湘教版数学九年级下册 2.6 弧长与扇形面积同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2019九下·无锡期中）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交 于点D，以OC为半径的 交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18 B．12π+36 C．6π+18 D．6π+36
2．（2023九下·威远月考）如图，的半径为9，、分别切于点A，B.若，则的长为（ ）
A．π B．π C． D．π
3．（2023九下·威远月考）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则扇形中弧的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九下·姑苏开学考）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九下·重庆市月考）如图，AB是⊙O的直径，线段DC是⊙O的弦，连接AC、OD，若于点E，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.9 弧长及扇形的面积）如图，正方形ABCD的边AB=1， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C． ﹣1 D．1﹣
7．（2019九下·象山月考）如图，在Rt△ABC中，BC＝3，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动．下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝3 ；②若AB平分CO，则AB⊥CO；③C，O两点间的最大距离是6；④斜边AB的中点D运动的路径长是 π，其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③④ D．①③④
8．（2023九下·义乌月考）如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九下·松原月考）图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，在图②中，图形的相关数据如下：半径，，则图②中图形（实线部分）的周长为 cm（结果保留）.
10．（2023九下·淳安期中）如图，菱形中，分别以点B，D为圆心，以长为半径画弧，分别交边于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
11．（2023九下·靖江期中）如图，是的直径，弦，垂足为点M，连接，如果，，那么图中阴影部分的面积是 .
12．（2022九下·长春月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，连接DE、DF．若AB=2，∠A=60°，则阴影部分的面积为
13．（2022九下·江津期中）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，若AD=4，则图中阴影部分的面积为
三、解答题
14．（切线长定理）如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB=60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积．
15．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.4 简单几何体的表面展开图 同步练习）如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示，单位：m)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形；如图②是车棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为点O，车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)
四、综合题
16．（2023九下·江夏月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF = 2，BC = ，求阴影部分的面积.
17．（2023九下·婺城月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点A在直线l上，AD与直线l相交所成的锐角为60°，点P在直线l上，AP=8，过点作EF⊥l，垂足为点E，且与点P重合，EF=6，以EF为直径，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任意一点.
（1）连接，求线段的最大值；
（2）矩形保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点F落在边上时，求半圆O与矩形重合部分的面积S；
（3）在平移过程中，当半圆O与矩形的边相切时，求平移的距离.（参考数据：，结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】如图，连接OD，BD，
∵点C为OB的中点，
∴OC= OB= OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△BDO为等边三角形，OD=OB=12，OC=CB=6，
∴CD=6 ，
∴S扇形BOD= =24π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）
= =18 +6π，
故答案为：C.
【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积.
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接 ， ，
∵直线 、 分别与 相切于点A、B，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为9，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】连接 ， ，由切线的性质可得，再利用四边形内角和求出∠AOB的度数，然后利用弧长公式计算即可.
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接 ，过O作 交 于点D，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D；
【分析】连接 ，过O作 交 于点D，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质可得BD=CD，∠BOD=∠COD=60°，∠BDO=90°，根据解直角三角形求出BD的长，即得BC的长，再证△ABC是等边三角形，即得AB的长，利用弧长公式即可求解.
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设弧 和弧 的交点为E，连接 则 是等边三角形
作 ，则
故答案为：D.
【分析】设弧BD和弧AC的交点为E，连接DE、AE ，则△ADE是等边三角形，作EF⊥AD，则DF=1，DE=2，由勾股定理可得EF，根据S弓形DE=S扇形ADE-S△ADE求出S弓形DE，同理可得S弓形AE，由S空白ADE=S扇形ADE+S弓形AE求出S空白ADE，由S阴影DCE=S扇形DCE-S弓形DE求出S阴影DCE，然后根据S空白BCE=S正方形ABCD-S扇形ABD-S阴影DCE求出S空白BCE，据此求解.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接OC
AB是⊙O的直径
，
∵OE=OE
，
为等边三角形
故答案为：B.
【分析】连接OC，则OA=OC=OD，根据等腰三角形的性质可得AE=CE，∠AOE=60°，证明△OEA≌
△OEC，得到S△OEA=S△OEC，∠AOE=∠COE=60°，推出△OCD为等边三角形，得到CD=OD=3，然后根据S阴影=S扇形COD结合扇形的面积公式进行计算.
6．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形= ﹣1= ．
故答案为：A．
【分析】由图可知弧 B D 和弧 A C 将正方形分成四部分，分别用1、2、3、4表示如图，扇形ABD和扇形ACD的面积之和=2S3+S1+S2， 正方形的面积=S1+S2+S3+S4， 两式相减可得S3﹣S4=S扇形﹣S正方形， 将圆心角和半径代入计算可知选项A符合题意。
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝3，∠BAC＝30°，
∴AB＝6，AC＝ ＝3 ，①若C、O两点关于AB对称，
∴AB是OC的垂直平分线，
则OA＝AC＝3 ；
所以①正确；
②当∠ABO＝30°时，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴四边形AOBC是矩形，
∴AB与OC互相平分，
但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，
所以②不正确；
③取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴OE＝CE＝ AB＝3
∵OC≤OE+EC，
∴当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为6；
所以③正确；
④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的 ，
则： ×2π 3＝ π，
所以④正确；
综上所述，本题正确的有：①③④；
故答案为：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB，AC的长， 根据对称的性质，由C、O两点关于AB对称，即可得出AB是OC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出OA＝AC ，所以①正确；②当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直；
③取AB的中点为E，连接OE、CE，当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为6；
④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的 ，根据弧长公式进行计算即可．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，连接交于点，连接.
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是.
此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，连接.证明，利用相似三角形的性质可得PN=2，PM=4，利用勾股定理求出BP=，由垂直的定义可得，可得点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可.
9．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图1得的长+的长=的长，
∵半径OA=2cm，∠AOB=120°
∴图2的周长为：.
故答案为：
【分析】由图1得的长+的长=的长，进而运用弧长的计算公式即可求解。
10．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠ACD=30°，AB=BC=CD=AD=4，
∴BO=AB=2，
∴S阴影=2S扇形BOE=2×=.
故答案为：.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，∠BAC=∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BO的值，然后根据S阴影=2S扇形BOE结合扇形的面积公式进行计算.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积.
故答案为：.
【分析】连接OD、BC，由垂径定理可得DM=CM，∠COB=∠BOD，根据平行线的性质可得∠COB=∠OBD，进而推出OD=DB，得到△BOD是等边三角形，则∠BOD=60°，由三角形的面积公式可得S△OBC=S△OBD，S△OBD=S△CBD，则S△OBC=S△CBD，进而推出S阴影=S扇形COB，然后利用扇形的面积公式进行计算.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC= CD= DA，∠C=∠A=60°，
∴△ABD，△CBD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵BE =AB= 1，BD = AB = 2，
∴DE =，
∴△DEB的面积为：，
同理可得：△DBF的面积为：，
∴四边形DEBF的面积=，
∵ADII BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-60°=120°
∴扇形BEF的面积=，
∴阴影部分的面积=四边形DEBF的面积-扇形BEF的面积=，
故答案为：.
【分析】先求出△ABD，△CBD是等边三角形，再利用三角形和扇形面积公式计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝∠BAD=30°，
∴BE∥AD，
∵AD为半圆O的直径，AD＝4，
∴∠DBA=90°，AB＝ADcos30°＝2，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝BC=3，
∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为=S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【分析】先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，由图形可知△BOE和△ABE同底等高，即△BOE和△ABE面积相等，最后利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可．
14．【答案】解：连接PO与AO，
∵PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB=60°，
∴OA⊥PA，∠APO= ∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵⊙O半径为3，
∴OA=3，PO=6，
∴PA= =3 ，
∴S△PAO= AO PA= ×3×3 = ，
S扇形AOC= = π，
∴S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形AOC）=2×（ ﹣ π）=9 ﹣3π．
∴阴影部分面积为：9 ﹣3π．
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】首先根据切线长定理，可求得∠AOP的度数与OA⊥PA，又由直角三角形的性质，可求得PA的长，然后求得△PAO与扇形AOC的面积，由S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形AOC）则可求得结果．
15．【答案】解：如图，连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交 于F，由垂径定理知，E是AB的中点，F是 的中点，从而EF是弓形的高.∵AB=4，∴AE= AB=2 m，EF=2 m.设半径为Rm，则OE=(R-2)m.在Rt△AOE中，∴R2=(R-2)2+(2 )2.∴R=4.在Rt△AEO中，∵AO=2OE，∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，∴∠AOB=120°.∴ 的长为=(m).∴覆盖棚顶的帆布的面积为×60=160π(m2).
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理的实际应用；弧长的计算
【解析】【分析】如图，连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交 于F，由垂径定理知：E是AB的中点，F是 AB 的中点，从而EF是弓形的高；设半径为Rm，则OE=(R-2)m.在Rt△AOE中，根据勾股定理计算出半径R，再由在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而得出∠AOB的度数，根据弧长公式即可求出弧AB的长度，最后得出覆盖棚顶的帆布的面积.
16．【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R–DF=R–2，OB=R，
，
在Rt△OBD中，
∵ OD2+BD2=OB2，
∴(R–2)2+(2)2=R2，
解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，∠BOC=120°，
∵OB=4，∠BOE=60°，
∴在Rt△OBE中，，
∴S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC
=2××4×-
=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，根据垂径定理可得CD=BD，即OD垂中平分BC，则EC=EB，利用SSS证明△OCE≌△OBE，得到∠OBE=∠OCE=90°，则OB⊥BE，据此证明；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R–2，OB=R，BD=BC=，在Rt△OBD中，由勾股定理可得R的值，然后求出BE的值，接下来根据S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC进行计算.
17．【答案】（1）解：当M在F处时，最大，
在中，由勾股定理得，
，
∴最大值是10
（2）解：如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于H，
∴，
∴
，
∵，
∴
（3）解：如图2，
当⊙O与相切时，（图中⊙O′），
在中，，
，
∴，
如图3，
当⊙O与相切时，
∵，
∴，
∵
，
∴；
如图4，
作于H，
∴
，
当⊙O与相切时，
在时，
=，
∴，
∴
，
综上所述：当半圆O与矩形ABCD的边相切时，平移的距离是或或
【知识点】矩形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1） 当M在F处时，AM最大，在Rt△AEF中，利用勾股定理算出AF即可得出；
（2）由三角形的内角和定理得∠AFE=30°，由等边对等角得∠FGO=∠AFE=30°，由三角形内角和定理得∠GOF=120°，由邻补角得∠GOH=60°，作GH⊥EF于H，在Rt△GOH中，由正弦函数的定义可求出GH，然后根据三角形的面积计算公式可算出△GOF的面积，由扇形面积计算公式算出扇形GOF的面积，进而根据S=S扇形GOF-S△GOF即可算出答案；
（3） 分类讨论：①当⊙O与AD相切时，（图中⊙O′），在Rt△AE'O'中，根据正切函数的定义可求出AE'，进而根据EE'=AE-AE'可得答案； ②当⊙O与AB相切时，首先得∠O'AE'=75°，在Rt△AE'O'中，根据正切函数的定义可求出AE'，进而根据EE'=AE-AE'可得答案； ③ 当⊙O与BC相切时， 作BH⊥l于点H，在Rt△ABH中，由余弦函数求出AH，在Rt△BO'G中，由正弦函数求出BO'，进而根据EE'=AH+AE-HE即可算出答案.
1 / 1湘教版数学九年级下册 2.6 弧长与扇形面积同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2019九下·无锡期中）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交 于点D，以OC为半径的 交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18 B．12π+36 C．6π+18 D．6π+36
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】如图，连接OD，BD，
∵点C为OB的中点，
∴OC= OB= OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△BDO为等边三角形，OD=OB=12，OC=CB=6，
∴CD=6 ，
∴S扇形BOD= =24π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形BOD﹣S△COD）
= =18 +6π，
故答案为：C.
【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积.
2．（2023九下·威远月考）如图，的半径为9，、分别切于点A，B.若，则的长为（ ）
A．π B．π C． D．π
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接 ， ，
∵直线 、 分别与 相切于点A、B，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为9，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】连接 ， ，由切线的性质可得，再利用四边形内角和求出∠AOB的度数，然后利用弧长公式计算即可.
3．（2023九下·威远月考）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则扇形中弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接 ，过O作 交 于点D，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D；
【分析】连接 ，过O作 交 于点D，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质可得BD=CD，∠BOD=∠COD=60°，∠BDO=90°，根据解直角三角形求出BD的长，即得BC的长，再证△ABC是等边三角形，即得AB的长，利用弧长公式即可求解.
4．（2023九下·姑苏开学考）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设弧 和弧 的交点为E，连接 则 是等边三角形
作 ，则
故答案为：D.
【分析】设弧BD和弧AC的交点为E，连接DE、AE ，则△ADE是等边三角形，作EF⊥AD，则DF=1，DE=2，由勾股定理可得EF，根据S弓形DE=S扇形ADE-S△ADE求出S弓形DE，同理可得S弓形AE，由S空白ADE=S扇形ADE+S弓形AE求出S空白ADE，由S阴影DCE=S扇形DCE-S弓形DE求出S阴影DCE，然后根据S空白BCE=S正方形ABCD-S扇形ABD-S阴影DCE求出S空白BCE，据此求解.
5．（2022九下·重庆市月考）如图，AB是⊙O的直径，线段DC是⊙O的弦，连接AC、OD，若于点E，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接OC
AB是⊙O的直径
，
∵OE=OE
，
为等边三角形
故答案为：B.
【分析】连接OC，则OA=OC=OD，根据等腰三角形的性质可得AE=CE，∠AOE=60°，证明△OEA≌
△OEC，得到S△OEA=S△OEC，∠AOE=∠COE=60°，推出△OCD为等边三角形，得到CD=OD=3，然后根据S阴影=S扇形COD结合扇形的面积公式进行计算.
6．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.9 弧长及扇形的面积）如图，正方形ABCD的边AB=1， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C． ﹣1 D．1﹣
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形= ﹣1= ．
故答案为：A．
【分析】由图可知弧 B D 和弧 A C 将正方形分成四部分，分别用1、2、3、4表示如图，扇形ABD和扇形ACD的面积之和=2S3+S1+S2， 正方形的面积=S1+S2+S3+S4， 两式相减可得S3﹣S4=S扇形﹣S正方形， 将圆心角和半径代入计算可知选项A符合题意。
7．（2019九下·象山月考）如图，在Rt△ABC中，BC＝3，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动．下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝3 ；②若AB平分CO，则AB⊥CO；③C，O两点间的最大距离是6；④斜边AB的中点D运动的路径长是 π，其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝3，∠BAC＝30°，
∴AB＝6，AC＝ ＝3 ，①若C、O两点关于AB对称，
∴AB是OC的垂直平分线，
则OA＝AC＝3 ；
所以①正确；
②当∠ABO＝30°时，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴四边形AOBC是矩形，
∴AB与OC互相平分，
但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，
所以②不正确；
③取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴OE＝CE＝ AB＝3
∵OC≤OE+EC，
∴当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为6；
所以③正确；
④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的 ，
则： ×2π 3＝ π，
所以④正确；
综上所述，本题正确的有：①③④；
故答案为：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB，AC的长， 根据对称的性质，由C、O两点关于AB对称，即可得出AB是OC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出OA＝AC ，所以①正确；②当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直；
③取AB的中点为E，连接OE、CE，当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为6；
④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的 ，根据弧长公式进行计算即可．
8．（2023九下·义乌月考）如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，连接交于点，连接.
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是.
此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，连接.证明，利用相似三角形的性质可得PN=2，PM=4，利用勾股定理求出BP=，由垂直的定义可得，可得点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可.
二、填空题
9．（2023九下·松原月考）图①是由若干个相同的图形（图②）组成的美丽图案的一部分，在图②中，图形的相关数据如下：半径，，则图②中图形（实线部分）的周长为 cm（结果保留）.
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图1得的长+的长=的长，
∵半径OA=2cm，∠AOB=120°
∴图2的周长为：.
故答案为：
【分析】由图1得的长+的长=的长，进而运用弧长的计算公式即可求解。
10．（2023九下·淳安期中）如图，菱形中，分别以点B，D为圆心，以长为半径画弧，分别交边于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠ACD=30°，AB=BC=CD=AD=4，
∴BO=AB=2，
∴S阴影=2S扇形BOE=2×=.
故答案为：.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，∠BAC=∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BO的值，然后根据S阴影=2S扇形BOE结合扇形的面积公式进行计算.
11．（2023九下·靖江期中）如图，是的直径，弦，垂足为点M，连接，如果，，那么图中阴影部分的面积是 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积.
故答案为：.
【分析】连接OD、BC，由垂径定理可得DM=CM，∠COB=∠BOD，根据平行线的性质可得∠COB=∠OBD，进而推出OD=DB，得到△BOD是等边三角形，则∠BOD=60°，由三角形的面积公式可得S△OBC=S△OBD，S△OBD=S△CBD，则S△OBC=S△CBD，进而推出S阴影=S扇形COB，然后利用扇形的面积公式进行计算.
12．（2022九下·长春月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，连接DE、DF．若AB=2，∠A=60°，则阴影部分的面积为
【答案】
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC= CD= DA，∠C=∠A=60°，
∴△ABD，△CBD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵BE =AB= 1，BD = AB = 2，
∴DE =，
∴△DEB的面积为：，
同理可得：△DBF的面积为：，
∴四边形DEBF的面积=，
∵ADII BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-60°=120°
∴扇形BEF的面积=，
∴阴影部分的面积=四边形DEBF的面积-扇形BEF的面积=，
故答案为：.
【分析】先求出△ABD，△CBD是等边三角形，再利用三角形和扇形面积公式计算求解即可。
13．（2022九下·江津期中）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，若AD=4，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝∠BAD=30°，
∴BE∥AD，
∵AD为半圆O的直径，AD＝4，
∴∠DBA=90°，AB＝ADcos30°＝2，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝BC=3，
∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为=S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【分析】先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，由图形可知△BOE和△ABE同底等高，即△BOE和△ABE面积相等，最后利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可．
三、解答题
14．（切线长定理）如图，PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB=60°，⊙O半径为3，求阴影部分面积．
【答案】解：连接PO与AO，
∵PA、PB切⊙O于A、B，若∠APB=60°，
∴OA⊥PA，∠APO= ∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵⊙O半径为3，
∴OA=3，PO=6，
∴PA= =3 ，
∴S△PAO= AO PA= ×3×3 = ，
S扇形AOC= = π，
∴S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形AOC）=2×（ ﹣ π）=9 ﹣3π．
∴阴影部分面积为：9 ﹣3π．
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】首先根据切线长定理，可求得∠AOP的度数与OA⊥PA，又由直角三角形的性质，可求得PA的长，然后求得△PAO与扇形AOC的面积，由S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形AOC）则可求得结果．
15．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.4 简单几何体的表面展开图 同步练习）如图①是某校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示，单位：m)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形；如图②是车棚顶部截面的示意图， 所在圆的圆心为点O，车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)
【答案】解：如图，连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交 于F，由垂径定理知，E是AB的中点，F是 的中点，从而EF是弓形的高.∵AB=4，∴AE= AB=2 m，EF=2 m.设半径为Rm，则OE=(R-2)m.在Rt△AOE中，∴R2=(R-2)2+(2 )2.∴R=4.在Rt△AEO中，∵AO=2OE，∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，∴∠AOB=120°.∴ 的长为=(m).∴覆盖棚顶的帆布的面积为×60=160π(m2).
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理的实际应用；弧长的计算
【解析】【分析】如图，连结OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交 于F，由垂径定理知：E是AB的中点，F是 AB 的中点，从而EF是弓形的高；设半径为Rm，则OE=(R-2)m.在Rt△AOE中，根据勾股定理计算出半径R，再由在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，从而得出∠AOB的度数，根据弧长公式即可求出弧AB的长度，最后得出覆盖棚顶的帆布的面积.
四、综合题
16．（2023九下·江夏月考）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF = 2，BC = ，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R–DF=R–2，OB=R，
，
在Rt△OBD中，
∵ OD2+BD2=OB2，
∴(R–2)2+(2)2=R2，
解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，∠BOC=120°，
∵OB=4，∠BOE=60°，
∴在Rt△OBE中，，
∴S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC
=2××4×-
=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，根据垂径定理可得CD=BD，即OD垂中平分BC，则EC=EB，利用SSS证明△OCE≌△OBE，得到∠OBE=∠OCE=90°，则OB⊥BE，据此证明；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R–2，OB=R，BD=BC=，在Rt△OBD中，由勾股定理可得R的值，然后求出BE的值，接下来根据S阴影=S四边形OBEC-S扇形OBC进行计算.
17．（2023九下·婺城月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点A在直线l上，AD与直线l相交所成的锐角为60°，点P在直线l上，AP=8，过点作EF⊥l，垂足为点E，且与点P重合，EF=6，以EF为直径，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任意一点.
（1）连接，求线段的最大值；
（2）矩形保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点F落在边上时，求半圆O与矩形重合部分的面积S；
（3）在平移过程中，当半圆O与矩形的边相切时，求平移的距离.（参考数据：，结果保留根号）
【答案】（1）解：当M在F处时，最大，
在中，由勾股定理得，
，
∴最大值是10
（2）解：如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作于H，
∴，
∴
，
∵，
∴
（3）解：如图2，
当⊙O与相切时，（图中⊙O′），
在中，，
，
∴，
如图3，
当⊙O与相切时，
∵，
∴，
∵
，
∴；
如图4，
作于H，
∴
，
当⊙O与相切时，
在时，
=，
∴，
∴
，
综上所述：当半圆O与矩形ABCD的边相切时，平移的距离是或或
【知识点】矩形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1） 当M在F处时，AM最大，在Rt△AEF中，利用勾股定理算出AF即可得出；
（2）由三角形的内角和定理得∠AFE=30°，由等边对等角得∠FGO=∠AFE=30°，由三角形内角和定理得∠GOF=120°，由邻补角得∠GOH=60°，作GH⊥EF于H，在Rt△GOH中，由正弦函数的定义可求出GH，然后根据三角形的面积计算公式可算出△GOF的面积，由扇形面积计算公式算出扇形GOF的面积，进而根据S=S扇形GOF-S△GOF即可算出答案；
（3） 分类讨论：①当⊙O与AD相切时，（图中⊙O′），在Rt△AE'O'中，根据正切函数的定义可求出AE'，进而根据EE'=AE-AE'可得答案； ②当⊙O与AB相切时，首先得∠O'AE'=75°，在Rt△AE'O'中，根据正切函数的定义可求出AE'，进而根据EE'=AE-AE'可得答案； ③ 当⊙O与BC相切时， 作BH⊥l于点H，在Rt△ABH中，由余弦函数求出AH，在Rt△BO'G中，由正弦函数求出BO'，进而根据EE'=AH+AE-HE即可算出答案.
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