1.1二次函数课件(共20张PPT)2023-2024学年度湘教版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.1二次函数课件(共20张PPT)2023-2024学年度湘教版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-29 15:20:31 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
1.1二次函数
九年级下
湘教版
1.了解二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题
3.会列二次函数表达是解决实际问题.
学习目标
重点
难点
新课引入
观察下面图片，你们有什么发现？
都存在类似的曲线
这种曲线有没有什么特点？可不可以看成是一个函数呢？
如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值，y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.
1.我们以前学过的函数的概念是什么？
思考
函 数
一次函数
反比例函数
y = kx+b (k≠0)
(正比例函数) y = kx (k≠0)
2.我们学过哪些函数？
3.一个边长为 x 的正方形的面积 y 为多少？y 是 x的函数吗？是我们学过的函数吗？
y = 6x2，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.这个函数不是我们学过的函数.
这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.
新知学习
1.学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为 100 m，设与围墙相邻的每一篱笆墙的长度都为 x（m），求矩形植物园的面积 S（m2）与 x 之间函数关系式.
即
思考
对于 x 的每一个取值，S 都有唯一确定的值与它对应，即 S 是 x 的函数.
2.某型号的电脑两年前的销售为 6000 元，现降价销售，若每年的平均降价率为 x，求现在售价y （元）与平均降价率 x 之间的函数关系.
即
观察上面所列的函数表达式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？
像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是 y = ax +bx+c (a，b，c 是常数，a≠0).
其中 x 是自变量，a 为二次项系数，ax2 叫做二次项；
b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c 为常数项.
归纳
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
例1 下列函数中,哪些是二次函数？为什么？若是二次函数，请指出二次项系数，一次项系数和常数项.
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x ③y=x2 ④
⑤ ⑥y=x +x +25 ⑦ y=(x+3) -x
不一定是，缺少a≠0的条件.
不是，x的最高次数是3.
y=6x+9
不是、化简以后是一次函数
二次项系数：-2
一次项系数：0
常数项：3
二次项系数：1
一次项系数：0
常数项：0
二次项系数：-1
一次项系数：-2
常数项：0
不是，等式右边是分式.
二次函数关系式 二次项系数 一次项系数 常数项
y=3-2x -2 0 3
y=x2 1 0 0
y=-x -2x -1 -2 0
y=2x -x+8 2 -1 8
结论：
在判断二次函数时，必须满足：1.最高次是2次；2.二次项系数a≠0；
b=0时，二次函数为y=ax +c (a≠ 0 )
b=0，c=0时，二次函数为y=ax (a≠ 0 )
c=0时，二次函数为y=ax +bx (a≠ 0 )
系数都不为0
y=ax +bx+c (a≠ 0 )
例2 如图，一块矩形木板，长为 120 cm、 宽为 80 cm，在木板 4 个角上各截去边长为 x（cm）的正方形，求余下面积 S（cm2）与 x 之间的函数表达式.
分析 本问题中的数量关系是：
木板余下面积 = 矩形面积 - 截去面积.
解 木板余下面积 S 与截去正方形边长 x 有如下函数关系：
S = 120×80 - 4x2 = - 4x2 + 9600 ， 0 ＜ x ≤ 40 .
例3 如图，用长为 45 m 的篱笆，一面利用墙 ( 墙的最大可用长度是 20 m )，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长 AB 是 x ( 单位：m )，面积是 S ( 单位：m2 )．
(1) 求 S 与 x 的函数关系式及x的取值范围；
解：(1) S = x(45 - 3x) = -3x2 + 45x
( ≤ x < 15 ).
0＜45 - 3x≤20
-45＜- 3x ≤ -25
≤ x ≤ 15
BC 是(45 - 3x)cm
S =AB · BC
解：(2) 当 AB= 5 时，
-3x2+45x
=-3×25+45×5
=150，
答：围成的面积是 150m .
(2) 当AB的长为5m时，围成的面积是多少？
(3) 当 S = 162 时，-3x2+45x = 162，
解得 x1 = 6，x2 = 9，
∵ ≤ x< 15，
∴ x = 9.
答：AB的长是 9m.
(3) 当AB 的长为多少米时，围成的面积为 162 m2？
例4 当m 取何值时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-5）x+m2是关于x 的二次函数？并求出二次函数的解析式.
满足二次函数的条件是什么？
1.x的最高次是2；
2.二次项系数不为0.
解：由题意，得
①m -2m-3=0 ,(m-3)(m+1)=0, m = 3或-1
②m(m+1) ≠ 0，m ≠ 0 或 -1
∴ m = 3.
∴当 m = 3 时，该函数是二次函数，
解析式为：y = (32+3)x32-2×3-1+(3-5)x+32，
即y = 12x2-2x+9.
随堂练习
1. 下列函数中,哪些是二次函数？
① y=ax2+bx+c ② y=4x +3 ③y=x2 +
④ ⑤ ⑥y=x +x +25
②③⑤
解题方法：在判断二次函数时，必须满足：1.最高次是2次；2.二次项系数a≠0；
2.下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
D
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面积 y
与 x 的关系式．
解：y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600，
即 y=x2+50x+600.
x m
x m
30 m
20 m
长为(20 + x)cm，宽为(30 + x)cm
4.己知函数y=（m2-2）x2+（m+ ）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求出m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求出m的取值范围.
解：（1）由题意得， ，解得
（2）由题意得， ，解得 且
满足二次函数的条件是什么？
1.x的最高次是2；
2.二次项系数不为0.
一般形式
特殊形式
定义
一般地，形如 y=ax +bx+c ( a，b，c是常数，a≠ 0 ) 的函数叫做二次函数. 其中， x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.(最高次是2次；二次项系数a≠0)
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a ≠0，）
y=ax2 (a ≠0)；y=ax2+bx(a ≠0)；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
二次
函数
课堂小结
1.1二次函数
九年级下
湘教版
1.了解二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题
3.会列二次函数表达是解决实际问题.
学习目标
重点
难点
新课引入
观察下面图片，你们有什么发现？
都存在类似的曲线
这种曲线有没有什么特点？可不可以看成是一个函数呢？
如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值，y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.
1.我们以前学过的函数的概念是什么？
思考
函 数
一次函数
反比例函数
y = kx+b (k≠0)
(正比例函数) y = kx (k≠0)
2.我们学过哪些函数？
3.一个边长为 x 的正方形的面积 y 为多少？y 是 x的函数吗？是我们学过的函数吗？
y = 6x2，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.这个函数不是我们学过的函数.
这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.
新知学习
1.学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为 100 m，设与围墙相邻的每一篱笆墙的长度都为 x（m），求矩形植物园的面积 S（m2）与 x 之间函数关系式.
即
思考
对于 x 的每一个取值，S 都有唯一确定的值与它对应，即 S 是 x 的函数.
2.某型号的电脑两年前的销售为 6000 元，现降价销售，若每年的平均降价率为 x，求现在售价y （元）与平均降价率 x 之间的函数关系.
即
观察上面所列的函数表达式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？
像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是 y = ax +bx+c (a，b，c 是常数，a≠0).
其中 x 是自变量，a 为二次项系数，ax2 叫做二次项；
b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c 为常数项.
归纳
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
例1 下列函数中,哪些是二次函数？为什么？若是二次函数，请指出二次项系数，一次项系数和常数项.
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x ③y=x2 ④
⑤ ⑥y=x +x +25 ⑦ y=(x+3) -x
不一定是，缺少a≠0的条件.
不是，x的最高次数是3.
y=6x+9
不是、化简以后是一次函数
二次项系数：-2
一次项系数：0
常数项：3
二次项系数：1
一次项系数：0
常数项：0
二次项系数：-1
一次项系数：-2
常数项：0
不是，等式右边是分式.
二次函数关系式 二次项系数 一次项系数 常数项
y=3-2x -2 0 3
y=x2 1 0 0
y=-x -2x -1 -2 0
y=2x -x+8 2 -1 8
结论：
在判断二次函数时，必须满足：1.最高次是2次；2.二次项系数a≠0；
b=0时，二次函数为y=ax +c (a≠ 0 )
b=0，c=0时，二次函数为y=ax (a≠ 0 )
c=0时，二次函数为y=ax +bx (a≠ 0 )
系数都不为0
y=ax +bx+c (a≠ 0 )
例2 如图，一块矩形木板，长为 120 cm、 宽为 80 cm，在木板 4 个角上各截去边长为 x（cm）的正方形，求余下面积 S（cm2）与 x 之间的函数表达式.
分析 本问题中的数量关系是：
木板余下面积 = 矩形面积 - 截去面积.
解 木板余下面积 S 与截去正方形边长 x 有如下函数关系：
S = 120×80 - 4x2 = - 4x2 + 9600 ， 0 ＜ x ≤ 40 .
例3 如图，用长为 45 m 的篱笆，一面利用墙 ( 墙的最大可用长度是 20 m )，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长 AB 是 x ( 单位：m )，面积是 S ( 单位：m2 )．
(1) 求 S 与 x 的函数关系式及x的取值范围；
解：(1) S = x(45 - 3x) = -3x2 + 45x
( ≤ x < 15 ).
0＜45 - 3x≤20
-45＜- 3x ≤ -25
≤ x ≤ 15
BC 是(45 - 3x)cm
S =AB · BC
解：(2) 当 AB= 5 时，
-3x2+45x
=-3×25+45×5
=150，
答：围成的面积是 150m .
(2) 当AB的长为5m时，围成的面积是多少？
(3) 当 S = 162 时，-3x2+45x = 162，
解得 x1 = 6，x2 = 9，
∵ ≤ x< 15，
∴ x = 9.
答：AB的长是 9m.
(3) 当AB 的长为多少米时，围成的面积为 162 m2？
例4 当m 取何值时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-5）x+m2是关于x 的二次函数？并求出二次函数的解析式.
满足二次函数的条件是什么？
1.x的最高次是2；
2.二次项系数不为0.
解：由题意，得
①m -2m-3=0 ,(m-3)(m+1)=0, m = 3或-1
②m(m+1) ≠ 0，m ≠ 0 或 -1
∴ m = 3.
∴当 m = 3 时，该函数是二次函数，
解析式为：y = (32+3)x32-2×3-1+(3-5)x+32，
即y = 12x2-2x+9.
随堂练习
1. 下列函数中,哪些是二次函数？
① y=ax2+bx+c ② y=4x +3 ③y=x2 +
④ ⑤ ⑥y=x +x +25
②③⑤
解题方法：在判断二次函数时，必须满足：1.最高次是2次；2.二次项系数a≠0；
2.下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
D
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面积 y
与 x 的关系式．
解：y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600，
即 y=x2+50x+600.
x m
x m
30 m
20 m
长为(20 + x)cm，宽为(30 + x)cm
4.己知函数y=（m2-2）x2+（m+ ）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求出m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求出m的取值范围.
解：（1）由题意得， ，解得
（2）由题意得， ，解得 且
满足二次函数的条件是什么？
1.x的最高次是2；
2.二次项系数不为0.
一般形式
特殊形式
定义
一般地，形如 y=ax +bx+c ( a，b，c是常数，a≠ 0 ) 的函数叫做二次函数. 其中， x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.(最高次是2次；二次项系数a≠0)
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a ≠0，）
y=ax2 (a ≠0)；y=ax2+bx(a ≠0)；
y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数).
二次
函数
课堂小结