2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.3 垂径定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为，则弦CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】先根据圆周角定理可得∠COE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可求得CE的长，最后根据垂径定理即可求得结果.
∵∠CDB=30°
∴∠COB=60°
∵CD⊥AB
∴∠OCE=30°
∵
∴
∴
故选B.
【点评】解题的关键是熟练掌握圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.
2．（2023九上·章贡期中）如图，是的内接三角形，且AB是的直径，点P为上的动点，且，的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过作于，延长交于，
则此时，点到的距离最大，且点到距离的最大值等于，
∵，， 的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴点到距离的最大值是，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形求解。过作于，延长交于，则此时，点到距离的最大，且点到距离的最大值等于，解直角三角形即可得到结论．
3．（2023九上·巧家期中）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．过圆心的弦是直径
C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦
D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】D
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A：直径是弦，正确，不符合题意。
B：过圆心的弦是直径，正确，不符合题意。
C：平分弧的直径垂直于弧所对的弦，正确，不符合题意。
D：相等的圆心角所对的弧相等，错误，等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等。
故答案为：D
【分析】根据弦与直径的关系、垂径定理、圆心角定理解题即可。
4．（2023九上·廊坊期中） 如图，在一个残缺的圆形工件上量得弦，的中点到弦的距离，则这个圆形工件的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：DE=2，BC=8，OD⊥BC，
设圆形的半径为r，则OE=r-2，
在Rt△COE中，CE2+EO2=CO2，
∴42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
故答案为：B.
【分析】设圆形的半径为r，则OE=r-2，利用勾股定理可得42+（r-2）2=r2，再求出r的值即可.
5．（2023九上·东光期中）如图，某大桥的桥拱可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）
A．40m B．45m C．50m D．60m
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：OC⊥AB，BD=AD=AB=150，OB=OC=250，
设CD=x，则OD=250-x，
在Rt△BOD中，OB2=BD2+OD2，
∴2502=1502+（250-x）2，
解得：x=50，
∴这些钢索中最长的一根为50m，
故答案为：C.
【分析】设CD=x，则OD=250-x，利用勾股定理可得2502=1502+（250-x）2，再求出x的值即可.
6．（2023九上·三台期中）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，那么直径CD的长为（ ）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：
连接AO，
∵ CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E ，
∴AE=AB=5，
设OA=OC=x，则OE=x-1，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
∴25+(x-1)2=x2，
解得：x=13.
∴CCD=2CO=26.
故A，B，C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】连接AO，先求AE，设CO=x，在根据勾股定理建立方程求出x即可.
7．如图所示，在中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后，刚好经过AB的中点.若的半径为，则BC的长是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于E，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，AD=BD=AB=4，
在Rt△OBD中，，
∵将孤BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴孤AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴弧AC=弧CD，
∴AC=DC，
∴AE=DE=2，
易证四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=2 ，
在Rt△OCF中，
∴CE=CF+EF=4+2=6， 而BE=BD+DE=4+2=6，BC=.
故答案为：C.
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于E，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，AD=BD=AB=4，在Rt△OBD中，根据勾股定理可计算出OD=2，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定得到AC=CD，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=2，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=2，然后计算出CF后得到CE=BE=6，由勾股定理可得到BC的长.
8．（2023九上·杭州期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，。请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：取纸杯中线与CD的交点为M，与AB的交点为N，MN的中点即为圆心O，则MN=3.5cm，
设OM=xcm，则ON=(3.5-x)cm，
因为所以
所以
所以纸杯的直径为5cm.
故答案为：B.
【分析】构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，即可求解.
二、填空题
9．（2023九上·长沙月考）如图是一个管道的横截面，管道的截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为 ．
【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得OA=OD=5cm，OC=3cm，
由勾股定理得，
∴AB=8cm，
故答案为：8
【分析】先根据题意得到OA=OD=5cm，OC=3cm，进而运用勾股定理和垂径定理即可求解。
10．（2023九上·张北期中）如图，的半径于点D，连接AO并延长，交于点B，连接BE．
⑴若，则的度数为 。
⑵若，，则的半径长为 。
【答案】36°；5
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】
（1）∵ OE⊥AC
∴ ∠A+∠AOE=90°
∵ ∠B=27°，
∴ ∠AOE=2∠B=54°
∴ ∠A=90°-∠AOE=36°
（2）设圆O的半径为r，则OD=r-2
∵ OE⊥AC
∴ AD=DC
∵ AD=8
∴ AD=4
∴ OA2=OD2+AD2
即r2=（r-2）2+42
解得r=5
则 的半径长为 5
【分析】本题考查圆的垂径定理、圆心角圆周角的数量关系，利用勾股定理求半径。（1）由OE⊥AC得∠A+∠AOE=90°；由 ∠B=27°得∠AOE=54°得∠A=36°；(2)设圆O的半径为r，则OD=r-2；由OE⊥AC得AD=4；根据OA2=OD2+AD2得r2=（r-2）2+42，解得r=5，则圆的半径为5。
11．（2023九上·北京市期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m.
【答案】1.3
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设圆的半径为rm，
由题意可知，DF=CD=m，EF = 2.5m，
Rt△OFD中，OF=r+ OF= 2.5，
所以+r= 2.5，
解得r= 1.3.
故答案为：1.3.
【分析】本题考查垂径定理的应用，设半径为r，根据垂径定理列方程求解即可。
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC．若AB=3，BC=4，则BD的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥BD交BD于点H，如图，
∵ AC是 ⊙O的直径 ，
∴ ∠ABC=∠ADC=90°，
∵ AB=3，BC=4，
∴ AC==5，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
∴ AD=CD，
∴ AD2+CD2=AC2，
则AD=CD=，
∵ CH⊥BD，
∴ ∠CHB=90°，
∵ ∠CBD=45°，
∴ BH=CH，
∴ 在Rt△BCH中，由勾股定理得， BH2+CH2=BC2，
∴ BH=CH=，
∴ 在Rt△CDH中，由勾股定理得，DH2+CH2=CD2，
∴ DH=，
∴ BD=BH+DH=+=.
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理得 ∠ABC=∠ADC=90°，根据勾股定理得圆的直径AC=5，根据角平分线的定义得 ∠ABD=∠CBD=45°，再利用垂径定理的推论得 AD=CD，根据勾股定理得CD，BH，DH，最终求得BD=BH+DH.
13．（2023九上·洞头期中） 图1是某游乐园的摩天轮，A，B两位同学坐在摩天轮上的示意图如图2，摩天轮半径OA为9米，两同学的直线距离AB为6米，当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），A同学距离地面的高度为 米，当A同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为 米．
【答案】；2
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），
A同学距离地面的高度为米；
过点B作交OA于点C，
则AB=6，OC=9-CA，OB=9，
，
即，
两式相减求得CA=2，
当A同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为2米．
故答案为：；2.
【分析】当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），直接利用勾股定理求解；当A同学旋转到最高位置，过点B作交OA于点C，求出CA的长，即为此时两位同学的高度差为2米.
三、解答题
14．（2023九上·鹿城月考）如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：点为弧的中点，
，
是半圆的直径，
，
；
（2）解：连结BC，
是半圆的直径，
，
设，则，
即，
解得，
∴OF=1.4，
∵点O是AB的中点，点F是BD的中点，
∴OF是的中位线，
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，可得OC⊥BD；由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BD，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以OC//AD；
（2）由（1）可知，OC垂直平分BD，又OC//AD，可得OF是 ABD的中位线，故AD=2OF，那么求出OF就可以求出AD的长；已知AB=10，AC=8，连接BC，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理得BC=6，设OF=x，在Rt OFB中，OF=x，OB=5 ，BF2=OB2-OF2，在Rt CFB中，CF=5-x，BC=6，BF2=CB2-CF2，故52-x2=62-(5-x)2，解得x=1.4，故AD=2OF=2.8.
15．（2023九上·余杭期中）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙O于点D，连接AD、BD，AD与BC交于点E，AD＝9．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD．
（2）若OH＝DH．
①求∠BAC的度数．
②若⊙O的半径为6，求DE的长．
（3）设BD＝x，AB CE＝y，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）证明：∵OH⊥BC，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD
（2）解：①连接BO，
∵OH＝DH，OH⊥BC，
∴BD＝BO．
∵OB＝OD，
∴△OBD是正三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
②∵⊙O的半径为6，△OBD是正三角形，
∴BD＝OB＝6．
∵，
∴∠DBE＝∠DAB．
∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∴，
∴DE＝4．
（3）解：由（2）得△BDE∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵∠ACB＝∠ADB，∠BAE＝∠DAC，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，利用同弧或等弧所对的圆周角相等即得结论；
（2）①连接BO，易证△OBD是正三角形，可得∠BOD＝60°，根据圆周角定理可得∠BAD=30°，根据∠BAC＝2∠BAD即可求解；
②证明△BDE∽△ADB，利用相似三角形的对应边成比例即可求解；
（3）由（2）得△BDE∽△ADB，可得，据此可求，
，再证△ABD∽△AEC，可得，据此即可求解.
四、综合题
16．（2023·绥化）如图，为的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H.点A在上，点B在上，.
（1）求证：.
（2）求证：.
（3）在中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G.若，求的长.
【答案】（1）证明：∵和是所对的圆周角
∴
∵
∴
∴
∴
（2）连接，交于点F
∵与为一组平行弦（也可写成）
∴
∵
∴
∵
∴∠
∴
∴
∴
（3）解：连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，
∵DG=DG′，∠G′ND=∠GND，DG′=DM，弧DM=弧DG′，
∴DG=DM，
∴△DGM为等腰三角形.
∵DE⊥MN，
∴GE=ME.
∵DN∥CM，
∴∠CMN=∠DNM.
∵MN为直径，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°.
∵DE⊥MN，
∴∠DEN=90°，
∴∠DNM+∠EDN=90°，
∴sin∠EDM=sin∠DNM=sin∠CMN=.
∵MN=15，
∴sin∠DNM=，
∴MD=9.
∵sin∠EDM==，
∴，
∴ME=，
∴NG=MN-MG=MN-2ME=.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ABC=∠AMC，由对顶角的性质可得∠AHM=∠CHB，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BCH∽△MAH，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）连接OC，交AB于点F，易得∠OND=∠OMC，根据等腰三角形的性质可得∠OMC=∠OCM，结合∠OND+∠AHM=90°可得∠HFC=90°，据此证明；
（3）连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，则△DGM为等腰三角形，根据圆周角定理可得∠MDN=90°，进而推出∠EDM=∠DNM=∠CMN，结合三角函数的概念可得MD、ME，然后根据NG=MN-MG=MN-2ME进行计算.
17．（2023·播州模拟）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，．
探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出．
（1）请你根据探究思路，写出完整的推理过程；
（2）问题解决：
若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为 （用含有，的式子表示）；
（3）拓展探究：
将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）
（3）解：
∵绕点点逆时针得到，点在上，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；垂径定理的应用；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】（2）如图所示：连接CD，
∵是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，
∴ AD⊥BD，AD=BD
即：∠ADB=90°
∴ 将绕点D逆时针旋转90°，得到，点E恰好在CB上
∴
∴ AC=BE=n，CD=DE，∠CDE=90°
∴
∴
∴
∵ CE=BC-BE
∴ CE=m-n
∴
∴
【分析】本题考查旋转的性质，圆垂径定理的逆定理和勾股定理的计算、三角形全等的判定、翻折的性质。
（1）根据旋转，得到 ，，由全等性质可得，，，根据勾股定理， ，可知 ，结合 ，可得；
（2）用（1）中相同的方法，根据是的直径，且为弧的中点，可知∠ADB=90°，AD=BD，则旋转90°后得，点E恰好在CB上，可得，化简，替换线段后，可知；
（3）把 翻折和旋转90°可知， ，则 ，，， ， 根据AB是直径，则，有，则，根据AB=AB，，AC'=BM，可判定，得，则 ，，之间的数量关系 是.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.3 垂径定理同步分层训练培优题
一、选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为，则弦CD的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·章贡期中）如图，是的内接三角形，且AB是的直径，点P为上的动点，且，的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（ ）
A．6 B．12 C． D．
3．（2023九上·巧家期中）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．过圆心的弦是直径
C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦
D．相等的圆心角所对的弧相等
4．（2023九上·廊坊期中） 如图，在一个残缺的圆形工件上量得弦，的中点到弦的距离，则这个圆形工件的半径是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·东光期中）如图，某大桥的桥拱可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）
A．40m B．45m C．50m D．60m
6．（2023九上·三台期中）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，那么直径CD的长为（ ）
A．12.5 B．13 C．25 D．26
7．如图所示，在中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后，刚好经过AB的中点.若的半径为，则BC的长是（ ）.
A． B． C． D．
8．（2023九上·杭州期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，。请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·长沙月考）如图是一个管道的横截面，管道的截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为 ．
10．（2023九上·张北期中）如图，的半径于点D，连接AO并延长，交于点B，连接BE．
⑴若，则的度数为 。
⑵若，，则的半径长为 。
11．（2023九上·北京市期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m.
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC．若AB=3，BC=4，则BD的长为 .
13．（2023九上·洞头期中） 图1是某游乐园的摩天轮，A，B两位同学坐在摩天轮上的示意图如图2，摩天轮半径OA为9米，两同学的直线距离AB为6米，当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），A同学距离地面的高度为 米，当A同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为 米．
三、解答题
14．（2023九上·鹿城月考）如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
15．（2023九上·余杭期中）如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙O于点D，连接AD、BD，AD与BC交于点E，AD＝9．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD．
（2）若OH＝DH．
①求∠BAC的度数．
②若⊙O的半径为6，求DE的长．
（3）设BD＝x，AB CE＝y，求y关于x的函数表达式．
四、综合题
16．（2023·绥化）如图，为的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H.点A在上，点B在上，.
（1）求证：.
（2）求证：.
（3）在中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G.若，求的长.
17．（2023·播州模拟）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，．
探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出．
（1）请你根据探究思路，写出完整的推理过程；
（2）问题解决：
若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为 （用含有，的式子表示）；
（3）拓展探究：
将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】先根据圆周角定理可得∠COE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可求得CE的长，最后根据垂径定理即可求得结果.
∵∠CDB=30°
∴∠COB=60°
∵CD⊥AB
∴∠OCE=30°
∵
∴
∴
故选B.
【点评】解题的关键是熟练掌握圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.
2．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过作于，延长交于，
则此时，点到的距离最大，且点到距离的最大值等于，
∵，， 的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴点到距离的最大值是，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形求解。过作于，延长交于，则此时，点到距离的最大，且点到距离的最大值等于，解直角三角形即可得到结论．
3．【答案】D
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A：直径是弦，正确，不符合题意。
B：过圆心的弦是直径，正确，不符合题意。
C：平分弧的直径垂直于弧所对的弦，正确，不符合题意。
D：相等的圆心角所对的弧相等，错误，等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等。
故答案为：D
【分析】根据弦与直径的关系、垂径定理、圆心角定理解题即可。
4．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：DE=2，BC=8，OD⊥BC，
设圆形的半径为r，则OE=r-2，
在Rt△COE中，CE2+EO2=CO2，
∴42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
故答案为：B.
【分析】设圆形的半径为r，则OE=r-2，利用勾股定理可得42+（r-2）2=r2，再求出r的值即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：OC⊥AB，BD=AD=AB=150，OB=OC=250，
设CD=x，则OD=250-x，
在Rt△BOD中，OB2=BD2+OD2，
∴2502=1502+（250-x）2，
解得：x=50，
∴这些钢索中最长的一根为50m，
故答案为：C.
【分析】设CD=x，则OD=250-x，利用勾股定理可得2502=1502+（250-x）2，再求出x的值即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：
连接AO，
∵ CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E ，
∴AE=AB=5，
设OA=OC=x，则OE=x-1，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
∴25+(x-1)2=x2，
解得：x=13.
∴CCD=2CO=26.
故A，B，C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】连接AO，先求AE，设CO=x，在根据勾股定理建立方程求出x即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于E，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，AD=BD=AB=4，
在Rt△OBD中，，
∵将孤BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴孤AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴弧AC=弧CD，
∴AC=DC，
∴AE=DE=2，
易证四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=2 ，
在Rt△OCF中，
∴CE=CF+EF=4+2=6， 而BE=BD+DE=4+2=6，BC=.
故答案为：C.
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于E，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，AD=BD=AB=4，在Rt△OBD中，根据勾股定理可计算出OD=2，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定得到AC=CD，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=2，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=2，然后计算出CF后得到CE=BE=6，由勾股定理可得到BC的长.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：取纸杯中线与CD的交点为M，与AB的交点为N，MN的中点即为圆心O，则MN=3.5cm，
设OM=xcm，则ON=(3.5-x)cm，
因为所以
所以
所以纸杯的直径为5cm.
故答案为：B.
【分析】构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，即可求解.
9．【答案】8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：由题意得OA=OD=5cm，OC=3cm，
由勾股定理得，
∴AB=8cm，
故答案为：8
【分析】先根据题意得到OA=OD=5cm，OC=3cm，进而运用勾股定理和垂径定理即可求解。
10．【答案】36°；5
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】
（1）∵ OE⊥AC
∴ ∠A+∠AOE=90°
∵ ∠B=27°，
∴ ∠AOE=2∠B=54°
∴ ∠A=90°-∠AOE=36°
（2）设圆O的半径为r，则OD=r-2
∵ OE⊥AC
∴ AD=DC
∵ AD=8
∴ AD=4
∴ OA2=OD2+AD2
即r2=（r-2）2+42
解得r=5
则 的半径长为 5
【分析】本题考查圆的垂径定理、圆心角圆周角的数量关系，利用勾股定理求半径。（1）由OE⊥AC得∠A+∠AOE=90°；由 ∠B=27°得∠AOE=54°得∠A=36°；(2)设圆O的半径为r，则OD=r-2；由OE⊥AC得AD=4；根据OA2=OD2+AD2得r2=（r-2）2+42，解得r=5，则圆的半径为5。
11．【答案】1.3
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：设圆的半径为rm，
由题意可知，DF=CD=m，EF = 2.5m，
Rt△OFD中，OF=r+ OF= 2.5，
所以+r= 2.5，
解得r= 1.3.
故答案为：1.3.
【分析】本题考查垂径定理的应用，设半径为r，根据垂径定理列方程求解即可。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥BD交BD于点H，如图，
∵ AC是 ⊙O的直径 ，
∴ ∠ABC=∠ADC=90°，
∵ AB=3，BC=4，
∴ AC==5，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
∴ AD=CD，
∴ AD2+CD2=AC2，
则AD=CD=，
∵ CH⊥BD，
∴ ∠CHB=90°，
∵ ∠CBD=45°，
∴ BH=CH，
∴ 在Rt△BCH中，由勾股定理得， BH2+CH2=BC2，
∴ BH=CH=，
∴ 在Rt△CDH中，由勾股定理得，DH2+CH2=CD2，
∴ DH=，
∴ BD=BH+DH=+=.
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理得 ∠ABC=∠ADC=90°，根据勾股定理得圆的直径AC=5，根据角平分线的定义得 ∠ABD=∠CBD=45°，再利用垂径定理的推论得 AD=CD，根据勾股定理得CD，BH，DH，最终求得BD=BH+DH.
13．【答案】；2
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），
A同学距离地面的高度为米；
过点B作交OA于点C，
则AB=6，OC=9-CA，OB=9，
，
即，
两式相减求得CA=2，
当A同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为2米．
故答案为：；2.
【分析】当两位同学旋转到同一高度时（A在B的右侧），直接利用勾股定理求解；当A同学旋转到最高位置，过点B作交OA于点C，求出CA的长，即为此时两位同学的高度差为2米.
14．【答案】（1）解：点为弧的中点，
，
是半圆的直径，
，
；
（2）解：连结BC，
是半圆的直径，
，
设，则，
即，
解得，
∴OF=1.4，
∵点O是AB的中点，点F是BD的中点，
∴OF是的中位线，
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，可得OC⊥BD；由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BD，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以OC//AD；
（2）由（1）可知，OC垂直平分BD，又OC//AD，可得OF是 ABD的中位线，故AD=2OF，那么求出OF就可以求出AD的长；已知AB=10，AC=8，连接BC，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理得BC=6，设OF=x，在Rt OFB中，OF=x，OB=5 ，BF2=OB2-OF2，在Rt CFB中，CF=5-x，BC=6，BF2=CB2-CF2，故52-x2=62-(5-x)2，解得x=1.4，故AD=2OF=2.8.
15．【答案】（1）证明：∵OH⊥BC，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD
（2）解：①连接BO，
∵OH＝DH，OH⊥BC，
∴BD＝BO．
∵OB＝OD，
∴△OBD是正三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
②∵⊙O的半径为6，△OBD是正三角形，
∴BD＝OB＝6．
∵，
∴∠DBE＝∠DAB．
∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∴，
∴DE＝4．
（3）解：由（2）得△BDE∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵∠ACB＝∠ADB，∠BAE＝∠DAC，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，利用同弧或等弧所对的圆周角相等即得结论；
（2）①连接BO，易证△OBD是正三角形，可得∠BOD＝60°，根据圆周角定理可得∠BAD=30°，根据∠BAC＝2∠BAD即可求解；
②证明△BDE∽△ADB，利用相似三角形的对应边成比例即可求解；
（3）由（2）得△BDE∽△ADB，可得，据此可求，
，再证△ABD∽△AEC，可得，据此即可求解.
16．【答案】（1）证明：∵和是所对的圆周角
∴
∵
∴
∴
∴
（2）连接，交于点F
∵与为一组平行弦（也可写成）
∴
∵
∴
∵
∴∠
∴
∴
∴
（3）解：连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，
∵DG=DG′，∠G′ND=∠GND，DG′=DM，弧DM=弧DG′，
∴DG=DM，
∴△DGM为等腰三角形.
∵DE⊥MN，
∴GE=ME.
∵DN∥CM，
∴∠CMN=∠DNM.
∵MN为直径，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°.
∵DE⊥MN，
∴∠DEN=90°，
∴∠DNM+∠EDN=90°，
∴sin∠EDM=sin∠DNM=sin∠CMN=.
∵MN=15，
∴sin∠DNM=，
∴MD=9.
∵sin∠EDM==，
∴，
∴ME=，
∴NG=MN-MG=MN-2ME=.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ABC=∠AMC，由对顶角的性质可得∠AHM=∠CHB，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BCH∽△MAH，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）连接OC，交AB于点F，易得∠OND=∠OMC，根据等腰三角形的性质可得∠OMC=∠OCM，结合∠OND+∠AHM=90°可得∠HFC=90°，据此证明；
（3）连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，则△DGM为等腰三角形，根据圆周角定理可得∠MDN=90°，进而推出∠EDM=∠DNM=∠CMN，结合三角函数的概念可得MD、ME，然后根据NG=MN-MG=MN-2ME进行计算.
17．【答案】（1）解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）
（3）解：
∵绕点点逆时针得到，点在上，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；垂径定理的应用；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】（2）如图所示：连接CD，
∵是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，
∴ AD⊥BD，AD=BD
即：∠ADB=90°
∴ 将绕点D逆时针旋转90°，得到，点E恰好在CB上
∴
∴ AC=BE=n，CD=DE，∠CDE=90°
∴
∴
∴
∵ CE=BC-BE
∴ CE=m-n
∴
∴
【分析】本题考查旋转的性质，圆垂径定理的逆定理和勾股定理的计算、三角形全等的判定、翻折的性质。
（1）根据旋转，得到 ，，由全等性质可得，，，根据勾股定理， ，可知 ，结合 ，可得；
（2）用（1）中相同的方法，根据是的直径，且为弧的中点，可知∠ADB=90°，AD=BD，则旋转90°后得，点E恰好在CB上，可得，化简，替换线段后，可知；
（3）把 翻折和旋转90°可知， ，则 ，，， ， 根据AB是直径，则，有，则，根据AB=AB，，AC'=BM，可判定，得，则 ，，之间的数量关系 是.
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