2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.1 圆的对称性同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·鹿城月考）已知的半径为，点在外，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图如示，以O为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交、于M、N点，再分别以M、N点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于C点，连接，则能说明的依据是（ ）
A．
B．
C．
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
3．（2022九上·海淀期末）如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（ ）
A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定
4．（2023九上·石家庄期中）在如图所示的6×6的方格中，每个小方格的边长都为1，有M，N，O，P，Q五个格点，若以O为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
5．（2021九上·海淀期末）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
6．（2023九上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A． B．3 C．9 D．6
7．（2023九下·姜堰月考）如图，四边形为矩形，，.点P是线段上一动点，点M为线段上一点.，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2020九上·吴江期中）若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
9．（2023九上·杭州期中）已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在 （填圆内，圆上或圆外）．
10．（2024九上·天津市期中）已知的半径是，点与圆心的距离分别为．则点在 ，点在 ，点在 ．
11．（2023九上·通榆期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 （写出一个即可）．
三、解答题
12．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm．以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，试判断点B，C，D与⊙A的位置关系．
13．如图，长方形ABCD的边AB=3，AD=4．
（1）以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
四、综合题
14．（2023八下·鄞州期末）如图，上午9： 00，一轮船在点A处接到警报，台风中心位于轮船正南方向100海里的点B处，轮船以10海里/时的速度由西向东航行，台风中心以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属于台风影响区.
（1）若轮船继续向东航行t小时至A1，此时台风中心位于B1，用含t的代数式表示= ；
（2）若轮船不改变航行速度和方向，求轮船开始受台风影响的时刻.
15．（2021九上·潜山期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．
（1）若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；
（2）若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点P在⊙O外，则OP>4cm，选项中符合条件的为5cm.
故答案为：D.
【分析】点与圆的位置关系可以用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断：d>r 点在圆外；d=r 点在圆上；d2．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接MC和NC，
∵M和N在以圆O为圆的圆上
∴OM=ON
∵点C是以M和N为圆心，半径相等的圆的交点上
∴MC=NC
∵OM=ON，OC=OC，MC=NC
∴△OMC△ONC（SSS）
∴∠AOC=∠BOC
故答案为：A.
【分析】根据圆的性质，可得OM=ON，MC=NC；
根据三角形全等的判定（SSS）和性质，可得∠AOC=∠BOC.
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
则，，
，
点在外，
故答案为：A．
【分析】利用点与圆的位置关系求解即可。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
综上所述，点P在⊙O外
故答案为：C
【分析】根据勾股定理求出各点到点O的距离，再根据点与与圆的位置关系即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；圆的认识
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∵D为AC中点，
∴，
∵覆盖半径为300 ，
∴A、B、C三个点都被覆盖，
故答案为：D．
【分析】连接BD，先证出为直角三角形，根据D为AC中点，得出，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】圆的认识；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°， 点D恰好为线段AB的中点，
∴AB=2CD，
∵AC=CD=3，
∴AB=2×3=6，
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，再结合AC=CD=3，求出AB的长即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故答案为：D.
【分析】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，根据矩形的性质可得∠BAD=∠BAP+∠MAD=90°，由已知条件可知∠ADM=∠BAP，则∠AMD=90°，点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，连接OB交圆O与点N，易得当直线BM过圆心O时，BM最短，由勾股定理可得BO的值，然后根据BN=BO-AO进行计算.
8．【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∵
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
9．【答案】圆内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，，
∴，即，
∴点P在圆内．
故答案为：圆内.
【分析】根据点和圆的位置关系，即可得解.
10．【答案】圆上；圆内；圆外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙o的半径是4厘米，点A ，B ，C与圆心o的距离分别是4厘米，3厘米，5厘米 ∴ 点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外。故答案为：圆上，圆内，圆外。
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，当d﹥r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d﹤r时，点在圆内。
11．【答案】4（答案不唯一）
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB=5，BC＝4，
∴AC=，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴⊙A半径的取值范围为：3∴r的值为4（答案不唯一），
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用点和圆的位置关系求出r的取值范围，再求解即可.
12．【答案】解：连接AC，如图：
∵AB=3cm，AD=4cm，
∴cm，
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外.
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】先根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出AC的长，根据点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r；进行分析即可求解.
13．【答案】（1）解：如图，连接AC，
∵AB=3<4，
∴点B在圆内；
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，DC=AB=3，
∴AC=，
∴点C在圆外；
∵ 以点A为圆心，4为半径作⊙A， AD=4，
∴点D在圆上，
综上，点B在圆内，点C在圆外，点D在圆上；
（2）解：∵ 以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为 ； 3【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得∠D=90°，DC=AB=3，根据勾股定理算出AC的长，进而根据设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，判断即可得出答案；
（2） B，C，D三点中，但B离点A的距离最近为3，点C离点A的距离最远为5，从而根据点与圆的位置关系，可求出使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外时，r的取值范围.
14．【答案】（1）
（2）
解得，(舍去)
答：轮船开始受台风影响的时刻为12：00.
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，AA1=100-20t，AB1=10t，
在中，，
∴
整理得，.
【分析】（1）利用，得到AA1=100-20t，AB1=10t，在中，，可以求出答案.
（2）利用点与圆的位置关系来求，轮船开始受台风影响的时刻，说明轮船刚好在圆的边界上，可以得到轮船到台风中心的距离为50海里即可求出答案.
15．【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB==10，
∵∠ACB＝90°，点A，B，C都在⊙O上，
∴AB为⊙O的直径，
∴R=AB=5．
（2）解：∵点O是AB的中点，AB=10，
∴BO=AB=5，
∴BO＜BC＜BA，
∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，
∴点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，
∴8＜r＜10．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得R的值；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质求出BO的长，再利用点和圆的位置关系求出r的取值范围即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.1 圆的对称性同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·鹿城月考）已知的半径为，点在外，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点P在⊙O外，则OP>4cm，选项中符合条件的为5cm.
故答案为：D.
【分析】点与圆的位置关系可以用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断：d>r 点在圆外；d=r 点在圆上；d2．用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图如示，以O为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交、于M、N点，再分别以M、N点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于C点，连接，则能说明的依据是（ ）
A．
B．
C．
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接MC和NC，
∵M和N在以圆O为圆的圆上
∴OM=ON
∵点C是以M和N为圆心，半径相等的圆的交点上
∴MC=NC
∵OM=ON，OC=OC，MC=NC
∴△OMC△ONC（SSS）
∴∠AOC=∠BOC
故答案为：A.
【分析】根据圆的性质，可得OM=ON，MC=NC；
根据三角形全等的判定（SSS）和性质，可得∠AOC=∠BOC.
3．（2022九上·海淀期末）如图，已知正方形，以点为圆心，长为半径作，点与的位置关系为（ ）
A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
则，，
，
点在外，
故答案为：A．
【分析】利用点与圆的位置关系求解即可。
4．（2023九上·石家庄期中）在如图所示的6×6的方格中，每个小方格的边长都为1，有M，N，O，P，Q五个格点，若以O为圆心，为半径作圆，则在⊙O外的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】C
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
综上所述，点P在⊙O外
故答案为：C
【分析】根据勾股定理求出各点到点O的距离，再根据点与与圆的位置关系即可求出答案.
5．（2021九上·海淀期末）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；圆的认识
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∵D为AC中点，
∴，
∵覆盖半径为300 ，
∴A、B、C三个点都被覆盖，
故答案为：D．
【分析】连接BD，先证出为直角三角形，根据D为AC中点，得出，即可得出答案。
6．（2023九上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A． B．3 C．9 D．6
【答案】D
【知识点】圆的认识；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°， 点D恰好为线段AB的中点，
∴AB=2CD，
∵AC=CD=3，
∴AB=2×3=6，
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，再结合AC=CD=3，求出AB的长即可.
7．（2023九下·姜堰月考）如图，四边形为矩形，，.点P是线段上一动点，点M为线段上一点.，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故答案为：D.
【分析】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆，根据矩形的性质可得∠BAD=∠BAP+∠MAD=90°，由已知条件可知∠ADM=∠BAP，则∠AMD=90°，点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，连接OB交圆O与点N，易得当直线BM过圆心O时，BM最短，由勾股定理可得BO的值，然后根据BN=BO-AO进行计算.
二、填空题
8．（2020九上·吴江期中）若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
【答案】内部
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∵
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
9．（2023九上·杭州期中）已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在 （填圆内，圆上或圆外）．
【答案】圆内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为5，，
∴，即，
∴点P在圆内．
故答案为：圆内.
【分析】根据点和圆的位置关系，即可得解.
10．（2024九上·天津市期中）已知的半径是，点与圆心的距离分别为．则点在 ，点在 ，点在 ．
【答案】圆上；圆内；圆外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙o的半径是4厘米，点A ，B ，C与圆心o的距离分别是4厘米，3厘米，5厘米 ∴ 点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外。故答案为：圆上，圆内，圆外。
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，当d﹥r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d﹤r时，点在圆内。
11．（2023九上·通榆期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是 （写出一个即可）．
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB=5，BC＝4，
∴AC=，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴⊙A半径的取值范围为：3∴r的值为4（答案不唯一），
故答案为：4（答案不唯一）.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用点和圆的位置关系求出r的取值范围，再求解即可.
三、解答题
12．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm．以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，试判断点B，C，D与⊙A的位置关系．
【答案】解：连接AC，如图：
∵AB=3cm，AD=4cm，
∴cm，
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外.
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】先根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出AC的长，根据点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r；进行分析即可求解.
13．如图，长方形ABCD的边AB=3，AD=4．
（1）以点A为圆心，4为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【答案】（1）解：如图，连接AC，
∵AB=3<4，
∴点B在圆内；
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，DC=AB=3，
∴AC=，
∴点C在圆外；
∵ 以点A为圆心，4为半径作⊙A， AD=4，
∴点D在圆上，
综上，点B在圆内，点C在圆外，点D在圆上；
（2）解：∵ 以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为 ； 3【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得∠D=90°，DC=AB=3，根据勾股定理算出AC的长，进而根据设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，判断即可得出答案；
（2） B，C，D三点中，但B离点A的距离最近为3，点C离点A的距离最远为5，从而根据点与圆的位置关系，可求出使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外时，r的取值范围.
四、综合题
14．（2023八下·鄞州期末）如图，上午9： 00，一轮船在点A处接到警报，台风中心位于轮船正南方向100海里的点B处，轮船以10海里/时的速度由西向东航行，台风中心以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属于台风影响区.
（1）若轮船继续向东航行t小时至A1，此时台风中心位于B1，用含t的代数式表示= ；
（2）若轮船不改变航行速度和方向，求轮船开始受台风影响的时刻.
【答案】（1）
（2）
解得，(舍去)
答：轮船开始受台风影响的时刻为12：00.
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，AA1=100-20t，AB1=10t，
在中，，
∴
整理得，.
【分析】（1）利用，得到AA1=100-20t，AB1=10t，在中，，可以求出答案.
（2）利用点与圆的位置关系来求，轮船开始受台风影响的时刻，说明轮船刚好在圆的边界上，可以得到轮船到台风中心的距离为50海里即可求出答案.
15．（2021九上·潜山期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．
（1）若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；
（2）若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．
【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB==10，
∵∠ACB＝90°，点A，B，C都在⊙O上，
∴AB为⊙O的直径，
∴R=AB=5．
（2）解：∵点O是AB的中点，AB=10，
∴BO=AB=5，
∴BO＜BC＜BA，
∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，
∴点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，
∴8＜r＜10．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得R的值；
（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质求出BO的长，再利用点和圆的位置关系求出r的取值范围即可。
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