线 经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
17．（2020九上·龙华期末）
（1）基础巩固
如图1，已知正方形ABCD中，E是边4B的延长线上一点，过点C作CF⊥CE，交AD于点F。
求证：CE=CF。
（2）尝试应用
如图2，已知正方形ABCD的边长为1，M是边4B所在直线上一点，N是边AD所在直线上一点，且∠MCN=45°。记AM=x，S△MCN=y。请直接写出y与x之间的函数关系式。
（3）应用拓广
如图12-3，已知菱形ABCD是一个菱长为6km的森林生态保护区，∠A=60°，沿保护区的边缘AB、AD已修建好道路AP和AQ，现要从保护区外新修建一条道路ECF，将道路AP、AQ连通．已知∠ECF=120°，求道路ECF的最短路程。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A：当a=0时，A不是二次函数，不符合题意；
B是二次函数，符合题意；
C不是二次函数，不符合题意；
D不是二次函数，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故答案为：D．
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
3．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴，
∴，
∴m=-2，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义得出，从而得出m=-2，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由翻折的性质得：，
∵ PE是 ∠BPC＇的平分线 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
整理，得
故答案为：A。
【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质证，利用一线三垂直模型证相似，根据对应边成比例求解。
5．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
故选C．
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
6．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、由题意得y=x3，故正方体集装箱的体积y与棱长x不是二次函数关系，故此选项不符合题意；
B、由题意得，故圆柱体储油罐的体积y与底面半径x是二次函数关系，故此选项符合题意；
C、由题意得，故烤鸭的质量y与单价x不是二次函数关系，故此选项不符合题意；
D、由题意得y=南京距离上海的距离-108x，故y与x不是二次函数关系，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别根据正方形的体积计算公式、圆柱体的体积公式、质量等于总价除以单价及小莉距离上海的距离等于南京与上海之间的距离减去小莉已经行驶的距离写出y关于x的函数关系式，进而根据形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）就是二次函数，即可判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；三角形全等的判定；勾股定理的应用
【解析】【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a=10a2=．
故选C．
8．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】连接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，依题意可知⊙O的半径为2，则OO1=2﹣y，OM=2﹣x，O1M=y．在Rt△OO1M中，由勾股定理得，解得．
故选A．
9．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：m-3≠0，解得m≠3，，解得m=3或m=-1，综上m=-1
故答案为：-1.
【分析】由二次函数的定义解题即可。
10．【答案】y=－2x2+17x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
y=x（16+1-2x）=－2x2+17x .
故答案为：y=－2x2+17x .
【分析】利用已知条件可知16=2AB+长，就可求出花圃的长，再利用长方形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式。
11．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由图象可知抛物线的对称轴为 ，所以顶点坐标为： ，
可设此抛物线的解析式为： ，①
又此抛物线过 点，
代入①式得： ，
解得： ．
所以此抛物线的解析式为： ．
故答案为：
【分析】由图知此抛物线的对称轴为x= =20，所以顶点为（20，16），可设 又图象过（0，0）点，所以可求出其解析式．
12．【答案】3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由题意得
m2-3m+2=2，且m≠0，
解得
m=3．
故答案为：3．
【分析】根据二次项系数不等于零，且二次项的次数等于2列式求解即可．
13．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，另一边长为（20-x）米，
∴由矩形的面积公式，得
【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案．
14．【答案】解：（1）由题意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE="90°" ， ∴∠MOF=∠FEN ．
由题意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN="90°" ， ∴∠MFO=∠NFE.
∴△MFO∽△NFE．∴.
由∠FEN=∠MOF可得：tanFEN=tanMOF， ∴， ∴．
（2）∵△MFO∽△NFE ，∴.
又易证得：△ODF∽△EOF ， ∴．
∴，∴．
如图，连接MN，则ME=DE.
由题意，得四边形ODCE为矩形，∴DE=OC=4 .∴MN=2.
在Rt△MON中，OM2+ON2=MN2，即x2+y2=4.
∴y关于x 的函数解析式为y=（0（3）由题意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.
∴由题意，可得：OE2=EFDE ， ∴EF==y2.
∵又，∴，∴OF=xy.
由题意，可得：∠NOF=∠FEC ，
∴由△ECF与△OFN相似，可得：或.
当时，，∴y2=2x2.
又x2+y2=4，∴x2+2x2=4，解得：x1=，x2=（舍去）.
∴OD=.
②当时，，∴y2=2，
又x2+y2=4，∴x2=2，∴解得：x1=，x2=（舍去）
∴OD=.
综上所述，OD=或.
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】1.双动点问题；2.矩形的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.由实际问题列函数关系式；5.勾股定理；6.锐角三角函数定义；7.分类思想的应用.
（1）由△MFO∽△NFE和tanFEN=tanMOF，根据相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义， 即可求得结果.
（2）由△MFO∽△NFE和△ODF∽△EOF可得，即ME=DE，从而根据勾股定理可得出x2+y2=4，即y=（0（3）分或两种情况讨论即可.
15．【答案】（1）解：∵△ABC以每秒2cm的速度向左运动，
∴t秒后AN=2t，AM=20-2t，
∵∠AMH=90°，∠BAC=45°，
∴AM=HM=20-2t，
∴重叠部分的面积为y=S△AMH=，自变量的取值范围是；
（2）解：当t=1时，重叠部分的面积；
当t=2时，重叠部分的面积
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）观察图形，由△ABC以每秒2cm的速度向左移动，我们可以得到AN的长；结合正方形的边长，可以得到MA的长，要求重叠部分的面积还需求出HM的长度，易得△AMH是等腰直角三角形，从而根据等腰直角三角形的面积计算方法进而解答；
（2）将t=1与t=2分别代入算出对应的函数值即可.
16．【答案】（1）
（2）解：当 时， ，
整理，得： ，
解得： ．
（3）解：经过点 的双曲线 的 值不变．
连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，如图2所示．
， ，
．
，
，
，
．
，
．
在 中， ， ，
， ，
点 的坐标为 ，
经过点 的双曲线 的 值为 ．
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）过点 作 于点 ，如图1所示．
当运动时间为 秒时时 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，| ，
，
．
故答案为： ．
【分析】（1）过点 作 于点 ，由点 ， 的出发点、速度及方向可找出当运动时间为 秒时点 ， 的坐标，进而可得出 ， 的长，再利用勾股定理即可求出 关于 的函数解析式（由时间 路程 速度可得出 的取值范围）；（2）将 代入（1）的结论中可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，利用勾股定理可求出 的长，由 可得出 ，利用相似三角形的性质结合可 求出 ，由 可得出 ，在 中可求出 及 的值，由 ， 可求出点 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 值，此题得解．
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴CD=BC， ∠BCD=∠D=∠ABC=90°
∴∠DCF+∠BCF=90°
∵∠ECB+∠BCF=90°
∴∠ECB=∠DCF
∵∠CBE=∠D=90°
∴△BCE≌△DCF
∴ CE=CF
（2）解：当点M在线段AB上时，如图，
过点C作CK⊥AN，交AN于点K，连接AC，由(1)，得CK=CM， KD=BM
∵∠MCN= =45°，∴∠NCK=45°
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠KAC=45°=∠NCK
∵∠CKN=∠AKC
∴△KCN∽△KAC
∴
即KC2=KA·KN
∵CK2=CM2=(x-1)2+1=x2-2x+2
KA=KD+AD=1-x+1=2-x
∴KN=
∵CK=CM，CN=CN，∠MCN=45°=∠NCK
∴△KCN≌△MCN
∴y= S△MCN= SKCN= KN×CD=
当点M在线段AB的延长线上时，同理得y=
当点M在线段B．A的延长线上，且点N在点A的上方时，同理得y=
当点M在线段B.1的延长线上，且点N在点A的下方时，得y=
综上述，所求的函数关系式有：y= 或y= 或y=
（3）解：解法一：以CD为一边作∠DCG=120°， 交射线AP于点G，过点C作CH⊥P4于点H，如图
∵∠ECF= 120°
∴∠DCF=∠ECG
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=CB，CD∥AB
∵∠A=60°
∴∠FDC=∠A=60°，∠ADC=180°-∠A =120°
∴∠CGE=360°-∠A-∠ADC-∠DCG=60°
∵CB∥AD
∴∠CBG=∠A=60°
∴△CBG是等边三角形
∴CG=CB
∴△CDF≌△CGE
∴CE=CF
∴道路ECF的长度=2CE
∴当CE最短，即当CE=CH时，道路ECF的长度最短
∵∠CBG=60°，CB=6
∴CH=3
∴道路ECF的最短路程是6 km
解法二：过点C作CH⊥PA于点H，作CG⊥Q4于点G，连接AC，如图12-4
∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠PCQ
∴CG=CH
∵∠BAC=60°
∴∠GCH=360°-∠BAC-∠AGC-∠AHC=120°
∵∠ECF= 120°
∴∠GCF=∠ECH
∵∠CGF=∠CHE=90°
∴△CGF≌△CHE
∴CE=CF
∴道路ECF的长度=2CE∴当CE最短，即当CE=CH时，道路ECF的长度最短
∵∠CBG=60°，CB=6
∴CH=3
∴道路ECF的最短路程是6 km
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；垂线段最短；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用SAS证出△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质即可得出CE=CF；
（2）分四种情况讨论： ①当点M在线段AB上时， ②当点M在线段AB的延长线上时，③当点M在线段B．A的延长线上，且点N在点A的上方时，④当点M在线段B.1的延长线上，且点N在点A的下方时， 分别证出△KCN≌△MCN，利用三角形的面积公式即可求解；
（3） 以CD为一边作∠DCG=120°， 交射线AP于点G，过点C作CH⊥P4于点H， 证出 △CDF≌△CGE，得出CE=CF，从而得出当CE最短，即当CE=CH时，道路ECF的长度最短，求出CH的长，即可求解.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.1 二次函数同步分层训练培优题
一、选择题
1．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A：当a=0时，A不是二次函数，不符合题意；
B是二次函数，符合题意；
C不是二次函数，不符合题意；
D不是二次函数，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
2．（2023九上·路北期中）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故答案为：D．
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
3．（2023九上·茶山期中）若是二次函数，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-2或2
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵是二次函数，
∴，
∴，
∴m=-2，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义得出，从而得出m=-2，即可得出答案.
4．（2023九上·庐江月考）如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）． 现将ΔPCD沿PD翻折，得到ΔPC’D，作∠BPC＇的平分线，交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列符合题意的函数关系式是（ ）
A．y＝－x2 ＋x（0＜x＜4） B．y＝－x2－x（0＜x＜4）
C．y＝－x2 ＋2x（0＜x＜4） D．y＝x2 －2x（0＜x＜4）
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由翻折的性质得：，
∵ PE是 ∠BPC＇的平分线 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
整理，得
故答案为：A。
【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质证，利用一线三垂直模型证相似，根据对应边成比例求解。
5．（2017·东平模拟）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
故选C．
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
6．下列实际问题中的y关于x的函数表达式是二次函数的为（ ）.
A．正方体集装箱的体积y m3，棱长x m
B．高为14 m的圆柱形储油罐的体积y m3，底面圆半径x m
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的质量为y千克，单价为x元/千克
D．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海y km
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、由题意得y=x3，故正方体集装箱的体积y与棱长x不是二次函数关系，故此选项不符合题意；
B、由题意得，故圆柱体储油罐的体积y与底面半径x是二次函数关系，故此选项符合题意；
C、由题意得，故烤鸭的质量y与单价x不是二次函数关系，故此选项不符合题意；
D、由题意得y=南京距离上海的距离-108x，故y与x不是二次函数关系，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别根据正方形的体积计算公式、圆柱体的体积公式、质量等于总价除以单价及小莉距离上海的距离等于南京与上海之间的距离减去小莉已经行驶的距离写出y关于x的函数关系式，进而根据形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）就是二次函数，即可判断得出答案.
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；三角形全等的判定；勾股定理的应用
【解析】【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a=10a2=．
故选C．
8．如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】连接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，依题意可知⊙O的半径为2，则OO1=2﹣y，OM=2﹣x，O1M=y．在Rt△OO1M中，由勾股定理得，解得．
故选A．
二、填空题
9．（2023九上·禄劝开学考）如果函数是二次函数，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：m-3≠0，解得m≠3，，解得m=3或m=-1，综上m=-1
故答案为：-1.
【分析】由二次函数的定义解题即可。
10．（2020九上·衢州期中）如图，用长为16m的篱笆，一面利用墙（墙足够长）围成一块留有一扇1m宽的门的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为ym2，则y与x的函数表达式为 ．
【答案】y=－2x2+17x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
y=x（16+1-2x）=－2x2+17x .
故答案为：y=－2x2+17x .
【分析】利用已知条件可知16=2AB+长，就可求出花圃的长，再利用长方形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式。
11．（2019九上·大同期中）如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 （写出顶点式和一般式均可）．
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由图象可知抛物线的对称轴为 ，所以顶点坐标为： ，
可设此抛物线的解析式为： ，①
又此抛物线过 点，
代入①式得： ，
解得： ．
所以此抛物线的解析式为： ．
故答案为：
【分析】由图知此抛物线的对称轴为x= =20，所以顶点为（20，16），可设 又图象过（0，0）点，所以可求出其解析式．
12．（2019九上·哈尔滨月考）二次函数的解析式为 ，则常数m的值为 ．
【答案】3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】由题意得
m2-3m+2=2，且m≠0，
解得
m=3．
故答案为：3．
【分析】根据二次项系数不等于零，且二次项的次数等于2列式求解即可．
13．（2019九上·邯郸月考）矩形周长等于40，设矩形的一边长为 ，那么矩形面积 与边长 之间的函数关系式为 .
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设矩形的一边长为x米，另一边长为（20-x）米，
∴由矩形的面积公式，得
【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案．
三、解答题
14．如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N．
（1）当tanMOF=时，求的值；
（2）设OM=x，ON=y，当时，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．
【答案】解：（1）由题意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE="90°" ， ∴∠MOF=∠FEN ．
由题意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN="90°" ， ∴∠MFO=∠NFE.
∴△MFO∽△NFE．∴.
由∠FEN=∠MOF可得：tanFEN=tanMOF， ∴， ∴．
（2）∵△MFO∽△NFE ，∴.
又易证得：△ODF∽△EOF ， ∴．
∴，∴．
如图，连接MN，则ME=DE.
由题意，得四边形ODCE为矩形，∴DE=OC=4 .∴MN=2.
在Rt△MON中，OM2+ON2=MN2，即x2+y2=4.
∴y关于x 的函数解析式为y=（0（3）由题意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.
∴由题意，可得：OE2=EFDE ， ∴EF==y2.
∵又，∴，∴OF=xy.
由题意，可得：∠NOF=∠FEC ，
∴由△ECF与△OFN相似，可得：或.
当时，，∴y2=2x2.
又x2+y2=4，∴x2+2x2=4，解得：x1=，x2=（舍去）.
∴OD=.
②当时，，∴y2=2，
又x2+y2=4，∴x2=2，∴解得：x1=，x2=（舍去）
∴OD=.
综上所述，OD=或.
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】1.双动点问题；2.矩形的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.由实际问题列函数关系式；5.勾股定理；6.锐角三角函数定义；7.分类思想的应用.
（1）由△MFO∽△NFE和tanFEN=tanMOF，根据相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义， 即可求得结果.
（2）由△MFO∽△NFE和△ODF∽△EOF可得，即ME=DE，从而根据勾股定理可得出x2+y2=4，即y=（0（3）分或两种情况讨论即可.
15．如图所示，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为与在同一条直线上.开始时点与点重合，正方形不动，以的速度向左运动，最终点与点重合.
（1）求重叠部分的面积关于时间的函数表达式和自变量的取值范围.
（2）分别求当t=1，2时，重叠部分的面积..
【答案】（1）解：∵△ABC以每秒2cm的速度向左运动，
∴t秒后AN=2t，AM=20-2t，
∵∠AMH=90°，∠BAC=45°，
∴AM=HM=20-2t，
∴重叠部分的面积为y=S△AMH=，自变量的取值范围是；
（2）解：当t=1时，重叠部分的面积；
当t=2时，重叠部分的面积
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）观察图形，由△ABC以每秒2cm的速度向左移动，我们可以得到AN的长；结合正方形的边长，可以得到MA的长，要求重叠部分的面积还需求出HM的长度，易得△AMH是等腰直角三角形，从而根据等腰直角三角形的面积计算方法进而解答；
（2）将t=1与t=2分别代入算出对应的函数值即可.
四、综合题
16．（2019九上·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(12,0),B(8,6),C(0,6)．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向OA终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ =y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；
（2）当PQ=3 时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线 经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：当 时， ，
整理，得： ，
解得： ．
（3）解：经过点 的双曲线 的 值不变．
连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，如图2所示．
， ，
．
，
，
，
．
，
．
在 中， ， ，
， ，
点 的坐标为 ，
经过点 的双曲线 的 值为 ．
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：（1）过点 作 于点 ，如图1所示．
当运动时间为 秒时时 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，| ，
，
．
故答案为： ．
【分析】（1）过点 作 于点 ，由点 ， 的出发点、速度及方向可找出当运动时间为 秒时点 ， 的坐标，进而可得出 ， 的长，再利用勾股定理即可求出 关于 的函数解析式（由时间 路程 速度可得出 的取值范围）；（2）将 代入（1）的结论中可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，利用勾股定理可求出 的长，由 可得出 ，利用相似三角形的性质结合可 求出 ，由 可得出 ，在 中可求出 及 的值，由 ， 可求出点 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 值，此题得解．
17．（2020九上·龙华期末）
（1）基础巩固
如图1，已知正方形ABCD中，E是边4B的延长线上一点，过点C作CF⊥CE，交AD于点F。
求证：CE=CF。
（2）尝试应用
如图2，已知正方形ABCD的边长为1，M是边4B所在直线上一点，N是边AD所在直线上一点，且∠MCN=45°。记AM=x，S△MCN=y。请直接写出y与x之间的函数关系式。
（3）应用拓广
如图12-3，已知菱形ABCD是一个菱长为6km的森林生态保护区，∠A=60°，沿保护区的边缘AB、AD已修建好道路AP和AQ，现要从保护区外新修建一条道路ECF，将道路AP、AQ连通．已知∠ECF=120°，求道路ECF的最短路程。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴CD=BC， ∠BCD=∠D=∠ABC=90°
∴∠DCF+∠BCF=90°
∵∠ECB+∠BCF=90°
∴∠ECB=∠DCF
∵∠CBE=∠D=90°
∴△BCE≌△DCF
∴ CE=CF
（2）解：当点M在线段AB上时，如图，
过点C作CK⊥AN，交AN于点K，连接AC，由(1)，得CK=CM， KD=BM
∵∠MCN= =45°，∴∠NCK=45°
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠KAC=45°=∠NCK
∵∠CKN=∠AKC
∴△KCN∽△KAC
∴
即KC2=KA·KN
∵CK2=CM2=(x-1)2+1=x2-2x+2
KA=KD+AD=1-x+1=2-x
∴KN=
∵CK=CM，CN=CN，∠MCN=45°=∠NCK
∴△KCN≌△MCN
∴y= S△MCN= SKCN= KN×CD=
当点M在线段AB的延长线上时，同理得y=
当点M在线段B．A的延长线上，且点N在点A的上方时，同理得y=
当点M在线段B.1的延长线上，且点N在点A的下方时，得y=
综上述，所求的函数关系式有：y= 或y= 或y=
（3）解：解法一：以CD为一边作∠DCG=120°， 交射线AP于点G，过点C作CH⊥P4于点H，如图
∵∠ECF= 120°
∴∠DCF=∠ECG
∵四边形ABCD是菱形
∴CD=CB，CD∥AB
∵∠A=60°
∴∠FDC=∠A=60°，∠ADC=180°-∠A =120°
∴∠CGE=360°-∠A-∠ADC-∠DCG=60°
∵CB∥AD
∴∠CBG=∠A=60°
∴△CBG是等边三角形
∴CG=CB
∴△CDF≌△CGE
∴CE=CF
∴道路ECF的长度=2CE
∴当CE最短，即当CE=CH时，道路ECF的长度最短
∵∠CBG=60°，CB=6
∴CH=3
∴道路ECF的最短路程是6 km
解法二：过点C作CH⊥PA于点H，作CG⊥Q4于点G，连接AC，如图12-4
∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠PCQ
∴CG=CH
∵∠BAC=60°
∴∠GCH=360°-∠BAC-∠AGC-∠AHC=120°
∵∠ECF= 120°
∴∠GCF=∠ECH
∵∠CGF=∠CHE=90°
∴△CGF≌△CHE
∴CE=CF
∴道路ECF的长度=2CE∴当CE最短，即当CE=CH时，道路ECF的长度最短
∵∠CBG=60°，CB=6
∴CH=3
∴道路ECF的最短路程是6 km
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；垂线段最短；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用SAS证出△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质即可得出CE=CF；
（2）分四种情况讨论： ①当点M在线段AB上时， ②当点M在线段AB的延长线上时，③当点M在线段B．A的延长线上，且点N在点A的上方时，④当点M在线段B.1的延长线上，且点N在点A的下方时， 分别证出△KCN≌△MCN，利用三角形的面积公式即可求解；
（3） 以CD为一边作∠DCG=120°， 交射线AP于点G，过点C作CH⊥P4于点H， 证出 △CDF≌△CGE，得出CE=CF，从而得出当CE最短，即当CE=CH时，道路ECF的长度最短，求出CH的长，即可求解.
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