安徽省部分学校2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（含解析）

安徽省部分学校2023-2024学年高二上学期期末检测
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为
A． B． C． D．
2．已知向量与共线，则
A． B．0 C．2 D．6
3．已知数列的前5项依次为1，，，，，则的一个通项公式为
A． B． C． D．
4．已知双曲线：与：，则
A．与的实轴长相等 B．与的渐近线相同
C．与的焦距相等 D．与的离心率相等
5．在四棱柱中，若，则
A．平面ABCD B．四边形是矩形
C．四边形ABCD是平行四边形 D．四边形ABCD是梯形
6．若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列．令，则数列的前100项和为
A．0 B． C． D．32
7．已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
8．已知椭圆C：（）的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知构成空间的一个基底，则下列说法正确的是
A．，，共面
B．存在不全为零的实数x，y，z，使得
C．若，，则
D．若，则
10．已知直线：及直线：，则下列说法正确的是
A．若，则或 B．存在a，使得
C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限
11．已知数列的前n项和为，若当且仅当时，最小，则的通项公式可以是
A． B． C． D．
12．已知抛物线C：，直线l：与C交于，两点，O为坐标原点，P是直线上任意一点，则
A． B．
C． D．O，A，共线
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若双曲线C的焦点分别为，，且点在C上，则C的实轴长为 ．
14．在四棱柱中，四边形ABCD为平行四边形，若，，均为单位向量，且，则 ．
15．已知公比的等比数列满足，，成等差数列，设的前n项和为，则 ．
16．如图，已知AB、BC是圆E的弦，，P为的中点，且P在弦AB上的射影为Q，则，该定理称为阿基米德折弦定理．在上述定理中，若已知，，点C在直线AB下方，，，则过点B，C，Q的圆的方程为 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（Ⅰ）已知等差数列满足，求的通项公式；
（Ⅱ）已知等比数列的公比，且，求的前n项和．
18．（12分）
已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（Ⅱ）过点P作曲线C的两条切线，求这两条切线的方程．
19．（12分）
已知曲线C：（且）的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B．
（Ⅰ）若，且四边形是矩形，求的值；
（Ⅱ）若P是C上与A，B不重合的点，且直线PA，PB的斜率分别为，，若，求．
20．（12分）
如图，已知四棱柱中，四棱锥-ABCD是正四棱锥，，，E，F分别为AB，BC的中点．
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）若平面经过EF且与平行，求点到平面的距离．
21．（12分）
已知数列的前n项和为，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
22．（12分）
已知抛物线：及抛物线：（），过的焦点F的直线与交于，两点，与交于，两点，O为坐标原点，．
（Ⅰ）求的方程．
（Ⅱ）过的中点M作的准线的垂线，垂足为N．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）判断直线与的公共点个数．
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 A
命题意图 本题考查直线的方程．
解析 直线l的倾斜角为，则l的斜率，所以l的方程为，即．
2．答案 C
命题意图 本题考查空间向量的坐标运算．
解析 因为向量与共线，所以，所以，，故．
3．答案 A
命题意图 本题考查数列的通项公式．
解析 数列的前5项依次为1，，，，，即，，，，，所以的一个通项公式为．
4．答案 C
命题意图 本题考查双曲线的基本性质．
解析 与的焦距都是，只有C正确，其余选项容易判断均错误．
5．答案 D
命题意图 本题考查空间向量的线性运算．
解析 在四棱柱中，，因为四棱柱的侧棱平行且相等，所以，所以，所以四边形ABCD是梯形，不是平行四边形，无法确定是否有平面ABCD，也无法确定是否有．
6．答案 B
命题意图 本题考查数列的递推关系、周期数列求和．
解析 数列的前两项都是奇数，由两奇数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数，得各项依次为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，…，所以数列的前若干项依次为，，1，，，1，…，将，，看作一组，每组3个数的和为，所以数列的前100项的和为．
7．答案 C
命题意图 本题考查圆与圆的位置关系．
解析 圆的标准方程为，圆的标准方程为，存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等，所以，，此时，的半径都是，又，所以，外切．
8．答案 B
命题意图 本题考查椭圆与直线的位置关系．
解析 直线即，该直线过定点，所以点在C上，，即，设，则，所以，因为C的长轴长大于，所以，，所以，解得，所．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案 AD
命题意图 本题考查空间向量的运算性质．
解析 因为，所以，，共面，故A正确；若存在不全为零的实数x，y，z，使得，则，，共面，不能构成基底，故B错误；当时，有，，由题可知不一定有且，故C错误；由，得，所以，故D正确．
10．答案 ACD
命题意图 本题考查直线的方程、直线与直线的位置关系．
解析 ，一定不重合，若，则，解得或，故A正确；若，则，整理得，，此方程无解，故不存在a，使得，故B错误；若，的交点横坐标为，则交点为，代入，得，所以或1，故C正确；若且，则的斜率存在且不为零，在x轴上的截距，所以一定经过第一象限，故D正确．
11．答案 BC
命题意图 本题考查数列求和、数列的性质．
解析 对于A，当时，，，当时，，所以或5时最小，不满足题意；对于B，当时，，，当时，，满足题意；对于C，当时，，当时，，满足题意；对于D，当时，，当时，，最大，不满足题意．故选BC．
12．答案 BCD
命题意图 本题考查抛物线与直线的位置关系．
解析 对于A，直线l过C的焦点，由抛物线定义可得，故A错误；对于B，由抛物线定义可得以AB为直径的圆与C的准线相切，所以准线上的点都在以AB为直径的圆上或圆外，故B正确；对于C，与联立可得（），所以，，，所以，所以∠AOB为钝角，故C正确；对于D，，，所以O，A，D共线，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
命题意图 本题考查双曲线的基本性质．
解析 C的实轴长为．
14．答案
命题意图 本题考查空间向量的应用．
解析 ．
15．答案
命题意图 本题考查等差数列和等比数列的性质．
解析 由，，成等差数列得，即，因为，所以，解得（舍去）或，因为，所以．
16．答案 （标准方程：）
命题意图 本题考查圆的方程．
解析 因为，，所以，因为，所以，AC为E的直径，且．设，则
，解得（舍去）或，设，由，得解得过点B，C，Q的圆，是以CQ为直径的圆，其方程为，即．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查等差数列和等比数列的性质．
解析
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
则，
所以，
解得，，
所以．
（Ⅱ）因为等比数列的公比，且，
所以，，
所以．
18．命题意图 本题考查轨迹方程，直线与圆的位置关系．
解析
（Ⅰ）设，由，得，
即，
整理得，即为C的方程．
方程可化为，所以C表示以为圆心，为半径的圆．
（Ⅱ）易知两切线的斜率均存在，设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，
解得或，
所以两条切线方程为和．
19．命题意图 本题考查椭圆与双曲线的性质．
解析
（Ⅰ）当时，C是椭圆，，
因为四边形是矩形，所以，
，
由椭圆定义得，
所以．
（Ⅱ）设，则，，
设，则，与相减得，
所以，
所以．
所以，C是双曲线，．
20．命题意图 本题考查利用空间向量计算线面角和距离．
解析 如图，连接AC，BD交于点O，连接，则OA，OB，两两互相垂直，
在正四棱锥-ABCD中，因为，所以，
因为，且，所以，．
以点O为坐标原点，直线OA，OB，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标
则，，，，，，，．
（Ⅰ），，．
设平面的法向量为，则，
即'取，得．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅱ），．
设平面的法向量为，
则，即，
取，得．
所以点到平面的距离．
21．命题意图 本题考查数列的递推关系，裂项求和．
解析
（Ⅰ）因为，①
所以，②
②－①得，③
所以，④
③－④得，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得数列是等差数列，在，取，得，
又，所以的公差，
所以，
所以，
所以
．
22．命题意图 本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．
解析
（Ⅰ）由题意得，设，，则，，
设直线的方程为，与联立，得，
所以，．
因为，
所以，
所以，的方程为．
（Ⅱ）（ⅰ）设，则，．
由（Ⅰ）知，，
直线的方程为，与联立，得，
所以，，，
．
由抛物线定义得
．
设，则，，
所以，．
因为．
所以，为定值．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，即
所以直线的方程为，
整理得，
与联立，得，，
所以直线与的公共点个数为0．