2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2022九下·长安月考）抛物线的形状、开口方向与y＝x2-4x+3相同，顶点在（-2，1），则关系式为（ ）
A．y＝（x-2）2+1 B．y＝（x+2）2-1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝-（x+2）2+1
2．（2023九上·霍邱月考）若点在二次函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在直角坐标系中，如图函数图象的表达式是（ ）．
A．y=x2 B．y=x2 C．y= x2 D．y=x2
4．（2021九上·蚌埠期末）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 1 3 …
y … …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于
D．当时，y的值随x值的增大而增大
5．（2023九上·廊坊期中） 如图所示的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·东阳月考）某同学在用列表描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图糸时，列出了下面的表格：那么当x=5时，y的值为（ ）
x …… -1 0 1 2 3 ……
y …… 8 3 0 -1 0 ……
A．8 B．6 C．4 D．3
7．（2023九上·萧山月考）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的的值最大（ ）
A．点，点，点 B．点，点，点
C．点，点，点 D．点，点，点
8．（2023九上·瑞安月考）小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现an是n的二次函数．设S=，下列说法正确的是（ ）
n 1 2 3 4 5 … n
数列 -5 -2 0 1 1 … an
A．S有最大值为1 B．当n=10时，S=-14
C．S有最小值为-5 D．当n=15时，S=
二、填空题
9．（2023九上·瓯海期中）如图，函数y＝-（x-h）2+k的图象，则其解析式为 ．
10．（2023九上·乐清期中）抛物线y=ax2经过点(2，-8)，则a= ．
11．（2023九上·浙江月考）二次函数的图象如图，已知，，则该抛物线的解析式为 用顶点式表示
12．（2023九上·大城期中）如图，已知平面直角坐标系中的四个点：，，，．
若抛物线经过点A，B，则当 时，y随x的增大而增大；
若抛物线经过A，B，C，D四点中的三个点，则满足条件的a的最大值为 ．
13．（2023九上·平山期中） 如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为.弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的.
（1）抛物线L的解析式为 ；
（2）若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线的对称轴的右侧，抛物线的对称轴为直线 .
三、解答题
14．抛物线的对称轴是直线，且过点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求拋物线的顶点坐标.
15．（2023九上·游仙月考） 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）当时．
求这个二次函数的解析式；
当抛物线下降时，求的取值范围；
（2）如果、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
四、综合题
16．（2022九上·定海期中）已知抛物线经过点.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
17．（2023九上·章贡期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.
图1 图2 图3
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，抛物线与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的表达式为 ；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，当抛物线经过点A时，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：因为抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同，所以a=．
因为顶点在（-2，1），所以是y=（x+2）2+1．
故答案为：C．
【分析】由抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同，可得a相同，再利用顶点式写出解析式即可.
2．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】把 点代入二次函数，
得：，
解得：a=-3，
故答案为：C。
【分析】把抛物线上的点的坐标代入抛物线的解析式，组成方程或方程组可以求出解析式中的系数参数。
3．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2，
∵抛物线y=ax2经过点（2，3），
∴3=4a，
∴a=，
∴y=x2，
故答案为：D.
【分析】设抛物线的解析式为y=ax2，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.
4．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2 +bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（，0）和（﹣，0），故B选项不符合题意；
C．当x时，函数有最小值为，故C选项不符合题意；
D．函数对称轴为直线x，根据图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的图象和性质与系数的关系逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据抛物线的图象可得，抛物线经过点（-3，0），（3，0）和（0，4），
设抛物线的解析式为y=ax2+4，
将点（-3，0）代入，可得：0=9a+4，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为：，
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法之顶点式求解二次函数的解析式即可.
6．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：
∴二次函数解析式为：
令，则.
故答案为：A.
【分析】根据表格中的数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，最后令，求出对应的函数值即可.
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
，解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
，解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
，解得；
最大为，
故答案为：C.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
8．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的表达式为：an=tn2+bn+c（a≠0），
将（1，-5）、（2，-2）、（3，0）代入上式得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
整理得，
故二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
结合表格可得点（3，0）与点（6，0）关于对称轴对称，
当1≤n＜3，n＞6时，an＜0，
当3＜n＜6时，an＞0；
∵
∴；
A、若S有最大值为1，则，
即：，
整理得：，
∵，
故原方程无解，
即不成立，故A错误；
B、当n=10时，，B错误；
C、若S有最小值为-5，则，
即：，
整理得：，
解得：n=1或n=18，
当n=19时，；C错误；
D、当n=15时，，D正确；
故答案为：D.
【分析】用待定系数法求出函数表达式，即可求出S与n的关系式，将n=15代入求得，再逐项判断即可．
9．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：抛物线的顶点坐标为，
函数的解析式为．
故答案为：．
【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式．
10．【答案】-2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把点（2，-8）代入，
得，
解得.
故答案为：-2.
【分析】将点坐标代入函数表达式列出方程，解得a值即可.
11．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题可知，
将， 代入 ，可得；
∵ ，
∴，
解得（舍去），；
∴抛物线的解析式为.
故答案为：.
【分析】先分别表达出OA与OC，由图知当x=0时，y=OA；抛物线的对称轴，再利用即可求出m，则抛物线的解析式即可求出.
12．【答案】2；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 经过点A（0.2），B（1，0）
∴，
解得b=-，c=2
∴
∴ a=＞0，对称轴为直线x=2
∴ 当x≥2时， y随x的增大而增大；
故答案为2.
当抛物线过点A、D、C，函数开口向下，a＜0；
当抛物线过点B、D、C，函数开口向下，a＜0；
当抛物线过点A、B、D，函数开口向上，a＞0，代入各点坐标得：
解得：a=；
当抛物线过点A、B、C，函数开口向上，a＞0，代入各点坐标得：
；
解得：a=；
∴
∴抛物线经过A，B，C，D四点中的三个点，则满足条件的a的最大值为
故答案为：.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图象与性质，运用待定系数法，列出方程组求解是关键。1）把点A（0.2），B（1，0）代入函数解析式，再求出对称轴，结合开口方向，可明确增减性；2）先判断抛物线过其中三个点的开口方向，可知过点A、D、C和点B、D、C两种情况时，函数开口向下，a＜0，而抛物线过点A、B、C，和点A、B、D两种情况，函数开口向上，a＞0，则分别代入所对应点，求出a值，比较大小即可得结论。
13．【答案】（1）(或）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）因为抛物线L的最高点的坐标是（4，5），所以可设抛物线L的解析式为：y=a(x-4)2+5，
∵为抛物线L经过点P（0，1），
∴1=a（0-4）2+5，
∴a=，
所以抛物线L的解析式为：y=(x-4)2+5。
故答案为：y=(x-4)2+5；
（2）设抛物线L'的解析式为：y=m(x-h)2+k，
∵抛物线L'的开口大小和方向均与L相同，
∴m=a=，
∵L'的最大高度只是抛物线L最大高度的，
∴k=，
∴设抛物线L'的解析式为：y=(x-h)2+2，
∵点A与点P的高度相同，
∴点A和点P关于直线x=4对称，
∴点A的坐标为（8，1），
∴1=（8-h）2+2，
∴h1=6，h2=10＞8（舍去），
∴抛物线L'的解析式为：y=(x-6)2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=6.
故答案为：x=6.
【分析】（1）因为抛物线L的最高点的坐标是（4，5），所以可设抛物线L的解析式为：y=a(x-4)2+5，然后根据抛物线经过点P（0，1），即可求得抛物线L的解析式；
（2）首先可利用待定系数法求得抛物线L'的解析式为：y=(x-6)2+2，然后根据顶点式可直接得出抛物线的对称轴为直线x=6.
14．【答案】（1）解：由条件可得：，
把代入可得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：由（1）可得顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式。由对称轴可求得的值，再把代入可求得的值，再求抛物线的解析式；
（2）由顶点式可求得抛物线的顶点坐标．二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是（h，k）。
15．【答案】（1）解：由题意得 ，解得，
二次函数的表达式是；
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
（2）解：和时的函数值都是，
抛物线的对称轴为直线，
是顶点，和关于对称轴对称，
若在，，这三个实数中，只有一个是正数，
则抛物线必须开口向下，且，
，
，
二次函数为，
，
．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法可求出二次函数的解析式；根据上一问求出的解析式，可知抛物线开口向上，对称轴，在对称轴的左侧y随x的增大而减小；
（2）根据对称轴发现 （-1，m）和（3，p）关于对称轴x=1对称，b=-2a，如果开口向上则m、p同时为正，所以判定开口向下，n为正，m、p同为非正数，符合题目要求，此时代入x=1函数值大于等于0，解不等式求得a的取值范围即可。
16．【答案】（1）解：把（-1，0），（3，0）代入抛物线解析式得：，
解得：b=-2，c=-3，
则抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∴抛物线的对称轴为直线x==1；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，a＞0，开口向上，
则x＜1时，y随x的增大而减小.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把（-1，0），（3，0）代入抛物线 y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2）由抛物线的对称性可得其对称轴直线为x=1，又二次项系数a=1＞0，故开口向上，则x＜1时，y随x的增大而减小.
17．【答案】（1）解：将点和点代入，得：
，
解得：，
∴
（2）；
（3）解：依题意，有抛物线的解析式为，
因抛物线经过点，
∴
∴
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴抛物线的顶点为，
∵顶点关于原点的对称点为，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式。将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）根据二次函数的图象及性质求解。利用平移的规律得到抛物线的解析式为，代入点A的坐标即可求得m的值．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2022九下·长安月考）抛物线的形状、开口方向与y＝x2-4x+3相同，顶点在（-2，1），则关系式为（ ）
A．y＝（x-2）2+1 B．y＝（x+2）2-1
C．y＝（x+2）2+1 D．y＝-（x+2）2+1
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：因为抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同，所以a=．
因为顶点在（-2，1），所以是y=（x+2）2+1．
故答案为：C．
【分析】由抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同，可得a相同，再利用顶点式写出解析式即可.
2．（2023九上·霍邱月考）若点在二次函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】把 点代入二次函数，
得：，
解得：a=-3，
故答案为：C。
【分析】把抛物线上的点的坐标代入抛物线的解析式，组成方程或方程组可以求出解析式中的系数参数。
3．在直角坐标系中，如图函数图象的表达式是（ ）．
A．y=x2 B．y=x2 C．y= x2 D．y=x2
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2，
∵抛物线y=ax2经过点（2，3），
∴3=4a，
∴a=，
∴y=x2，
故答案为：D.
【分析】设抛物线的解析式为y=ax2，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.
4．（2021九上·蚌埠期末）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 1 3 …
y … …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2 +bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（，0）和（﹣，0），故B选项不符合题意；
C．当x时，函数有最小值为，故C选项不符合题意；
D．函数对称轴为直线x，根据图象可知当x时，y的值随x值的增大而增大，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的图象和性质与系数的关系逐项判断即可。
5．（2023九上·廊坊期中） 如图所示的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据抛物线的图象可得，抛物线经过点（-3，0），（3，0）和（0，4），
设抛物线的解析式为y=ax2+4，
将点（-3，0）代入，可得：0=9a+4，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为：，
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法之顶点式求解二次函数的解析式即可.
6．（2023九上·东阳月考）某同学在用列表描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图糸时，列出了下面的表格：那么当x=5时，y的值为（ ）
x …… -1 0 1 2 3 ……
y …… 8 3 0 -1 0 ……
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：
∴二次函数解析式为：
令，则.
故答案为：A.
【分析】根据表格中的数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，最后令，求出对应的函数值即可.
7．（2023九上·萧山月考）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的的值最大（ ）
A．点，点，点 B．点，点，点
C．点，点，点 D．点，点，点
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
，解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
，解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
，解得；
最大为，
故答案为：C.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
8．（2023九上·瑞安月考）小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现an是n的二次函数．设S=，下列说法正确的是（ ）
n 1 2 3 4 5 … n
数列 -5 -2 0 1 1 … an
A．S有最大值为1 B．当n=10时，S=-14
C．S有最小值为-5 D．当n=15时，S=
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数的表达式为：an=tn2+bn+c（a≠0），
将（1，-5）、（2，-2）、（3，0）代入上式得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
整理得，
故二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
结合表格可得点（3，0）与点（6，0）关于对称轴对称，
当1≤n＜3，n＞6时，an＜0，
当3＜n＜6时，an＞0；
∵
∴；
A、若S有最大值为1，则，
即：，
整理得：，
∵，
故原方程无解，
即不成立，故A错误；
B、当n=10时，，B错误；
C、若S有最小值为-5，则，
即：，
整理得：，
解得：n=1或n=18，
当n=19时，；C错误；
D、当n=15时，，D正确；
故答案为：D.
【分析】用待定系数法求出函数表达式，即可求出S与n的关系式，将n=15代入求得，再逐项判断即可．
二、填空题
9．（2023九上·瓯海期中）如图，函数y＝-（x-h）2+k的图象，则其解析式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：抛物线的顶点坐标为，
函数的解析式为．
故答案为：．
【分析】根据图象得出顶点的坐标，即可求得解析式．
10．（2023九上·乐清期中）抛物线y=ax2经过点(2，-8)，则a= ．
【答案】-2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把点（2，-8）代入，
得，
解得.
故答案为：-2.
【分析】将点坐标代入函数表达式列出方程，解得a值即可.
11．（2023九上·浙江月考）二次函数的图象如图，已知，，则该抛物线的解析式为 用顶点式表示
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题可知，
将， 代入 ，可得；
∵ ，
∴，
解得（舍去），；
∴抛物线的解析式为.
故答案为：.
【分析】先分别表达出OA与OC，由图知当x=0时，y=OA；抛物线的对称轴，再利用即可求出m，则抛物线的解析式即可求出.
12．（2023九上·大城期中）如图，已知平面直角坐标系中的四个点：，，，．
若抛物线经过点A，B，则当 时，y随x的增大而增大；
若抛物线经过A，B，C，D四点中的三个点，则满足条件的a的最大值为 ．
【答案】2；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 经过点A（0.2），B（1，0）
∴，
解得b=-，c=2
∴
∴ a=＞0，对称轴为直线x=2
∴ 当x≥2时， y随x的增大而增大；
故答案为2.
当抛物线过点A、D、C，函数开口向下，a＜0；
当抛物线过点B、D、C，函数开口向下，a＜0；
当抛物线过点A、B、D，函数开口向上，a＞0，代入各点坐标得：
解得：a=；
当抛物线过点A、B、C，函数开口向上，a＞0，代入各点坐标得：
；
解得：a=；
∴
∴抛物线经过A，B，C，D四点中的三个点，则满足条件的a的最大值为
故答案为：.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，图象与性质，运用待定系数法，列出方程组求解是关键。1）把点A（0.2），B（1，0）代入函数解析式，再求出对称轴，结合开口方向，可明确增减性；2）先判断抛物线过其中三个点的开口方向，可知过点A、D、C和点B、D、C两种情况时，函数开口向下，a＜0，而抛物线过点A、B、C，和点A、B、D两种情况，函数开口向上，a＞0，则分别代入所对应点，求出a值，比较大小即可得结论。
13．（2023九上·平山期中） 如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为.弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的.
（1）抛物线L的解析式为 ；
（2）若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线的对称轴的右侧，抛物线的对称轴为直线 .
【答案】（1）(或）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（1）因为抛物线L的最高点的坐标是（4，5），所以可设抛物线L的解析式为：y=a(x-4)2+5，
∵为抛物线L经过点P（0，1），
∴1=a（0-4）2+5，
∴a=，
所以抛物线L的解析式为：y=(x-4)2+5。
故答案为：y=(x-4)2+5；
（2）设抛物线L'的解析式为：y=m(x-h)2+k，
∵抛物线L'的开口大小和方向均与L相同，
∴m=a=，
∵L'的最大高度只是抛物线L最大高度的，
∴k=，
∴设抛物线L'的解析式为：y=(x-h)2+2，
∵点A与点P的高度相同，
∴点A和点P关于直线x=4对称，
∴点A的坐标为（8，1），
∴1=（8-h）2+2，
∴h1=6，h2=10＞8（舍去），
∴抛物线L'的解析式为：y=(x-6)2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=6.
故答案为：x=6.
【分析】（1）因为抛物线L的最高点的坐标是（4，5），所以可设抛物线L的解析式为：y=a(x-4)2+5，然后根据抛物线经过点P（0，1），即可求得抛物线L的解析式；
（2）首先可利用待定系数法求得抛物线L'的解析式为：y=(x-6)2+2，然后根据顶点式可直接得出抛物线的对称轴为直线x=6.
三、解答题
14．抛物线的对称轴是直线，且过点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求拋物线的顶点坐标.
【答案】（1）解：由条件可得：，
把代入可得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：由（1）可得顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式。由对称轴可求得的值，再把代入可求得的值，再求抛物线的解析式；
（2）由顶点式可求得抛物线的顶点坐标．二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是（h，k）。
15．（2023九上·游仙月考） 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）当时．
求这个二次函数的解析式；
当抛物线下降时，求的取值范围；
（2）如果、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得 ，解得，
二次函数的表达式是；
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
（2）解：和时的函数值都是，
抛物线的对称轴为直线，
是顶点，和关于对称轴对称，
若在，，这三个实数中，只有一个是正数，
则抛物线必须开口向下，且，
，
，
二次函数为，
，
．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法可求出二次函数的解析式；根据上一问求出的解析式，可知抛物线开口向上，对称轴，在对称轴的左侧y随x的增大而减小；
（2）根据对称轴发现 （-1，m）和（3，p）关于对称轴x=1对称，b=-2a，如果开口向上则m、p同时为正，所以判定开口向下，n为正，m、p同为非正数，符合题目要求，此时代入x=1函数值大于等于0，解不等式求得a的取值范围即可。
四、综合题
16．（2022九上·定海期中）已知抛物线经过点.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：把（-1，0），（3，0）代入抛物线解析式得：，
解得：b=-2，c=-3，
则抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∴抛物线的对称轴为直线x==1；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，a＞0，开口向上，
则x＜1时，y随x的增大而减小.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把（-1，0），（3，0）代入抛物线 y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而即可得出抛物线的解析式；
（2）由抛物线的对称性可得其对称轴直线为x=1，又二次项系数a=1＞0，故开口向上，则x＜1时，y随x的增大而减小.
17．（2023九上·章贡期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.
图1 图2 图3
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，抛物线与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的表达式为 ；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，当抛物线经过点A时，求m的值.
【答案】（1）解：将点和点代入，得：
，
解得：，
∴
（2）；
（3）解：依题意，有抛物线的解析式为，
因抛物线经过点，
∴
∴
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴抛物线的顶点为，
∵顶点关于原点的对称点为，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式。将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）根据二次函数的图象及性质求解。利用平移的规律得到抛物线的解析式为，代入点A的坐标即可求得m的值．
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