2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.3 垂径定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2018·张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
2．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2023八下·长沙期末）如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
4．（2023九上·瓯海期中）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．
5．（2022九上·上城期中）一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心O到水面的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2023九上·萧山月考）如图，是的弦，点是上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，，，则弦的长（ ）
A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关
C．只与的值有关 D．只与，(或，)的值有关
7．（2022·宁波模拟）已知 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为 ，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．（2022·临清模拟）如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·安吉月考）如图，我国古代建造的闻名中外的赵州石拱桥，若桥拱圆弧的半径长为，拱高为，则桥跨度为 （用含r、h的代数式表示）
10．如图3-3所示为一条直径为2m的通水管道的轴截面，其水面宽1.6m，则这条管道中水最深为 m.
11．（2023九上·鹿城月考）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，且圆心在水面上方．若水面宽，则水的最大深度为 ．
12．（2018九上·金华期中）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为 ．
13．（2022·四川）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 ．
三、解答题
14．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝24m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．求这座石拱桥主桥拱的半径．（精确到1m）．
15．（2023九上·南皮期中）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.
（1）求的长；
（2）当时，
① ；
②求阴影部分的周长和面积.
四、综合题
16．（2018九上·湖州期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
17．（2023九上·阜阳月考）如图，在中，为直径，于点，点为上一点，点关于的对称点恰好在直径上，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若的半径为2，，求劣弧的长；
（3）若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE= CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE= =3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得出CE=4，在Rt△OCE中，利用勾股定理算出OE的长，再根据AE=AO+OE即可算出答案。
2．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵于点E，线段是的直径，长为16，
∴AE=8，
由勾股定理得，
∴半径是10，
故答案为：D
【分析】先根据垂径定理即可得到AE，再根据勾股定理即可求解。
4．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵,
∴, ,
的半径都相等，得,
不能推出.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理有, , 圆的半径都相等，即可得解.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC是圆心O到水面的距离
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得BC=4，从而利用勾股定理即可算出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，连接OE，过点O作OH⊥AB于点H.
则AH=，
∴OH2=OA2-AH2=r2-
∵HC=HB-CB=
∴OC2=OH2+HC2=r2-+
∴CE2=OE2-OC2=r2-[r2-+]=-=ab-b2
可以看出CE的值与r无关，与a 、b的值有关.
而DE=2CE，则DE的值也与r无关，与a 、b的值有关.
故答案为：B.
【分析】垂径定理是圆章节中重要的定理，利用垂径定理结合勾股定理可以求线段长；本题过点O作OH⊥AB，连接OA，连接OE，构造了两个直角三角形△AHO以及△ECO，借助勾股定理可以表示出CE2=ab-b2，可以看出CE的值与r无关，与a 、b的值有关，而DE=2CE，DE的值也与r无关，只与a 、b的值有关.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①如图，C在优弧上，连接OA，连接AC，
∵⊙O直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴OA=5cm，AM=4cm，∠AM0=90°，
∴OM==3cm，
∴CM=8cm，
∴AC=；
②如图，C在劣弧上，连接OA，连接AC，
同理：OA=OC=5cm，AM=4cm，OM=3cm，
∴CM=2cm，
∴AC=cm，
综上，AC的长为cm或cm.
故答案为：C.
【分析】分两种情况：①C在优弧上，连接OA，连接AC，利用垂径定理和勾股定理，求出AC的长即可；②C在劣弧上，连接OA，连接AC，同理求出AC的长即可.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，
∵点C为弦中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=，即：∠AOB=112°，
∴∠E=∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是的内接四边形，
∴=180°-56°=124°，
故答案为：B．
【分析】连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先求出∠AOB=112°，再利用圆周角的性质可得∠E=∠AOB=56°，最后利用圆内接四边形的性质可得=180°-56°=124°。
9．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：如图，OC⊥AB，OB=r，CD=h，AB=d
在Rt△CBD中，OD=r-h
则BD=
∴AB=2BD=2
故答案为：.
【分析】利用垂径定理解决圆中线段长是常见的解题方法，涉及到的线段有半径、弦心距、弓高、弦；具体方法为，利用半径、弦心距及弦的一半所构成的直角三角形，根据勾股定理直接求值或列方程求值.
10．【答案】0.4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，设该通水管道的轴截面的圆心为点O，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧AB于点C，连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB=0.8m，
设CD=xm，则OD=OC-CD=（1-x）m，
在Rt△OBD中，利用勾股定理得OD2+BD2=OB2，即（1-x）2+0.82=12，
解得x1=1.6（舍），x2=0.4，
即这条管道中水最深为0.4m.
故答案为：0.4.
【分析】设该通水管道的轴截面的圆心为点O，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧AB于点C，连接OB，由垂径定理得BD=AB=0.8m，设CD=xm，则OD=OC-CD=（1-x）m，在Rt△OBD中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而即可得出答案.
11．【答案】18
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OB，
由已知直径为50cm，AB=48cm
根据垂径定理：CB=24 cm
在Rt△OBC中，OC=
∴CD=25-7=18cm
故答案为：18.
【分析】垂径定理是初中阶段圆中的重要定理，是求圆的半径、弦长、弦心距、弓高的重要依据，常常利用引垂线后构造的直角三角形求相关线段长，由直接求值或用勾股定理列方程.
12．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD
∴AM=AB=×8=4
∵直径CD=10
∴OA=5
如图1，连接OA
在Rt△OAM中，
OM=
∴CM=OM+OC=3+5=8
在Rt△AMC中，
AC=；
如图2，在Rt△OAM中，
OM=
在Rt△AMC中，
AC=
故答案为：或
【分析】利用垂径定理求出AM，再分情况讨论（如图1、2），连接OA利用勾股定理求出OM、CM的长，再在Rt△AMC中，利用勾股定理求出AC的长。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，
∴OH是AB的垂直平分线，
∴∠AOH=∠BOH，
∵∠ACB和∠AOB所对的都是AB弧，
∴∠AOB=2∠ACB，
∴∠AOH=∠ACB，
∵OH=2，AH=3，
∴OA==，
∴cos∠ACB=cos∠AOH===.
故答案为：.
【分析】作OH⊥AB于H，由垂径定理得出∠AOH=∠BOH，然后根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出∠AOH=∠ACB，根据勾股定理求出OA长，最后根据余弦的定义计算即可.
14．【答案】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝24，CD＝5，
∴BD＝AB＝12，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+122＝R2，
解得R＝16.9≈17，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为17m．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 首先根据垂径定理求得BD=12，设主桥拱半径为R，则OD=R-5， 然后根据勾股定理得出 OD2+BD2＝OB2， 即 （R﹣5）2+122＝R2， 解方程即可求得R的长度，根据精确度要求取近似值即可。
15．【答案】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，
∴，∴
（2）解：①
②连接.
∵，，
∴，
∴.在，
∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的周长，阴影部分的面积.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（2）①∵弦于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）先根据垂径定理即可得到，再运用垂径定理结合题意即可求解；
（2）①先根据题意得到，，再运用勾股定理即可求出DE，进而即可求解；
②连接，根据等腰三角形的性质即可得到，进而结合题意即可计算AC的长，从而即可求解。
16．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
则CE=DE，AE=BE．
∴AE－CE=BE－DE即AC=BD
（2）解：连接OC，OA由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=6∴CE= AE=
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得出CE=DE，AE=BE，根据等式的性质，等量减去等量差相等即可得出结论；
（2）连接OC，OA，根据勾股定理算出CE，AE的长，再根据AC=AE-CE即可算出答案。
17．【答案】（1）证明：为直径，，
．
点关于的对称点恰好在直径上，
，
是等边三角形．
（2）解：如图，连接．
，
，
．
为直径，，
．
又的半径为劣弧的长为．
（3）解：为直径，．
设，
．
在中，由勾股定理得．
在中，由勾股定理得，
解得（负值舍去），
，即．
是等边三角形，．
在中，由勾股定理得．
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理、等边三角形的判定求证。由垂径定理可得垂直平分，可推出；由轴对称可得垂直平分，可推出．即可求证；
（2）根据垂径定理、等腰三角形的性质、弧长公式求解。连接，根据求出，进而可得，据此即可求解；
（3）根据垂径定理、勾股定理求解。由垂径定理可得，设在中可得，在中根据可求出；最后在中即可求解.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.3 垂径定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2018·张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（ ）
A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE= CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE= =3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得出CE=4，在Rt△OCE中，利用勾股定理算出OE的长，再根据AE=AO+OE即可算出答案。
2．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
3．（2023八下·长沙期末）如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵于点E，线段是的直径，长为16，
∴AE=8，
由勾股定理得，
∴半径是10，
故答案为：D
【分析】先根据垂径定理即可得到AE，再根据勾股定理即可求解。
4．（2023九上·瓯海期中）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵,
∴, ,
的半径都相等，得,
不能推出.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理有, , 圆的半径都相等，即可得解.
5．（2022九上·上城期中）一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心O到水面的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC是圆心O到水面的距离
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得BC=4，从而利用勾股定理即可算出答案.
6．（2023九上·萧山月考）如图，是的弦，点是上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，，，则弦的长（ ）
A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关
C．只与的值有关 D．只与，(或，)的值有关
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，连接OE，过点O作OH⊥AB于点H.
则AH=，
∴OH2=OA2-AH2=r2-
∵HC=HB-CB=
∴OC2=OH2+HC2=r2-+
∴CE2=OE2-OC2=r2-[r2-+]=-=ab-b2
可以看出CE的值与r无关，与a 、b的值有关.
而DE=2CE，则DE的值也与r无关，与a 、b的值有关.
故答案为：B.
【分析】垂径定理是圆章节中重要的定理，利用垂径定理结合勾股定理可以求线段长；本题过点O作OH⊥AB，连接OA，连接OE，构造了两个直角三角形△AHO以及△ECO，借助勾股定理可以表示出CE2=ab-b2，可以看出CE的值与r无关，与a 、b的值有关，而DE=2CE，DE的值也与r无关，只与a 、b的值有关.
7．（2022·宁波模拟）已知 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为 ，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：①如图，C在优弧上，连接OA，连接AC，
∵⊙O直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴OA=5cm，AM=4cm，∠AM0=90°，
∴OM==3cm，
∴CM=8cm，
∴AC=；
②如图，C在劣弧上，连接OA，连接AC，
同理：OA=OC=5cm，AM=4cm，OM=3cm，
∴CM=2cm，
∴AC=cm，
综上，AC的长为cm或cm.
故答案为：C.
【分析】分两种情况：①C在优弧上，连接OA，连接AC，利用垂径定理和勾股定理，求出AC的长即可；②C在劣弧上，连接OA，连接AC，同理求出AC的长即可.
8．（2022·临清模拟）如图，中，点C为弦中点，连接，，，点D是上任意一点，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA，在上取点E，连接AE，BE，
∵点C为弦中点，
∴OC ⊥AB，即∠ACO=∠BCO=90°，
又∵AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=，即：∠AOB=112°，
∴∠E=∠AOB=56°，
∵四边形ADBE是的内接四边形，
∴=180°-56°=124°，
故答案为：B．
【分析】连接OA，在上取点E，连接AE，BE，先求出∠AOB=112°，再利用圆周角的性质可得∠E=∠AOB=56°，最后利用圆内接四边形的性质可得=180°-56°=124°。
二、填空题
9．（2023九上·安吉月考）如图，我国古代建造的闻名中外的赵州石拱桥，若桥拱圆弧的半径长为，拱高为，则桥跨度为 （用含r、h的代数式表示）
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：如图，OC⊥AB，OB=r，CD=h，AB=d
在Rt△CBD中，OD=r-h
则BD=
∴AB=2BD=2
故答案为：.
【分析】利用垂径定理解决圆中线段长是常见的解题方法，涉及到的线段有半径、弦心距、弓高、弦；具体方法为，利用半径、弦心距及弦的一半所构成的直角三角形，根据勾股定理直接求值或列方程求值.
10．如图3-3所示为一条直径为2m的通水管道的轴截面，其水面宽1.6m，则这条管道中水最深为 m.
【答案】0.4
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，设该通水管道的轴截面的圆心为点O，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧AB于点C，连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB=0.8m，
设CD=xm，则OD=OC-CD=（1-x）m，
在Rt△OBD中，利用勾股定理得OD2+BD2=OB2，即（1-x）2+0.82=12，
解得x1=1.6（舍），x2=0.4，
即这条管道中水最深为0.4m.
故答案为：0.4.
【分析】设该通水管道的轴截面的圆心为点O，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧AB于点C，连接OB，由垂径定理得BD=AB=0.8m，设CD=xm，则OD=OC-CD=（1-x）m，在Rt△OBD中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而即可得出答案.
11．（2023九上·鹿城月考）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，且圆心在水面上方．若水面宽，则水的最大深度为 ．
【答案】18
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OB，
由已知直径为50cm，AB=48cm
根据垂径定理：CB=24 cm
在Rt△OBC中，OC=
∴CD=25-7=18cm
故答案为：18.
【分析】垂径定理是初中阶段圆中的重要定理，是求圆的半径、弦长、弦心距、弓高的重要依据，常常利用引垂线后构造的直角三角形求相关线段长，由直接求值或用勾股定理列方程.
12．（2018九上·金华期中）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD
∴AM=AB=×8=4
∵直径CD=10
∴OA=5
如图1，连接OA
在Rt△OAM中，
OM=
∴CM=OM+OC=3+5=8
在Rt△AMC中，
AC=；
如图2，在Rt△OAM中，
OM=
在Rt△AMC中，
AC=
故答案为：或
【分析】利用垂径定理求出AM，再分情况讨论（如图1、2），连接OA利用勾股定理求出OM、CM的长，再在Rt△AMC中，利用勾股定理求出AC的长。
13．（2022·四川）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AB于H，
∴OH是AB的垂直平分线，
∴∠AOH=∠BOH，
∵∠ACB和∠AOB所对的都是AB弧，
∴∠AOB=2∠ACB，
∴∠AOH=∠ACB，
∵OH=2，AH=3，
∴OA==，
∴cos∠ACB=cos∠AOH===.
故答案为：.
【分析】作OH⊥AB于H，由垂径定理得出∠AOH=∠BOH，然后根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出∠AOH=∠ACB，根据勾股定理求出OA长，最后根据余弦的定义计算即可.
三、解答题
14．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝24m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．求这座石拱桥主桥拱的半径．（精确到1m）．
【答案】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD，
设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝24，CD＝5，
∴BD＝AB＝12，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+122＝R2，
解得R＝16.9≈17，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为17m．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 首先根据垂径定理求得BD=12，设主桥拱半径为R，则OD=R-5， 然后根据勾股定理得出 OD2+BD2＝OB2， 即 （R﹣5）2+122＝R2， 解方程即可求得R的长度，根据精确度要求取近似值即可。
15．（2023九上·南皮期中）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.
（1）求的长；
（2）当时，
① ；
②求阴影部分的周长和面积.
【答案】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，
∴，∴
（2）解：①
②连接.
∵，，
∴，
∴.在，
∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的周长，阴影部分的面积.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（2）①∵弦于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）先根据垂径定理即可得到，再运用垂径定理结合题意即可求解；
（2）①先根据题意得到，，再运用勾股定理即可求出DE，进而即可求解；
②连接，根据等腰三角形的性质即可得到，进而结合题意即可计算AC的长，从而即可求解。
四、综合题
16．（2018九上·湖州期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
则CE=DE，AE=BE．
∴AE－CE=BE－DE即AC=BD
（2）解：连接OC，OA由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=6∴CE= AE=
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得出CE=DE，AE=BE，根据等式的性质，等量减去等量差相等即可得出结论；
（2）连接OC，OA，根据勾股定理算出CE，AE的长，再根据AC=AE-CE即可算出答案。
17．（2023九上·阜阳月考）如图，在中，为直径，于点，点为上一点，点关于的对称点恰好在直径上，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若的半径为2，，求劣弧的长；
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明：为直径，，
．
点关于的对称点恰好在直径上，
，
是等边三角形．
（2）解：如图，连接．
，
，
．
为直径，，
．
又的半径为劣弧的长为．
（3）解：为直径，．
设，
．
在中，由勾股定理得．
在中，由勾股定理得，
解得（负值舍去），
，即．
是等边三角形，．
在中，由勾股定理得．
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理、等边三角形的判定求证。由垂径定理可得垂直平分，可推出；由轴对称可得垂直平分，可推出．即可求证；
（2）根据垂径定理、等腰三角形的性质、弧长公式求解。连接，根据求出，进而可得，据此即可求解；
（3）根据垂径定理、勾股定理求解。由垂径定理可得，设在中可得，在中根据可求出；最后在中即可求解.
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