2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·巧家期中）抛物线图像经过点，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把（-2，1）代入解析式中
得：
解得：b=-2
故答案为：A
【分析】把（-2，1）代入抛物线表达式中求解即可。
2．（2023九上·杭州期中） 已知函数y＝ax2（a≠0）经过点（-1，2），则必经过点（ ）
A．（1，-2） B．（1，2） C．（2，-1） D．（2，1）
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数y＝ax2（a≠0）经过点（-1，2），
∴ 2=a×(-1)2，
∴ a=2，
∴ y=2x2，
∴ 当x=1时，y=2； 当x=2时，y=8，
即必经过点（1， 2）.
故答案为：B.
【分析】利用待定系数法求得解析式，再将x=1和x=2分别代入求y值即可.
3．（2023九上·阜阳期中）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（1，2023），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设 该抛物线对应的函数表达式为 y=a（x-h）2+k，
∵某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a=5，
∵抛物线 的顶点坐标为（1，2023），
∴h=1，k=2023，
∴该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
故答案为：A.
【分析】首先根据抛物线与二次函数的图象的关系可以求得a=5，然后根据顶点坐标，即可得出该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
4．（2024九上·六安月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：将点E（2，4）代入解得：a=1
∵当点，四边形为正方形
∴CD=CE=EF=4
设点A横坐标为m，则A（m，8）
代入解得：
故答案为：B
【分析】根据待定系数法将点E坐标代入抛物线解析式可求出抛物线解析式为，设点A横坐标为m，则A（m，8），代入函数解析式即可求出答案.
5．（2023九上·长治月考）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线与轴的一个交点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线
D．函数的最大值为
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可得：二次函数 过点（-2，0）（-1，4）（0，6）
∴ c=6
解得：a=-1，b=1
∴
∴ a=-1＜0， 抛物线的开口向下 ；选项A正确，不合题意；
抛物线与轴的一个交点坐标为（3，0）；选项B错误，符合题意；
抛物线的对称轴为直线；选项C正确，不合题意；
函数 的最大值，；选项D正确，不合题意；
故答案为：B.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象和性质。根据函数过点，求出a，b，c的值，可得函数解析式；a决定二次函数开口方向，对称轴，最大值=，二次函数与x轴有两个交点，则对称轴.
6．（2023九上·上城期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： y＝ax2+bx+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），
∴OC=OA=3，
∴A（3，0），
∵ S1+S2＝6S3 ，
∴BC2+AC2=6××AB×OC，
即OC2+OB2+OC2+OA2=9+OB2+9+9=6××（OB+3）×3，
解得：OB=9，
∴B（9，0），
设抛物线解析式为y=a(x-9)(x-3)，
把C（0，3）代入得a=，
∴y=(x-9)(x-3)，即y= x2-x+3 ，
∴b=-.
故答案为：B.
【分析】先求出C（0，3），A（3，0），根据S1+S2＝6S3、正方形的性质及勾股定理可求出OB的长，即得B（9，0），利用交点式求出抛物线解析式即可.
7．（2022九上·温州期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点G，正方形的边在x轴上，E，F在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，设ED交BG于点H，
∵是正三角形，，
∴
∴
设过的抛物线解析式为，
将点A代入，得
∴
∴抛物线解析式为，
∵四边形CDEF是正方形，且关于y轴对称，
∴
设，
∵在上，
∴，
解得（舍去）
∵，
设直线的解析式为，
∴
∴
∴直线的解析式为
∵H在上，
∴H的横坐标为
代入
得
∴
∴
∴阴影部分面积为
故答案为：D.
【分析】设ED交BG于点H，根据等边三角形的性质可得AO=BO=1，利用勾股定理算出OG的长，从而得出点G、A、B的坐标，利用待定系数法求出经过这三点的抛物线的解析式，根据正方形的性质设E（m，2m），将该点坐标代入抛物线的解析式，可算出m的值；利用待定相反数求出直线BG的解析式，将H的横坐标代入直线BG，算出对应的函数值可得点H的坐标，从而可得DH、OG、OD的长，进而根据阴影部分的面积=2梯形ODHG的面积，利用梯形面积公式计算即可.
8．（2020·新昌模拟）如图， 在平面直角坐标系中， 矩形O ABC的点B坐标为（8， 6） ，点A在x轴上，点C在y轴上.点D是边AB上的动点，连接OD，作点A关于线段OD的对称点A'.已知一条抛物线y=ax +bx+c（a≠0）经过O，A'，A三点，且点A'恰好是抛物线的顶点，则b的值为（ ）
A．- B．2 C．-2 D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；轴对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点A'作A'E⊥OA于E，连接A'O，A'A，
∵矩形O ABC的点B坐标为（8， 6） ，∴OA=8，
∵点A关于线段OD的对称点A'，∴A'O=OA，
∵抛物线y=ax +bx+c（a≠0）经过O，A'，A三点，且点A'恰好是抛物线的顶点，
∴A'O=A'A，∴A'O=A'A=OA，∴△A'AO是等边三角形，
∴A'O=A'A=OA=8，
∵A'E⊥OA，∴OE=AO=4，
∴A'A==4，∴A'（4，4），
∵点A'是抛物线的顶点，
∴设y=a（x-4） +4，
将点O（0，0）代入解析式中，得a=，
∴y=（x-4） +4=x2+2x，
∴b=2.
【分析】如图，过点A'作A'E⊥OA于E，连接A'O，A'A，根据矩形及轴对称的性质，可得A'O=OA=8，利用抛物线y=ax +bx+c（a≠0）经过O，A'，A三点，且点A'恰好是抛物线的顶点，可得△A'AO是等边三角形，从而可得OE=AO=4，利用勾股定理求出A'A==4，可得A'（4，4），从而可得设y=a（x-4） +4，将点O（0，0）代入解析式中求出a值，可得y=（x-4） +4=x2+2x，据此即可求出结论.
二、填空题
9．（2023九上·休宁期中）已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线对称，且，顶点在函数的图象上，则这个二次函数的表达式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，
∴抛物线与x轴交于(-4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为-1，
∵抛物线顶点在函数y=2x的图象上，
当x=-1代入y=2x得y=-2，
∴抛物线顶点坐标为(-1，-2)，
设二次函数的解析式为y=a(x+1)2-2，
把(-4，0)代入得，
0=9a-2，
解得，a=，
∴这个二次函数的表达式为 .
故答案为：.
【分析】根据二次函数的对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，利用抛物线的对称性可求A、B两点的坐标，由顶点在函数y= 2x的图象上，求得顶点坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求得解析式即可.
10．将抛物线y=2(x-3)2+m先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后恰好经过点(2，3)，则m的值是 .
【答案】-30
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解： 将抛物线y=2(x-3)2+m先向右平移3个单位得y=2(x-3-3)2+m，即为y=2(x-6)2+m；
再向上平移1个单位得y=2(x-6)2+m+1，
∵ 经过点(2，3)，
∴ 2×(2-6)2+m+1=3，即33+m=3，
∴ m=-30.
故答案为：30.
【分析】根据二次函数的平移规律得到y=2(x-6)2+m+1，再根据二次函数的定义，将点(2，3)代入可得33+m=3即可求得m的值.
11．（2022·肥西模拟）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数，
（1）若2是此函数的不动点，则m的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且，则m的取值范围为 ．
【答案】（1）-8
（2）
【知识点】一元二次方程的根；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）由题意得2=22+3×2+m，
解得m=-8，
故答案为-8；
（2）由题意知二次函数y=x2+3x+m的两个相异的不动点a，b是方程x2+3x+m=x的两个不相等实数根，
且a＜1＜b，
整理，得：x2+2x+m=0，
由x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知Δ＞0，
令y=x2+2x+m，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得m＜-3，
故答案m＜-3．
【分析】（1）根据待定系数法将（2，2）代入，求出m
（2）因为两个不动点的横坐标纵坐标是相等的，所以可将二次函数转化为一元二次方程，解方程，已知有两个不同的点，因此方程有a、b两个实数根，根的判别式大于0；根据a<112．（2023·莱西模拟）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．连接，则的最大面积为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，，
，
将，代入得，
，
解得，
，
当时，，即；
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为，
设，，
，
，
，开口向下，
当时，的最大值为，
故答案为：
【分析】先求出A（-3，0），利用待定系数法求出，求出x=0时y=3，即得C（0，3），利用待定系数法求直线解析式为，设，，可得，根据，列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
13．（2023·徐汇模拟）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得：令y=0，则x2+2x -3=0，
解得x1= 1，x2=-3，
∴A(-3，0)，B(1，0)，
∵当x=0时，y =x2+2x-3 =-3，
∴C (0，-3)，
∵当x =0时，y =ax2+bx+c=c，
∴D (0，c)，
∴CD=c+3，
∴BD =，
∵BD = CD，
∴，
解得：，
∴抛物线C2： ，
将A(-3，0)，B(1，0)代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出(-3，0)，B(1，0)，再利用勾股定理和待定系数法求解即可。
三、解答题
14．若抛物线的顶点坐标是A（-1，-3），并且抛物线经过点B坐标为（1，-1）.
（1）求出该抛物线的关系式；
（2）当x满足什么条件时，y随x的增大而增大
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意，设，把代入，得：
，解得：；
∴；
（2）∵，，对称轴为，
∴抛物线的开口向上，当时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据待定系数法求解。设出顶点式，把（1，-1）代入顶点式建立方程求解；
（2）根据二次函数的增减性求解。当a>0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
15．（2023九上·游仙月考）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，抛物线有最小值，求的值．
【答案】（1）解：将点，点代入抛物线的解析式可得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）解：，
抛物线的最小值是，对称轴为，
和不可能在抛物线对称轴的两侧，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
综上所述：或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）二次函数解析式里有两个未知系数，题中给定两点坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）把抛物线的解析式整理成顶点式，抛物线开口向上，x=1时有最小值-4，题中给定抛物线最小值5，说明x的取值不可能在对称轴的两侧，而应该同在对称轴的左侧或者右侧，故分两种情况分别计算：当在对称轴左侧时，即时，x=a+1有最小值5，可求解出符合条件的a，当在对称轴右侧时，即时，x=a-2有最小值5，可求解出符合条件的a，综合两种情况即可。
四、综合题
16．（2023九上·杭州期中） 已知二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）
（1）若A（1，0），B（0，4）两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（2）若二次函数的表达式可以写成y＝2（x-h）2-2的形式（h是常数），求b+c的最小值．
（3）若二次函数的表达式还可以写成y＝2（x-m）（x-m-k），它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝2x2+bx+c 过点A（1，0）、B（0，4），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝2x2-6x+4；
（2）解：把y＝2（x-h）2-2化成一般式得，y＝2x2-4hx+2h2-2，
∴b＝-4h，c＝2h2-2，
∴b+c＝2h2-4h-2＝2（h-1）2-4，
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是-4；
（3）解：存在，理由：
①当k＞0时，
（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x-m），
联立，
解得：，，
∴C（，），
由图可知，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，
过点C作CD⊥x轴，
则CD＝，BD＝-（m+k）＝，
BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝m+k-m＝k，AB＝BC，
∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x-m-k），
联立，
∴，，
∴C（，），
∵y＝2（x-m）（x-m-k），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+k，顶点坐标为（，），
即点C恰好是抛物线顶点，
∴总是有AC＝BC，
过点C作 CD⊥x轴，如图，
则CD＝，BD＝m+-m＝，
∴BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝k，AB＝BC，
∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
②当k＜0时，
同理可得：k＝-或-；
∴综上所述，k＝±或±．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求得；
（2）变形解析式得b=-4h，c=2h2-2，b+c=2（h-1）2-4，利用二次函数的性质即可求得；
（3）分两种情况：①当k＞0时，（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x-m），与二次函数联立为方程组可求得C的坐标，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，再根据勾股定理即可求得；（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x-m-k），与二次函数联立为方程组可求得C的坐标，恰好为抛物线的顶点，再根据勾股定理可得k；②当k＜0时，同理可求得.
17．（2021九上·永川月考）如图，直线AB与抛物线交于、两点，与y轴交于点C，点D为线段AB上一点，连接OD、OB.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将分成面积相等的两部分，求点D的坐标；
（3）在平面坐标内是否存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线AB的解析式为：，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△分成面积相等的两部分，即，
∴，解得：，
∴点D的坐标为（-1，3）；
（3）解：存在；
设点P的坐标为（xp，yp），
①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，
轴，，
∵B（2，6），
∴点P的坐标为（-2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，
点P的横坐标为2+4=6，点P的，纵坐标坐标为6，
点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，
，，
∴，，
即，，
解得：，，
此时点P的坐标为（-6，-6）；
综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）利用待定系数法求直线AB的解析式， 设点D的坐标为（m，m+4），根据， 建立关于m的方程求解，即可解答；
（3） 设点P的坐标为（xp，yp）， 分三种情况讨论， ①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，分别根据平行四边形的性质求P点坐标即可.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·巧家期中）抛物线图像经过点，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2023九上·杭州期中） 已知函数y＝ax2（a≠0）经过点（-1，2），则必经过点（ ）
A．（1，-2） B．（1，2） C．（2，-1） D．（2，1）
3．（2023九上·阜阳期中）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（1，2023），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·六安月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
5．（2023九上·长治月考）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线与轴的一个交点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线
D．函数的最大值为
6．（2023九上·上城期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·温州期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点G，正方形的边在x轴上，E，F在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·新昌模拟）如图， 在平面直角坐标系中， 矩形O ABC的点B坐标为（8， 6） ，点A在x轴上，点C在y轴上.点D是边AB上的动点，连接OD，作点A关于线段OD的对称点A'.已知一条抛物线y=ax +bx+c（a≠0）经过O，A'，A三点，且点A'恰好是抛物线的顶点，则b的值为（ ）
A．- B．2 C．-2 D．
二、填空题
9．（2023九上·休宁期中）已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线对称，且，顶点在函数的图象上，则这个二次函数的表达式为 ．
10．将抛物线y=2(x-3)2+m先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后恰好经过点(2，3)，则m的值是 .
11．（2022·肥西模拟）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数，
（1）若2是此函数的不动点，则m的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且，则m的取值范围为 ．
12．（2023·莱西模拟）已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，，设点D的横坐标为m．连接，则的最大面积为 ．
13．（2023·徐汇模拟）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ．
三、解答题
14．若抛物线的顶点坐标是A（-1，-3），并且抛物线经过点B坐标为（1，-1）.
（1）求出该抛物线的关系式；
（2）当x满足什么条件时，y随x的增大而增大
15．（2023九上·游仙月考）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，抛物线有最小值，求的值．
四、综合题
16．（2023九上·杭州期中） 已知二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）
（1）若A（1，0），B（0，4）两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（2）若二次函数的表达式可以写成y＝2（x-h）2-2的形式（h是常数），求b+c的最小值．
（3）若二次函数的表达式还可以写成y＝2（x-m）（x-m-k），它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
17．（2021九上·永川月考）如图，直线AB与抛物线交于、两点，与y轴交于点C，点D为线段AB上一点，连接OD、OB.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若OD将分成面积相等的两部分，求点D的坐标；
（3）在平面坐标内是否存在点P，使得以A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把（-2，1）代入解析式中
得：
解得：b=-2
故答案为：A
【分析】把（-2，1）代入抛物线表达式中求解即可。
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵函数y＝ax2（a≠0）经过点（-1，2），
∴ 2=a×(-1)2，
∴ a=2，
∴ y=2x2，
∴ 当x=1时，y=2； 当x=2时，y=8，
即必经过点（1， 2）.
故答案为：B.
【分析】利用待定系数法求得解析式，再将x=1和x=2分别代入求y值即可.
3．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设 该抛物线对应的函数表达式为 y=a（x-h）2+k，
∵某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a=5，
∵抛物线 的顶点坐标为（1，2023），
∴h=1，k=2023，
∴该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
故答案为：A.
【分析】首先根据抛物线与二次函数的图象的关系可以求得a=5，然后根据顶点坐标，即可得出该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：将点E（2，4）代入解得：a=1
∵当点，四边形为正方形
∴CD=CE=EF=4
设点A横坐标为m，则A（m，8）
代入解得：
故答案为：B
【分析】根据待定系数法将点E坐标代入抛物线解析式可求出抛物线解析式为，设点A横坐标为m，则A（m，8），代入函数解析式即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可得：二次函数 过点（-2，0）（-1，4）（0，6）
∴ c=6
解得：a=-1，b=1
∴
∴ a=-1＜0， 抛物线的开口向下 ；选项A正确，不合题意；
抛物线与轴的一个交点坐标为（3，0）；选项B错误，符合题意；
抛物线的对称轴为直线；选项C正确，不合题意；
函数 的最大值，；选项D正确，不合题意；
故答案为：B.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象和性质。根据函数过点，求出a，b，c的值，可得函数解析式；a决定二次函数开口方向，对称轴，最大值=，二次函数与x轴有两个交点，则对称轴.
6．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： y＝ax2+bx+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），
∴OC=OA=3，
∴A（3，0），
∵ S1+S2＝6S3 ，
∴BC2+AC2=6××AB×OC，
即OC2+OB2+OC2+OA2=9+OB2+9+9=6××（OB+3）×3，
解得：OB=9，
∴B（9，0），
设抛物线解析式为y=a(x-9)(x-3)，
把C（0，3）代入得a=，
∴y=(x-9)(x-3)，即y= x2-x+3 ，
∴b=-.
故答案为：B.
【分析】先求出C（0，3），A（3，0），根据S1+S2＝6S3、正方形的性质及勾股定理可求出OB的长，即得B（9，0），利用交点式求出抛物线解析式即可.
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，设ED交BG于点H，
∵是正三角形，，
∴
∴
设过的抛物线解析式为，
将点A代入，得
∴
∴抛物线解析式为，
∵四边形CDEF是正方形，且关于y轴对称，
∴
设，
∵在上，
∴，
解得（舍去）
∵，
设直线的解析式为，
∴
∴
∴直线的解析式为
∵H在上，
∴H的横坐标为
代入
得
∴
∴
∴阴影部分面积为
故答案为：D.
【分析】设ED交BG于点H，根据等边三角形的性质可得AO=BO=1，利用勾股定理算出OG的长，从而得出点G、A、B的坐标，利用待定系数法求出经过这三点的抛物线的解析式，根据正方形的性质设E（m，2m），将该点坐标代入抛物线的解析式，可算出m的值；利用待定相反数求出直线BG的解析式，将H的横坐标代入直线BG，算出对应的函数值可得点H的坐标，从而可得DH、OG、OD的长，进而根据阴影部分的面积=2梯形ODHG的面积，利用梯形面积公式计算即可.
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；轴对称的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点A'作A'E⊥OA于E，连接A'O，A'A，
∵矩形O ABC的点B坐标为（8， 6） ，∴OA=8，
∵点A关于线段OD的对称点A'，∴A'O=OA，
∵抛物线y=ax +bx+c（a≠0）经过O，A'，A三点，且点A'恰好是抛物线的顶点，
∴A'O=A'A，∴A'O=A'A=OA，∴△A'AO是等边三角形，
∴A'O=A'A=OA=8，
∵A'E⊥OA，∴OE=AO=4，
∴A'A==4，∴A'（4，4），
∵点A'是抛物线的顶点，
∴设y=a（x-4） +4，
将点O（0，0）代入解析式中，得a=，
∴y=（x-4） +4=x2+2x，
∴b=2.
【分析】如图，过点A'作A'E⊥OA于E，连接A'O，A'A，根据矩形及轴对称的性质，可得A'O=OA=8，利用抛物线y=ax +bx+c（a≠0）经过O，A'，A三点，且点A'恰好是抛物线的顶点，可得△A'AO是等边三角形，从而可得OE=AO=4，利用勾股定理求出A'A==4，可得A'（4，4），从而可得设y=a（x-4） +4，将点O（0，0）代入解析式中求出a值，可得y=（x-4） +4=x2+2x，据此即可求出结论.
9．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，
∴抛物线与x轴交于(-4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为-1，
∵抛物线顶点在函数y=2x的图象上，
当x=-1代入y=2x得y=-2，
∴抛物线顶点坐标为(-1，-2)，
设二次函数的解析式为y=a(x+1)2-2，
把(-4，0)代入得，
0=9a-2，
解得，a=，
∴这个二次函数的表达式为 .
故答案为：.
【分析】根据二次函数的对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，利用抛物线的对称性可求A、B两点的坐标，由顶点在函数y= 2x的图象上，求得顶点坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求得解析式即可.
10．【答案】-30
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解： 将抛物线y=2(x-3)2+m先向右平移3个单位得y=2(x-3-3)2+m，即为y=2(x-6)2+m；
再向上平移1个单位得y=2(x-6)2+m+1，
∵ 经过点(2，3)，
∴ 2×(2-6)2+m+1=3，即33+m=3，
∴ m=-30.
故答案为：30.
【分析】根据二次函数的平移规律得到y=2(x-6)2+m+1，再根据二次函数的定义，将点(2，3)代入可得33+m=3即可求得m的值.
11．【答案】（1）-8
（2）
【知识点】一元二次方程的根；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（1）由题意得2=22+3×2+m，
解得m=-8，
故答案为-8；
（2）由题意知二次函数y=x2+3x+m的两个相异的不动点a，b是方程x2+3x+m=x的两个不相等实数根，
且a＜1＜b，
整理，得：x2+2x+m=0，
由x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知Δ＞0，
令y=x2+2x+m，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得m＜-3，
故答案m＜-3．
【分析】（1）根据待定系数法将（2，2）代入，求出m
（2）因为两个不动点的横坐标纵坐标是相等的，所以可将二次函数转化为一元二次方程，解方程，已知有两个不同的点，因此方程有a、b两个实数根，根的判别式大于0；根据a<112．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，，
，
将，代入得，
，
解得，
，
当时，，即；
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为，
设，，
，
，
，开口向下，
当时，的最大值为，
故答案为：
【分析】先求出A（-3，0），利用待定系数法求出，求出x=0时y=3，即得C（0，3），利用待定系数法求直线解析式为，设，，可得，根据，列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得：令y=0，则x2+2x -3=0，
解得x1= 1，x2=-3，
∴A(-3，0)，B(1，0)，
∵当x=0时，y =x2+2x-3 =-3，
∴C (0，-3)，
∵当x =0时，y =ax2+bx+c=c，
∴D (0，c)，
∴CD=c+3，
∴BD =，
∵BD = CD，
∴，
解得：，
∴抛物线C2： ，
将A(-3，0)，B(1，0)代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出(-3，0)，B(1，0)，再利用勾股定理和待定系数法求解即可。
14．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意，设，把代入，得：
，解得：；
∴；
（2）∵，，对称轴为，
∴抛物线的开口向上，当时，y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据待定系数法求解。设出顶点式，把（1，-1）代入顶点式建立方程求解；
（2）根据二次函数的增减性求解。当a>0时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大．
15．【答案】（1）解：将点，点代入抛物线的解析式可得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）解：，
抛物线的最小值是，对称轴为，
和不可能在抛物线对称轴的两侧，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
综上所述：或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）二次函数解析式里有两个未知系数，题中给定两点坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）把抛物线的解析式整理成顶点式，抛物线开口向上，x=1时有最小值-4，题中给定抛物线最小值5，说明x的取值不可能在对称轴的两侧，而应该同在对称轴的左侧或者右侧，故分两种情况分别计算：当在对称轴左侧时，即时，x=a+1有最小值5，可求解出符合条件的a，当在对称轴右侧时，即时，x=a-2有最小值5，可求解出符合条件的a，综合两种情况即可。
16．【答案】（1）解：∵二次函数y＝2x2+bx+c 过点A（1，0）、B（0，4），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝2x2-6x+4；
（2）解：把y＝2（x-h）2-2化成一般式得，y＝2x2-4hx+2h2-2，
∴b＝-4h，c＝2h2-2，
∴b+c＝2h2-4h-2＝2（h-1）2-4，
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是-4；
（3）解：存在，理由：
①当k＞0时，
（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x-m），
联立，
解得：，，
∴C（，），
由图可知，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，
过点C作CD⊥x轴，
则CD＝，BD＝-（m+k）＝，
BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝m+k-m＝k，AB＝BC，
∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x-m-k），
联立，
∴，，
∴C（，），
∵y＝2（x-m）（x-m-k），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+k，顶点坐标为（，），
即点C恰好是抛物线顶点，
∴总是有AC＝BC，
过点C作 CD⊥x轴，如图，
则CD＝，BD＝m+-m＝，
∴BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝k，AB＝BC，
∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
②当k＜0时，
同理可得：k＝-或-；
∴综上所述，k＝±或±．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求得；
（2）变形解析式得b=-4h，c=2h2-2，b+c=2（h-1）2-4，利用二次函数的性质即可求得；
（3）分两种情况：①当k＞0时，（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x-m），与二次函数联立为方程组可求得C的坐标，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，再根据勾股定理即可求得；（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x-m-k），与二次函数联立为方程组可求得C的坐标，恰好为抛物线的顶点，再根据勾股定理可得k；②当k＜0时，同理可求得.
17．【答案】（1）解：由题意可得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：设直线AB的解析式为：，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为：，
设点D的坐标为（m，m+4），
∵OD将△分成面积相等的两部分，即，
∴，解得：，
∴点D的坐标为（-1，3）；
（3）解：存在；
设点P的坐标为（xp，yp），
①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，
轴，，
∵B（2，6），
∴点P的坐标为（-2，6）；
②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，
点P的横坐标为2+4=6，点P的，纵坐标坐标为6，
点P的坐标为（6，6）；
③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，
，，
∴，，
即，，
解得：，，
此时点P的坐标为（-6，-6）；
综上所述，存在满足条件的点P的坐标为（-2，6）或（6，6）或（-6，-6）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）利用待定系数法求直线AB的解析式， 设点D的坐标为（m，m+4），根据， 建立关于m的方程求解，即可解答；
（3） 设点P的坐标为（xp，yp）， 分三种情况讨论， ①当四边形AOBP是平行四边形时，p1在第二象限时，②当四边形AOPB是平行四边形时，p2在第一象限时，③当四边形APOB是平行四边形时，p3在第三象限时，分别根据平行四边形的性质求P点坐标即可.
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