(共25张PPT)
1.5二次函数的应用
第1课时
抛物线问题、面积问题
九年级下
湘教版
1.会建立二次函数的模型，会把实际问题转化为二次函数问题．
2.利用二次函数图象与性质解决拱桥及运动中的有关问题和图形中最大面积问题．
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
学习目标
难点
重点
新课引入
白娘子初见许仙是在西湖断桥，现在有一座类似的拱桥，它的纵截面是抛物线的一部分，跨度是 4.9 m，当水面宽是 4 m 时，拱顶离水面 2 m．现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
建立函数模型
2.这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
1.你能想出办法来吗？
新知学习
探究
O
O
O
O
3.怎样建立直角坐标系呢？
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系
O
4.从图看出，什么形式的二次函数图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为
O
因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
已知水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 米，
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，由此得出
5.如何确定 a 是多少？
解得
O
A
由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是：
水面宽 3 m 时， 从而
因此拱顶离水面高 1.125 m.
现在你能求出水面宽 3 m时，拱顶离水面高多少吗？
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
总结
例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A 点坐标为( 0，1.25 )，顶点 B 坐标为( 1，2.25 ).
数学化
● B( 1 , 2.25)
(0,1.25)
●
C
●
D
o
A
x
y
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为(2.5，0) ；
同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) .
设抛物线为 y = a( x + h )2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y =－ ( x - 1)2 + 2.25.
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心 4 m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m，如果篮圈中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
解：如图，建立直角坐标系.
则点 A 的坐标是( 1.5，3.05)，
篮球在最大高度时的位置为 B ( 0，3.5).
以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a = －0.2，
k = 3.5，
设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = a(x - 0)2 +k ，
即 y = ax2 + k.而点 A，B 在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为 y =－0.2x2 + 3.5.
当 x = －2.5时，y = 2.25 .
故该运动员出手时的高度为 2.25 m.
2.25a+k = 3.05，
k=3.5，
x
y
O
探究
用长为 8 m 的铝材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积 S (m2) 最大？最大透光面积是多少？(铝材宽度不计)
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.
这里应有 x ＞ 0，
故 0 ＜ x ＜ .
窗框的透光面积为
将上式进行配方，
当 x = 时， S 取最大值 .
这时高为
则当窗框的宽为 m，高为2m时，窗框的透光面积最大，最大透光面积为 m2.
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值;
3. 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是
否在自变量的取值范围内.
总结
1.如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图， 已知悬索桥两端主塔高150 m， 主塔之间的距离为900 m， 试建立适当的直角坐标系， 求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
设二次函数表达式为 y = ax2
A（450,150）
解得
所以
随堂练习
2.在一定条件下, 若物体运动的路程 s(m) 关于时间 t(s) 的函数表达式为 s＝ 5t2＋2t , 则当物体经过的路程是 88 m 时,该物体所用的时间为（ ）
A．2 s B．4 s C．6 s D．8 s
B
3.小唯想将一根 72 cm 长的彩带剪成两段， 分别围成两个正方形， 则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？ 此时的面积和为多少？
解 设一段彩带长为 x cm，则另一段彩带长为 72-x cm
当 x = 36 时，面积和有最小值为 162.
答：当剪的彩带长度都为36cm时两个正方形面积和最小，最小为162cm2.
实际问题
数学模型
转化
回归
(二次函数的图象和性质)
拱桥问题
运动中的抛物线问题
(实物型抛物线问题)
转化的关键
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
课堂小结
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定(共29张PPT)
1.5二次函数的应用
第2课时
利润问题及其他问题
九年级下
湘教版
学习目标
1.掌握如何将实际问题转化为数学问题；
2.进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；
难点
新课引入
商品买卖过程中，作为商家利润最大化是永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获得最大利润呢？
例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
新知学习
你知道这些数量关系吗？
（1）销售额= 售价×销售量；
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；
（3）单件利润=售价-进价.
分析： 调整价格包括涨价和降价两种情况.让我们一起来分析一下吧！
涨价销售
①设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 元，填空：
建立函数关系式：y = (60-40+x)(300-10x),
即：y = -10x2+100x+6000.
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
60-40
300
(60-40+x)
(300-10x)
(60-40+x)(300-10x)
6000
②自变量 x 的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此需要考虑销售量不为负，故300-10x ≥0，且 x ≥ 0，因此自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y = -10x2+100x+6000，
所以当 时，y = -10×52+100×5+6000 = 6250.
即涨价 5 元时，最大利润是 6250 元.
建立函数关系式：y = (60-40-x)(300+20x)，
即：y = -20x2+100x+6000.
降价销售
①设每件降价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 元，填空：
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
降价销售
60-40
300
(60-40-x)
(300+20x)
(60-40-x)(300+20x)
6000
营销规律是价格下降，销量上升，因此需要考虑单件利润不为负，故 20-x ≥ 0，且x ≥ 0，因此自变量的取值范围是0 ≤ x ≤20.
③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
即降价 2.5 元时，最大利润是 6125 元.
∵6125<6250
∴综上可知，定价 57.5 元时，最大利润是 6125 元.
y = -20x2 + 100x + 6000，
②自变量x的取值范围如何确定？
当 时,
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗
归纳
求解最大利润问题的一般步骤
1. 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”;
2. 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
3. 在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
例2 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
制动时车速/km·h-1 0 10 20 30 40 50
制动距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5
有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，试问交通事故发生时车速是多少 是否因超速(该段公路限速为110 km/h)行驶导致了交通事故
分析:要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速.题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，因此，求出制动距离与制动时车速的函数表达式是解答本题的关键.
解：以制动时车速的数据为横坐标(x值).制动距离的数据为纵坐标(y值)，在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，如图.
观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上是在一条抛物线附近，因此，y(制动距离)与x(制动时车速)之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设
y = ax2+bx + c.
在已知数据中任选三组，如取(0,0 )， ( 10,0. 3 )，( 20,1.0) ，分别代
入所设函数的表达式，得
解方程组，得
即所求函数的表达式为y = 0.002x2+0.01x (x ≥0).
把y = 46.5 m代入上式，得
46.5 = 0.002x2+0.01x.
解方程，得
x1= 150 ( km/h)，x2= -155( km/h)(舍去).
答:制动时车速为150km/h( >110km/h) ，即在事故发生时，该车属超速行驶.
归纳
通过图表建立二次函数关系解决实际问题的一般步骤:
1.将对应数据转化为坐标，在坐标系中作图并观察点的整体分布，来确定函数类型；
2.结合图象和已知条件，分析变量间的关系，设出适当的二次函数表达式；
3.用待定系数法求相应的函数关系式；
4.利用二次函数的图象与性质解决实际问题.
随堂练习
1.某种商品每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系：y=ax2+bx－75.其图象如图.
(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点(5,0)、(7,16),
将两点坐标代入解析式即可求得：
y=-x2+20x-75，即y=-(x-10)2+25.
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.
(2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)显然，当y=16时，x1=7、x2=13.
∵y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10，
∴点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）,
结合图象分析得，
销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
13
2.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x/(元/件) 4 5 6
y/件 10 000 9 500 9 000
(1)求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
解:(1)设y与x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0),代入
，解得 .
∴y＝-500x+12 000；
(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
(2)由题意得 ,解得3≤x≤12.
设利润为w元，根据题意得，
w＝(x-3)y＝(x-3)(-500x+12 000)＝-500x2+13 500x-36 000
＝-500(x-13.5)2+55 125，
∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大.
∵3≤x≤12，
∴当x＝12时，w取最大值-500×(12-13.5)2+55 125＝54 000. 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元，售价为12元.
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
思路点拨：每件捐赠m元，也就是每件的利润少m元
∵﹣500＜0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大.
∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3.
∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．
(3)根据题意得，w＝(x-3-m)(-500x+12 000)
＝-500x2+(13 500+500m)x-36 000-12 000m，
所以对称轴为 .
x(米) 0 2 3 4 5 6
y(米) 0.3 2.7 3.3 3.5 3.3 2.7
3.如图，已知足球球门高2.44米．在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处击球，击球点A距离地面0.3米．在足球运行时，球的运动路线是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为x(米)，足球与地面的高度为y
(米)，得到如下数据：
(1)根据数据，球射出后________米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线的解析式；
4
分析：设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意可知，c＝0.3，
将(2,2.7)，(3,3.3)代入y＝ax2＋bx＋0.3，
得解得
∴该抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋1.6x＋0.3；
(2)如图，当击球员第二次击球时，后退1米到点A′，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，守门员跳起后手距离地面的最大距离为2.3米，则守门员是否可以接到球？
解：守门员可以接到球．
由(1)得y＝－0.2x2＋1.6x＋0.3＝－0.2(x－4)2＋3.5，当击球员后退1米到点A′时，抛物线的解析式为
y＝－0.2(x－3)2＋3.5，
当x＝6时，y＝－0.2(6－3)2＋3.5＝1.7米＜2.3米，∴守门员可以接到球．
利
润
问
题
建立函数关系式
确定最大利润
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取
值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
课堂小结
通过图表建立
二次函数关系
解决实际问题
解题
步骤
利用二次函数的图象
与性质解决实际问题
用待定系数法求
出二次函数表达式
结合图表设出
二次函数表达式
