2023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.1 勾股定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·渠县月考）直角三角形的最长边的长为13，一条直角边长为5， 另一条直角边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
2．（2023八上·期中）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023八上·砀山月考）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．25
4．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
5．（2023八下·长沙期中） 如图，是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023八上·织金期中）在Rt中，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·织金期中）如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：），可得两圆孔中心和的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·长沙月考）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
9．（2020八下·沈阳月考）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为 .
10．（2023八上·杭州期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC的长为 ．
11．（2023八上·长春期中）如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3．BC⊥AB．BC=1．以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为
12．（2023八上·杭州月考）在△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是 ．
13．（2023·营口）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则 ．
三、解答题
14．（2023八上·吉安期中）已知，如图，Rt中，，，，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足，并作腰上的高AE．
（1）求证：AB=AE；
（2）求等腰三角形的腰长CD．
15．（2023八上·吉安期中）在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升旗仪式．看着着再升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．如图2，AD为旗杆AE上用来固定国旗的绳子，点D距地面的高度．将绳子AD拉至AB的位置，测得点到AE的距离，到地面的垂直高度，求旗杆AE的高度．
图1 图2
四、综合题
16．（2021八上·双阳期末）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
17．（2013·宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．
（1）证明△AMF是等腰三角形；
（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；
（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：另一条直角边长为.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理直接计算即可.
2．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理，得斜边的长为，
由圆的性质可知，点A到-1的距离为，
故点A表示的数为，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆的性质可得点A到-1的距离为斜边的长，再写出点A表示的数即可．
3．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
∵AB2=AC2+BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=50，
∴S阴影=×50=25．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得DB为∠ABC的角平分线，
∵是等边三角形，边长为2，
∴CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，
∴，
∴CD=1，
由勾股定理得，
故答案为：B
【分析】先根据作图痕迹即可得到DB为∠ABC的角平分线，进而根据等边三角形的性质结合题意即可得到CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，从而运用角平分线的性质结合含30°角的直角三角形的性质即可得到CD=1，最后运用勾股定理即可求解。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出图形并过点C作CD⊥AB，如图，
在Rt中，，
故答案为：A.
【分析】先根据题意画出图形，利用勾股定理求出AB的长，再利用等面积法即可求出CD的长度.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图可得：AC=120-60=120mm，BC=140-60=80mm，
在Rt△ACB中，
故答案为：D.
【分析】直接利用勾股定理可得进而求解.
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，即PA平分∠BAC ，故①正确；
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
故正确的为①②③.
故答案为：A.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可判断①；根据勾股定理即可推出AR＝AS，据此判断②；根据等腰三角形性质推出∠QAP＝∠QPA，推出∠QPA＝∠BAP，根据平行线判定内错角相等，两直线平行，推出QP∥AB，据此判断③；无法判断PB＝PC故△BRP≌△QSP错误，据此判断④.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵S△ABC＝3×3﹣ ×1×2﹣ ×2×3﹣ ×1×3＝ ，AB＝ ，
∴点C到AB边的距离＝ .
故答案为： .
【分析】利用分割图形求面积法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出线段AB的长，
再利用三角形的面积公式可求出点C到AB边的距离.
10．【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5，
由勾股定理可得，BC=
故答案为：12.
【分析】根据勾股定理即可求得BC的长.
11．【答案】+1
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵数轴上点A，B对应的实数分别为1，3
∴ AB=3-1=2
∵ BC⊥AB，BC=1
∴ AC=
∵以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴正半轴于点P
∴ AP=AC=
∴ 点P对应的数为+1
故答案为：+1.
【分析】本题考查勾股定理、数轴上的数。根据A，B两点对应的数可知AB=2，结合 BC⊥AB，BC=1，可得AC=，根据化弧，可得AP=，则P点表示的数可知。
12．【答案】126或66
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：分类讨论：①当∠B是锐角时，如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，
∴，
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，
∴，
∴BC=BD+CD=21，
∴S△ABC=BC×AD=×21×12=126；
②当∠B是钝角时，如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，
∴，
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，
∴，
∴BC=CD-BD=11，
∴S△ABC=BC×AD=×11×12=66，
综上，△ABC的面积为126或66.
故答案为：126或66.
【分析】分类讨论：①当∠B是锐角时，如图，过点A作AD⊥BC于点D，②当∠B是钝角时，如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，分别在Rt△ABD中与Rt△ACD中，利用勾股定理算出CD与BD的长，然后由线段的和差算出BC的长，最后根据三角形的面积公式分别算出△ABC的面积即可.
13．【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线.
∵CD=6，
∴DE=CE=3.
∵CA=5，
∴AE==4.
故答案为：4.
【分析】由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线，则DE=CE=CD=3，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理计算即可.
14．【答案】解：（1）∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，于是∠DCA＝∠ACB．又∠AEC＝∠B＝90°，AC＝AC，∴△ACE≌△ACB(AAS)，∴AB＝AE；（2）由（1）可知AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，设DC＝x，则DA＝x，DE＝x－4，由勾股定理，即，解得：．
（1）解：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，于是∠DCA＝∠ACB．
又∠AEC＝∠B＝90°，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACB(AAS)，∴AB＝AE；
（2）由（1）可知AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，
设DC＝x，则DA＝x，DE＝x－4，
由勾股定理，即，
解得：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质求解。由平行线的性质得，由等腰三角形的性质得，可证，再根据证明可得结论；
（2）根据勾股定理建立方程求解。由（1）得：，，设，在中由勾股定理得出方程求解．
15．【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴
设，则，，
由题意可得：，
在中，，
即，
解得：，即，
∴旗杆的高度为：
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AD=x，则AC=x-1，根据勾股定理建立方程求解。
16．【答案】（1）证明：是等腰直角三角板，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
又
，
，
，即勾股定理得证．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
17．【答案】（1）证明：如图1，∵EF∥AD，
∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．
∵△GFE与△BFE关于EF对称，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE=∠BFE，
∴∠A=∠AMF，
∴△AMF是等腰三角形
（2）解：如图1，作DQ⊥AB于点Q，
∴∠AQD=∠DQB=90°．
∵AB∥DC，
∴∠CDQ=90°．
∵∠B=90°，
∴四边形CDQB是矩形，
∴CD=QB=2，QD=CB=6，
∴AQ=10﹣2=8．
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD= =10，
∴tan∠A= ，
∴tan∠EFB= =
如图3，∵EB=x，
∴FB= x，CE=6﹣x，
∴AF=MF=10﹣ x，
∴GM= ，
∴GD=2x﹣ ，
∴DE= ﹣x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（ ﹣x）2﹣（6﹣x）2=4，
解得：x= ，
∴当EG过点D时x= ；
（3）解：当点G在梯形ABCD内部或边AD上时，
y= x x= x2，
当点G在边AD上时，GM= =0，求得x= ，
此时0＜x≤ ，
则当x= 时，y最大值为 ．
当点G在梯形ABCD外时，
∵△GMN∽△GFE，
∴ ，
即 ，由（2）知，x≤ ，
y=﹣2x2+20x﹣ =﹣2（x﹣5）2+ （ ＜x≤ ），
当x=5时，y最大值为 ，
由于 ＞ ，故当x=5时，y最大值为
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由条件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE与△BFE关于EF对称可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，从而得出结论；（2）当EG过点D时在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论当点G不在梯形外时和点G在梯形之外两种情况求出x的值就可以求出y与x之间的函数关系式，在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值，从而求出结论；
1 / 12023-2024学年人教版(吉林地区)初中数学八年级下册 17.1 勾股定理同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023八上·渠县月考）直角三角形的最长边的长为13，一条直角边长为5， 另一条直角边长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：另一条直角边长为.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理直接计算即可.
2．（2023八上·期中）如图，数轴上点A所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理，得斜边的长为，
由圆的性质可知，点A到-1的距离为，
故点A表示的数为，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆的性质可得点A到-1的距离为斜边的长，再写出点A表示的数即可．
3．（2023八上·砀山月考）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．25
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
∵AB2=AC2+BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=50，
∴S阴影=×50=25．
故答案为：D．
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，据此求解．
4．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
5．（2023八下·长沙期中） 如图，是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得DB为∠ABC的角平分线，
∵是等边三角形，边长为2，
∴CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，
∴，
∴CD=1，
由勾股定理得，
故答案为：B
【分析】先根据作图痕迹即可得到DB为∠ABC的角平分线，进而根据等边三角形的性质结合题意即可得到CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，从而运用角平分线的性质结合含30°角的直角三角形的性质即可得到CD=1，最后运用勾股定理即可求解。
6．（2023八上·织金期中）在Rt中，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出图形并过点C作CD⊥AB，如图，
在Rt中，，
故答案为：A.
【分析】先根据题意画出图形，利用勾股定理求出AB的长，再利用等面积法即可求出CD的长度.
7．（2023八上·织金期中）如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：），可得两圆孔中心和的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由图可得：AC=120-60=120mm，BC=140-60=80mm，
在Rt△ACB中，
故答案为：D.
【分析】直接利用勾股定理可得进而求解.
8．（2022八上·长沙月考）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，即PA平分∠BAC ，故①正确；
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正确；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
故正确的为①②③.
故答案为：A.
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可判断①；根据勾股定理即可推出AR＝AS，据此判断②；根据等腰三角形性质推出∠QAP＝∠QPA，推出∠QPA＝∠BAP，根据平行线判定内错角相等，两直线平行，推出QP∥AB，据此判断③；无法判断PB＝PC故△BRP≌△QSP错误，据此判断④.
二、填空题
9．（2020八下·沈阳月考）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵S△ABC＝3×3﹣ ×1×2﹣ ×2×3﹣ ×1×3＝ ，AB＝ ，
∴点C到AB边的距离＝ .
故答案为： .
【分析】利用分割图形求面积法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出线段AB的长，
再利用三角形的面积公式可求出点C到AB边的距离.
10．（2023八上·杭州期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC的长为 ．
【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5，
由勾股定理可得，BC=
故答案为：12.
【分析】根据勾股定理即可求得BC的长.
11．（2023八上·长春期中）如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为1，3．BC⊥AB．BC=1．以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴正半轴于点P，则点P对应的实数为
【答案】+1
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵数轴上点A，B对应的实数分别为1，3
∴ AB=3-1=2
∵ BC⊥AB，BC=1
∴ AC=
∵以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴正半轴于点P
∴ AP=AC=
∴ 点P对应的数为+1
故答案为：+1.
【分析】本题考查勾股定理、数轴上的数。根据A，B两点对应的数可知AB=2，结合 BC⊥AB，BC=1，可得AC=，根据化弧，可得AP=，则P点表示的数可知。
12．（2023八上·杭州月考）在△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是 ．
【答案】126或66
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：分类讨论：①当∠B是锐角时，如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，
∴，
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，
∴，
∴BC=BD+CD=21，
∴S△ABC=BC×AD=×21×12=126；
②当∠B是钝角时，如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，AB=13，AD=12，
∴，
在Rt△ACD中，AC=20，AD=12，
∴，
∴BC=CD-BD=11，
∴S△ABC=BC×AD=×11×12=66，
综上，△ABC的面积为126或66.
故答案为：126或66.
【分析】分类讨论：①当∠B是锐角时，如图，过点A作AD⊥BC于点D，②当∠B是钝角时，如图，过点A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，分别在Rt△ABD中与Rt△ACD中，利用勾股定理算出CD与BD的长，然后由线段的和差算出BC的长，最后根据三角形的面积公式分别算出△ABC的面积即可.
13．（2023·营口）如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线.
∵CD=6，
∴DE=CE=3.
∵CA=5，
∴AE==4.
故答案为：4.
【分析】由作图可得AD=AC，AE是CD的垂直平分线，则DE=CE=CD=3，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理计算即可.
三、解答题
14．（2023八上·吉安期中）已知，如图，Rt中，，，，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，腰AD刚好满足，并作腰上的高AE．
（1）求证：AB=AE；
（2）求等腰三角形的腰长CD．
【答案】解：（1）∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，于是∠DCA＝∠ACB．又∠AEC＝∠B＝90°，AC＝AC，∴△ACE≌△ACB(AAS)，∴AB＝AE；（2）由（1）可知AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，设DC＝x，则DA＝x，DE＝x－4，由勾股定理，即，解得：．
（1）解：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，于是∠DCA＝∠ACB．
又∠AEC＝∠B＝90°，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACB(AAS)，∴AB＝AE；
（2）由（1）可知AE＝AB＝6，CE＝CB＝4，
设DC＝x，则DA＝x，DE＝x－4，
由勾股定理，即，
解得：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质求解。由平行线的性质得，由等腰三角形的性质得，可证，再根据证明可得结论；
（2）根据勾股定理建立方程求解。由（1）得：，，设，在中由勾股定理得出方程求解．
15．（2023八上·吉安期中）在第十四届全国人大一次会议召开之际，某中学举行了庄严的升旗仪式．看着着再升起的五星红旗（如图1），小乐想用刚学过的知识计算旗杆的高度．如图2，AD为旗杆AE上用来固定国旗的绳子，点D距地面的高度．将绳子AD拉至AB的位置，测得点到AE的距离，到地面的垂直高度，求旗杆AE的高度．
图1 图2
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴
设，则，，
由题意可得：，
在中，，
即，
解得：，即，
∴旗杆的高度为：
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AD=x，则AC=x-1，根据勾股定理建立方程求解。
四、综合题
16．（2021八上·双阳期末）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．
（1）求证：CD＝AC + ED．
（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】（1）证明：是等腰直角三角板，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
又
，
，
，即勾股定理得证．
【知识点】勾股定理的证明；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
17．（2013·宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．
（1）证明△AMF是等腰三角形；
（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；
（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．
【答案】（1）证明：如图1，∵EF∥AD，
∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．
∵△GFE与△BFE关于EF对称，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE=∠BFE，
∴∠A=∠AMF，
∴△AMF是等腰三角形
（2）解：如图1，作DQ⊥AB于点Q，
∴∠AQD=∠DQB=90°．
∵AB∥DC，
∴∠CDQ=90°．
∵∠B=90°，
∴四边形CDQB是矩形，
∴CD=QB=2，QD=CB=6，
∴AQ=10﹣2=8．
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD= =10，
∴tan∠A= ，
∴tan∠EFB= =
如图3，∵EB=x，
∴FB= x，CE=6﹣x，
∴AF=MF=10﹣ x，
∴GM= ，
∴GD=2x﹣ ，
∴DE= ﹣x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（ ﹣x）2﹣（6﹣x）2=4，
解得：x= ，
∴当EG过点D时x= ；
（3）解：当点G在梯形ABCD内部或边AD上时，
y= x x= x2，
当点G在边AD上时，GM= =0，求得x= ，
此时0＜x≤ ，
则当x= 时，y最大值为 ．
当点G在梯形ABCD外时，
∵△GMN∽△GFE，
∴ ，
即 ，由（2）知，x≤ ，
y=﹣2x2+20x﹣ =﹣2（x﹣5）2+ （ ＜x≤ ），
当x=5时，y最大值为 ，
由于 ＞ ，故当x=5时，y最大值为
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由条件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE与△BFE关于EF对称可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，从而得出结论；（2）当EG过点D时在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论当点G不在梯形外时和点G在梯形之外两种情况求出x的值就可以求出y与x之间的函数关系式，在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值，从而求出结论；
1 / 1
