湘教版数学九年级下册 2.2 圆心角、圆周角同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（ ）
A．110° B．112° C．120° D．132°
2．（2023九上·定海月考）如图，ΔABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若，则∠AOC的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
3．（2019·香坊模拟）如图，圆O中，弦AB、CD互相垂直且相交于点P，∠A＝35°，则∠B的大小是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
4．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是BC的中点，连结 BC，DE.若∠ABC=22°，则∠CDE的度数为（ ）
A．22° B．32° C．34° D．44°
5．（2023九上·长沙月考）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·南皮期中）如图，是的弦，，是上的一个动点，且.若，分别是，的中点，则长的最大值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．（2023九上·襄都月考）如图，、、、为一个正多边形的四个顶点，点为这个正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2023九上·杭州期中）已知等腰直角三角形OAC，∠OAC＝90°，以O为圆心，OA为半径的圆交OC于点F，过点F作AC的垂线交⊙O于点E，交AC于点B.连结AE，交OC于点D，若OD＝，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·楚雄期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠ABO的度数是 ．
10．如图，在⊙O中，∠ACB=30°，则∠AOB= ，的度数是 .
11．（2023九上·萧山月考）如图，为的直径，，为的中点，过作∥交于，连接，则的度数为 ．
12．（2023九上·鹿城月考）如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作于．已知，则的长为 ．
13．（2023·郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
三、解答题
14．（2024九上·昌邑期末）如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D.连接，若，，求的长.
15．（2023九上·襄都月考）如图，正方形内接于，的半径为，是上的一个动点，连接，，分别交于点，．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
四、综合题
16．（2023·石景山模拟）如图，在中，，，平分交于点，点是上一点且，
（1）求的大小用含的式子表示；
（2）连接用等式表示线段与的数量关系，并证明．
17．（2023·北京）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ADB=∠B+∠ACB
∴∠ACB=∠ADB-∠B=116°-60°=56°
∴∠AOB=2∠ACB=112°
故答案为：B.
【分析】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以∠ADB=∠B+∠ACB，求得∠ACB=∠ADB-∠B=56°；在同一个圆中，圆心角是同弧所对圆周角的2倍，所以∠AOB=2∠ACB=112°.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC=90°，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°.
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC，然后结合∠ABC+∠AOC=90°，可求出∠ABC=30°，从而即可求出∠AOC的度数.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意可知：∠DPA＝90°，
∵∠A＝35°，
∴由三角形的内角和定理可知：∠D＝55°，
由圆周角定理可知：∠B＝∠D＝55°，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=22°
∴AC =2 ∠ABC=44°
∵AB是⊙O的两条直径
∴BC =180°-AC =180°-44°=136°
∵E是BC 的中点
∴CE =12BC =68°
∴∠CDE =12CE =34°
故答案为：C.
【分析】圆中圆周角的度数等于所对弧度数的一半.本题先根据 ∠ABC=22° 求得AC =2 ∠ABC=44°.因为AB是⊙O的两条直径，所以BC =180°-AC =180°-44°=136°.E是BC 的中点，可知CE =12BC =68°，所以∠CDE =12CE =34°.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ADC=44°，
∴∠AOC=88°，
故答案为：C
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠ADC的度数，进而根据圆周角定理即可求解。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
，
∴当取最大值时，就取最大值，当是直径时，最大，即为半径时，最大，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴时，的长度最大，
故答案为：C
【分析】连接，，先根据三角形中位线定理即可得到，进而得到当取最大值时，就取最大值，当是直径时，最大，即为半径时，最大，再结合题意运用圆周角定理和勾股定理即可求解。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数，
故答案为：C
【分析】连接，，先根据圆周角定理得到，进而即可求解。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：
设的半径为R
∵∠OAC = 90°，OA=AC=R
∴∠O=∠C=45°
∴∠E==22.5°
在Rt△0AC中，由勾股定理得：
OC =
∵OD=
∴CD=OC-OD=
∵EBAC，∠C =45°
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°
∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°
在Rt△ABE中，∠E =22.5°， ∠ABE = 90°
∴∠CAE =90°-∠E=67.5°
∴∠CAE = ∠ADC
∴AC=CD，即R= ，解得：r=，即OA=
∵OHAE
OH是AE的垂直平分线
∴AH = EH
∴∠EAH= ∠E= 22.5°
∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°
∴△ABH为等腰直角三角形
∴AB =BH
∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°
.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°
∴OHAE，∠EAH=22.5°
∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°
∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°
∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°
∴AH =OA=，在Rt△ABH中，AB = BH， AH=
由勾股定理得： 即
∴AB=
故答案为：.
【分析】首先，过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，设⊙O的半径为R，根据题意得：OA=AC=R，∠O=∠C =45°，则∠E=1∠0=22.5°，先求出OC = ，则CD = ，求出 ∠CAE= ∠ADC = 67.5°，由此可得AC=CD，由此得r = √2r - √2，可求出R=，然后根据OHAE，得AH=EH，则∠EAH = ∠E = 22.5°，由此可得出△ABH为等腰直角三角形，得AB = BH，求出∠AHO = ∠AOH = 67.5°，从而得AH=OA=，最后根据勾股定理求出AB的长即可.
9．【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB=2∠ACB＝60°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA=∠OAB=(180°-∠AOB)=60°.
故答案为：60°.
【分析】利用圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB＝60°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠OBA=∠OAB=(180°-∠AOB)，继而得解.
10．【答案】60°；60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 在⊙O中，∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，
∴的度数是60°.
故答案为：60°， 60°.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，即可求∠AOB的度数，然后根据一条弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数即可求的度数.
11．【答案】45°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径
∴半圆=180°
∵
∴AC =120°，BC =60°
∴∠BOC=60°
∵M是BC 的中点
∴BM =CM =30°
∴ACM =150°
∴∠ABM=ACM =75°
又∵MN//OC
∴∠MNB=∠BOC=60°
∴∠BMN=180°-75°-60°=45°
故答案为：45°.
【分析】在圆中，圆心角的度数等于所对弧的度数，圆周角的度数是所对弧度数的一半；本题根据已知条件可得∠MNB=∠BOC=BC =60°，∠ABM=ACM =75°，由三角形内角之和为180°可得∠BMN=180°-75°-60°=45°.
12．【答案】
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵点C在半圆上，AB是直径
∴∠ACB=90°
∵CD⊥AB，且cos∠ACD=
∴sin∠CAB=cos∠ACD=
∴cos∠CAB=
∴tan∠CAB=
∴
∴AC==
故答案为：83.
【分析】直径所对的圆周角为直角，△ABC是直角三角形；若α+β=90°，则sinα=cosβ，故sin∠CAB=cos∠ACD=；sin2α+cos2β=1，故cos∠CAB=；由tanα=，得tan∠CAB=，再根据三角函数定义，可求得AC=83.
13．【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得∠P所对应的圆心角的度数为110°，
∴360÷110≈3.27，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台，
故答案为：4
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠P所对应的圆心角的度数，进而结合题意即可求解。
14．【答案】解：连接.
∵点E是的中点，∴.∵，∴，.
∵，∴.设的半径为r，则.
∵，∴.∵，∴，
∴，即，解得，
∴.∵，，∴，∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接，先根据圆周角定理即可得到，进而结合题意设的半径为r，则，再运用勾股定理结合题意即可求解。
15．【答案】（1）解：如图1，连接，．
图1
正方形内接于，
，
（2）解：如图2，连接，，交于点，延长交于点．
图2
，正方形内接于，
，，
，．
，
，
，．
，
，
，即，
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，，先根据题意结合正方形的性质即可得到，进而即可求解；
（2）连接，，交于点，延长交于点，先根据正方形的性质结合圆内接四边形的性质即可得到，，进而即可得到，，再根据相似三角形的判定与性质即可求出EF。
16．【答案】（1）解：，
，
，
，
平分交于点，
，
，
，
；
（2）解：证明如下：
由得，，，
，
四点、、、共圆，
，即，
又，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由AB=AC可得∠ACB=∠ABC=2α，由角平分线的定义可得， 由三角形外角的性质可得∠AEB=∠EAF+∠AFE=∠EBC+∠ECB=3α，据此即可求解；
（2） 由得=2α， 从而得出四点、、、共圆， 根据圆周角定理可得 =α，即得， 利用等角对等边可得FC=FA.
17．【答案】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理结合题意即可得到，即平分，进而得到，从而得到，，然后得到是直径，再根据圆周角定理即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，进而即可得到，再根据角平分线的性质得到，运用圆周角定理结合含30°角的直角三角形的性质即可得到，然后根据圆内接四边形的性质即可得到，则，进而结合题意即可得到直径BD的长，从而即可求解。
1 / 1湘教版数学九年级下册 2.2 圆心角、圆周角同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（ ）
A．110° B．112° C．120° D．132°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ADB=∠B+∠ACB
∴∠ACB=∠ADB-∠B=116°-60°=56°
∴∠AOB=2∠ACB=112°
故答案为：B.
【分析】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以∠ADB=∠B+∠ACB，求得∠ACB=∠ADB-∠B=56°；在同一个圆中，圆心角是同弧所对圆周角的2倍，所以∠AOB=2∠ACB=112°.
2．（2023九上·定海月考）如图，ΔABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若，则∠AOC的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC=90°，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°.
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC，然后结合∠ABC+∠AOC=90°，可求出∠ABC=30°，从而即可求出∠AOC的度数.
3．（2019·香坊模拟）如图，圆O中，弦AB、CD互相垂直且相交于点P，∠A＝35°，则∠B的大小是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意可知：∠DPA＝90°，
∵∠A＝35°，
∴由三角形的内角和定理可知：∠D＝55°，
由圆周角定理可知：∠B＝∠D＝55°，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理即可求出答案．
4．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是BC的中点，连结 BC，DE.若∠ABC=22°，则∠CDE的度数为（ ）
A．22° B．32° C．34° D．44°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=22°
∴AC =2 ∠ABC=44°
∵AB是⊙O的两条直径
∴BC =180°-AC =180°-44°=136°
∵E是BC 的中点
∴CE =12BC =68°
∴∠CDE =12CE =34°
故答案为：C.
【分析】圆中圆周角的度数等于所对弧度数的一半.本题先根据 ∠ABC=22° 求得AC =2 ∠ABC=44°.因为AB是⊙O的两条直径，所以BC =180°-AC =180°-44°=136°.E是BC 的中点，可知CE =12BC =68°，所以∠CDE =12CE =34°.
5．（2023九上·长沙月考）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ADC=44°，
∴∠AOC=88°，
故答案为：C
【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠ADC的度数，进而根据圆周角定理即可求解。
6．（2023九上·南皮期中）如图，是的弦，，是上的一个动点，且.若，分别是，的中点，则长的最大值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
，
∴当取最大值时，就取最大值，当是直径时，最大，即为半径时，最大，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴时，的长度最大，
故答案为：C
【分析】连接，，先根据三角形中位线定理即可得到，进而得到当取最大值时，就取最大值，当是直径时，最大，即为半径时，最大，再结合题意运用圆周角定理和勾股定理即可求解。
7．（2023九上·襄都月考）如图，、、、为一个正多边形的四个顶点，点为这个正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数，
故答案为：C
【分析】连接，，先根据圆周角定理得到，进而即可求解。
8．（2023九上·杭州期中）已知等腰直角三角形OAC，∠OAC＝90°，以O为圆心，OA为半径的圆交OC于点F，过点F作AC的垂线交⊙O于点E，交AC于点B.连结AE，交OC于点D，若OD＝，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：
设的半径为R
∵∠OAC = 90°，OA=AC=R
∴∠O=∠C=45°
∴∠E==22.5°
在Rt△0AC中，由勾股定理得：
OC =
∵OD=
∴CD=OC-OD=
∵EBAC，∠C =45°
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°
∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°
在Rt△ABE中，∠E =22.5°， ∠ABE = 90°
∴∠CAE =90°-∠E=67.5°
∴∠CAE = ∠ADC
∴AC=CD，即R= ，解得：r=，即OA=
∵OHAE
OH是AE的垂直平分线
∴AH = EH
∴∠EAH= ∠E= 22.5°
∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°
∴△ABH为等腰直角三角形
∴AB =BH
∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°
.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°
∴OHAE，∠EAH=22.5°
∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°
∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°
∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°
∴AH =OA=，在Rt△ABH中，AB = BH， AH=
由勾股定理得： 即
∴AB=
故答案为：.
【分析】首先，过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，设⊙O的半径为R，根据题意得：OA=AC=R，∠O=∠C =45°，则∠E=1∠0=22.5°，先求出OC = ，则CD = ，求出 ∠CAE= ∠ADC = 67.5°，由此可得AC=CD，由此得r = √2r - √2，可求出R=，然后根据OHAE，得AH=EH，则∠EAH = ∠E = 22.5°，由此可得出△ABH为等腰直角三角形，得AB = BH，求出∠AHO = ∠AOH = 67.5°，从而得AH=OA=，最后根据勾股定理求出AB的长即可.
二、填空题
9．（2023九上·楚雄期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠ABO的度数是 ．
【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB=2∠ACB＝60°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA=∠OAB=(180°-∠AOB)=60°.
故答案为：60°.
【分析】利用圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB＝60°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠OBA=∠OAB=(180°-∠AOB)，继而得解.
10．如图，在⊙O中，∠ACB=30°，则∠AOB= ，的度数是 .
【答案】60°；60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 在⊙O中，∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，
∴的度数是60°.
故答案为：60°， 60°.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，即可求∠AOB的度数，然后根据一条弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数即可求的度数.
11．（2023九上·萧山月考）如图，为的直径，，为的中点，过作∥交于，连接，则的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径
∴半圆=180°
∵
∴AC =120°，BC =60°
∴∠BOC=60°
∵M是BC 的中点
∴BM =CM =30°
∴ACM =150°
∴∠ABM=ACM =75°
又∵MN//OC
∴∠MNB=∠BOC=60°
∴∠BMN=180°-75°-60°=45°
故答案为：45°.
【分析】在圆中，圆心角的度数等于所对弧的度数，圆周角的度数是所对弧度数的一半；本题根据已知条件可得∠MNB=∠BOC=BC =60°，∠ABM=ACM =75°，由三角形内角之和为180°可得∠BMN=180°-75°-60°=45°.
12．（2023九上·鹿城月考）如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作于．已知，则的长为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵点C在半圆上，AB是直径
∴∠ACB=90°
∵CD⊥AB，且cos∠ACD=
∴sin∠CAB=cos∠ACD=
∴cos∠CAB=
∴tan∠CAB=
∴
∴AC==
故答案为：83.
【分析】直径所对的圆周角为直角，△ABC是直角三角形；若α+β=90°，则sinα=cosβ，故sin∠CAB=cos∠ACD=；sin2α+cos2β=1，故cos∠CAB=；由tanα=，得tan∠CAB=，再根据三角函数定义，可求得AC=83.
13．（2023·郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得∠P所对应的圆心角的度数为110°，
∴360÷110≈3.27，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台，
故答案为：4
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠P所对应的圆心角的度数，进而结合题意即可求解。
三、解答题
14．（2024九上·昌邑期末）如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D.连接，若，，求的长.
【答案】解：连接.
∵点E是的中点，∴.∵，∴，.
∵，∴.设的半径为r，则.
∵，∴.∵，∴，
∴，即，解得，
∴.∵，，∴，∴.
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接，先根据圆周角定理即可得到，进而结合题意设的半径为r，则，再运用勾股定理结合题意即可求解。
15．（2023九上·襄都月考）如图，正方形内接于，的半径为，是上的一个动点，连接，，分别交于点，．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：如图1，连接，．
图1
正方形内接于，
，
（2）解：如图2，连接，，交于点，延长交于点．
图2
，正方形内接于，
，，
，．
，
，
，．
，
，
，即，
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，，先根据题意结合正方形的性质即可得到，进而即可求解；
（2）连接，，交于点，延长交于点，先根据正方形的性质结合圆内接四边形的性质即可得到，，进而即可得到，，再根据相似三角形的判定与性质即可求出EF。
四、综合题
16．（2023·石景山模拟）如图，在中，，，平分交于点，点是上一点且，
（1）求的大小用含的式子表示；
（2）连接用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：，
，
，
，
平分交于点，
，
，
，
；
（2）解：证明如下：
由得，，，
，
四点、、、共圆，
，即，
又，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由AB=AC可得∠ACB=∠ABC=2α，由角平分线的定义可得， 由三角形外角的性质可得∠AEB=∠EAF+∠AFE=∠EBC+∠ECB=3α，据此即可求解；
（2） 由得=2α， 从而得出四点、、、共圆， 根据圆周角定理可得 =α，即得， 利用等角对等边可得FC=FA.
17．（2023·北京）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【答案】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理结合题意即可得到，即平分，进而得到，从而得到，，然后得到是直径，再根据圆周角定理即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质证明是等边三角形，进而即可得到，再根据角平分线的性质得到，运用圆周角定理结合含30°角的直角三角形的性质即可得到，然后根据圆内接四边形的性质即可得到，则，进而结合题意即可得到直径BD的长，从而即可求解。
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