2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.6 弧长与扇形面积同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·长沙期中）已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的面积是（ ）
A．15π B．10π C．5π D．2.5π
3．已知在半径为R的圆中，长为l的弧所对的圆心角度数为n°，则下列关系不正确的是（ ）
A．l= B．n= C．R= D．l=2nR
4．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023·鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·石家庄期中）台州S1轻轨在紧张施工中，现在已开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件，如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个小组对相关数据进行测量方案如表，利用数据能够估算隧道外径大小的小组是（ ）
小组 测量内容
甲 HG，GN的长
乙 AB，的长
A．甲小组 B．乙小组
C．两组都可以 D．两组测量数据都不足
7．（2023九上·石家庄期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝，将△ABC绕点B旋转到△A1BC1的位置，此时C，B，A1在同一直线上，则点A经过的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·石家庄月考）如图，中，弦于，若的半径等于6，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022九上·鹿城期末）已知一扇形，半径为6，圆心角为120°，则所对的弧长为 .
10．如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 cm（结果保留式）.
11．（2023九上·海曙期中）如图，在半径为2的扇形中，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 .
12．（2019九上·道外期末）扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于 cm2．
13．（2021九上·南京期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则 的长为 .
三、解答题
14．（2023九上·萧山月考）如图，，是上的点，为外一点，连结，，分别交于点，，且．
（1）求证：；
（2）若的半径为6，，，求图中阴影部分的面积．
15．（2023九上·金华月考）如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．
（1）请作图找出圆心P的位置，并写出它的坐标．
（2）求的长度．
四、综合题
16．（2021九上·上城期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在网格的格点上.
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A'BC'，请在网格中画出△A'BC'；
（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路程（结果保留π）.
17．（2023·临沂）如图，是的外接圆，是的直径，，E为的延长线与的交点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得： 。
故答案为：C。
【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。
2．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解： 这个扇形的面积是.
故答案为：A.
【分析】扇形的面积公式，据此计算即可.
3．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=，
∴n= ， R= ，
故答案为：D.
【分析】由弧长公式l=，分别求出n，R，继而判断即可.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=40° ，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
∵S==2π，
∴R=3，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理先求出∠AOB的度数，再利用扇形面积公式即可求解.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴BC=AB=，
∴OC=OD=OB=，
∴∠DOB=2∠C=60°，
∴S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB=×4×-×××-=-2π.
故答案为：C.
【分析】连接OD，易得BC=AB=，则OC=OD=OB=，根据圆周角定理可得∠DOB=2∠C=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB进行计算.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：对于甲小组，已知HG、GN
连接OJ交弦MH于点I
则OI⊥MH，，IJ=HG
设圆O的半径为R
在Rt△OHI中，OH=R，OI=OJ-IJ=R-HG
∴
根据已知条件，可求出R的值
对于乙小组，已知AB，的长
设圆O的半径为R，
∴
∴，
根据已知条件，可求出R的值
故答案为：C
【分析】根据垂径定理可求出HK，再根据勾股定理可判断甲的做法；根据弧长公式可两条半径之间的关系列方程组可判断乙的做法.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝
∴∠ABC=90°-60°=30°
∴
∴AB=2
∵将△ABC绕点B旋转到△A1BC1的位置，此时C，B，A1在同一直线上
∴∠AB1=180°-∠ABC=150°
∴点A经过的最短路径长为：
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC=30°，再根据锐角三角形函数定义可得AB=2，再根据旋转性质可得∠AB1=180°-∠ABC=150°，再由弧长公式即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】连接AO、CO，如图所示：
∵，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠D=180°-∠AED-∠A=180°-90°-30°=60°，
∴∠AOC=2∠D=2×60°=120°，
∵的半径等于6，
∴弧AC的长=，
故答案为：C.
【分析】先求出∠D的度数，再利用圆周角的性质求出∠AOC=2∠D=2×60°=120°，最后利用弧长公式求出弧AC的长即可.
9．【答案】4π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：此扇形的弧长＝＝4π，
故答案为：4π.
【分析】直接利用弧长计算公式“”代值计算即可.
10．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】120°角所对弧长为.
故答案为：4π.
【分析】根据题目描述的情形，重物上升的高度就是滑轮上任意点旋转产生的弧长，利用弧长公式可得120°角所对弧长为.
11．【答案】
【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得：OC=CD，OB=OA=2
∴阴影部分的周长=
+2+2
=π+4
故答案为：π+4.
【分析】首先，根据折叠的性质得出：OC=CD，OB=OA=2，然后观察阴影部分的周长包括：AC+CD+BD+由此即可求出图中阴影部分的周长.
12．【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】设扇形的半径为r，
由题意：4π= ，
解得r=9（cm）．
S= = =18π（cm）2
故答案为18π．
【分析】根据利用弧长公式求出半径，再根据扇形的面积公式：S= 计算即可.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质可得∠D+∠ABC=180°，结合∠D的度数可得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠AOC的度数，接下来结合弧长公式计算即可.
14．【答案】（1）证明：连接AB，如图，
，
，
，
；
（2）解：，由（1）知为等边三角形，
，
，
连，，作于，则∠AOC=30°，
，
∴的面积=，
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接AB，要证PA=PB，可证∠PAB=∠PBA；题目已知 ，可推出，即∠PAB与∠PBA所对的弧相等，即得证；
（2）由∠P=60°，可得△ABP是等边三角形，从而∠B=60°，=120°；又 ，求得=∠AOC，那么△OAC就是一个顶角为30°腰长为圆半径6的等腰三角形；要求弓形面积，，根据扇形面积公式求出扇形面积，过点A作OC边上的高，利用30°角的直角三角形求出高的长，利用三角形面积公式求出S△AOC，即可求出弓形面积.
15．【答案】（1）解：如图，点P就是圆弧所在圆的圆心，点P的坐标为：（-2，1）；
（2）解：如图，
∵AC2=22+42=20，AP2=PC2=12+32=10，
∴AC2=AP2+PC2，
∴△ACP是等腰直角三角形，且∠APC=90°，
∴ =.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；垂径定理的应用；弧长的计算
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点作出弦AB、BC的垂直平分线，根据垂径定理可知弧AC所在圆的圆心一定在弦AB与BC的垂直平分线上，故两线的交点就是圆心P的位置，进而根据点P的位置读出其坐标即可；
（2）利用勾股定理算出AC2及AP2、PC2，由于AC2=AP2+PC2，由勾股定理得逆定理可知△ACP是直角三角形，且∠APC=90°，从而根据弧长计算公式计算可得答案.
16．【答案】（1）解：△A′BC′如图所示；
（2）解：由勾股定理得，AB＝ ＝ ，
所以点A经过的路程＝ ＝ .
【知识点】勾股定理；弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格纸的特点及旋转的性质找出点A、C绕点B顺时针旋转90°的对应点A′、C′，顺次连接可得△A'BC'；
（2）首先由勾股定理求出AB，然后利用弧长公式求解即可.
17．【答案】（1）证明：连接并延长交于点，
∵是的外接圆，
∴点是三边中垂线的交点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 点是三边中垂线的交点， 再求出 ， 最后根据 是的半径证明求解即可；
（2）先求出， 再求出 为等边三角形， 最后利用弧长公式计算求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.6 弧长与扇形面积同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得： 。
故答案为：C。
【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。
2．（2023九上·长沙期中）已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的面积是（ ）
A．15π B．10π C．5π D．2.5π
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解： 这个扇形的面积是.
故答案为：A.
【分析】扇形的面积公式，据此计算即可.
3．已知在半径为R的圆中，长为l的弧所对的圆心角度数为n°，则下列关系不正确的是（ ）
A．l= B．n= C．R= D．l=2nR
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=，
∴n= ， R= ，
故答案为：D.
【分析】由弧长公式l=，分别求出n，R，继而判断即可.
4．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=40° ，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
∵S==2π，
∴R=3，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理先求出∠AOB的度数，再利用扇形面积公式即可求解.
5．（2023·鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴BC=AB=，
∴OC=OD=OB=，
∴∠DOB=2∠C=60°，
∴S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB=×4×-×××-=-2π.
故答案为：C.
【分析】连接OD，易得BC=AB=，则OC=OD=OB=，根据圆周角定理可得∠DOB=2∠C=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB进行计算.
6．（2023九上·石家庄期中）台州S1轻轨在紧张施工中，现在已开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件，如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个小组对相关数据进行测量方案如表，利用数据能够估算隧道外径大小的小组是（ ）
小组 测量内容
甲 HG，GN的长
乙 AB，的长
A．甲小组 B．乙小组
C．两组都可以 D．两组测量数据都不足
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：对于甲小组，已知HG、GN
连接OJ交弦MH于点I
则OI⊥MH，，IJ=HG
设圆O的半径为R
在Rt△OHI中，OH=R，OI=OJ-IJ=R-HG
∴
根据已知条件，可求出R的值
对于乙小组，已知AB，的长
设圆O的半径为R，
∴
∴，
根据已知条件，可求出R的值
故答案为：C
【分析】根据垂径定理可求出HK，再根据勾股定理可判断甲的做法；根据弧长公式可两条半径之间的关系列方程组可判断乙的做法.
7．（2023九上·石家庄期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝，将△ABC绕点B旋转到△A1BC1的位置，此时C，B，A1在同一直线上，则点A经过的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝
∴∠ABC=90°-60°=30°
∴
∴AB=2
∵将△ABC绕点B旋转到△A1BC1的位置，此时C，B，A1在同一直线上
∴∠AB1=180°-∠ABC=150°
∴点A经过的最短路径长为：
故答案为：D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC=30°，再根据锐角三角形函数定义可得AB=2，再根据旋转性质可得∠AB1=180°-∠ABC=150°，再由弧长公式即可求出答案.
8．（2023九上·石家庄月考）如图，中，弦于，若的半径等于6，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】连接AO、CO，如图所示：
∵，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠D=180°-∠AED-∠A=180°-90°-30°=60°，
∴∠AOC=2∠D=2×60°=120°，
∵的半径等于6，
∴弧AC的长=，
故答案为：C.
【分析】先求出∠D的度数，再利用圆周角的性质求出∠AOC=2∠D=2×60°=120°，最后利用弧长公式求出弧AC的长即可.
二、填空题
9．（2022九上·鹿城期末）已知一扇形，半径为6，圆心角为120°，则所对的弧长为 .
【答案】4π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：此扇形的弧长＝＝4π，
故答案为：4π.
【分析】直接利用弧长计算公式“”代值计算即可.
10．如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 cm（结果保留式）.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】120°角所对弧长为.
故答案为：4π.
【分析】根据题目描述的情形，重物上升的高度就是滑轮上任意点旋转产生的弧长，利用弧长公式可得120°角所对弧长为.
11．（2023九上·海曙期中）如图，在半径为2的扇形中，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 .
【答案】
【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意得：OC=CD，OB=OA=2
∴阴影部分的周长=
+2+2
=π+4
故答案为：π+4.
【分析】首先，根据折叠的性质得出：OC=CD，OB=OA=2，然后观察阴影部分的周长包括：AC+CD+BD+由此即可求出图中阴影部分的周长.
12．（2019九上·道外期末）扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于 cm2．
【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】设扇形的半径为r，
由题意：4π= ，
解得r=9（cm）．
S= = =18π（cm）2
故答案为18π．
【分析】根据利用弧长公式求出半径，再根据扇形的面积公式：S= 计算即可.
13．（2021九上·南京期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则 的长为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质可得∠D+∠ABC=180°，结合∠D的度数可得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠AOC的度数，接下来结合弧长公式计算即可.
三、解答题
14．（2023九上·萧山月考）如图，，是上的点，为外一点，连结，，分别交于点，，且．
（1）求证：；
（2）若的半径为6，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接AB，如图，
，
，
，
；
（2）解：，由（1）知为等边三角形，
，
，
连，，作于，则∠AOC=30°，
，
∴的面积=，
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接AB，要证PA=PB，可证∠PAB=∠PBA；题目已知 ，可推出，即∠PAB与∠PBA所对的弧相等，即得证；
（2）由∠P=60°，可得△ABP是等边三角形，从而∠B=60°，=120°；又 ，求得=∠AOC，那么△OAC就是一个顶角为30°腰长为圆半径6的等腰三角形；要求弓形面积，，根据扇形面积公式求出扇形面积，过点A作OC边上的高，利用30°角的直角三角形求出高的长，利用三角形面积公式求出S△AOC，即可求出弓形面积.
15．（2023九上·金华月考）如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．
（1）请作图找出圆心P的位置，并写出它的坐标．
（2）求的长度．
【答案】（1）解：如图，点P就是圆弧所在圆的圆心，点P的坐标为：（-2，1）；
（2）解：如图，
∵AC2=22+42=20，AP2=PC2=12+32=10，
∴AC2=AP2+PC2，
∴△ACP是等腰直角三角形，且∠APC=90°，
∴ =.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；垂径定理的应用；弧长的计算
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点作出弦AB、BC的垂直平分线，根据垂径定理可知弧AC所在圆的圆心一定在弦AB与BC的垂直平分线上，故两线的交点就是圆心P的位置，进而根据点P的位置读出其坐标即可；
（2）利用勾股定理算出AC2及AP2、PC2，由于AC2=AP2+PC2，由勾股定理得逆定理可知△ACP是直角三角形，且∠APC=90°，从而根据弧长计算公式计算可得答案.
四、综合题
16．（2021九上·上城期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在网格的格点上.
（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A'BC'，请在网格中画出△A'BC'；
（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路程（结果保留π）.
【答案】（1）解：△A′BC′如图所示；
（2）解：由勾股定理得，AB＝ ＝ ，
所以点A经过的路程＝ ＝ .
【知识点】勾股定理；弧长的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格纸的特点及旋转的性质找出点A、C绕点B顺时针旋转90°的对应点A′、C′，顺次连接可得△A'BC'；
（2）首先由勾股定理求出AB，然后利用弧长公式求解即可.
17．（2023·临沂）如图，是的外接圆，是的直径，，E为的延长线与的交点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接并延长交于点，
∵是的外接圆，
∴点是三边中垂线的交点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 点是三边中垂线的交点， 再求出 ， 最后根据 是的半径证明求解即可；
（2）先求出， 再求出 为等边三角形， 最后利用弧长公式计算求解即可。
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