2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.4 过不共线三点作圆同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·义乌月考）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点是下列哪个三角形的外心（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如下图： 由勾股定理得：PC=PE=PB=，∴P到B、C、E的距离相等，∴P是△BCE的外心．
故答案为：D.
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是掌握三角形外心的性质．由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断．
2．（2023九上·杭州期中）下列命题正确的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧
C．过三点能作一个圆
D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，A错误；
B、平分不为直径的弦的直径平分弦所对的两条弧，B错误；
C、过不在同一条直线的三点能作一个圆，C错误；
D、弧的度数等于所对圆心角的度数，在同心圆中，同一圆心角所对的弧的度数相等，D正确.
故答案为：D.
【分析】A、等弦对等弧，必须是在同圆或等圆中；
B、垂径定理中的弦不能为直径；
C、三点确定一个圆，要求三点不能共线；
D、圆心角所对的弧的度数和圆心角相等.
3．小张不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中4块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）.
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用；确定圆的条件
【解析】【解答】解：只要在弧上任意取三点，就可以转化为“用不在同一条直线上的三点确定圆”，所以小明带第②块去，可以配到与原来大小一样的圆形玻璃.
故答案为：B.
【分析】确定一个圆的大小，需要确定圆的半径；由不在同一条直线上的三点确定一个圆；垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可确定圆心与半径，通过观察可知题目中只有第②块有圆的一段，从而即可得出答案.
4．（2022九上·宁波期中）下列语句中不正确的有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】圆的认识；垂径定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：因为能够完全重合的弧是等弧，故①不正确；
垂直于弦的直径平分弦说法正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；
平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；
半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；
不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，
∴不正确的语句有4个，
故答案为：B.
【分析】根据等弧的定义，完全重合的弧就是等弧，可判断①；根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可判断②；圆是轴对称图形，但轴对称图形的对称轴是直线，圆的直径是线段，据此可判断③；根据垂径定理的推论，平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，据此判断④；圆上任意一条直径的两个端点间的部分就是半圆，半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，据此判断⑤；根据确定圆的条件，不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，据此判断⑥.
5．（2023九上·石家庄月考）如图中外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图所示，分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，垂直平分线的交点即是△ABC的外接圆的圆心，
∴△ABC外接圆的圆心坐标为（5，2），
故答案为：C.
【分析】利用三角形外接圆的定义作出外接圆，再直接求出外接圆的圆心即可.
6．（2023九上·石家庄期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①三点确定一个圆；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④相等的圆心角所对的弦相等；
⑤长度相等的弦所对的优弧一定是等弧；
⑥四边形都有一个外接圆；
⑦平分弦的直径垂直于这条弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，错误；
②完全重合的两条弧是等弧，错误；
③半径相等的两个圆是等圆，正确；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，错误；
⑤在同圆或等圆中，长度相等的弦所对的优弧一定是等弧，错误；
⑥四边形不一定有外接圆，错误；
⑦平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，错误；
故答案为：A
【分析】根据圆的相关性质逐项进行判断即可求出答案.
7．（2023七上·青龙期中） 下列作图语句描述正确的是（ ）
A．作射线AB，使AB=a B．作∠AOB=∠α
C．以点O为圆心作弧 D．延长直线AB到C，使AC=BC
【答案】B
【知识点】确定圆的条件；作图-直线、射线、线段；作图-角
【解析】【解答】解： A：作射线AB，使AB=a，射线没有长度，故A错误；
B：作∠AOB=∠α ，作一个角等于已知角，故B正确；
C：以点O为圆心作弧 ，缺半径故C错误；
D：延长直线AB到C，使AC=BC ，直线是向两方无限延长的，没有长度，故D错误；
故答案为：B.
【分析】判断作图语句是否正确，就是要判断是否符合知识、符合实际，我们知道射线和直线没有长度，也知道画圆需要两要素（圆心和半径），所以可以判断其中错误的语句。
8．（2020九上·平山期中）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A． ABC B． ABE C． ABD D． ACE
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点 是 的外心．
故答案选C．
【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答。
二、填空题
9．已知直角三角形的外接圆半径为4cm，则此三角形的斜边长为 cm．
【答案】8
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵直角三角形的外接圆半径为4cm，
∴这个三角形的斜边长为：4×2=8cm，
∴此三角形的斜边长为8cm.
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，可求出斜边长是外接圆半径的2倍即可解答.
10．如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，的三个顶点A，B，C都在格点上，若不与顶点重合的格点D在的外接圆上，则图中符合条件的点D有 个.
【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作出△ABC的外接圆，
由图可得符合条件的格点D有5个（D、E、F、G、H）.
故答案为：5.
【分析】作出△ABC的外接圆，该圆经过的格点就一目了然了.
11．（2020·滨湖模拟）若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 cm.
【答案】25
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，
∴直角三角形的斜边长= （cm），
∵直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，
∴这个三角形的外接圆的直径长为25cm.
故答案是：25.
【分析】先用勾股定理求值直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆的特征，即可求解.
12．（2024九上·贵州期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图所示：
则，
故答案为：．
【分析】先根据作图-垂直平分线分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，进而直接读出坐标即可求解。
13．（2023九上·和平期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，点C在网格线上．
（1）线段的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点D，使平分（不要求证明，保留作图痕迹）
【答案】（1）
（2）如图，即为所求作的角平分线；
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）AB==.
故答案为：.
【分析】（1）根据网格特点，利用勾股定理计算即可；
（2）画直径KN，作AB的垂直平分线交KN于一点，即为圆心O，取AC的中点，连接OF并延长交圆于一点，即为点D，则平分.
三、解答题
14．如图所示，在一个长度为8的梯子AB的顶点向点滑动的过程中，梯子的两端A，B与墙的底端构成的三角形的外心与点的距离是否发生变化 若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其长度.
【答案】解：不发生变化，理由如下：
∵梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形，
∴外心和与点C的距离始终为AB，
∴不发生变化，其长度为×8=4.
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】不发生变化，理由如下：梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形，而直角三角形的外心在斜边的中点处，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
15．（2023九上·吴兴期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
（1）请完成如下操作：
①以点为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连结、
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标： 、 ．
②⊙D的半径 （结果保留根号）
【答案】（1）解：平面直角坐标系如图所示，圆心、、即为所求，
（2）(6，2)；(2，0)；
【知识点】点与圆的位置关系；确定圆的条件
四、综合题
16．如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．
（1）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长．
（2）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积．
【答案】（1）解：如图甲， ABCD即为所求作平行四边形，
其周长为2（AD+CD）=2（2 +4 ）=12 ；
（2）解：如图乙，⊙O即为所求作圆，
其面积为π （ ）2=10π．
【知识点】平行四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的两组对边分别相等可画出相应的平行四边形，且答案不唯一，求所画平行四边形的周长，则需要求平行四边形的边长，此时只需将边放在一个直角三角形中利用勾股定理即可求得；（2）三点确定一个圆，故画过点A，B，C三点的圆只需要确定圆心即可，而圆形为两条弦垂直平分线的交点；将圆的半径放在一个直角三角形中即可求得半径长，从而利用圆的面积公式可求得圆面积.
17．（2023·贵州）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角： ，图中与全等的三角形是 ；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）、、、；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）解：连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，
∵CE为直径，
∴∠EBC=∠EAE=90°，
∴∠4=∠3=30°，
∴的角的有、、、，
∵OC为∠ACB的角平分线，
∴∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，
∴△DCB≌△DCA（ASA），
故答案为：、、、；；
【分析】（1）先根据等边三角形外接圆的性质结合等边三角形的性质即可得到∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，进而根据圆周角定理即可得到∠EBC=∠EAE=90°，从而得到∠4=∠3=30°，再根据角平分线的性质即可得到∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，进而根据三角形全等的判定（ASA）即可求解；
（2）连接，，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而根据菱形的判定即可求解。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.4 过不共线三点作圆同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·义乌月考）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点是下列哪个三角形的外心（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023九上·杭州期中）下列命题正确的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．平分弦的直径平分弦所对的两条弧
C．过三点能作一个圆
D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
3．小张不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中4块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）.
A．① B．② C．③ D．④
4．（2022九上·宁波期中）下列语句中不正确的有（ ）
①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．（2023九上·石家庄月考）如图中外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·石家庄期中）下列说法中，正确的个数是（ ）
①三点确定一个圆；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④相等的圆心角所对的弦相等；
⑤长度相等的弦所对的优弧一定是等弧；
⑥四边形都有一个外接圆；
⑦平分弦的直径垂直于这条弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023七上·青龙期中） 下列作图语句描述正确的是（ ）
A．作射线AB，使AB=a B．作∠AOB=∠α
C．以点O为圆心作弧 D．延长直线AB到C，使AC=BC
8．（2020九上·平山期中）九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（ ）
A． ABC B． ABE C． ABD D． ACE
二、填空题
9．已知直角三角形的外接圆半径为4cm，则此三角形的斜边长为 cm．
10．如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，的三个顶点A，B，C都在格点上，若不与顶点重合的格点D在的外接圆上，则图中符合条件的点D有 个.
11．（2020·滨湖模拟）若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为 cm.
12．（2024九上·贵州期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．
13．（2023九上·和平期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，点C在网格线上．
（1）线段的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点D，使平分（不要求证明，保留作图痕迹）
三、解答题
14．如图所示，在一个长度为8的梯子AB的顶点向点滑动的过程中，梯子的两端A，B与墙的底端构成的三角形的外心与点的距离是否发生变化 若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其长度.
15．（2023九上·吴兴期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
（1）请完成如下操作：
①以点为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连结、
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标： 、 ．
②⊙D的半径 （结果保留根号）
四、综合题
16．如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．
（1）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长．
（2）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积．
17．（2023·贵州）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角： ，图中与全等的三角形是 ；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如下图： 由勾股定理得：PC=PE=PB=，∴P到B、C、E的距离相等，∴P是△BCE的外心．
故答案为：D.
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是掌握三角形外心的性质．由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断．
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：A、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，A错误；
B、平分不为直径的弦的直径平分弦所对的两条弧，B错误；
C、过不在同一条直线的三点能作一个圆，C错误；
D、弧的度数等于所对圆心角的度数，在同心圆中，同一圆心角所对的弧的度数相等，D正确.
故答案为：D.
【分析】A、等弦对等弧，必须是在同圆或等圆中；
B、垂径定理中的弦不能为直径；
C、三点确定一个圆，要求三点不能共线；
D、圆心角所对的弧的度数和圆心角相等.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用；确定圆的条件
【解析】【解答】解：只要在弧上任意取三点，就可以转化为“用不在同一条直线上的三点确定圆”，所以小明带第②块去，可以配到与原来大小一样的圆形玻璃.
故答案为：B.
【分析】确定一个圆的大小，需要确定圆的半径；由不在同一条直线上的三点确定一个圆；垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可确定圆心与半径，通过观察可知题目中只有第②块有圆的一段，从而即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】圆的认识；垂径定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：因为能够完全重合的弧是等弧，故①不正确；
垂直于弦的直径平分弦说法正确；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故③说法不正确；
平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，故④说法不正确；
半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，故⑤说法不正确；
不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，故⑥说法正确，
∴不正确的语句有4个，
故答案为：B.
【分析】根据等弧的定义，完全重合的弧就是等弧，可判断①；根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可判断②；圆是轴对称图形，但轴对称图形的对称轴是直线，圆的直径是线段，据此可判断③；根据垂径定理的推论，平分弦(不是直径)的直线也必平分弦所对的两条弧，据此判断④；圆上任意一条直径的两个端点间的部分就是半圆，半圆的弧长是圆的弧长的一半，不是圆中最长的弧，据此判断⑤；根据确定圆的条件，不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，据此判断⑥.
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图所示，分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，垂直平分线的交点即是△ABC的外接圆的圆心，
∴△ABC外接圆的圆心坐标为（5，2），
故答案为：C.
【分析】利用三角形外接圆的定义作出外接圆，再直接求出外接圆的圆心即可.
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，错误；
②完全重合的两条弧是等弧，错误；
③半径相等的两个圆是等圆，正确；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，错误；
⑤在同圆或等圆中，长度相等的弦所对的优弧一定是等弧，错误；
⑥四边形不一定有外接圆，错误；
⑦平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，错误；
故答案为：A
【分析】根据圆的相关性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】确定圆的条件；作图-直线、射线、线段；作图-角
【解析】【解答】解： A：作射线AB，使AB=a，射线没有长度，故A错误；
B：作∠AOB=∠α ，作一个角等于已知角，故B正确；
C：以点O为圆心作弧 ，缺半径故C错误；
D：延长直线AB到C，使AC=BC ，直线是向两方无限延长的，没有长度，故D错误；
故答案为：B.
【分析】判断作图语句是否正确，就是要判断是否符合知识、符合实际，我们知道射线和直线没有长度，也知道画圆需要两要素（圆心和半径），所以可以判断其中错误的语句。
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点 是 的外心．
故答案选C．
【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答。
9．【答案】8
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵直角三角形的外接圆半径为4cm，
∴这个三角形的斜边长为：4×2=8cm，
∴此三角形的斜边长为8cm.
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，可求出斜边长是外接圆半径的2倍即可解答.
10．【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作出△ABC的外接圆，
由图可得符合条件的格点D有5个（D、E、F、G、H）.
故答案为：5.
【分析】作出△ABC的外接圆，该圆经过的格点就一目了然了.
11．【答案】25
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，
∴直角三角形的斜边长= （cm），
∵直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，
∴这个三角形的外接圆的直径长为25cm.
故答案是：25.
【分析】先用勾股定理求值直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆的特征，即可求解.
12．【答案】（2，1）
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图所示：
则，
故答案为：．
【分析】先根据作图-垂直平分线分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，进而直接读出坐标即可求解。
13．【答案】（1）
（2）如图，即为所求作的角平分线；
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）AB==.
故答案为：.
【分析】（1）根据网格特点，利用勾股定理计算即可；
（2）画直径KN，作AB的垂直平分线交KN于一点，即为圆心O，取AC的中点，连接OF并延长交圆于一点，即为点D，则平分.
14．【答案】解：不发生变化，理由如下：
∵梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形，
∴外心和与点C的距离始终为AB，
∴不发生变化，其长度为×8=4.
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】不发生变化，理由如下：梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形，而直角三角形的外心在斜边的中点处，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
15．【答案】（1）解：平面直角坐标系如图所示，圆心、、即为所求，
（2）(6，2)；(2，0)；
【知识点】点与圆的位置关系；确定圆的条件
16．【答案】（1）解：如图甲， ABCD即为所求作平行四边形，
其周长为2（AD+CD）=2（2 +4 ）=12 ；
（2）解：如图乙，⊙O即为所求作圆，
其面积为π （ ）2=10π．
【知识点】平行四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的两组对边分别相等可画出相应的平行四边形，且答案不唯一，求所画平行四边形的周长，则需要求平行四边形的边长，此时只需将边放在一个直角三角形中利用勾股定理即可求得；（2）三点确定一个圆，故画过点A，B，C三点的圆只需要确定圆心即可，而圆形为两条弦垂直平分线的交点；将圆的半径放在一个直角三角形中即可求得半径长，从而利用圆的面积公式可求得圆面积.
17．【答案】（1）、、、；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）解：连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，
∵CE为直径，
∴∠EBC=∠EAE=90°，
∴∠4=∠3=30°，
∴的角的有、、、，
∵OC为∠ACB的角平分线，
∴∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，
∴△DCB≌△DCA（ASA），
故答案为：、、、；；
【分析】（1）先根据等边三角形外接圆的性质结合等边三角形的性质即可得到∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，进而根据圆周角定理即可得到∠EBC=∠EAE=90°，从而得到∠4=∠3=30°，再根据角平分线的性质即可得到∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，进而根据三角形全等的判定（ASA）即可求解；
（2）连接，，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而根据菱形的判定即可求解。
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