河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题（含解析）

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河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末联考
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知是公比为2的等比数列，若，则（ ）
A.100 B.80 C.50 D.40
3.已知直线与垂直，则（ ）
A.0 B.0或 C. D.0或
4.一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（ ）
A. B. C. D.
5.记数列的前项和为，已知，且，则（ ）
A.6 B.5 C.3 D.1
6.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（ ）
A.6 B.8 C.9 D.10
7.曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为（ ）
A.2 B.1 C. D.
8.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（ ）
注：表示面积.
A.2 B. C.3 D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知数列的前项和，则（ ）
A. B.
C.是等差数列 D.是递增数列
10.已知曲线，则（ ）
A.当时，曲线是椭圆
B.当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线
C.存在实数，使得过点
D.当时，直线总与曲线相交
11.已知圆和圆，则（ ）
A.圆与轴相切
B.两圆公共弦所在直线的方程为
C.有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线
D.两圆的公切线段长为
12.已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（ ）
A.
B.点到直线的距离为
C.存在点，使得平面
D.动点在一条抛物线上运动
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在点处的切线方程为__________.
14.在空间直角坐标系中，向量分别为异面直线的方向向量，若所成角的余弦值为，则__________.
15.已知是双曲线的左 右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为__________.
16.已知数列的通项公式为，其前项和为，不等式对任意的恒成立，则的最小值为__________.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（12分）
如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）
已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且.
（1）求的值；
（2）过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程.
20.（12分）
已知数列的各项都是正数，前项和为，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）求数列的前项和.
21.（12分）
如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为.
（1）求三棱柱的高；
（2）若平面平面为锐角，求二面角的余弦值.
22.（12分）
已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值.
河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末联考
数学·答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.答案A
命题意图本题考查抛物线的准线.
解析因为抛物线的准线方程是，故选A.
2.答案B
命题意图本题考查等比数列的性质.
解析设的公比为，则，所以，所以.
3.答案B
命题意图本题考查直线与直线垂直.
解析若，则有，解得或.
4.答案C
命题意图本题考查导数的概念和计算.
解析由题意知，则，当时，，即瞬时速度为.
5.答案C
命题意图本题考查数列的求和.
解析因为，所以，所以.
6.答案A
命题意图本题考查空间向量的线性运算.
解析，所以
.
7.答案D
命题意图本题考查导数的计算 抛物线的性质.
解析由题可知抛物线方程为，即，则，则该抛物线在各点处的曲率，当时，取最大值.
8.答案C
命题意图本题考查椭圆与直线的位置关系.
解析如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，则.故，解得.又，所以，所以.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.答案AC
命题意图本题考查数列的性质.
解析，故A正确；当时，，当时，，不适合上式，故B错误；从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确；因为，故D错误.
10.答案ABC
命题意图本题考查圆锥曲线的方程与性质.
解析当时，方程表示的曲线是椭圆，故A正确；当时，方程为，其渐近线方程为，故B正确；令，整理得且，此方程有解，故C正确；当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误.
11.答案ACD
命题意图本题考查圆的方程，圆与圆的位置关系.
解析圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.
对于A，显然圆与轴相切，故A正确；
对于，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误；
对于，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确；
对于，因为，所以公切线段长为，故D正确.
12.答案AD
命题意图本题考查空间向量在立体几何中的应用.
解析建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
对于A，易知，所以，所以，所以，故A正确；
对于，易得，则在方向上的投影向量的模为，则点到直线的距离为，故B错误；
对于，易知平面的一个法向量为，而，故错误；
对于D，因为平面平面，所以，点到直线的距离即点到点的距离，所以点的轨迹是以为焦点，所在直线为准线的抛物线的一部分，故正确.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案
命题意图本题考查导数的几何意义.
解析设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为.
14.答案
命题意图本题考查直线的方向向量.
解析设所成的角为.由题意知，解得.
15.答案
命题意图本题考查双曲线与直线的位置关系.
解析设双曲线的半焦距为，则.因为，所以，在中，，所以为等边三角形，所以，根据双曲线定义可得，在Rt中，由勾股定理可得，整理得，所以的离心率为.
16.答案
命题意图本题考查数列的综合性质.
解析由题意可得，当为奇数时，，随着值的增大而减小，所以，当为偶数时，，随着值的增大而增大，所以，所以，又因为函数在上单调递增，所以当，时，，所以，所以的最小值为.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.命题意图本题考查等比数列与等差数列的性质 等差数列求和.
解析（1）设的公比为，
因为成等差数列，所以，
即，解得或1（舍去）.
所以.
（2）由（1）可知的前三项为，
所以，
所以.
所以.
18.命题意图本题考查空间向量在立体几何中的应用.
解析由题可知两两互相垂直，所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系.
（1）易知.
所以，所以，
所以.
（2）因为平面，所以.
由（1）知，又，
所以平面，即是平面的一个法向量.
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.命题意图本题考查直线与圆的位置关系.
解析（1）由题意可知圆的圆心为，半径.
因为，所以，从而，
即，两边平方整理得，
又因为，所以.
（2）由（1）知圆，点在圆上，
又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心，
显然直线的斜率不为0，设其方程为，
点到直线的距离为.
根据三角形的面积公式可得.
所以，解得，
所以直线的方程为或.
20.命题意图本题考查数列的递推关系以及数列求和.
解析（1）在中，令，得，
当时，由，得，
整理得，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知.
所以①，
②
①-②，得，
所以.
21.命题意图本题考查立体几何综合问题以及空间向量的应用.
解析（1）设三棱柱的高为.
因为，
所以.
因为，
所以，即三棱柱的高为.
（2）过点作于点，连接.
因为平面平面，平面平面，所以平面.
由（1）知，又因为为锐角，所以.
在中，，所以.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则得取，
易知平面的一个法向量为.
所以.
所以二面角的余弦值为.
22.命题意图本题考查椭圆的性质 椭圆与直线的位置关系.
解析（1）依题意可得，
由，得，
所以的方程为.
（2）易知不与轴平行，设其方程为，
由得，
由，得.
设，则①，
，即，
所以，
将①代入，整理得，即，解得或（舍去），
所以直线的方程为，即直线过定点.
，
令，则，
，
当，即时，最大，且最大值为.