2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.5 二次函数的应用同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·张北期中）某题市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）（）之间满足，则销售这种文具每天可得（ ）
A．最大利润150元 B．最大利润128元
C．最小利润150元 D．最小利润1202
2．（2023九上·重庆市月考）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．1米
3．（2023九上·仪陇期中）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·天长期中）如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（ ）
A．150 B． C． D．
5．（2023九上·黄浦期中）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
6．（2023九上·从江期中）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）
A．21元 B．22元 C．23元 D．24元
7．（2023九上·裕安月考）如图，在中，，，于点点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·望奎期末）如图，边长为的等边和边长为的等边，它们的边，位于同一条直线上，开始时，点与点重合，固定不动，然后把自左向右沿直线平移，移出外点与点重合停止，设平移的距离为，两个三角形重合部分的面积为，则关于的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m（如图）.若水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，则水管的设计高度应为 m.
10．（2023九上·阜阳月考）已知二次函数的顶点在第一象限．
⑴点的坐标是 ．（用含的式子表示）
⑵若抛物线与轴交于两点，连接，则的值是 ．
11．（2024九上·贵州期末） 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．
小明进行了两次掷实心球训练．
1 第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m
根据上述数据，实心球竖直高度最大值是 m；
⑵第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为，则 （填“”，“”或“”）．
12．（2023九上·张北期中）如图，抛物线与x轴的正半轴交于点A，点在该抛物线上．
⑴m的值为 ；
⑵连接AB，P是直线AB上的动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为 。
13．（2023九上·杭州期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是 .
三、解答题
14．（2023九上·襄都月考）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标．
（2）如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为，把该胶片绕点顺时针旋转，得到矩形胶片以及对应的图像．
①求旋转过程中扫过的面积；
②求图像所在的抛物线的解析式．
15．（2023九上·萧山月考）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生第一次在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
四、综合题
16．（2023九上·莱芜期中）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的解析式及点坐标；
（2）如图1，连接，在对称轴上找一点，且点在第一象限内，使得是以为底角的等腰三角形，求点的坐标；
（3）如图2，第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值。
17．（2023九上·西山期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线段PD长度的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
解：设销售利润为w，
∵ 该文具的进价为10元/件，销售单价为x，销售数量为y=-2x+60（15≤x≤26）
∴ w=(x-10)y=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200
∴ a=-2＜0，对称轴为x=20，
∴ 函数开口向下，x=20时，函数有最大值200元
∵ 15≤x≤26
∴ x=26时，函数有最小值为128元
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数的应用--销售问题。根据题意，列出利润的函数关系式是关键。利润=单件商品利润×销售数量。根据题意知销售利润=(x-10)y=(x-10)(-2x+60)=-2(x-20)2+200，结合二次函数的性质求解即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】设该抛物线的解析式为由题意得知B（0，1），将B（0，1）代入抛物线解析式得
解得：a=-0.2，
该抛物线解析式为
令y=0得
解得：x=-1或x=5，
OC=5，
故答案为：B.
【分析】先求出抛物线的解析式，再令y=0得关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的值即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】
解：如图所示，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2（a≠0）
∵拱顶离水面时，水面宽
由题意知点A（2，-2），代入解析式得：a=
∴ y=x2 ∵水面宽增加
∴ B横坐标是
∴ 把代入解析式得：y=
∴ 下降高度=2-（）=1.5m
故答案为：B
【分析】本题考查二次函数实际应用，根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求函数解析式，根据点和函数的关系求解。以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，得出点A坐标，待定系数法求解析式即可。
4．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形ABCD的面积为S，AB=x，则AD=，
根据题意可得：S=x×=，
∴当x=10时，S有最大值=150，
故答案为：A.
【分析】设矩形ABCD的面积为S，AB=x，则AD=，利用矩形的面积公式求出S=x×=，再利用二次函数的性质分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】
解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，
将A点坐标代入y=ax2，
﹣4=100a，
∴a=
∴y=，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B.
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax ，由此可得A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，即可求函数解析式，再将y=1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解设每天的销售利润为w元，每件的定价为x元，则每件的利润为（x-15）元，平均每天售出8+×4＝(-2x+58)件，根据题意得：y=(x-15)(-2x+58)=-2x2＋88x-870=-2(x-22)2＋98 ∵-2＜0 ∴当x=22时，w最大，即每件的定价为22时，每天的销售利润最大， 故答案为：B。
【分析】每天的销售利润为w元，每件的定价为x元，则每件的利润为（x-15）元，平均每天售出8+×4＝(-2x+58)件，根据每天的销售利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，即可求解。
7．【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在中，，，
，，
于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
点运动的路程为，
，
则，
，
四边形的面积为，
当点从点出发，沿路径运动时，
即时，
，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，
即时，
是的平分线，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．
故选：．
【分析】根据动点的坐标特点，找到矩形长和宽的表达式，进一步找到面积的表达式；根据二次函数的图象特点判定最终图象。
8．【答案】C
【知识点】图形的平移；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：边长为1的等边三角形的面积为，所以可以排除D；又阴影部分与相似，相似比为平移的距离x，面积比为相似比的平方，即x2，当没有全部进入时，函数图象是抛物线，所以可以排除A；开始平移时， 关于的函数为，抛物线的开口向上，所以可排除B.
故答案为：C.
【分析】用排除法求解，先求出边长为1的等边三角形的面积，可排除一个选项，再求得开始平移时，函数表达式，可排除另两个选项，剩下的选项就是答案.
9．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】 解：由题意设喷出的抛物线形水柱高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）满足关系式y=a（x-1）2+3，
当x=3时，y=a（3-1）2+3 =0，求得a= ，
令x=0，可得y=（0-1）2+3 =，
水管的设计高度应为.
故答案为：.
【分析】根据题意设喷出的抛物线形水柱关系式为y=a（x-1）2+3，代入（3，0）求出a的值，进而令x=0，求水管的设计高度.
10．【答案】；2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）顶点的坐标为．
（2）当时，，解得点的坐标为，．由抛物线的对称性可知，是等腰直角三角形，，解得（舍去），，即的值为2．
【分析】（1）根据配方法把一般式转化为顶点式求解；
（2）令，求出点的坐标，由抛物线的对称性可得是等腰直角三角形，即可求解．
11．【答案】；
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）由表格可知和时，y值相等，
∴对称轴为：，
∴当时，实心球竖直高度的最大，最大值为，
故答案为：；
（2）设第一次的函数解析式为，
把代入得：，
解得，
∴
令，则，
解得：（舍去），，
令，则，
解得：（舍去），，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意结合表格数值和二次函数的图象得到对称轴，进而即可求解；
（2）设第一次的函数解析式为，进而结合题意运用二次函数的图象即可求解。
12．【答案】2；或
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】
（1）解：∵ 点B（-1，-3）在抛物线y=-x2+mx上
∴ -3=-（-1）2+（-1）·m
解得m=2
（2）∵ 抛物线y=-x2+2x与x轴的正半轴交于点A
∴ A（2，0）
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）
代入A（2，0），B（-1，-3）得：
解得：k=1，b=-2
∴ 直线AB的解析式为y=x-2
∵P是直线AB上的动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q．
∴ PQ与抛物线的位置关系如下图所示：
设点P坐标（x，x-2）
当点P在点A上方时，PQ经过抛物线的顶点时，与抛物线只有一个交点，
∵ y=-x2+2x=-（x-1）2+1
∴ 抛物线顶点为（1，1），
∴ x-2=1
解得x=3
当点P与点A重合时，PQ与抛物线有两个交点；
当点P在AB之间，PQ与抛物线有一个交点，则点P的横坐标的取值范围为-1＜x＜2
当点P与点B重合时，PQ与抛物线有一个交点，则x=-1；
当点P在B下方时，线段PQ与抛物线无交点；
综上， 若线段PQ与抛物线只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为 -1≤x＜2或x=3
【分析】本题考查二次函数和点的关系，二次函数与x轴的交点，二次函数与线段的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，利用图形结合的思想来解题是关键。
（1）把点B代入二次函数可得m；
（2）由（1）得抛物线解析式，求出A点坐标，待定系数法求出直线AB解析式，根据P为AB上的动点， 点P左平移5个单位长度得到点Q．可画出PQ与函数图象的位置关系，结合图象分析即可。
13．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令y=0，可得x=4或-4，则OA=OB=4，
∵O、Q分别为AB、PA中点，
∴OQ=PB，
当B、C、P三点共线且C在BP中间时，BP有最大值，
BP=BC+PC=+PC=7，
∴OQ=3.5
故答案为：3.5.
【分析】要求OQ最大值，根据中位线定理可得OQ=PB，因此求出PB最大值即可；由题意可知当P、C、B共线时PB有最大值，根据抛物线解析式可得A、B坐标，由此可得OB长；在直角三角形BOC中根据勾股定理可求出BC长为5，进一步求出BP长7，即可得出OQ最大值3.5.
14．【答案】（1）解：把点，代入，
得
解得
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点的坐标为．
（2）解：如图，①连接，．
由，，得，．
在中，．
由旋转性质可知，与围成的图形，和与围成的图形全等，二者面积相等，
旋转过程中扫过的面积，即图中，与半圆围成的图形面积，等于以为直径的半圆的面积，
②由旋转性质可知，，，
，
点的坐标为．
设图像所在抛物线的解析式为，
代入点，得，解得，
图像所在抛物线的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）把点，代入，即可求出a和b，进而根据二次函数的性质即可求解；
（2）①连接，，先根据勾股定理得到，进而根据旋转的性质即可得到与围成的图形，和与围成的图形全等，二者面积相等，从而结合题意即可求解；
②先根据旋转的性质得到，，进而得到，从而得到点的坐标，设图像所在抛物线的解析式为，将点B代入即可求解。
15．【答案】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）C1的表达式为y=ax2-2ax，含有一个未知字母，恰好题目已知点A32，38在C1上，代入解析式即可求得a的值；
（2）由（1）可知C1：y=-12x2+x，转化成顶点式为y=-12x-12+12，故顶点为1，12，距离x轴米，距离地面1+12=32<2，高度未达到要求；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，C3顶点纵坐标需大于等于1；由a=-12，可得抛物线C3表达式为，顶点坐标为b2，b24，故，得；由点B的横坐标为-32，得yB=-94-32b，当b=-2时，yB有最小值，最小值为，故抛球点离地面的高度至少为1+34=1.75米．
16．【答案】（1）解： 对称轴为直线，，，
把代入抛物线表达式，可得：，
抛物线表达式为；
把代入，得，
；
（2）解：设点的坐标为，由对称轴可知，，
由点、、的坐标得，，
同理可得：，，
①当时，即，解得；
②当时，同理可得（舍去负值）；
故点的坐标为或；
（3）解：设，
设，把代入，把代入得，
，，
，
，
，
故当时，的最大值是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，进而求出C点的坐标即可；
（2）根据等腰三角形的性质分情况进行讨论，求出坐标；
（3）根据题意证明CQ=m，继而求出MQ+CQ=-m2+5m，求出答案即可。
17．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），
∴，解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为y＝kx+d，
由A（3，0），F（0，﹣3）的坐标得，直线AF的表达式为：y＝x﹣3，
设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则D（t，t﹣3），
∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣3）＝﹣t2+t+6=，
∴当t=时，PD最大，为.
（3）解：存在，理由：
设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），
∵A（3，0），
∴OA＝3，OF＝|n|，
如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP＝90°＝∠AOF，
∴∠PAD+∠APD＝90°，
∵∠PAD+∠FAO＝90°，
∴∠APD＝∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO（AAS），
∴PD＝OA，AD＝OF，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m＝0或2，
当m＝0时，P（0，3），AD＝3，
∴OF＝3，即|n|＝3，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣3，
∴F（0，﹣3）；
当m＝2时，P（2，3），AD＝1，
∴OF＝1，即|n|＝1，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣1，
∴F（0，﹣1）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线解析式有两个未知系数，给定抛物线上两个定点，用待定系数法可以求得函数的解析式；
（2）已知A、F点的坐标，可以用待定系数法找到直线AF的解析式，设出P点坐标，代入x值，可写出D点的坐标，进而找到PD两点间距离的表达式，化为顶点式，即可求PD的最大值；
（3）设出三角形的顶点坐标，作辅助线表示出P的坐标，观察图形，若存在等腰直角三角形，则由AAS定理必有PD＝OA ，AD＝OF，根据这一等量关系可以求得符合条件的P和F的坐标值，则说明存在等腰直角三角形，如果没有符合条件的P和F的坐标值，则说明不存在等腰直角三角形；解析PD二次表达式的过程中，发现抛物线上有2点符合条件，故F点也有2个符合条件的坐标值。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.5 二次函数的应用同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·张北期中）某题市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）（）之间满足，则销售这种文具每天可得（ ）
A．最大利润150元 B．最大利润128元
C．最小利润150元 D．最小利润1202
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
解：设销售利润为w，
∵ 该文具的进价为10元/件，销售单价为x，销售数量为y=-2x+60（15≤x≤26）
∴ w=(x-10)y=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200
∴ a=-2＜0，对称轴为x=20，
∴ 函数开口向下，x=20时，函数有最大值200元
∵ 15≤x≤26
∴ x=26时，函数有最小值为128元
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数的应用--销售问题。根据题意，列出利润的函数关系式是关键。利润=单件商品利润×销售数量。根据题意知销售利润=(x-10)y=(x-10)(-2x+60)=-2(x-20)2+200，结合二次函数的性质求解即可。
2．（2023九上·重庆市月考）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．1米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】设该抛物线的解析式为由题意得知B（0，1），将B（0，1）代入抛物线解析式得
解得：a=-0.2，
该抛物线解析式为
令y=0得
解得：x=-1或x=5，
OC=5，
故答案为：B.
【分析】先求出抛物线的解析式，再令y=0得关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的值即可.
3．（2023九上·仪陇期中）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】
解：如图所示，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2（a≠0）
∵拱顶离水面时，水面宽
由题意知点A（2，-2），代入解析式得：a=
∴ y=x2 ∵水面宽增加
∴ B横坐标是
∴ 把代入解析式得：y=
∴ 下降高度=2-（）=1.5m
故答案为：B
【分析】本题考查二次函数实际应用，根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求函数解析式，根据点和函数的关系求解。以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，得出点A坐标，待定系数法求解析式即可。
4．（2023九上·天长期中）如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（ ）
A．150 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形ABCD的面积为S，AB=x，则AD=，
根据题意可得：S=x×=，
∴当x=10时，S有最大值=150，
故答案为：A.
【分析】设矩形ABCD的面积为S，AB=x，则AD=，利用矩形的面积公式求出S=x×=，再利用二次函数的性质分析求解即可.
5．（2023九上·黄浦期中）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】
解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，
将A点坐标代入y=ax2，
﹣4=100a，
∴a=
∴y=，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B.
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax ，由此可得A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，即可求函数解析式，再将y=1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长.
6．（2023九上·从江期中）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）
A．21元 B．22元 C．23元 D．24元
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解设每天的销售利润为w元，每件的定价为x元，则每件的利润为（x-15）元，平均每天售出8+×4＝(-2x+58)件，根据题意得：y=(x-15)(-2x+58)=-2x2＋88x-870=-2(x-22)2＋98 ∵-2＜0 ∴当x=22时，w最大，即每件的定价为22时，每天的销售利润最大， 故答案为：B。
【分析】每天的销售利润为w元，每件的定价为x元，则每件的利润为（x-15）元，平均每天售出8+×4＝(-2x+58)件，根据每天的销售利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，即可求解。
7．（2023九上·裕安月考）如图，在中，，，于点点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在中，，，
，，
于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
点运动的路程为，
，
则，
，
四边形的面积为，
当点从点出发，沿路径运动时，
即时，
，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，
即时，
是的平分线，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．
故选：．
【分析】根据动点的坐标特点，找到矩形长和宽的表达式，进一步找到面积的表达式；根据二次函数的图象特点判定最终图象。
8．（2023八下·望奎期末）如图，边长为的等边和边长为的等边，它们的边，位于同一条直线上，开始时，点与点重合，固定不动，然后把自左向右沿直线平移，移出外点与点重合停止，设平移的距离为，两个三角形重合部分的面积为，则关于的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：边长为1的等边三角形的面积为，所以可以排除D；又阴影部分与相似，相似比为平移的距离x，面积比为相似比的平方，即x2，当没有全部进入时，函数图象是抛物线，所以可以排除A；开始平移时， 关于的函数为，抛物线的开口向上，所以可排除B.
故答案为：C.
【分析】用排除法求解，先求出边长为1的等边三角形的面积，可排除一个选项，再求得开始平移时，函数表达式，可排除另两个选项，剩下的选项就是答案.
二、填空题
9．某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m（如图）.若水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，则水管的设计高度应为 m.
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】 解：由题意设喷出的抛物线形水柱高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）满足关系式y=a（x-1）2+3，
当x=3时，y=a（3-1）2+3 =0，求得a= ，
令x=0，可得y=（0-1）2+3 =，
水管的设计高度应为.
故答案为：.
【分析】根据题意设喷出的抛物线形水柱关系式为y=a（x-1）2+3，代入（3，0）求出a的值，进而令x=0，求水管的设计高度.
10．（2023九上·阜阳月考）已知二次函数的顶点在第一象限．
⑴点的坐标是 ．（用含的式子表示）
⑵若抛物线与轴交于两点，连接，则的值是 ．
【答案】；2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）顶点的坐标为．
（2）当时，，解得点的坐标为，．由抛物线的对称性可知，是等腰直角三角形，，解得（舍去），，即的值为2．
【分析】（1）根据配方法把一般式转化为顶点式求解；
（2）令，求出点的坐标，由抛物线的对称性可得是等腰直角三角形，即可求解．
11．（2024九上·贵州期末） 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．
小明进行了两次掷实心球训练．
1 第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6
竖直高度y/m
根据上述数据，实心球竖直高度最大值是 m；
⑵第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为，则 （填“”，“”或“”）．
【答案】；
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）由表格可知和时，y值相等，
∴对称轴为：，
∴当时，实心球竖直高度的最大，最大值为，
故答案为：；
（2）设第一次的函数解析式为，
把代入得：，
解得，
∴
令，则，
解得：（舍去），，
令，则，
解得：（舍去），，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意结合表格数值和二次函数的图象得到对称轴，进而即可求解；
（2）设第一次的函数解析式为，进而结合题意运用二次函数的图象即可求解。
12．（2023九上·张北期中）如图，抛物线与x轴的正半轴交于点A，点在该抛物线上．
⑴m的值为 ；
⑵连接AB，P是直线AB上的动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为 。
【答案】2；或
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】
（1）解：∵ 点B（-1，-3）在抛物线y=-x2+mx上
∴ -3=-（-1）2+（-1）·m
解得m=2
（2）∵ 抛物线y=-x2+2x与x轴的正半轴交于点A
∴ A（2，0）
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）
代入A（2，0），B（-1，-3）得：
解得：k=1，b=-2
∴ 直线AB的解析式为y=x-2
∵P是直线AB上的动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q．
∴ PQ与抛物线的位置关系如下图所示：
设点P坐标（x，x-2）
当点P在点A上方时，PQ经过抛物线的顶点时，与抛物线只有一个交点，
∵ y=-x2+2x=-（x-1）2+1
∴ 抛物线顶点为（1，1），
∴ x-2=1
解得x=3
当点P与点A重合时，PQ与抛物线有两个交点；
当点P在AB之间，PQ与抛物线有一个交点，则点P的横坐标的取值范围为-1＜x＜2
当点P与点B重合时，PQ与抛物线有一个交点，则x=-1；
当点P在B下方时，线段PQ与抛物线无交点；
综上， 若线段PQ与抛物线只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为 -1≤x＜2或x=3
【分析】本题考查二次函数和点的关系，二次函数与x轴的交点，二次函数与线段的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，利用图形结合的思想来解题是关键。
（1）把点B代入二次函数可得m；
（2）由（1）得抛物线解析式，求出A点坐标，待定系数法求出直线AB解析式，根据P为AB上的动点， 点P左平移5个单位长度得到点Q．可画出PQ与函数图象的位置关系，结合图象分析即可。
13．（2023九上·杭州期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是 .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：令y=0，可得x=4或-4，则OA=OB=4，
∵O、Q分别为AB、PA中点，
∴OQ=PB，
当B、C、P三点共线且C在BP中间时，BP有最大值，
BP=BC+PC=+PC=7，
∴OQ=3.5
故答案为：3.5.
【分析】要求OQ最大值，根据中位线定理可得OQ=PB，因此求出PB最大值即可；由题意可知当P、C、B共线时PB有最大值，根据抛物线解析式可得A、B坐标，由此可得OB长；在直角三角形BOC中根据勾股定理可求出BC长为5，进一步求出BP长7，即可得出OQ最大值3.5.
三、解答题
14．（2023九上·襄都月考）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标．
（2）如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为，把该胶片绕点顺时针旋转，得到矩形胶片以及对应的图像．
①求旋转过程中扫过的面积；
②求图像所在的抛物线的解析式．
【答案】（1）解：把点，代入，
得
解得
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点的坐标为．
（2）解：如图，①连接，．
由，，得，．
在中，．
由旋转性质可知，与围成的图形，和与围成的图形全等，二者面积相等，
旋转过程中扫过的面积，即图中，与半圆围成的图形面积，等于以为直径的半圆的面积，
②由旋转性质可知，，，
，
点的坐标为．
设图像所在抛物线的解析式为，
代入点，得，解得，
图像所在抛物线的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）把点，代入，即可求出a和b，进而根据二次函数的性质即可求解；
（2）①连接，，先根据勾股定理得到，进而根据旋转的性质即可得到与围成的图形，和与围成的图形全等，二者面积相等，从而结合题意即可求解；
②先根据旋转的性质得到，，进而得到，从而得到点的坐标，设图像所在抛物线的解析式为，将点B代入即可求解。
15．（2023九上·萧山月考）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生第一次在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
【答案】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）C1的表达式为y=ax2-2ax，含有一个未知字母，恰好题目已知点A32，38在C1上，代入解析式即可求得a的值；
（2）由（1）可知C1：y=-12x2+x，转化成顶点式为y=-12x-12+12，故顶点为1，12，距离x轴米，距离地面1+12=32<2，高度未达到要求；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，C3顶点纵坐标需大于等于1；由a=-12，可得抛物线C3表达式为，顶点坐标为b2，b24，故，得；由点B的横坐标为-32，得yB=-94-32b，当b=-2时，yB有最小值，最小值为，故抛球点离地面的高度至少为1+34=1.75米．
四、综合题
16．（2023九上·莱芜期中）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的解析式及点坐标；
（2）如图1，连接，在对称轴上找一点，且点在第一象限内，使得是以为底角的等腰三角形，求点的坐标；
（3）如图2，第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值。
【答案】（1）解： 对称轴为直线，，，
把代入抛物线表达式，可得：，
抛物线表达式为；
把代入，得，
；
（2）解：设点的坐标为，由对称轴可知，，
由点、、的坐标得，，
同理可得：，，
①当时，即，解得；
②当时，同理可得（舍去负值）；
故点的坐标为或；
（3）解：设，
设，把代入，把代入得，
，，
，
，
，
故当时，的最大值是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，进而求出C点的坐标即可；
（2）根据等腰三角形的性质分情况进行讨论，求出坐标；
（3）根据题意证明CQ=m，继而求出MQ+CQ=-m2+5m，求出答案即可。
17．（2023九上·西山期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线段PD长度的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），
∴，解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为y＝kx+d，
由A（3，0），F（0，﹣3）的坐标得，直线AF的表达式为：y＝x﹣3，
设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则D（t，t﹣3），
∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣3）＝﹣t2+t+6=，
∴当t=时，PD最大，为.
（3）解：存在，理由：
设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），
∵A（3，0），
∴OA＝3，OF＝|n|，
如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP＝90°＝∠AOF，
∴∠PAD+∠APD＝90°，
∵∠PAD+∠FAO＝90°，
∴∠APD＝∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO（AAS），
∴PD＝OA，AD＝OF，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m＝0或2，
当m＝0时，P（0，3），AD＝3，
∴OF＝3，即|n|＝3，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣3，
∴F（0，﹣3）；
当m＝2时，P（2，3），AD＝1，
∴OF＝1，即|n|＝1，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣1，
∴F（0，﹣1）．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线解析式有两个未知系数，给定抛物线上两个定点，用待定系数法可以求得函数的解析式；
（2）已知A、F点的坐标，可以用待定系数法找到直线AF的解析式，设出P点坐标，代入x值，可写出D点的坐标，进而找到PD两点间距离的表达式，化为顶点式，即可求PD的最大值；
（3）设出三角形的顶点坐标，作辅助线表示出P的坐标，观察图形，若存在等腰直角三角形，则由AAS定理必有PD＝OA ，AD＝OF，根据这一等量关系可以求得符合条件的P和F的坐标值，则说明存在等腰直角三角形，如果没有符合条件的P和F的坐标值，则说明不存在等腰直角三角形；解析PD二次表达式的过程中，发现抛物线上有2点符合条件，故F点也有2个符合条件的坐标值。
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