2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系同步分层训练培优题
一、选择题
1． 二次函数y＝ax2+3x﹣1与x轴的交点个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不能确定
2．（2019九上·蜀山月考）二次函数 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
3．（2023九上·丰南期中） 已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：当时，自变量的取值范围是（ ）
… -1 0 2 4 5 …
… 0 1 3 5 6 …
… 0 -1 0 5 9 …
A． B．
C．或 D．或
4．（2023九上·西山期中）抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1
C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
5．抛物线y=a(x+m)2 (a≠0，m≠0)与坐标轴交点的个数（ ）．
A．必定是1个 B．必定是2 个
C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个
6．（2020九上·南宁期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 是对称轴上的一个动点.连接 ，当 最大时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·定海月考） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2023九上·大兴期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，对称轴为．给出下面三个结论：
①；
②关于x的一元二次方程有一个根大于3；
③对于任意实数m，．
上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．（2021九上·丽水期末）抛物线y＝x2+2与y轴的交点坐标为 ．
10．（2019九上·马山期中）若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是 .
11．（2023九上·三台期中）已知如图：抛物线与直线相交于点、两点，则关于的不等式的解集是
12．（2023九上·安吉月考）抛物线与轴相交于不同两点、，若存在整数及整数，使得和同时成立，则 ．
13．（2023九上·武昌期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（-1，n）且与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，则下列结论：①a+b+c＜0；②2a-b＝0；③一元二次方程＝0的两根为x1、x2，则|x1-x2|＝2；④对于任意实数m，不等式a（m2-1）+b（m+1）≤0恒成立，其中正确的有 （填写序号）
三、解答题
14．（2023九上·大兴期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）若，用含m的式子表示t；
（2）若对于任意，都有成立，求t的取值范围．
15．（2023九上·江源月考）如图，抛物线的顶点坐标为（2，6），且经过点（4，2）．点P是第一象限内的抛物线上的一点．且在对称轴右侧．过点P作PM⊥x轴于点M．PN⊥y轴于点N．设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式
（2）当四边形OMPN为正方形时，求m的值
（3）求四边形OMPN的周长的最大值
（4）若直线PN与这条抛物线的另一个交点为点Q，直接写出当时m的取值范围．
四、综合题
16．（2023九上·平山期中） 如图，抛物线L：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线L的解析式和顶点坐标；
（2）已知点在抛物线L上，且到y轴的距离不超过3，求m的值；
（3）已知点P的坐标为，连接AP，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出抛物线L在x轴上方的一段，记为，将该胶片向下平移个单位长度.
①若平移后的在x轴上方的部分只有一个整点（横、纵坐标都是整数的点），请直接写出满足条件的整数d的值；
②若平移后的与线段AP只有一个公共点，求d的取值范围.
17．（2023九上·河西期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴相交于点A，点B与点O是关于点A的对称点. 过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点 C，过点作直线平行于y轴， 是直线上一点，且PB=PC.
（1）填空：点B的坐标为 ：点C的坐标为 (用含k的式子表示)；
（2）求线段PB的长(用含k的式子表示)：
（3）点P是否一定在抛物线上 说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】
解： 二次函数y＝ax2+3x﹣1与x轴的交点个数由与0的大小决定。
∴
∵ a≠0
∴ 4a+9＞0或4a+9＜0或4a+9=0
∴二次函数y＝ax2+3x﹣1与x轴的交点个数不确定
故答案为D
【分析】本题考查二次函数与x轴的交点个数，由与0的大小决定。当＞0，则二次函数与x轴有2个交点；当=0，则二次函数与x轴有1个交点；当＜0，则二次函数与x轴没有交点；据此可判断出答案。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵二次函数y=kx2 6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2 6x+3=0(k≠0)有实数根，
即△=36 12k 0，k 3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k 3且k≠0.
故答案为：D.
【分析】利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵当时，，当时，，
∴直线与抛物线的交点为和，
而或时，，
∴当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：C
【分析】根据二次函数与坐标轴的交点问题结合表格信息即可求解。
4．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】观察图象
对称轴为x=-1
与x轴的一个交点是x1=1
根据二次函数的对称性，
可知
故y＞0时自变量x的取值范围为
故选：C
【分析】根据二次函数图象的性质，找到对称轴及图象与x轴的交点关于x=-1的对称点，再根据图象找到 y＞0时自变量x的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=a(x+m)2 (a≠0，m≠0)的顶点坐标为（-m，0），
∴抛物线y=a(x+m)2 (a≠0，m≠0)与x轴有1个交点，与y轴有1个交点，
∴抛物线与坐标轴交点的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】先求出抛物线的顶点坐标为（-m，0），得出抛物线的顶点在x轴上，从而得出抛物线与x轴有1个交点，与y轴有1个交点，即可得出抛物线与坐标轴有2个交点.
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边的关系得：
≤AB，当ABM三点共线时取等号，
当 B，A，M三点共线时， 最大，
则直线 与对称轴的交点即为点 .
由 可知， ，
对称轴
设直线 为 .
故直线 解析式为
当 时，
.
故答案为：D.
【分析】先根据题意求出点A、点B的坐标，抛物线的对称轴为x=1，根据三角形三边的关系得 ≤AB，当A、B、M三点共线时取等号，即M点是x=-1与直线AB的交点时， 最大.求出点M的坐标即可.
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，
∵ 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC为，
设，则Q，
∴PQ=-t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴，
∵k=-，
∴当时，有最大值为：，
∴有最小值为，
∴
故答案为：A.
【分析】过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，先由抛物线与纵坐标的交点坐标特点求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据点的坐标与图形的性质设，则Q，由两点间的距离公式表示出PQ=-t2+4t，AB=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△PQK∽△ABK，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据二次函数的性质求出有最大值，从而得到有最小值，进而可得答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴.b=-2a，即2a+b=0，所以①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a <0)的图象经过点(-1，0)，对称轴为x=1，
∴二次函数与x轴的另一交点为(3，0)，
∵ax2+bx+c+1=0的根可以看做是y=ax2+bx+c(a<0)和y=-1的交点横坐标，
∴由图象可得，一元二次方程ax2+bx+c+1=0有一个根大于3，故所以②正确；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
：∴a+b+c≥am2 +bm+c，即am' +bm≤a+b，所以③正确；
故选： D.
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，结合函数图象与对称轴的方程可判断①正确； 关于x的一元二次方程 ax2 +bx+c+1=0的根可以看做是抛物线y=ax2 +bx+c(a<0)和y=-1的交点横坐标，结合图象即可判断②正确；x=1时函数取得最大值，所以③正确.
9．【答案】(0，2)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：依题意将x=0代入y=x2+2中，解得y=2，
∴y=x2+2与y轴的交点坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）.
【分析】求抛物线与y轴的交点坐标，把x=0代入抛物线解析式，即可求解.
10．【答案】m＜1且m≠0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，
∴方程y＝x2+2x+m有两个不相等的实数根，且m≠0，
∴△=2 2 4m>0，
∴m<1.
∴m<1且m≠0.
故答案为：m＜1且m≠0
【分析】由于抛物线的二次项系数大于0，图象开口向上，由二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点 即可得出其△=b2-4ac＞0，且常数项不为0，从而列出不等式组，求解即可.
11．【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 抛物线在直线的下方，
即在交点A，B之间的图像符合题意，
∴或
故答案为： 或.
【分析】根据函数图象的上下关系即可解不等式.
12．【答案】13或15或19
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2-ax+m+a与x轴相交于不同两点（x1，0)，(x2，0)，
∴Δ=(-a)2-4×2×(m-a)＞0，即a2-8m+8a>0
∵2>0
∴抛物线开口向上，
∵1
∴当x=1或3时，y>0
∴
由③得：4∵a是整数
∴a=5或6或7或8或9或10或11
将a=5，6，10，11代入时不等式组均无解
将a=7，8，9代入时整数解依次为m=13，m=15，m=19
故答案为：13或15或19.
【分析】分析题目条件可知，抛物线开口向上，且与x轴有两个不同交点的横坐标满足10即2-a+m-a>0，18-3a+m-a>0；因为对称轴介于1和3之间，有，得413．【答案】①②④
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即2a-b=0，故②结论正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，根据抛物线的对称性得与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故①正确；
③一元二次方程的两根为x1，x2，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-x+的交点的横坐标为x1，x2，
∵直线y=-x+经过点（1，0），（-1，n），
∴x1=-1，0＜x2＜1，
∴|x1-x2|＜2，故③结论错误；
④ 若a（m2-1）+b（m+1）≤0 恒成立，则
∴，
由题意x=-1时，函数取最大值，，
∴恒成立，
故④结论正确.
故答案为：①②④．
【分析】根据对称轴为直线x=-1，可得2a-b=0，判断②；利用抛物线的对称性，判断抛物线与x轴另一个交点，可判断①；一元二次方程的两根为x1，x2，等价于抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-x+的交点的横坐标为x1，x2，数形结合可判断③；根据x=-1时，函数有最大值即可判断④．
14．【答案】（1）解：，抛物线的对称轴为．
点，关于对称轴对称．
，
．
（2）解：，抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
①当时，
，
，
，
，符合题意．
②当时，
（i）当时，
，
．
，符合题意．
（ii）当时，
设关于抛物线对称轴的对称点为，
则，
，
，
，
，
．
，符合题意．
所以当时，符合题意．
③当时，令，，则．
④当时，令，，则．
综上所述的取值范围是．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称性：抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称。由题意知A，B两点关于对称轴x=t对称，可得点A、B到直线x=t的距离相等，列出方程m+2-t=t-m即可；
(2)由题意可知：2m+2，点A、B在对称轴左边，，综上可以求解。
15．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（2，6），
∴设抛物线对应的函数解析式为y= a（x-2）2+6，
∵抛物线经过点（4，2），
∴2 = a（4-2）2 +6，解得a =-1．
∴抛物线对应的函数解析式为y =-（x-2）2 +6，
即y =-x2+4x+ 2．
（2）解：∵点P在抛物线y=-x2+4x+2上，且点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为P（m，-m2+4m+2）．
当四边形OMPN为正方形时，PN=PM，
∴m=-m2+4m+2，解得m1=，m2= （舍去），
∵抛物线y=-x2+4x+2与x轴正半轴的交点为（2+，0），且2 <<2+，
∴m的值为
（3）解：设四边形OMPN的周长为L，L=2m+2（-m2+4m+2）=-2m2+10m+4 =-2（m-）2+，∵-2<0，2<<2+，∴当m=时，四边形OMPN周长的最大值为
（4）解：如图，
点Q与点关于x=2对称，得
当m<4时，由时，得解得
当m>4时，由时，得解得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据正方形的边长相等，可得关于m的方程，解方程即可求解；
（3）根据矩形的周长公式，列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（4）由图象当 QN=1 时利用两点关于对称轴对称可得点Q的的坐标根据ON的长进而求解.
16．【答案】（1）解：把点代入抛物线L，解得，
∴抛物线L的解析式为.
∵，∴抛物线L的顶点坐标是；
（2）解：∵点在抛物线L上，∴，解得，.
∵点Q到y轴的距离不超过3，∴，∴舍去，∴m的值是－2；
（3）①d的值为6或7
②设线段AP所在直线的解析式为.
∵直线AP过点和，∴，，∴直线AP的解析式为.
′向下平移个单位长度后的解析式为.
把点代入得，解得.
结合图象，当时，平移后的与线段AP只有一个公共点.
将与联立，
整理得（或）.
∵平移后的与线段AP只有一个公共点，∴，解得.
综上所述，d的取值范围是或.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（3）①抛物线L的解析式为： ，
令y=0，则：，
解方程，可得：x1=-3，x2=5，
L'的解析式为：-d，
当L'向下平移时，与x轴交点坐标在-3和5之间，
当x=-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5时，在抛物线L'上的对应点分别为：（-3，-d），（-2，），（-1，6-d），（0，），（1，8-d），，（3，6-d），（4，），（5，-d），
∵d≥0且为整数，
∴（-2，），（0，），，（4，）不可能为整点，故舍去，
又∵整点位于x轴上方，
∴（-3，-d），（5，-d），不合题意，舍去，
在（-1，6-d），（1，8-d），（3，6-d）中，当d＜6时，这三个点均为整点；
当x=6时，只有（1，2）这一个符合题意的整点；
当x=7时，只有（1，1）这一个符合题意的整点；
当x≥8时，x轴上方无整点。
综上，d的值为6或7；
【分析】（1）根据点A（-3，0）在抛物线L上，即可求得a的值，从而得出L的解析式，然后把一般式转化成顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据点Q（m，） 在抛物线L上， 可求得m的值，再根据点Q到y轴的距离不超过3， 舍去不符合题意的值，即可得出答案；
（3）①首先求出抛物线L与x轴的交点坐标，从而得出抛物线L'向下平移时与x轴交点坐标的取值范围，根据整点的定义，即可求出整数d的值；②首先根据待定系数法求出直线AP的解析式，结合点P（2，2），与抛物线L'分两种情况讨论，即可求得d的取值范围。
17．【答案】（1）；
（2）解：∵B点坐标为
∴直线解析式为
令y=0，解得
∵PB=PC， ∴点 P只能在x轴上方，
过B作 BD⊥于点D，
设PB=PC=m，
则
在 Rt△PBD中， 由勾股定理可得
即解得
（3）解：∵PB=PC， ∴P点坐标为当时，代入抛物线解析式可得
∴点P一定在抛物线上.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线 ，
∴顶点A的坐标为，
∵点B与点O是关于点A的对称点，
∴点B的坐标为，
∴直线解析式为：，
令y=0，则，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为 ，
故答案为：；.
【分析】（1）根据抛物线的解析式求出顶点A的坐标为，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点B的坐标为，最后根据直线解析式求点C的坐标即可；
（2）根据题意先求出OC的值，再求出PD的值，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）先求出点P的坐标，再将 代入抛物线解析式计算求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系同步分层训练培优题
一、选择题
1． 二次函数y＝ax2+3x﹣1与x轴的交点个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不能确定
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】
解： 二次函数y＝ax2+3x﹣1与x轴的交点个数由与0的大小决定。
∴
∵ a≠0
∴ 4a+9＞0或4a+9＜0或4a+9=0
∴二次函数y＝ax2+3x﹣1与x轴的交点个数不确定
故答案为D
【分析】本题考查二次函数与x轴的交点个数，由与0的大小决定。当＞0，则二次函数与x轴有2个交点；当=0，则二次函数与x轴有1个交点；当＜0，则二次函数与x轴没有交点；据此可判断出答案。
2．（2019九上·蜀山月考）二次函数 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵二次函数y=kx2 6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2 6x+3=0(k≠0)有实数根，
即△=36 12k 0，k 3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k 3且k≠0.
故答案为：D.
【分析】利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围
3．（2023九上·丰南期中） 已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：当时，自变量的取值范围是（ ）
… -1 0 2 4 5 …
… 0 1 3 5 6 …
… 0 -1 0 5 9 …
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵当时，，当时，，
∴直线与抛物线的交点为和，
而或时，，
∴当时，自变量x的取值范围是或，
故答案为：C
【分析】根据二次函数与坐标轴的交点问题结合表格信息即可求解。
4．（2023九上·西山期中）抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1
C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】观察图象
对称轴为x=-1
与x轴的一个交点是x1=1
根据二次函数的对称性，
可知
故y＞0时自变量x的取值范围为
故选：C
【分析】根据二次函数图象的性质，找到对称轴及图象与x轴的交点关于x=-1的对称点，再根据图象找到 y＞0时自变量x的取值范围。
5．抛物线y=a(x+m)2 (a≠0，m≠0)与坐标轴交点的个数（ ）．
A．必定是1个 B．必定是2 个
C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=a(x+m)2 (a≠0，m≠0)的顶点坐标为（-m，0），
∴抛物线y=a(x+m)2 (a≠0，m≠0)与x轴有1个交点，与y轴有1个交点，
∴抛物线与坐标轴交点的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】先求出抛物线的顶点坐标为（-m，0），得出抛物线的顶点在x轴上，从而得出抛物线与x轴有1个交点，与y轴有1个交点，即可得出抛物线与坐标轴有2个交点.
6．（2020九上·南宁期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，点 是对称轴上的一个动点.连接 ，当 最大时，点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边的关系得：
≤AB，当ABM三点共线时取等号，
当 B，A，M三点共线时， 最大，
则直线 与对称轴的交点即为点 .
由 可知， ，
对称轴
设直线 为 .
故直线 解析式为
当 时，
.
故答案为：D.
【分析】先根据题意求出点A、点B的坐标，抛物线的对称轴为x=1，根据三角形三边的关系得 ≤AB，当A、B、M三点共线时取等号，即M点是x=-1与直线AB的交点时， 最大.求出点M的坐标即可.
7．（2023九上·定海月考） 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，
∵ 二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC为，
设，则Q，
∴PQ=-t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴，
∵k=-，
∴当时，有最大值为：，
∴有最小值为，
∴
故答案为：A.
【分析】过点P作PQ∥AB，与BC交于点Q，先由抛物线与纵坐标的交点坐标特点求出A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而根据点的坐标与图形的性质设，则Q，由两点间的距离公式表示出PQ=-t2+4t，AB=5，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△PQK∽△ABK，根据相似三角形对应边成比例可得，然后根据二次函数的性质求出有最大值，从而得到有最小值，进而可得答案.
8．（2023九上·大兴期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，对称轴为．给出下面三个结论：
①；
②关于x的一元二次方程有一个根大于3；
③对于任意实数m，．
上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴是x=1，
∴
∴.b=-2a，即2a+b=0，所以①正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c(a <0)的图象经过点(-1，0)，对称轴为x=1，
∴二次函数与x轴的另一交点为(3，0)，
∵ax2+bx+c+1=0的根可以看做是y=ax2+bx+c(a<0)和y=-1的交点横坐标，
∴由图象可得，一元二次方程ax2+bx+c+1=0有一个根大于3，故所以②正确；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
：∴a+b+c≥am2 +bm+c，即am' +bm≤a+b，所以③正确；
故选： D.
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，结合函数图象与对称轴的方程可判断①正确； 关于x的一元二次方程 ax2 +bx+c+1=0的根可以看做是抛物线y=ax2 +bx+c(a<0)和y=-1的交点横坐标，结合图象即可判断②正确；x=1时函数取得最大值，所以③正确.
二、填空题
9．（2021九上·丽水期末）抛物线y＝x2+2与y轴的交点坐标为 ．
【答案】(0，2)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：依题意将x=0代入y=x2+2中，解得y=2，
∴y=x2+2与y轴的交点坐标为（0，2），
故答案为：（0，2）.
【分析】求抛物线与y轴的交点坐标，把x=0代入抛物线解析式，即可求解.
10．（2019九上·马山期中）若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是 .
【答案】m＜1且m≠0
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，
∴方程y＝x2+2x+m有两个不相等的实数根，且m≠0，
∴△=2 2 4m>0，
∴m<1.
∴m<1且m≠0.
故答案为：m＜1且m≠0
【分析】由于抛物线的二次项系数大于0，图象开口向上，由二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点 即可得出其△=b2-4ac＞0，且常数项不为0，从而列出不等式组，求解即可.
11．（2023九上·三台期中）已知如图：抛物线与直线相交于点、两点，则关于的不等式的解集是
【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 抛物线在直线的下方，
即在交点A，B之间的图像符合题意，
∴或
故答案为： 或.
【分析】根据函数图象的上下关系即可解不等式.
12．（2023九上·安吉月考）抛物线与轴相交于不同两点、，若存在整数及整数，使得和同时成立，则 ．
【答案】13或15或19
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2-ax+m+a与x轴相交于不同两点（x1，0)，(x2，0)，
∴Δ=(-a)2-4×2×(m-a)＞0，即a2-8m+8a>0
∵2>0
∴抛物线开口向上，
∵1∴当x=1或3时，y>0
∴
由③得：4∵a是整数
∴a=5或6或7或8或9或10或11
将a=5，6，10，11代入时不等式组均无解
将a=7，8，9代入时整数解依次为m=13，m=15，m=19
故答案为：13或15或19.
【分析】分析题目条件可知，抛物线开口向上，且与x轴有两个不同交点的横坐标满足10即2-a+m-a>0，18-3a+m-a>0；因为对称轴介于1和3之间，有，得413．（2023九上·武昌期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（-1，n）且与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，则下列结论：①a+b+c＜0；②2a-b＝0；③一元二次方程＝0的两根为x1、x2，则|x1-x2|＝2；④对于任意实数m，不等式a（m2-1）+b（m+1）≤0恒成立，其中正确的有 （填写序号）
【答案】①②④
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即2a-b=0，故②结论正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，根据抛物线的对称性得与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故①正确；
③一元二次方程的两根为x1，x2，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-x+的交点的横坐标为x1，x2，
∵直线y=-x+经过点（1，0），（-1，n），
∴x1=-1，0＜x2＜1，
∴|x1-x2|＜2，故③结论错误；
④ 若a（m2-1）+b（m+1）≤0 恒成立，则
∴，
由题意x=-1时，函数取最大值，，
∴恒成立，
故④结论正确.
故答案为：①②④．
【分析】根据对称轴为直线x=-1，可得2a-b=0，判断②；利用抛物线的对称性，判断抛物线与x轴另一个交点，可判断①；一元二次方程的两根为x1，x2，等价于抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-x+的交点的横坐标为x1，x2，数形结合可判断③；根据x=-1时，函数有最大值即可判断④．
三、解答题
14．（2023九上·大兴期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）若，用含m的式子表示t；
（2）若对于任意，都有成立，求t的取值范围．
【答案】（1）解：，抛物线的对称轴为．
点，关于对称轴对称．
，
．
（2）解：，抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
①当时，
，
，
，
，符合题意．
②当时，
（i）当时，
，
．
，符合题意．
（ii）当时，
设关于抛物线对称轴的对称点为，
则，
，
，
，
，
．
，符合题意．
所以当时，符合题意．
③当时，令，，则．
④当时，令，，则．
综上所述的取值范围是．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称性：抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称。由题意知A，B两点关于对称轴x=t对称，可得点A、B到直线x=t的距离相等，列出方程m+2-t=t-m即可；
(2)由题意可知：2m+2，点A、B在对称轴左边，，综上可以求解。
15．（2023九上·江源月考）如图，抛物线的顶点坐标为（2，6），且经过点（4，2）．点P是第一象限内的抛物线上的一点．且在对称轴右侧．过点P作PM⊥x轴于点M．PN⊥y轴于点N．设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式
（2）当四边形OMPN为正方形时，求m的值
（3）求四边形OMPN的周长的最大值
（4）若直线PN与这条抛物线的另一个交点为点Q，直接写出当时m的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（2，6），
∴设抛物线对应的函数解析式为y= a（x-2）2+6，
∵抛物线经过点（4，2），
∴2 = a（4-2）2 +6，解得a =-1．
∴抛物线对应的函数解析式为y =-（x-2）2 +6，
即y =-x2+4x+ 2．
（2）解：∵点P在抛物线y=-x2+4x+2上，且点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为P（m，-m2+4m+2）．
当四边形OMPN为正方形时，PN=PM，
∴m=-m2+4m+2，解得m1=，m2= （舍去），
∵抛物线y=-x2+4x+2与x轴正半轴的交点为（2+，0），且2 <<2+，
∴m的值为
（3）解：设四边形OMPN的周长为L，L=2m+2（-m2+4m+2）=-2m2+10m+4 =-2（m-）2+，∵-2<0，2<<2+，∴当m=时，四边形OMPN周长的最大值为
（4）解：如图，
点Q与点关于x=2对称，得
当m<4时，由时，得解得
当m>4时，由时，得解得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据正方形的边长相等，可得关于m的方程，解方程即可求解；
（3）根据矩形的周长公式，列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（4）由图象当 QN=1 时利用两点关于对称轴对称可得点Q的的坐标根据ON的长进而求解.
四、综合题
16．（2023九上·平山期中） 如图，抛物线L：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线L的解析式和顶点坐标；
（2）已知点在抛物线L上，且到y轴的距离不超过3，求m的值；
（3）已知点P的坐标为，连接AP，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出抛物线L在x轴上方的一段，记为，将该胶片向下平移个单位长度.
①若平移后的在x轴上方的部分只有一个整点（横、纵坐标都是整数的点），请直接写出满足条件的整数d的值；
②若平移后的与线段AP只有一个公共点，求d的取值范围.
【答案】（1）解：把点代入抛物线L，解得，
∴抛物线L的解析式为.
∵，∴抛物线L的顶点坐标是；
（2）解：∵点在抛物线L上，∴，解得，.
∵点Q到y轴的距离不超过3，∴，∴舍去，∴m的值是－2；
（3）①d的值为6或7
②设线段AP所在直线的解析式为.
∵直线AP过点和，∴，，∴直线AP的解析式为.
′向下平移个单位长度后的解析式为.
把点代入得，解得.
结合图象，当时，平移后的与线段AP只有一个公共点.
将与联立，
整理得（或）.
∵平移后的与线段AP只有一个公共点，∴，解得.
综上所述，d的取值范围是或.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：（3）①抛物线L的解析式为： ，
令y=0，则：，
解方程，可得：x1=-3，x2=5，
L'的解析式为：-d，
当L'向下平移时，与x轴交点坐标在-3和5之间，
当x=-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5时，在抛物线L'上的对应点分别为：（-3，-d），（-2，），（-1，6-d），（0，），（1，8-d），，（3，6-d），（4，），（5，-d），
∵d≥0且为整数，
∴（-2，），（0，），，（4，）不可能为整点，故舍去，
又∵整点位于x轴上方，
∴（-3，-d），（5，-d），不合题意，舍去，
在（-1，6-d），（1，8-d），（3，6-d）中，当d＜6时，这三个点均为整点；
当x=6时，只有（1，2）这一个符合题意的整点；
当x=7时，只有（1，1）这一个符合题意的整点；
当x≥8时，x轴上方无整点。
综上，d的值为6或7；
【分析】（1）根据点A（-3，0）在抛物线L上，即可求得a的值，从而得出L的解析式，然后把一般式转化成顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据点Q（m，） 在抛物线L上， 可求得m的值，再根据点Q到y轴的距离不超过3， 舍去不符合题意的值，即可得出答案；
（3）①首先求出抛物线L与x轴的交点坐标，从而得出抛物线L'向下平移时与x轴交点坐标的取值范围，根据整点的定义，即可求出整数d的值；②首先根据待定系数法求出直线AP的解析式，结合点P（2，2），与抛物线L'分两种情况讨论，即可求得d的取值范围。
17．（2023九上·河西期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴相交于点A，点B与点O是关于点A的对称点. 过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点 C，过点作直线平行于y轴， 是直线上一点，且PB=PC.
（1）填空：点B的坐标为 ：点C的坐标为 (用含k的式子表示)；
（2）求线段PB的长(用含k的式子表示)：
（3）点P是否一定在抛物线上 说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：∵B点坐标为
∴直线解析式为
令y=0，解得
∵PB=PC， ∴点 P只能在x轴上方，
过B作 BD⊥于点D，
设PB=PC=m，
则
在 Rt△PBD中， 由勾股定理可得
即解得
（3）解：∵PB=PC， ∴P点坐标为当时，代入抛物线解析式可得
∴点P一定在抛物线上.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线 ，
∴顶点A的坐标为，
∵点B与点O是关于点A的对称点，
∴点B的坐标为，
∴直线解析式为：，
令y=0，则，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为 ，
故答案为：；.
【分析】（1）根据抛物线的解析式求出顶点A的坐标为，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点B的坐标为，最后根据直线解析式求点C的坐标即可；
（2）根据题意先求出OC的值，再求出PD的值，最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）先求出点P的坐标，再将 代入抛物线解析式计算求解即可。
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