2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.2 二次函数的图像与性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）二次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵
∴函数图象的开口向下，且与y轴的交点为（0，-3）
又∵对称轴为直线x=＜0
∴对称轴在y轴左侧
∴二次函数图象一定不经过第一象限
故答案为：A.
【分析】观察函数图象的位置，一般观察其开口方向、与坐标轴的交点位置以及对称轴的位置；本题结合已知条件可推导出，开口向下，对称轴在y轴左侧，并且与y轴交点在负半轴上，画草图观察可知，图象一定不经过第一象限.
2．（2023九上·赵县月考）已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线 经过点 ，且对称轴为直线
关于直线x=2对称的点为（5，2），
该抛物线必然还经过点（5，2），
故答案为：D.
【分析】先求出该抛物线的对称性，直接利用对称性得出结论.
3．（2023·成都）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．A，B两点之间的距离为5
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于，
∴9a-3-6=0，
解得：a=1，
∴二次函数，
A.抛物线的对称轴为直线，该说法错误；
B.∵二次函数，
∴二次函数的顶点坐标为，该说法错误；
C.∵二次函数，
∴当y=0时，，
∴，
解得：x=-3或x=2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴A，B两点之间的距离为2-（-3）=5，该说法正确；
D.∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，该说法错误；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与性质，对每个选项一一判断求解即可。
4．（2022九上·福州开学考）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】利用两函数解析式可知抛物线的对称轴为直线，当y=0时，，可得到直线经过点（，0），观察各选项中的两函数图象，可得答案.
5．（2023九上·丰南期中） 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得a＜0， 对称轴为x=﹣=1得2a=﹣b，
∴a、b异号，即b＞0，即ab＜0，b=﹣2a，A、B不符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，C不符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次函数的性质结合题意即可判断A和B，再根据二次函数的图象结合题意即可判断C，进而根据二次函数的性质将x=-1代入即可求解。
6．（2023九上·苍南模拟）设k为非负实数，且方程-2kx+4=0的两实数根为a，b，则+的最小值为（ ）
A．-7 B．-6 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵x2-2kx+4=0有两个实数根
∴ =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0
∴k2≥4
∵k为非负实数
∴k≥2
由韦达定理得：a+b=2k，ab=4
∴（a-1）+（b-1）=2k-2，
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k
∴(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7
令y=4(k-12)2-7，则函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大
∴当k=2时，y有最小值4（2-12）2-7=2，即 + 的最小值为2
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个实数根，可得 =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0，求出k≥2，由韦达定理a+b=2k，ab=4，转化成（a-1）+（b-1）=2k-2，(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k，故(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7，令y=4(k-)2-7，函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大，故当k=2时，y有最小值2，即 + 的最小值为2
7．（2023九上·襄都月考）二次函数的图像如图所示．下列结论正确的有（ ）
①；②；③为任意实数时，；④；⑤若，且；则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线开口方向向上，则．
抛物线的对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于轴负半轴，则，
．
故①错误；
②抛物线的对称轴为直线，
，即．
故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，开口向上，
该二次函数的最小值为，
为任意实数时，，即．
故③正确；
④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
．
故④正确；
⑤
，
，
，
而，
，即．
，
．
故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤．
故答案为：D
【分析】根据二次函数的性质即可判断①；根据二次函数对称轴公式即可判断②；根据二次函数在对称轴处取得最值即可判定③；根据对称轴的计算公式结合题意即可判断④；根据题意即可得到，再结合②中结论即可判断⑤。
8． 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④；⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：∵ 函数开口向上，
∴ a＞0；
∵ 函数与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点）
∴ -2＜c＜-1，
∵ 对称轴的位置和开口方向，”左同右异“
∴ b＜0；
∴ abc＞0；················①正确；
∵ 函数对称性
∴ x=0和x=2时，y相等，则4a+2b+c＜0；·························②错误；
∵ 函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
∵ a＞0
∴ -8a＜0，
∴ b2-4ac＞-8a，即4ac﹣b2＜8a； ·······································③错误；
∵ 对称轴直线x=1
∴ x==1
∴ b=-2a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴ a-b+c=0
∴ a=，c=-3a
∴ b＞c ··························································································⑤正确；·
∵ -2＜c＜-1
∴················································································④正确；
综上， 正确结论的是①③④⑤
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟悉二次函数的开口方向（a与0的大小），对称轴与a，b的关系、与x轴的交点个数（b2-4ac与0的关系）、特殊点的取值等知识是解题关键。根据图象可得a，b，c的正负，根据函数与x轴的交点个数可得b2-4ac＞0，根据对称性可得x=2时，4a+2b+c＜0；根据对称轴x=1和交点（-1，0）可得a的范围及b，c的大小，可得出答案。
二、填空题
9．（2023九上·萧山月考）在二次函数y=ax22ax+b中，当0≤x≤3时，2≤y≤6，则ab= ．
【答案】0或-8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2-2ax+b=a(x-1)2+b-a，顶点为（1，b-a），
当a＞0时，顶点为最低点
又∵ 0≤x≤3时，2≤y≤6，
∴x=3时， y最大=a(3-1)2+b-a=3a+b=6；x=1时，y最小=b-a=-2
∴a=2，b=0
∴ab=0；
当a＜0时，顶点为最高点
又∵ 0≤x≤3时，2≤y≤6，
∴x=3时， y最小=a(3-1)2+b-a=3a+b=-2；x=1时，y最大=b-a=6
∴a=-2，b=4
∴ab=-8
故答案为：0或-8.
【分析】根据二次函数图象的特点来分析x取值范围内函数值的大小变化，会使解题思路更加清晰；本题由于没有已知a的符号，所以要分a＞0，a＜0两种情况来讨论，在取值范围内，开口方向不同，对应的最大最小值也不同；当a＞0时， y最大=3a+b，y最小=b-a；当a＜0时，y最小=3a+b，y最大=b-a；由-2≤y≤6，可分别求出不同的a，b的值 .
10．（2023九上·章贡期中）如图，平面直角坐标系中有两个二次函数的图象，其顶点P，Q皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若，，，则PQ的长度为 .
【答案】8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，，
∴，
∴，
，，
，
∴，
∴
故答案为：。
【分析】利用横坐标的差表示特殊线段长度，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解．由，，的长度及抛物线的对称性可得点与点，点与点的横坐标之差，再利用求解。
11．（2023九上·龙马潭月考）关于x的二次函数y=ax2－4ax+b中，当1≤x≤4时，-3≤y≤5. 则b-4a的值为
【答案】-3或5
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，对称轴为：，
①当时，抛物线开口朝上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值最大．
∵，
∴当时，函数取得最小值，即：，
整理得：；
②当时，抛物线开口朝下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值最小．
∵，
当时，函数取得最大值，即：，即
故答案为：或5．
【分析】根据二次函数的性质求解。先求出函数的对称轴，分抛物线开口朝上和朝下两种情况进行讨论，根据二次函数的性质，即可得解．
12．（2023九上·苍南模拟）二次函数y=-2ax+a在0≤x≤2上有最小值-6，则a的值为 .
【答案】-6或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-2ax+a =（x-a）2+a-a2
∴函数图象开口向上，对称轴为直线x=a，顶点为（a，a-a2）
∵0≤x≤2
若a≥2，则x=2时，函数值最小，即22-2a×2+a=-6，a=；
若0＜a＜2，则x=a时，函数值最小，即a-a2=-6，a=3或-2，均不符合假设，舍去；
若a≤0，则x=0时，函数值最小，即a=-6；
故答案为：-6或.
【分析】当函数图象开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大；本题0≤x≤2，需要考虑对应抛物上的部分在对称轴左侧，或包含顶点，或在对称轴右侧三种情况.
13．（2023九上·亳州月考）已知二次函数，当时，.
（1）若，，则 .
（2）若抛物线经过点和点，则的取值范围是 .
【答案】（1）
（2）或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
（1）解：∵ b=0，c=1
∴ y=ax2+1
∴ 函数顶点为（0，1），对称轴为y轴
∵ 二次函数，当时，.
∴ 若a＞0，则函数开口向上，函数最小值为1，当时，，与题干不符；
∴ 若a＜0，则函数开口向下，函数最大值为1，由时，得x=-1或1时，y=-1，
则-1=a（±1）2+1，解得a=-2；
（2）∵抛物线经过点和点
∴ a+b+c=-1，a-b+c=1
解得：b=-1，a+c=0
∴抛物线
∴ 对称轴x=
∴ x=1时，y=a-1-a=-1；x=-1时，y=a+1-a=1
如图所示：
∵当时，.
∴抛物线在上y随着x的增大而减小或y随着x的增大而增大
∴ 对称轴x=≤-1，且a＜0，或对称轴x= ≥1且a＞0
解得： 或
【分析】本题考查二次函数的性质，开口方向，对称轴，区间最值及图形结合求范围，熟悉二次函数的性质，结合图形是关键。
（1）由 b=0，c=1得y=ax2+1，则顶点为（0，1），对称轴为y轴，分a＞0和a＜0两种情况讨论，a＞0不成立，再讨论a＜0，根据题干可得函数过点（±1，1），可得a值；
（2）由抛物线过点和点得b=-1，a+c=0；则抛物线
，对称轴x=，根据已知条件，可得函数开口向上，向下都满足条件，由图象得出a的取值范围。
三、解答题
14．（2023九上·鹿城月考）已知关于的二次函数，其图象经过点．
（1）求的值，并写出二次函数的关系式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标．
【答案】（1）解：把（1，8）代入二次函数 ，
得：，
解得，
．
（2）解：∵，
顶点
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1） 解析式中，有一个未知字母k，只需要一个已知点代入即可求出k的值；
（2）将转化成顶点式y=(x+2)2 1，在顶点式中，顶点坐标为（m，k).
15．（2023九上·长安期中）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5．在AD上取一点E，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作四边形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上，若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）当AE＝2，四边形EFMN是正方形时，求x的值为 ；
（2）当AE＝2，四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式；
（3）当四边形EFMN是矩形时且矩形的两邻边EF：EN＝2：1，请直接写出S与x的函数关系式；并指出S的最大值．
【答案】（1）3
（2）解：如图2，连接FN，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A，
∵四边形FEMN是菱形，
∴EN＝FM，EN∥FM，
∴∠ENF＝∠NFM，
在矩形ABCD中，DC∥AB，
∴∠DNF＝∠NFQ，
∴∠DNF﹣∠ENF＝∠NFQ﹣∠NFM，即∠DNE＝∠MFQ，
∴△DNE≌△QFN（AAS），
∴MQ＝DE＝3，
∵AB＝8，AF＝x，
∴FB＝AB﹣AF＝8﹣x，
∴S△FBM＝×FB×MQ＝（8﹣x）×3＝12﹣x，
∴S与x的函数关系式S＝12﹣x；
（3）解：如图3，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A，
∵四边形EFMN是矩形，
∴FM＝EN，∠FEM＝∠A＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠MFQ＝90°，
∴∠AEF＝∠MFQ，
∴△AEF∽△QFM，
∴，
∵矩形的两邻边EF：EN＝2：1，AF＝x，
∴，
∴MQ＝x，
∵FB＝AB﹣AF＝8﹣x，
∴S＝S△FBM＝×FB×MQ＝（8﹣x）×x＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，
∵﹣＜0，
∴S的最大值为4．
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB＝8，BC＝5，
∴AD＝5，
∵四边形EFMN是正方形，
∴EF＝EN，∠FEN＝∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEN＝90°，
∴∠AFE＝∠DEN，
∴△AEF≌△DNE（AAS），
∴AF＝DE，
∵AD＝5．AE＝2，
∴DE＝3，
∴x＝AF＝3，
故答案为：3；
【分析】（1）根据正方形的性质，证明，进而根据全等三角形的性质对应边相等得出AF=DE，进而即可求解；
（）如图，连接，作于，证明，可得，则，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式即可求解；
（）如图，作于Q，证明，根据矩形的两邻边，，得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
四、综合题
16．（2019九上·番禺期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm．
（1）写出x与y的关系式；
（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为矩形
∴KD=EG=x
∴AK=AD-DK=80-x
∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴，即
∴y=-x+120（0＜x＜80）
（2）解：说法错误，S=xy=-x2+120x=-（x-40）2+2400
当x=40时，S有最大值2400
此时，y=-×40+120=60
∴矩形的长为60，宽为40，矩形的面积最大，最大值为2400
∴此时的矩形不是正方形，说法错误。
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由相似三角形的判定定理以及性质，结合对应边成比例，即可得到函数关系式；
（2）根据矩形的面积列出式子，结合二次函数的性质，求出最值进行判断即可得到答案。
17．（2023九上·义乌期中）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标.
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点“．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0=-2+c，
解得c=2，
∴B（0，2），
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①由(1)可知直线解析式为，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴，，
∴PM=，AM=3-m，
PN==，
∵△BPN∽△APM，∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，
∴BN=OM=m，
∴，
即，
解得：m=0（舍去）或m=2.5，
∴M（2.5，0）；
当∠NBP=90°时，则有，
∵A（3，0），B（0，2），，
∴=，
=
∴，
解得：m=0（舍去）或m=，
∴M（，0），
综上，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；
②m的值为或-1或.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）由①可知，M（m，0），，，
∵M，P，N三点为“共谐点“，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
当P为线段MN的中点时，则有，
解得：m=3（三点重合，舍去）或m=；
当M为线段PN的中点时，则有，
解得m=3(舍去)或m=-1；
当N为线段PM的中点时，则有，
m=3（舍去）或m=；
综上可知，当M，P，N三点为“共谐点“时，
m的值为或-1或.
【分析】（1）由直线与x轴交于点A（3，0），可求出c的值，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法就可以求得抛物线的解析式；
（2）① 通过M点的坐标，可以表示出P、N两点的坐标，进而可以表示出MN、MP、PN、PB的长度，然后分∠BNP=90°和∠NBP=90°两种情况进行讨论，利用相似三角形即得到关于m的方程，即可求得m的值和点M的坐标 ；
② 用m表示出M、P、N三点的坐标，由于P、M、N分别为线段MN、PN、PM的中点，就可以分别得到关于m的方程，即可求得m的值.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.2 二次函数的图像与性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）二次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
2．（2023九上·赵县月考）已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·成都）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．A，B两点之间的距离为5
D．当时，y的值随x值的增大而增大
4．（2022九上·福州开学考）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·丰南期中） 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·苍南模拟）设k为非负实数，且方程-2kx+4=0的两实数根为a，b，则+的最小值为（ ）
A．-7 B．-6 C．2 D．4
7．（2023九上·襄都月考）二次函数的图像如图所示．下列结论正确的有（ ）
①；②；③为任意实数时，；④；⑤若，且；则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8． 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④；⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
二、填空题
9．（2023九上·萧山月考）在二次函数y=ax22ax+b中，当0≤x≤3时，2≤y≤6，则ab= ．
10．（2023九上·章贡期中）如图，平面直角坐标系中有两个二次函数的图象，其顶点P，Q皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若，，，则PQ的长度为 .
11．（2023九上·龙马潭月考）关于x的二次函数y=ax2－4ax+b中，当1≤x≤4时，-3≤y≤5. 则b-4a的值为
12．（2023九上·苍南模拟）二次函数y=-2ax+a在0≤x≤2上有最小值-6，则a的值为 .
13．（2023九上·亳州月考）已知二次函数，当时，.
（1）若，，则 .
（2）若抛物线经过点和点，则的取值范围是 .
三、解答题
14．（2023九上·鹿城月考）已知关于的二次函数，其图象经过点．
（1）求的值，并写出二次函数的关系式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标．
15．（2023九上·长安期中）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5．在AD上取一点E，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作四边形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上，若AF＝x，△BFM的面积为S．
（1）当AE＝2，四边形EFMN是正方形时，求x的值为 ；
（2）当AE＝2，四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式；
（3）当四边形EFMN是矩形时且矩形的两邻边EF：EN＝2：1，请直接写出S与x的函数关系式；并指出S的最大值．
四、综合题
16．（2019九上·番禺期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=xmm，EF=ymm．
（1）写出x与y的关系式；
（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．
17．（2023九上·义乌期中）如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标.
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点“．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵
∴函数图象的开口向下，且与y轴的交点为（0，-3）
又∵对称轴为直线x=＜0
∴对称轴在y轴左侧
∴二次函数图象一定不经过第一象限
故答案为：A.
【分析】观察函数图象的位置，一般观察其开口方向、与坐标轴的交点位置以及对称轴的位置；本题结合已知条件可推导出，开口向下，对称轴在y轴左侧，并且与y轴交点在负半轴上，画草图观察可知，图象一定不经过第一象限.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线 经过点 ，且对称轴为直线
关于直线x=2对称的点为（5，2），
该抛物线必然还经过点（5，2），
故答案为：D.
【分析】先求出该抛物线的对称性，直接利用对称性得出结论.
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于，
∴9a-3-6=0，
解得：a=1，
∴二次函数，
A.抛物线的对称轴为直线，该说法错误；
B.∵二次函数，
∴二次函数的顶点坐标为，该说法错误；
C.∵二次函数，
∴当y=0时，，
∴，
解得：x=-3或x=2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴A，B两点之间的距离为2-（-3）=5，该说法正确；
D.∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，该说法错误；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与性质，对每个选项一一判断求解即可。
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】利用两函数解析式可知抛物线的对称轴为直线，当y=0时，，可得到直线经过点（，0），观察各选项中的两函数图象，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得a＜0， 对称轴为x=﹣=1得2a=﹣b，
∴a、b异号，即b＞0，即ab＜0，b=﹣2a，A、B不符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，C不符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次函数的性质结合题意即可判断A和B，再根据二次函数的图象结合题意即可判断C，进而根据二次函数的性质将x=-1代入即可求解。
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵x2-2kx+4=0有两个实数根
∴ =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0
∴k2≥4
∵k为非负实数
∴k≥2
由韦达定理得：a+b=2k，ab=4
∴（a-1）+（b-1）=2k-2，
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k
∴(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7
令y=4(k-12)2-7，则函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大
∴当k=2时，y有最小值4（2-12）2-7=2，即 + 的最小值为2
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个实数根，可得 =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0，求出k≥2，由韦达定理a+b=2k，ab=4，转化成（a-1）+（b-1）=2k-2，(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k，故(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7，令y=4(k-)2-7，函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大，故当k=2时，y有最小值2，即 + 的最小值为2
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线开口方向向上，则．
抛物线的对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于轴负半轴，则，
．
故①错误；
②抛物线的对称轴为直线，
，即．
故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，开口向上，
该二次函数的最小值为，
为任意实数时，，即．
故③正确；
④抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
．
故④正确；
⑤
，
，
，
而，
，即．
，
．
故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤．
故答案为：D
【分析】根据二次函数的性质即可判断①；根据二次函数对称轴公式即可判断②；根据二次函数在对称轴处取得最值即可判定③；根据对称轴的计算公式结合题意即可判断④；根据题意即可得到，再结合②中结论即可判断⑤。
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：∵ 函数开口向上，
∴ a＞0；
∵ 函数与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点）
∴ -2＜c＜-1，
∵ 对称轴的位置和开口方向，”左同右异“
∴ b＜0；
∴ abc＞0；················①正确；
∵ 函数对称性
∴ x=0和x=2时，y相等，则4a+2b+c＜0；·························②错误；
∵ 函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，
∵ a＞0
∴ -8a＜0，
∴ b2-4ac＞-8a，即4ac﹣b2＜8a； ·······································③错误；
∵ 对称轴直线x=1
∴ x==1
∴ b=-2a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴ a-b+c=0
∴ a=，c=-3a
∴ b＞c ··························································································⑤正确；·
∵ -2＜c＜-1
∴················································································④正确；
综上， 正确结论的是①③④⑤
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟悉二次函数的开口方向（a与0的大小），对称轴与a，b的关系、与x轴的交点个数（b2-4ac与0的关系）、特殊点的取值等知识是解题关键。根据图象可得a，b，c的正负，根据函数与x轴的交点个数可得b2-4ac＞0，根据对称性可得x=2时，4a+2b+c＜0；根据对称轴x=1和交点（-1，0）可得a的范围及b，c的大小，可得出答案。
9．【答案】0或-8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2-2ax+b=a(x-1)2+b-a，顶点为（1，b-a），
当a＞0时，顶点为最低点
又∵ 0≤x≤3时，2≤y≤6，
∴x=3时， y最大=a(3-1)2+b-a=3a+b=6；x=1时，y最小=b-a=-2
∴a=2，b=0
∴ab=0；
当a＜0时，顶点为最高点
又∵ 0≤x≤3时，2≤y≤6，
∴x=3时， y最小=a(3-1)2+b-a=3a+b=-2；x=1时，y最大=b-a=6
∴a=-2，b=4
∴ab=-8
故答案为：0或-8.
【分析】根据二次函数图象的特点来分析x取值范围内函数值的大小变化，会使解题思路更加清晰；本题由于没有已知a的符号，所以要分a＞0，a＜0两种情况来讨论，在取值范围内，开口方向不同，对应的最大最小值也不同；当a＞0时， y最大=3a+b，y最小=b-a；当a＜0时，y最小=3a+b，y最大=b-a；由-2≤y≤6，可分别求出不同的a，b的值 .
10．【答案】8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，，
∴，
∴，
，，
，
∴，
∴
故答案为：。
【分析】利用横坐标的差表示特殊线段长度，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性求解．由，，的长度及抛物线的对称性可得点与点，点与点的横坐标之差，再利用求解。
11．【答案】-3或5
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，对称轴为：，
①当时，抛物线开口朝上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值最大．
∵，
∴当时，函数取得最小值，即：，
整理得：；
②当时，抛物线开口朝下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值最小．
∵，
当时，函数取得最大值，即：，即
故答案为：或5．
【分析】根据二次函数的性质求解。先求出函数的对称轴，分抛物线开口朝上和朝下两种情况进行讨论，根据二次函数的性质，即可得解．
12．【答案】-6或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-2ax+a =（x-a）2+a-a2
∴函数图象开口向上，对称轴为直线x=a，顶点为（a，a-a2）
∵0≤x≤2
若a≥2，则x=2时，函数值最小，即22-2a×2+a=-6，a=；
若0＜a＜2，则x=a时，函数值最小，即a-a2=-6，a=3或-2，均不符合假设，舍去；
若a≤0，则x=0时，函数值最小，即a=-6；
故答案为：-6或.
【分析】当函数图象开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大；本题0≤x≤2，需要考虑对应抛物上的部分在对称轴左侧，或包含顶点，或在对称轴右侧三种情况.
13．【答案】（1）
（2）或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
（1）解：∵ b=0，c=1
∴ y=ax2+1
∴ 函数顶点为（0，1），对称轴为y轴
∵ 二次函数，当时，.
∴ 若a＞0，则函数开口向上，函数最小值为1，当时，，与题干不符；
∴ 若a＜0，则函数开口向下，函数最大值为1，由时，得x=-1或1时，y=-1，
则-1=a（±1）2+1，解得a=-2；
（2）∵抛物线经过点和点
∴ a+b+c=-1，a-b+c=1
解得：b=-1，a+c=0
∴抛物线
∴ 对称轴x=
∴ x=1时，y=a-1-a=-1；x=-1时，y=a+1-a=1
如图所示：
∵当时，.
∴抛物线在上y随着x的增大而减小或y随着x的增大而增大
∴ 对称轴x=≤-1，且a＜0，或对称轴x= ≥1且a＞0
解得： 或
【分析】本题考查二次函数的性质，开口方向，对称轴，区间最值及图形结合求范围，熟悉二次函数的性质，结合图形是关键。
（1）由 b=0，c=1得y=ax2+1，则顶点为（0，1），对称轴为y轴，分a＞0和a＜0两种情况讨论，a＞0不成立，再讨论a＜0，根据题干可得函数过点（±1，1），可得a值；
（2）由抛物线过点和点得b=-1，a+c=0；则抛物线
，对称轴x=，根据已知条件，可得函数开口向上，向下都满足条件，由图象得出a的取值范围。
14．【答案】（1）解：把（1，8）代入二次函数 ，
得：，
解得，
．
（2）解：∵，
顶点
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1） 解析式中，有一个未知字母k，只需要一个已知点代入即可求出k的值；
（2）将转化成顶点式y=(x+2)2 1，在顶点式中，顶点坐标为（m，k).
15．【答案】（1）3
（2）解：如图2，连接FN，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A，
∵四边形FEMN是菱形，
∴EN＝FM，EN∥FM，
∴∠ENF＝∠NFM，
在矩形ABCD中，DC∥AB，
∴∠DNF＝∠NFQ，
∴∠DNF﹣∠ENF＝∠NFQ﹣∠NFM，即∠DNE＝∠MFQ，
∴△DNE≌△QFN（AAS），
∴MQ＝DE＝3，
∵AB＝8，AF＝x，
∴FB＝AB﹣AF＝8﹣x，
∴S△FBM＝×FB×MQ＝（8﹣x）×3＝12﹣x，
∴S与x的函数关系式S＝12﹣x；
（3）解：如图3，作MQ⊥FB于Q，则∠MQF＝90°，∠MQF＝∠A，
∵四边形EFMN是矩形，
∴FM＝EN，∠FEM＝∠A＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠MFQ＝90°，
∴∠AEF＝∠MFQ，
∴△AEF∽△QFM，
∴，
∵矩形的两邻边EF：EN＝2：1，AF＝x，
∴，
∴MQ＝x，
∵FB＝AB﹣AF＝8﹣x，
∴S＝S△FBM＝×FB×MQ＝（8﹣x）×x＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，
∵﹣＜0，
∴S的最大值为4．
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
∵AB＝8，BC＝5，
∴AD＝5，
∵四边形EFMN是正方形，
∴EF＝EN，∠FEN＝∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEN＝90°，
∴∠AFE＝∠DEN，
∴△AEF≌△DNE（AAS），
∴AF＝DE，
∵AD＝5．AE＝2，
∴DE＝3，
∴x＝AF＝3，
故答案为：3；
【分析】（1）根据正方形的性质，证明，进而根据全等三角形的性质对应边相等得出AF=DE，进而即可求解；
（）如图，连接，作于，证明，可得，则，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式即可求解；
（）如图，作于Q，证明，根据矩形的两邻边，，得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
16．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为矩形
∴KD=EG=x
∴AK=AD-DK=80-x
∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∴，即
∴y=-x+120（0＜x＜80）
（2）解：说法错误，S=xy=-x2+120x=-（x-40）2+2400
当x=40时，S有最大值2400
此时，y=-×40+120=60
∴矩形的长为60，宽为40，矩形的面积最大，最大值为2400
∴此时的矩形不是正方形，说法错误。
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由相似三角形的判定定理以及性质，结合对应边成比例，即可得到函数关系式；
（2）根据矩形的面积列出式子，结合二次函数的性质，求出最值进行判断即可得到答案。
17．【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0=-2+c，
解得c=2，
∴B（0，2），
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①由(1)可知直线解析式为，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴，，
∴PM=，AM=3-m，
PN==，
∵△BPN∽△APM，∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，
∴BN=OM=m，
∴，
即，
解得：m=0（舍去）或m=2.5，
∴M（2.5，0）；
当∠NBP=90°时，则有，
∵A（3，0），B（0，2），，
∴=，
=
∴，
解得：m=0（舍去）或m=，
∴M（，0），
综上，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；
②m的值为或-1或.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）由①可知，M（m，0），，，
∵M，P，N三点为“共谐点“，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
当P为线段MN的中点时，则有，
解得：m=3（三点重合，舍去）或m=；
当M为线段PN的中点时，则有，
解得m=3(舍去)或m=-1；
当N为线段PM的中点时，则有，
m=3（舍去）或m=；
综上可知，当M，P，N三点为“共谐点“时，
m的值为或-1或.
【分析】（1）由直线与x轴交于点A（3，0），可求出c的值，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法就可以求得抛物线的解析式；
（2）① 通过M点的坐标，可以表示出P、N两点的坐标，进而可以表示出MN、MP、PN、PB的长度，然后分∠BNP=90°和∠NBP=90°两种情况进行讨论，利用相似三角形即得到关于m的方程，即可求得m的值和点M的坐标 ；
② 用m表示出M、P、N三点的坐标，由于P、M、N分别为线段MN、PN、PM的中点，就可以分别得到关于m的方程，即可求得m的值.
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