2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.1 圆的对称性同步分层训练培优题
一、选择题
1．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5， 12 )，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ )
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
【答案】B
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】由勾股定理得： ，
∵圆O的半径为13，
∴点O在圆P上．故选B．
2．（2023九下·大冶月考）如图，在中，，则劣弧的度数为（ ）
A．106° B．126° C．74° D．53°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OA=OB，∠B=37°
∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°.
故答案为：A.
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠B=37°，然后利用内角和定理进行计算.
3．（2023九下·西湖月考）如图，已知OA，OB， OC是⊙O的半径，连结BC，交OA于点D，设∠ADB=a，∠OBC=p，∠AOC=y， 则（ ）
A．a+2β-y= 180° B．a+β+y= 180°
C．2a-β+y=180° D．3a-2β+y=180°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=β，
∵∠ADB=∠CDO=a，∠CDO+∠AOC+∠OCB=180°，
∴a+β+y= 180°.
故答案为：B
【分析】利用等边对等角可得到∠OCB=β，利用对顶角相等可知∠CDO=a；然后利用三角形的内角和为180°，可得到a、β、y之间的数量关系.
4．（2020九下·江阴期中）如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ ，
∴当 时， ，
解得： ，
∴A点与B点坐标分别为：（ ，0），（3，0），
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为（0，4），
∴OC=4，
∴BC长度= ，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
即：OE= BD，
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
∴OE= BD=2，
即OE的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE= BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
5．（2019九下·萧山开学考）如图，矩形ABCD，AD=1，CD=2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连结AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P，Q，A三点的圆面积为S，则4π≤S＜。下列说法正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆的认识；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1
∵DP≥1，当△APB为等腰三角形，
∴AP＝AB，
在Rt△ADP中，∵∠D＝90°，AP＝2，AD＝1，
∴PA＝2AD，
∴∠APD＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠CPB＝∠ABP，
∵AP＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∴∠APB＝∠CPB＝75°，
∵P，Q关于BC对称，
∴BP＝BQ，
∴∠BPC＝∠BQC＝75°，
∴△APB∽△BPQ，故①正确．
②如图2中，作△APQ的外接圆⊙O．
当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，
当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，
在Rt△AOB中，则有x2＝22+（x﹣1）2，
∴x＝，
此时⊙O的面积＝π，
观察图象可知：4π≤S＜π．故②正确，
故答案为：A
【分析】①如图1，由DP≥1，当△APB为等腰三角形可知，AP＝AB，从而可得到PA=2AD，就可求出∠APD=30°，再利用平行线的性质及等腰三角形的性质，去证明∠APB＝∠CPB=75°，再利用P，Q关于BC对称，可证得∠BPC＝∠BQC＝75°，利用相似三角形的判定定理，可对①作出判断；作△APQ的外接圆⊙O．当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，利用勾股定理求出x的值，从而可求出此时圆的面积，即可S的取值范围，从而可对②作出判断，综上所述，可得到正确说法的序号。
6．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（ ）
A．16cm或6cm， B．3cm或8cm C．3cm D．8cm
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】若该点在圆外，则最大距离应该是过直径的线段，则直径=11-5=6cm，半径=cm，如图所示，
若该点在圆内，则最大距离应该是直径所包含的线段，则直径=11+5=16cm，半径=cm，如图所示，
【分析】应该先分析出有几种情况，再利用点与圆的位置关系进行半径的计算。
7．已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是 （ ）
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】在矩形ABCD中，若以B点为圆心，则A、C、D三点是其余点。而AB=15，BC=20，则连接BD且，若想实现至少一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则有两种情况：一是A点在⊙B内，C、D点在⊙B外；二是一是A、C点在⊙B内，D点在⊙B外。则无论是哪种情况，都需要半径r满足：15＜r＜25，故选项C符合题意。
【分析】做这类点与圆的位置关系题型时，主要抓住半径这条主线，便可迎刃而解。
8．如图点A，D，G，B在半圆上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a， EF=b， NH=c，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】由于四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，因此具有对角线相等的性质。连接OA、OD和OM，则OA=BC=a，OD=BF=b，OM=NH=c，又因为OA、OD和OM均为半径且相等，则a=b=c，B选项符合题意，故答案为：B。
【分析】首先要将a、b、c转换为已知可求解的线段（本题为半径），最后利用圆的半径相等性质进行大小关系的比较。
二、填空题
9．（2023九下·靖江期中）若点在二次函数的图像上，以P为圆心，为半径的圆与y轴相交，则n的取值范围是 .
【答案】
【知识点】点与圆的位置关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴二次函数的图像开口向上，顶点，对称轴是直线，
在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，
∴，
∵抛物线开口向上，，
∴当，时，，
当，时，，且此时圆与y轴相切，故n不可取到.
.
故答案为：1≤n<10.
【分析】由二次函数的解析式可得：其图象开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，1），距离对称轴越远的点对应的函数值越大，由题意可得-210．（2023九下·杭州月考）如图，点A，B，C在⊙O上，，，则 .
【答案】20°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：
又
.
故答案为：20°.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC=40°，由内角和定理可得∠BOC=100°，根据平行线的性质可得∠AOB=∠OBC=40°，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=140°，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
11．（2022九下·望花月考）如图，数学知识在生产和生活中被广泛应用．下列实例所应用的最主要的几何知识为：
①射击时，瞄准星的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
上述说法正确的是 ．（填序号）
【答案】①②
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；菱形的性质；矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：①在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故①符合题意；
②因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，故②符合题意；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形四边相等和平行四边形的不稳定性”，故③不符合题意；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故④不符合题意．
故答案是：①②．
【分析】①根据“两点确定一条直线”解答；②由于圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，据此解答；③根据菱形的性质及四边形具有不稳定性解答；④由于矩形的四个角都是直角，所以地板砖可以做成矩形，据此逐一判断即可.
12．（2022九下·莱山期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为，⊙C半径为4，P是⊙C上一动点，Q是线段PB的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
【答案】7
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AP，如图，
当y＝0时，，解得A（ 8，0），B（8，0），
∵Q是线段PB的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝AP，
当AP最大时，OQ最大，
连接AC，延长AC交圆于P时，PA最大，
∵，
∴AP的最大值＝10+4＝14，
∴线段OQ的最大值为7．
故答案为7．
【分析】连接AP，先求出A、B坐标，易得OQ为△ABP的中位线，可得OQ＝AP，当AP最大时，OQ最大，连接AC，延长AC交圆于P时，PA最大，由勾股定理求出AC=10，可得AP的最大值＝AC+ ⊙C半径 ，继而得解.
13．（2023九下·义乌月考）如图，在中，，点D为的中点，点E是线段上一动点，把沿直线翻折，点A的对称点是F，连结，若，则的长是 .
【答案】1或7
【知识点】点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∵点D为的中点，
∴，
∴点F在以点D为圆心，以5为半径的圆上运动，以为边作，满足条件的与有两处交点，故有两种情况.
当在的左侧时，如图1，记与的交点为P，过点D作交于点G.
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
当在的右侧时，如图2，
同理可证：，，
∵，
∴，
∴，
∴.
综上，的长为1或7.
故答案为：1或7.
【分析】利用勾股定理可得AC=10，则AD=CD=5，则点F在以点D为圆心，以5为半径的圆上运动，以AE为边作∠EAF=45°，满足条件的AF与圆有两处交点，当AF在AB的左侧时，记DF与AC的交点为P，过点D作DG∥BC交AB于点G，由折叠可知AD=DF=5，AE=EF，∠BAC=∠EFP，易证△ADG∽△FPE，△ADG∽△DPG，根据相似三角形的性质可得DP，然后根据PF+DP=DF可得EF，进而可得AE；当AF在AC的右侧时，同理进行解答.
三、解答题
14．如图，A 城气象台测得台风中心在A城正西方向300km的B处，以km/h的速度向北偏东60°的BF方向移动．已知距台风中心200km的范围内是受到台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到台风影响，则A城将遭受到这次台风影响的时间有多长？
【答案】（1）解：如图，作AM⊥BF于点M，则∠AMB=90°．
∵∠FBA=90°-60°=30°，
∴，
∴A城会受到此次台风的干扰.
（2）解：以A为圆心，200km为半径作弧交BF于C1、C2两点，连接AC1=AC2．
∵AM⊥BF，
∴C1C2=2C1M．
在Rt△AMC1中，有，
∴C1C2（km），
∴A城受台风干扰的时间为：（小时）．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 作AM⊥BF，则得出∠AMB．根据∠FBA=30°，可得出AM的长，再判断A城是否会受到此次台风的干扰；
（2）以A为圆心，200km为半径作弧交BF于C1、C2两点，连接AC1=AC2，在Rt△AMC1中有C1M的长，可得出C1C2，从而求出A城受台风干扰的时间．
15．（1）已知⊙O的直径为10cm，点A为⊙O外一定点，OA=12cm，点P为⊙O上一动点，求PA的最大值和最小值．
（2）如图：=，D、E分别是半径OA和OB的中点．求证：CD=CE．
【答案】（1）解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为10÷2=5（cm），
当点P在线段OA的延长线上时，PA取得最大值，当点P在线段OA上时，PA取得最小值
∵OA=12cm，
∴PA的最大值为12+5=17cm，PA的最小值为12﹣5=7cm；
（2）证明：连接CO，如图所示，
∵OA=OB，且D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD=OE，
又∵=，
∴∠COD=∠COE，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD=CE．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先由直径为10cm，可求半径为5cm，PA取得最大值是当点P在线段OA的延长线上时，由OA=12cm，可得PA的最大值为12+5=17cm，PA取得最小值是当点P在线段OA上时，可得PA的最小值为12﹣5=7cm；
（2）连接CO，由D、E分别是半径OA和OB的中点，可得OD=OE，由= ，可得∠COD=∠COE，然后根据SAS可证△COD≌△COE，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到CD=CE．
四、综合题
16．（2022九上·沭阳月考）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点M，
（1）点M的坐标为 ；
（2）点D（5，﹣2）在⊙M （填“内”、“外”、“上”）．
【答案】（1）（2，0）
（2）内
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）由图知， 圆的半径，，
∵，
∴点D在圆M内.
故答案为：内.
【分析】（1）作线段AB、BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，结合M的位置可得相应的坐标；（2）利用勾股定理可得AM、MD，然后通过比较即可判断点与圆的位置关系.
17．（2023·宁波模拟）如图
（1）【问题发现】如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 ；
（2）【问题探究】如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A==30°，∠C=∠C'=90°），绕点B旋转，当旋转至CC′=4时，求的长；
（3）【问题解决】如图3，点O为等腰RtABC的斜边AB的中点，AC=BC=5，OE=2，连接BE，作RtBEF，其中∠BEF=90°，tan∠EBF=，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
【答案】（1）5
（2）解：如图2，由已知可得：
BC=BC′，BA=BA′，∠CBA=∠C′BA′=60°．
∴．
∵∠CBA=∠C′BA′=60°，
∴∠CBA+∠ABC′=∠C′BA′+∠ABC′．
即∠CBC′=∠ABA′．
∴△CBC′～△ABA′．
∴．
∵，
∴．
∴AA′=2CC′=2×4=8．
（3）解：∵四边形ACBF的面积=S△ABC+S△FAB，
△ABC的面积为定值，
∴△ABF 面积最大时，四边形ACBF的面积最大．
∵AB=5且位置不变，
∴点F距离AB最大时，△ABF 面积最大．
∵OE=2，
∴点E在以O为圆心，半径为2的圆上，如下图所示：
∵∠BEF=90°，
∴当O，E，F三点在一条直线上，即BE与该圆相切时，△ABF 面积最大．
过F作FD⊥OB于D，
∵AC=BC=5，
∴AB=AC=10．
∵O为AB的中点，
∴BO=5．
∵BE⊥OF，
∴．
∵tan∠EBF=，
∴．
∴EF=．
∴OF=OE+EF=2+．
在Rt△BEO中，．
在Rt△ODF中，．
∴．
∴△ABF 面积最大值为．
∴四边形ACBF的面积的最大值=S△ABC+S△FAB
【知识点】三角形的面积；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，最大值为2+3=5.
故答案为：5.
【分析】（1）当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，据此求解；
（2）由已知条件可得，∠CBA=∠C′BA′=60°，根据角的和差关系可得∠CBC′=∠ABA′，利用对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CBC′～△ABA′，结合三角函数的概念就可求出AA′的长；
（3）根据面积间的和差关系可得：四边形ACBF的面积=S△ABC+S△FAB，则当点F距离AB最大时，△ABF面积最大，四边形ACBF的面积最大，过F作FD⊥OB于D，易得AB、BE的值，根据三角函数的概念可得EF，由OF=OE+EF可得OF，利用三角函数的概念可得DF，据此求解.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.1 圆的对称性同步分层训练培优题
一、选择题
1．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5， 12 )，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ )
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
2．（2023九下·大冶月考）如图，在中，，则劣弧的度数为（ ）
A．106° B．126° C．74° D．53°
3．（2023九下·西湖月考）如图，已知OA，OB， OC是⊙O的半径，连结BC，交OA于点D，设∠ADB=a，∠OBC=p，∠AOC=y， 则（ ）
A．a+2β-y= 180° B．a+β+y= 180°
C．2a-β+y=180° D．3a-2β+y=180°
4．（2020九下·江阴期中）如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九下·萧山开学考）如图，矩形ABCD，AD=1，CD=2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连结AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P，Q，A三点的圆面积为S，则4π≤S＜。下列说法正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
6．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（ ）
A．16cm或6cm， B．3cm或8cm C．3cm D．8cm
7．已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是 （ ）
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
8．如图点A，D，G，B在半圆上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC=a， EF=b， NH=c，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
二、填空题
9．（2023九下·靖江期中）若点在二次函数的图像上，以P为圆心，为半径的圆与y轴相交，则n的取值范围是 .
10．（2023九下·杭州月考）如图，点A，B，C在⊙O上，，，则 .
11．（2022九下·望花月考）如图，数学知识在生产和生活中被广泛应用．下列实例所应用的最主要的几何知识为：
①射击时，瞄准星的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
上述说法正确的是 ．（填序号）
12．（2022九下·莱山期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为，⊙C半径为4，P是⊙C上一动点，Q是线段PB的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．
13．（2023九下·义乌月考）如图，在中，，点D为的中点，点E是线段上一动点，把沿直线翻折，点A的对称点是F，连结，若，则的长是 .
三、解答题
14．如图，A 城气象台测得台风中心在A城正西方向300km的B处，以km/h的速度向北偏东60°的BF方向移动．已知距台风中心200km的范围内是受到台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到台风影响，则A城将遭受到这次台风影响的时间有多长？
15．（1）已知⊙O的直径为10cm，点A为⊙O外一定点，OA=12cm，点P为⊙O上一动点，求PA的最大值和最小值．
（2）如图：=，D、E分别是半径OA和OB的中点．求证：CD=CE．
四、综合题
16．（2022九上·沭阳月考）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点M，
（1）点M的坐标为 ；
（2）点D（5，﹣2）在⊙M （填“内”、“外”、“上”）．
17．（2023·宁波模拟）如图
（1）【问题发现】如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为 ；
（2）【问题探究】如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A==30°，∠C=∠C'=90°），绕点B旋转，当旋转至CC′=4时，求的长；
（3）【问题解决】如图3，点O为等腰RtABC的斜边AB的中点，AC=BC=5，OE=2，连接BE，作RtBEF，其中∠BEF=90°，tan∠EBF=，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【分析】由勾股定理得： ，
∵圆O的半径为13，
∴点O在圆P上．故选B．
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OA=OB，∠B=37°
∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°.
故答案为：A.
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠B=37°，然后利用内角和定理进行计算.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=β，
∵∠ADB=∠CDO=a，∠CDO+∠AOC+∠OCB=180°，
∴a+β+y= 180°.
故答案为：B
【分析】利用等边对等角可得到∠OCB=β，利用对顶角相等可知∠CDO=a；然后利用三角形的内角和为180°，可得到a、β、y之间的数量关系.
4．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵ ，
∴当 时， ，
解得： ，
∴A点与B点坐标分别为：（ ，0），（3，0），
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为（0，4），
∴OC=4，
∴BC长度= ，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
即：OE= BD，
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
∴OE= BD=2，
即OE的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE= BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆的认识；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1
∵DP≥1，当△APB为等腰三角形，
∴AP＝AB，
在Rt△ADP中，∵∠D＝90°，AP＝2，AD＝1，
∴PA＝2AD，
∴∠APD＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠CPB＝∠ABP，
∵AP＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∴∠APB＝∠CPB＝75°，
∵P，Q关于BC对称，
∴BP＝BQ，
∴∠BPC＝∠BQC＝75°，
∴△APB∽△BPQ，故①正确．
②如图2中，作△APQ的外接圆⊙O．
当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，
当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，
在Rt△AOB中，则有x2＝22+（x﹣1）2，
∴x＝，
此时⊙O的面积＝π，
观察图象可知：4π≤S＜π．故②正确，
故答案为：A
【分析】①如图1，由DP≥1，当△APB为等腰三角形可知，AP＝AB，从而可得到PA=2AD，就可求出∠APD=30°，再利用平行线的性质及等腰三角形的性质，去证明∠APB＝∠CPB=75°，再利用P，Q关于BC对称，可证得∠BPC＝∠BQC＝75°，利用相似三角形的判定定理，可对①作出判断；作△APQ的外接圆⊙O．当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，利用勾股定理求出x的值，从而可求出此时圆的面积，即可S的取值范围，从而可对②作出判断，综上所述，可得到正确说法的序号。
6．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】若该点在圆外，则最大距离应该是过直径的线段，则直径=11-5=6cm，半径=cm，如图所示，
若该点在圆内，则最大距离应该是直径所包含的线段，则直径=11+5=16cm，半径=cm，如图所示，
【分析】应该先分析出有几种情况，再利用点与圆的位置关系进行半径的计算。
7．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】在矩形ABCD中，若以B点为圆心，则A、C、D三点是其余点。而AB=15，BC=20，则连接BD且，若想实现至少一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则有两种情况：一是A点在⊙B内，C、D点在⊙B外；二是一是A、C点在⊙B内，D点在⊙B外。则无论是哪种情况，都需要半径r满足：15＜r＜25，故选项C符合题意。
【分析】做这类点与圆的位置关系题型时，主要抓住半径这条主线，便可迎刃而解。
8．【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】由于四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，因此具有对角线相等的性质。连接OA、OD和OM，则OA=BC=a，OD=BF=b，OM=NH=c，又因为OA、OD和OM均为半径且相等，则a=b=c，B选项符合题意，故答案为：B。
【分析】首先要将a、b、c转换为已知可求解的线段（本题为半径），最后利用圆的半径相等性质进行大小关系的比较。
9．【答案】
【知识点】点与圆的位置关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴二次函数的图像开口向上，顶点，对称轴是直线，
在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，
∴，
∵抛物线开口向上，，
∴当，时，，
当，时，，且此时圆与y轴相切，故n不可取到.
.
故答案为：1≤n<10.
【分析】由二次函数的解析式可得：其图象开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，1），距离对称轴越远的点对应的函数值越大，由题意可得-210．【答案】20°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：
又
.
故答案为：20°.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC=40°，由内角和定理可得∠BOC=100°，根据平行线的性质可得∠AOB=∠OBC=40°，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=140°，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
11．【答案】①②
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；菱形的性质；矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：①在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故①符合题意；
②因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，故②符合题意；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形四边相等和平行四边形的不稳定性”，故③不符合题意；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故④不符合题意．
故答案是：①②．
【分析】①根据“两点确定一条直线”解答；②由于圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，据此解答；③根据菱形的性质及四边形具有不稳定性解答；④由于矩形的四个角都是直角，所以地板砖可以做成矩形，据此逐一判断即可.
12．【答案】7
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；点与圆的位置关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AP，如图，
当y＝0时，，解得A（ 8，0），B（8，0），
∵Q是线段PB的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝AP，
当AP最大时，OQ最大，
连接AC，延长AC交圆于P时，PA最大，
∵，
∴AP的最大值＝10+4＝14，
∴线段OQ的最大值为7．
故答案为7．
【分析】连接AP，先求出A、B坐标，易得OQ为△ABP的中位线，可得OQ＝AP，当AP最大时，OQ最大，连接AC，延长AC交圆于P时，PA最大，由勾股定理求出AC=10，可得AP的最大值＝AC+ ⊙C半径 ，继而得解.
13．【答案】1或7
【知识点】点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∵点D为的中点，
∴，
∴点F在以点D为圆心，以5为半径的圆上运动，以为边作，满足条件的与有两处交点，故有两种情况.
当在的左侧时，如图1，记与的交点为P，过点D作交于点G.
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
当在的右侧时，如图2，
同理可证：，，
∵，
∴，
∴，
∴.
综上，的长为1或7.
故答案为：1或7.
【分析】利用勾股定理可得AC=10，则AD=CD=5，则点F在以点D为圆心，以5为半径的圆上运动，以AE为边作∠EAF=45°，满足条件的AF与圆有两处交点，当AF在AB的左侧时，记DF与AC的交点为P，过点D作DG∥BC交AB于点G，由折叠可知AD=DF=5，AE=EF，∠BAC=∠EFP，易证△ADG∽△FPE，△ADG∽△DPG，根据相似三角形的性质可得DP，然后根据PF+DP=DF可得EF，进而可得AE；当AF在AC的右侧时，同理进行解答.
14．【答案】（1）解：如图，作AM⊥BF于点M，则∠AMB=90°．
∵∠FBA=90°-60°=30°，
∴，
∴A城会受到此次台风的干扰.
（2）解：以A为圆心，200km为半径作弧交BF于C1、C2两点，连接AC1=AC2．
∵AM⊥BF，
∴C1C2=2C1M．
在Rt△AMC1中，有，
∴C1C2（km），
∴A城受台风干扰的时间为：（小时）．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1） 作AM⊥BF，则得出∠AMB．根据∠FBA=30°，可得出AM的长，再判断A城是否会受到此次台风的干扰；
（2）以A为圆心，200km为半径作弧交BF于C1、C2两点，连接AC1=AC2，在Rt△AMC1中有C1M的长，可得出C1C2，从而求出A城受台风干扰的时间．
15．【答案】（1）解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为10÷2=5（cm），
当点P在线段OA的延长线上时，PA取得最大值，当点P在线段OA上时，PA取得最小值
∵OA=12cm，
∴PA的最大值为12+5=17cm，PA的最小值为12﹣5=7cm；
（2）证明：连接CO，如图所示，
∵OA=OB，且D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD=OE，
又∵=，
∴∠COD=∠COE，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD=CE．
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先由直径为10cm，可求半径为5cm，PA取得最大值是当点P在线段OA的延长线上时，由OA=12cm，可得PA的最大值为12+5=17cm，PA取得最小值是当点P在线段OA上时，可得PA的最小值为12﹣5=7cm；
（2）连接CO，由D、E分别是半径OA和OB的中点，可得OD=OE，由= ，可得∠COD=∠COE，然后根据SAS可证△COD≌△COE，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到CD=CE．
16．【答案】（1）（2，0）
（2）内
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）由图知， 圆的半径，，
∵，
∴点D在圆M内.
故答案为：内.
【分析】（1）作线段AB、BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，结合M的位置可得相应的坐标；（2）利用勾股定理可得AM、MD，然后通过比较即可判断点与圆的位置关系.
17．【答案】（1）5
（2）解：如图2，由已知可得：
BC=BC′，BA=BA′，∠CBA=∠C′BA′=60°．
∴．
∵∠CBA=∠C′BA′=60°，
∴∠CBA+∠ABC′=∠C′BA′+∠ABC′．
即∠CBC′=∠ABA′．
∴△CBC′～△ABA′．
∴．
∵，
∴．
∴AA′=2CC′=2×4=8．
（3）解：∵四边形ACBF的面积=S△ABC+S△FAB，
△ABC的面积为定值，
∴△ABF 面积最大时，四边形ACBF的面积最大．
∵AB=5且位置不变，
∴点F距离AB最大时，△ABF 面积最大．
∵OE=2，
∴点E在以O为圆心，半径为2的圆上，如下图所示：
∵∠BEF=90°，
∴当O，E，F三点在一条直线上，即BE与该圆相切时，△ABF 面积最大．
过F作FD⊥OB于D，
∵AC=BC=5，
∴AB=AC=10．
∵O为AB的中点，
∴BO=5．
∵BE⊥OF，
∴．
∵tan∠EBF=，
∴．
∴EF=．
∴OF=OE+EF=2+．
在Rt△BEO中，．
在Rt△ODF中，．
∴．
∴△ABF 面积最大值为．
∴四边形ACBF的面积的最大值=S△ABC+S△FAB
【知识点】三角形的面积；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，最大值为2+3=5.
故答案为：5.
【分析】（1）当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，据此求解；
（2）由已知条件可得，∠CBA=∠C′BA′=60°，根据角的和差关系可得∠CBC′=∠ABA′，利用对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CBC′～△ABA′，结合三角函数的概念就可求出AA′的长；
（3）根据面积间的和差关系可得：四边形ACBF的面积=S△ABC+S△FAB，则当点F距离AB最大时，△ABF面积最大，四边形ACBF的面积最大，过F作FD⊥OB于D，易得AB、BE的值，根据三角函数的概念可得EF，由OF=OE+EF可得OF，利用三角函数的概念可得DF，据此求解.
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