1.2二次函数的图象与性质第3课时二次函数ya（x-h）?k的图象与性质课件(共31张PPT)2023-2024学年度湘教版数学九年级下册
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| 名称 | 1.2二次函数的图象与性质第3课时二次函数ya（x-h）?k的图象与性质课件(共31张PPT)2023-2024学年度湘教版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 580.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-29 15:31:42 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
第2课时
二次函数y=a(x-h) +k
的图象和性质
九年级下
湘教版
1.掌握二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质并会应用.
2.理解二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2之间的联系.
3.理解二次函数y=a（x-h）2+k与y=a（x-h）2之间的联系.
重点
难点
学习目标
难点
抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=ax2 (a≠0)之间有什么关系？
上加，下减，
且只变常数项
y=ax2
向 平移 个单位
y=ax2 +k
向 平移 个单位
y=ax2 - k
抛物线y=ax2 (a≠0)在上下平移的时候图象上所有点的横坐标有什么特点？
横坐标不变
上
k
下
k
新课引入
自变量左加右减
y=ax2
向 平移 个单位
y=a(x +h)2
向 平移 个单位
y=a(x +h)2
二次函数y=ax2(a≠0)在左右平移的时候图象上所有点的纵坐标有什么特点？
纵坐标不变
左
h
右
h
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=ax2(a≠0) 的图象的有什么关系？
新课引入
思考
我们知道 y=ax2(a≠0)可以通过_________得到y=ax2 + k(a≠0)，
那么y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k之间是否也存在着类似的上下平移关系呢？
上下平移
例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：列表：
7.5
5
3.5
3
3.5
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
x
新知学习
5
7.5
开口方向向上；
对称轴是直线x=1;
顶点坐标是(1,3).
x＜1时，y随x的增大而减小；
x＞、1时，y随x的增大而增大.
直线x=1
描点、连线，用平滑的曲线画出函数的图象
问题1：观察此二次函数，说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性.
1
2
3
4
5
x
2
3
4
5
6
7
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
问题2：观察二次函数 与 的图象有何关系？
解：由图象可得 的图象可以由 的图象先向上平移3个单位长度得到.
归纳
一般地，抛物线y=a（x-h）2+k与y=a（x-h）2形状相同，位置不同.把抛物线y=a（x-h）2向上（下）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k.平移的方向、距离要根据k的值来决定.
例2 画二次函数 的图象．
解 对称轴是直线 x = -1，顶点坐标是（-1，-3）.
列表：自变量 x 从顶点的横坐标 -1 开始取值.
x -1 0 1 2 3 …
-3 -2.5 -1 1.5 5 …
描点和连线：
画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分． 这样就得到了
的图象.
例3 已知某抛物线的顶点坐标为（-2， 1）， 且与 y 轴相交于点（0， 4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.
解 由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为 y ＝ a ( x + 2 )2 + 1 .
由函数图象过点（0，4）， 可得
4 ＝ a( 0 + 2 )2 + 1 ，
解得
因此， 所求的二次函数的表达式为
二次函数y=a(x-h)2+k (a≠0)的性质
归纳
二次函数解析式 a的 符号 开口 方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y=a(x-h)2+k a＞0 向上 直线x=h (h，k) 当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小 当x＝h时，
y最小值＝k
y=a(x-h)2+k a＜0 向下 直线x=h (h，k) 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 当x＝h时，
y最大值＝k
画 (a≠0)的图象的步骤如下：
第一步 写出对称轴和顶点坐标， 并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步 列表（自变量 x 从顶点的横坐标开始取值）， 描点和连线， 画出图象在对称轴右边的部分；
第三步 利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）．
归纳
思考
我们知道 y=ax2 (a≠0)可以通过 _________ 得到y=ax2 + k (a≠0)，通过___________得到y=a（x-h）2 (a≠0);把抛物线y=a（x-h）2通过____________ ，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k (a≠0).
那么y=ax2 (a≠0)和y=a（x-h）2+k (a≠0)之间是否也存在着类似的关系呢？
上(下)平移
左(右)平移
上（下）平移
例4 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：列表：
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
x
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
描点、连线，用平滑的曲线画出函数的图象
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1).
x＜-1时，y随x的增大而增大；x＞-1时，y随x的增大而减小.
思考
观察二次函数 与 的图象有何关系？
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
解：由图象可得 的图象可以由 的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度得到.（或者先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到）
二次函数y=ax2 (a≠0)与y=a(x-h)2+k (a≠0)的关系
互相平移得到
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
简记为：
上下平移，（k）上加下减；
左右平移，（h）左加右减.
二次项系数a不变.
归纳
左右平移
上下平移
例5 已知抛物线y=-3(x﹣1)2+1
(1)求抛物线顶点坐标和对称轴.
顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x=1
(2)当自变量的取值范围是多少时，y随x的增大而增大？
当x<1时，y随x的增大而增大.
(3)抛物线y=-3(x﹣1)2+1是由抛物线y=-3x2怎样移动得到的？
先向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位长度.
(4)当A(-1，a),B(1,b),C(2,c)在抛物线y=-3(x﹣1)2+1上时，求a,b,c的大小关系.
解法1 代数法：代数法：将 -1，1，2分别代入函数解析式，求出a=-10，b=1 ，c= -2 ,进而比较大小.
解法2 对称性：
∵函数对称轴为x =1，且开口向下
∴b是函数的最大值，且A(-1，a)关于直线x =1的对称点为(3，a)
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，即a < c
∴b > c > a
(4)当A(-1，a),B(1,b),C(2,c)在抛物线y=-3(x﹣1)2+1上时，求a,b,c的大小关系.
解法3 数形结合法：
x
1
y
O
2
3
a
b
c
-1
因为y=-3(x﹣1)2+1，所以a=-3<0 ,所以图象开口朝下，由三点的横坐标可以知道三点与对称轴的距离，明确三点的大致位置，从而画出草图：
例6 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高, 高度为3m, 水柱落地处离池中心3m,水管应多长
对称轴 x = 1
顶点纵坐标为3
顶点坐标为（1,3）
与x轴交点坐标为（3,0）
O
A
3
B
C
(3,0)
(1,3)
y
x
1
解:如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，
因此，可设这段抛物线对应的函数是
y=a(x-1) +3（0≤x≤3）
由这段抛物线经过点(3,0)可得
0=a(3-1) +3，
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
方法总结
二次函数实际应用题做题方法：
1.建立坐标系
2.确定点坐标（题干信息）
3.设解析式
4.代入求值
随堂练习
1．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
2.说出下面函数的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y=2(x+3)2+5； （2）y=-3(x-1)2-2；
（3）y=4(x-3)2+7； （4）y=-5(x+2)2-6.
开口向上
对称轴为x=-3
顶点坐标为（-3，5）
开口向下
对称轴为x=1
顶点坐标为（1，-2）
开口向上
对称轴为x=3
顶点坐标为（3，7）
开口向下
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，-6）
3.在二次函数y=(x+1)2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x≤－1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≥1
B
4.如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.
点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.
解:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意
得B（9, 0），C（8, 1.7）.
把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得
， 解得 .
∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
二次函数解析式 a的 符号 开口 方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y=a(x-h)2+k a>0
y=a(x-h)2+k a<0
把抛物线y=a（x-h）2 (a≠0)向上（下）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k (a≠0). 向上
向下
直线 x=h
直线 x=h
( h , k )
( h , k )
当x>h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小
当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
当x=h时，
y最小值=k
当x=h时，
y最大值=k
二次函数y=a(x-h)2+k (a≠0)可由 y=ax2 (a ≠0)平移得到，
平移规律：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.
课堂小结
第2课时
二次函数y=a(x-h) +k
的图象和性质
九年级下
湘教版
1.掌握二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质并会应用.
2.理解二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2之间的联系.
3.理解二次函数y=a（x-h）2+k与y=a（x-h）2之间的联系.
重点
难点
学习目标
难点
抛物线y=ax2+k(a≠0)与抛物线y=ax2 (a≠0)之间有什么关系？
上加，下减，
且只变常数项
y=ax2
向 平移 个单位
y=ax2 +k
向 平移 个单位
y=ax2 - k
抛物线y=ax2 (a≠0)在上下平移的时候图象上所有点的横坐标有什么特点？
横坐标不变
上
k
下
k
新课引入
自变量左加右减
y=ax2
向 平移 个单位
y=a(x +h)2
向 平移 个单位
y=a(x +h)2
二次函数y=ax2(a≠0)在左右平移的时候图象上所有点的纵坐标有什么特点？
纵坐标不变
左
h
右
h
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=ax2(a≠0) 的图象的有什么关系？
新课引入
思考
我们知道 y=ax2(a≠0)可以通过_________得到y=ax2 + k(a≠0)，
那么y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k之间是否也存在着类似的上下平移关系呢？
上下平移
例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：列表：
7.5
5
3.5
3
3.5
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… …
x
新知学习
5
7.5
开口方向向上；
对称轴是直线x=1;
顶点坐标是(1,3).
x＜1时，y随x的增大而减小；
x＞、1时，y随x的增大而增大.
直线x=1
描点、连线，用平滑的曲线画出函数的图象
问题1：观察此二次函数，说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性.
1
2
3
4
5
x
2
3
4
5
6
7
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
问题2：观察二次函数 与 的图象有何关系？
解：由图象可得 的图象可以由 的图象先向上平移3个单位长度得到.
归纳
一般地，抛物线y=a（x-h）2+k与y=a（x-h）2形状相同，位置不同.把抛物线y=a（x-h）2向上（下）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k.平移的方向、距离要根据k的值来决定.
例2 画二次函数 的图象．
解 对称轴是直线 x = -1，顶点坐标是（-1，-3）.
列表：自变量 x 从顶点的横坐标 -1 开始取值.
x -1 0 1 2 3 …
-3 -2.5 -1 1.5 5 …
描点和连线：
画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分． 这样就得到了
的图象.
例3 已知某抛物线的顶点坐标为（-2， 1）， 且与 y 轴相交于点（0， 4），求这个抛物线所表示的二次函数的表达式.
解 由于点（-2，1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为 y ＝ a ( x + 2 )2 + 1 .
由函数图象过点（0，4）， 可得
4 ＝ a( 0 + 2 )2 + 1 ，
解得
因此， 所求的二次函数的表达式为
二次函数y=a(x-h)2+k (a≠0)的性质
归纳
二次函数解析式 a的 符号 开口 方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y=a(x-h)2+k a＞0 向上 直线x=h (h，k) 当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小 当x＝h时，
y最小值＝k
y=a(x-h)2+k a＜0 向下 直线x=h (h，k) 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 当x＝h时，
y最大值＝k
画 (a≠0)的图象的步骤如下：
第一步 写出对称轴和顶点坐标， 并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步 列表（自变量 x 从顶点的横坐标开始取值）， 描点和连线， 画出图象在对称轴右边的部分；
第三步 利用对称性， 画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点）．
归纳
思考
我们知道 y=ax2 (a≠0)可以通过 _________ 得到y=ax2 + k (a≠0)，通过___________得到y=a（x-h）2 (a≠0);把抛物线y=a（x-h）2通过____________ ，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k (a≠0).
那么y=ax2 (a≠0)和y=a（x-h）2+k (a≠0)之间是否也存在着类似的关系呢？
上(下)平移
左(右)平移
上（下）平移
例4 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.
解：列表：
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
x
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
描点、连线，用平滑的曲线画出函数的图象
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1).
x＜-1时，y随x的增大而增大；x＞-1时，y随x的增大而减小.
思考
观察二次函数 与 的图象有何关系？
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
解：由图象可得 的图象可以由 的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度得到.（或者先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到）
二次函数y=ax2 (a≠0)与y=a(x-h)2+k (a≠0)的关系
互相平移得到
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
简记为：
上下平移，（k）上加下减；
左右平移，（h）左加右减.
二次项系数a不变.
归纳
左右平移
上下平移
例5 已知抛物线y=-3(x﹣1)2+1
(1)求抛物线顶点坐标和对称轴.
顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x=1
(2)当自变量的取值范围是多少时，y随x的增大而增大？
当x<1时，y随x的增大而增大.
(3)抛物线y=-3(x﹣1)2+1是由抛物线y=-3x2怎样移动得到的？
先向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位长度.
(4)当A(-1，a),B(1,b),C(2,c)在抛物线y=-3(x﹣1)2+1上时，求a,b,c的大小关系.
解法1 代数法：代数法：将 -1，1，2分别代入函数解析式，求出a=-10，b=1 ，c= -2 ,进而比较大小.
解法2 对称性：
∵函数对称轴为x =1，且开口向下
∴b是函数的最大值，且A(-1，a)关于直线x =1的对称点为(3，a)
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，即a < c
∴b > c > a
(4)当A(-1，a),B(1,b),C(2,c)在抛物线y=-3(x﹣1)2+1上时，求a,b,c的大小关系.
解法3 数形结合法：
x
1
y
O
2
3
a
b
c
-1
因为y=-3(x﹣1)2+1，所以a=-3<0 ,所以图象开口朝下，由三点的横坐标可以知道三点与对称轴的距离，明确三点的大致位置，从而画出草图：
例6 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高, 高度为3m, 水柱落地处离池中心3m,水管应多长
对称轴 x = 1
顶点纵坐标为3
顶点坐标为（1,3）
与x轴交点坐标为（3,0）
O
A
3
B
C
(3,0)
(1,3)
y
x
1
解:如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，
因此，可设这段抛物线对应的函数是
y=a(x-1) +3（0≤x≤3）
由这段抛物线经过点(3,0)可得
0=a(3-1) +3，
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
方法总结
二次函数实际应用题做题方法：
1.建立坐标系
2.确定点坐标（题干信息）
3.设解析式
4.代入求值
随堂练习
1．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
2.说出下面函数的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y=2(x+3)2+5； （2）y=-3(x-1)2-2；
（3）y=4(x-3)2+7； （4）y=-5(x+2)2-6.
开口向上
对称轴为x=-3
顶点坐标为（-3，5）
开口向下
对称轴为x=1
顶点坐标为（1，-2）
开口向上
对称轴为x=3
顶点坐标为（3，7）
开口向下
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，-6）
3.在二次函数y=(x+1)2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x≤－1 B．x≥－1 C．x≤1 D．x≥1
B
4.如图所示，已知一个大门呈抛物线型，其地面宽度AB=18m，一个同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆，其顶端恰好定在抛物线形门上C处，请你求出大门的高h的值.
点拔:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式，进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.
解:如图,建立平面直角坐标系,设抛物线解析式为y=ax2+k.由题意
得B（9, 0），C（8, 1.7）.
把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得
， 解得 .
∴y=-0.1x2+8.1,∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
二次函数解析式 a的 符号 开口 方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y=a(x-h)2+k a>0
y=a(x-h)2+k a<0
把抛物线y=a（x-h）2 (a≠0)向上（下）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k (a≠0). 向上
向下
直线 x=h
直线 x=h
( h , k )
( h , k )
当x>h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小
当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
当x=h时，
y最小值=k
当x=h时，
y最大值=k
二次函数y=a(x-h)2+k (a≠0)可由 y=ax2 (a ≠0)平移得到，
平移规律：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.
课堂小结