13.5 逆命题与逆定理
角平分线
教学目的：角平分线定理及逆命题的应用
重点与难点：角平分线定理及逆命题的应用
教学过程：
回 忆
我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？
如图13.5.4，OC是∠AOB的 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE．
与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用 ( http: / / www.21cnjy.com )逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．
于是就有定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
此定理的逆命题是“到一个角的两边的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离相等的点在这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．
已知： 如图13.5.5，QD⊥OA， QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证： 点Q在∠AOB的平分线上．
分析： 为了证明点Q在∠AOB的平分线上，
可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到∠AOQ＝∠BOQ．
证明：过点O、Q作射线OQ.
∵QD⊥OA，QE⊥OB，
∴∠QDO=∠QEO=90°.
在Rt△QDO和Rt△QEO中，
∵OQ=OQ，QD=QE，
∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴∠DOQ=∠EOQ
∴点Q在∠AOB的平分线上．
于是就有定理：
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明： 三角形三条角平分线交于一点．
从图13.5.6中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．
请你完成证明．
课堂练习：
1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
（第1题）
（第2题）
（第2题）
2． 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证： 点F在∠DAE的平分线上．
课堂小结：总结一下你所学过的知识13.5 逆命题与逆定理
线段垂直平分线
教学目的：线段的垂直平分线定理及逆定理
重点与难点：线段的垂直平分线定理及逆定理的应用
教学过程：
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．我们也可用逻辑推理的方法证明这一结论．
如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足．点P是直线MN上任意一点，连结PA、PB．证明PA＝PB．
已知： MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．
求证： PA＝PB．
分析 图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．
于是就有定理：
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
此定理的逆命题是“到一条线段的两个 ( http: / / www.21cnjy.com )端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？我们也可以通过“证明”来解答这个问题．
已知： 如左图，QA＝QB．
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析： 为了证明点Q在线段AB的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（HL）
∴AC=BC
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
于是就有定理：
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．
从下图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．试试看，现在你会证了吗？
课堂练习
1． 如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PA＝PB．
(第1题)
（第2题）
（第2题）
EMBED Word.Picture.8
（第3题）
2． 如图，已知AE＝CE， BD⊥AC．求证： AB＋CD＝AD＋BC．
3． 如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上．
课堂小结：总结一下你所学过的知识§13.5 逆命题与逆定理
互逆命题与互逆定理
教学目的：1．理解互逆命题与互逆定理
2．正确应用互逆命题与互逆定理
重点与难点：区分互逆命题与互逆定理
教学过程：
我们已经知道，表示判断的语句叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题．
上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的 ( http: / / www.21cnjy.com )条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．
命题“两直线平行，内错角相等”的
条件为____________________________；
结论为_________________________________．
因此它的逆命题为
_______________________________________．
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改 ( http: / / www.21cnjy.com )成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．
练习
1．说出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题：
（1） 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
（2） 等边三角形的每个角都等于60°；
（3） 全等三角形的对应角相等；
（4） 如果a=b，那么a3=b3．
2．举例说明下列命题的逆命题是假命题：
（1） 如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；
（2） 如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
3．在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）？试举出几对．
课堂小结：
总结一下你所学过的知识
