浙江省湖州市2023-2024学年高三上学期期末调研测试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省湖州市2023-2024学年高三上学期期末调研测试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 706.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-27 23:05:15 | ||
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文档简介
湖州市2023学年第一学期期末调研测试卷
高三数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上.
2.作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效，
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A.8 B.6 C.-6 D.-8
3.已知向量，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
4.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数 第50百分位数都分别对应相等，则（ ）
A.60 B.65 C.70 D.71
5.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6.记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.在正四棱锥中，底面的边长为为正三角形，点分别在上，且，若过点的截面交于点，则四棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列结论中正确的是（ ）
A.在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，则的值不变
B.已知随机变量服从正态分布，若，则
C.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9
D.分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，则事件是相互独立事件
10.已知正数满足，下列结论中正确的是（ ）
A.的最小值为 B.的最小值为2
C.的最小值为 D.的最大值为1
11.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一 三分之一 四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ）
A.为的一条对称轴 B.的周期为
C.的最大值为 D.关于点中心对称
12.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则下列结论中正确的是（ ）
A.的准线方程为 B.直线与相切
C.为定值3 D.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知的展开式中含项的系数为8，则实数__________.
14.已知圆的圆心在直线上且与轴相切.请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程：__________.
15.已知一个圆台的上 下底面半径为，若球与该圆台的上 下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则__________.
16.已知双曲线的左右顶点分别为，点满足，点为双曲线右支上任意一点（异于点），以为直径的圆交直线于点，直线与直线交于点.若点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明 证明过程及验算步骤.
17.（本题满分10分）记的内角的对边分别是，已知，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
18.（本题满分12分）已知数列的前项和为，数列为等差数列，且满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和.
19.（本题满分12分）如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.
（1）证明：直线平面；
（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
20.（本题满分12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会 2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运 送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立 随机地从这名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.
（1）已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
（2）当取到最大值时，求的值.
21.（本题满分12分）已知椭圆过点，且离心率为.过点的直线交于两点（异于点）.直线分别交直线于两点.
（1）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（2）求面积的最小值.
22.（本题满分12分）已知函数.
（1）是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
（2）若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）
湖州市2023学年第一学期高三期末教学测试数学
参考答案
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A D B C D A
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
题号 9 10 11 12
答案 BD AC BCD ABD
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.3
14.（答案不唯一，，任意实数均正确.）
15.
16.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明 证明过程及验算步骤.
17.解：（1）
由正弦定理可得：，
，
由余弦定理：
化简得：
所以.
（2）由正弦定理：，
所以
则.
18.解：（1）令，则，得，
令，则，又，所以，
即.所以，
由得，.两式相减得，
即，
且，所以是首项为-2，公比为2的等比数列，
所以，因此
（2）解：由可得
.
累加可得，
，
而
，
因此
19.解：（1）法一：过点作的垂线，交于点，
则.连接，则，且由，
所以，又因为，
，所以，平面
且平面
所以平面平面，
又因为，
所以平面
（1）法二：如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系.
.
.
设平面的法向量为，
则由，解得.
因为，所以
解得.
所以，且平面，所以平面
（2）设平面的法向量为
则由，解得.
所以，
解得.
20.解：（1）记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件.
.
解得
（2），
记.由
解得，又，
所以时取最大值.
21.解：（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
设，直线的斜率分别为，
法一：设直线为，与椭圆联立，
，
，
代入可得，所以直线与的斜率之积为定值.
法二：直线的方程为，又点在直线上，
得.由，则，
所以.
（2）设，则，又点到直线的距离是
由解得，同理.所以，
故，设，则，由题意得，
化简得，解得或，故，
故等号成立当仅当，或者.
所以面积的最小值为
22.解：（1）因为，则的定义域为，
进一步化简得：
令，则在上单调递增，
且，所以时，时，
要使得单调递增，则在上恒成立
当时，恒成立
当时，，当时，，不合题意
当时，，当时，，不合题意
综上：.
（2）由（1）可得且，极值点为与1，
所以
令
当时，单调递增
当时，单调递减，
所以，即成立.
高三数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上.
2.作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效，
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A.8 B.6 C.-6 D.-8
3.已知向量，则在上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
4.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数 第50百分位数都分别对应相等，则（ ）
A.60 B.65 C.70 D.71
5.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
6.记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.在正四棱锥中，底面的边长为为正三角形，点分别在上，且，若过点的截面交于点，则四棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列结论中正确的是（ ）
A.在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，则的值不变
B.已知随机变量服从正态分布，若，则
C.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9
D.分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，则事件是相互独立事件
10.已知正数满足，下列结论中正确的是（ ）
A.的最小值为 B.的最小值为2
C.的最小值为 D.的最大值为1
11.纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一 三分之一 四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ）
A.为的一条对称轴 B.的周期为
C.的最大值为 D.关于点中心对称
12.已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则下列结论中正确的是（ ）
A.的准线方程为 B.直线与相切
C.为定值3 D.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知的展开式中含项的系数为8，则实数__________.
14.已知圆的圆心在直线上且与轴相切.请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程：__________.
15.已知一个圆台的上 下底面半径为，若球与该圆台的上 下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则__________.
16.已知双曲线的左右顶点分别为，点满足，点为双曲线右支上任意一点（异于点），以为直径的圆交直线于点，直线与直线交于点.若点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明 证明过程及验算步骤.
17.（本题满分10分）记的内角的对边分别是，已知，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
18.（本题满分12分）已知数列的前项和为，数列为等差数列，且满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前项和.
19.（本题满分12分）如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足.
（1）证明：直线平面；
（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由.
20.（本题满分12分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会 2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运 送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立 随机地从这名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.
（1）已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
（2）当取到最大值时，求的值.
21.（本题满分12分）已知椭圆过点，且离心率为.过点的直线交于两点（异于点）.直线分别交直线于两点.
（1）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（2）求面积的最小值.
22.（本题满分12分）已知函数.
（1）是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
（2）若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）
湖州市2023学年第一学期高三期末教学测试数学
参考答案
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A D B C D A
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
题号 9 10 11 12
答案 BD AC BCD ABD
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.3
14.（答案不唯一，，任意实数均正确.）
15.
16.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明 证明过程及验算步骤.
17.解：（1）
由正弦定理可得：，
，
由余弦定理：
化简得：
所以.
（2）由正弦定理：，
所以
则.
18.解：（1）令，则，得，
令，则，又，所以，
即.所以，
由得，.两式相减得，
即，
且，所以是首项为-2，公比为2的等比数列，
所以，因此
（2）解：由可得
.
累加可得，
，
而
，
因此
19.解：（1）法一：过点作的垂线，交于点，
则.连接，则，且由，
所以，又因为，
，所以，平面
且平面
所以平面平面，
又因为，
所以平面
（1）法二：如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系.
.
.
设平面的法向量为，
则由，解得.
因为，所以
解得.
所以，且平面，所以平面
（2）设平面的法向量为
则由，解得.
所以，
解得.
20.解：（1）记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件.
.
解得
（2），
记.由
解得，又，
所以时取最大值.
21.解：（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
设，直线的斜率分别为，
法一：设直线为，与椭圆联立，
，
，
代入可得，所以直线与的斜率之积为定值.
法二：直线的方程为，又点在直线上，
得.由，则，
所以.
（2）设，则，又点到直线的距离是
由解得，同理.所以，
故，设，则，由题意得，
化简得，解得或，故，
故等号成立当仅当，或者.
所以面积的最小值为
22.解：（1）因为，则的定义域为，
进一步化简得：
令，则在上单调递增，
且，所以时，时，
要使得单调递增，则在上恒成立
当时，恒成立
当时，，当时，，不合题意
当时，，当时，，不合题意
综上：.
（2）由（1）可得且，极值点为与1，
所以
令
当时，单调递增
当时，单调递减，
所以，即成立.
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