13.2 三角形全等的判定（4）
——角边角
【教学目标】：
1.使学生理解ASA的内容，能运用ASA全等判定法来判定三角形全等进而说明线段或角相等；
2.通过画图、实验、发现、应用的过程教学 ( http: / / www.21cnjy.com )，树立学生知识源于实践用于实践的观念.使学生体会探索发现问题的过程.经历自己探索出AAS的三角形全等判定及其应用.
【重点难点】：
1.难点：三角形全等的判定法ASA和AAS及应用；
2.重点：利用三角形全等的判定法，间接说明角相等或线段相等.
【重点难点】：剪刀、卡纸.
【教学过程】：
一、复习
1.什么叫做全等三角形，如何判定两个三角形全等？
（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.判定两个三角形全等的方法有：SAS）.
2.叙述SAS的内容.
3.已知：如图，，，请问再加上什么条件下，△ABC≌△，并说明理由.
（，根据SAS）.
二、新授
1.引入：请问到本节为止，我们探讨两个三角形满足三个条件的哪几种情况，情况如何呢？
（如果两个三角形有两条边及其夹角分别对应相等 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么这两个三角形就一定全等.如果两个三角形的两边及其一边所对的角对应相等，那么这两个三角形不一定全等.）
还有哪些情况还没有探讨呢？
（如果两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，或两个三角形的三条边对应相等，或两个三角形的三个角对应相等，这两个三角形一定全等吗？）
本节我们探讨两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形是否全等的课题.
2.问题1：如果把已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
（一种情况是两个角及两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边.）
每一种情况下得到的三角形都全等吗？
3.请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组.
（1）共同商定画出任意一条线段AB，与两个角、（）
（2）两位同学各自在硬纸板上画线段的长等于商定的线段AB的长，在的同旁，画等于商定的，画等于商定的，设与相交于，便得△.
（3）用剪刀各自剪出△，将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是否也有同样的结论呢？
同学们各抒己见后，总结：对于已知两个 ( http: / / www.21cnjy.com )角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的．
由此得到另一个判定全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角边角”或简记为(A.S.A.).
4.问题2：试说明ASA全等判定法与相似三角形的判定法有什么类似的.
（两个角对应相等的两个三角形相似，当这两个角的公共边相等时，这两个三角形的形状、大小都相同，即为全等三角形.）
5.思考：如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，
那么这两个三角形是否一定全等？
动手画一画：比如，，，你能画这个三角形吗？
提示：这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为实验中的条件吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
现在两组同学按如果角所对的边为画，另两组同学换两个角和一条线段，试试看，你们得出什么结论？
同学们各抒己见后，总结：对于已知两个角 ( http: / / www.21cnjy.com )和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的．
由此得到另一个判定全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成：“角角边”或简记为(A.A.S.).
6.问题3：你能说说ASA与AAS这两种全等判定法间的关系吗？（AAS判定法可由ASA判定法推导出来，如上图中，因为，，由于，，所以，于是△ABC与△DEF具备ASA全等.）
7.范例
如图，，，试说明△ABC≌△DCB，AB=DC.
解：已知，
又BC是公共边，由（ASA）全等判定法，
可知△ABC≌△DCB
所以AB=DC（全等三角形的对应边相等）
三、巩固练习
四、小结
用采访的形式访问一些同学，本节学到什么知识，对这些知识有什么体会，对本节的知识存在着哪些疑问.13.2 三角形全等的判定（边边边）
【教学目标】
1.使学生理解边边边公理的内容，能运用边边边公理证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；
2.继续培养学生画图、实验，发现新知识的能力.
【重点难点】
1.难点：让学生掌握边边边公理的内容和运用公理的自觉性；
2.重点：灵活运用SSS判定两个三角形是否全等.
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课
请问同学，老师在黑板上画得两个三角形，△ABC与△全等吗？你是如何判定的.
（同学们各抒己见，如：动 ( http: / / www.21cnjy.com )手用纸剪下一个三角形，剪下叠到另一个三角形上，是否完全重合；测量两个三角形的所有边与角，观察是否有三条边对应相等，三个角对应相等.）
上一节课我们已经探讨了两个三角形只 ( http: / / www.21cnjy.com )满足一个或两个边、角对应相等条件时，两个三角形不一定全等.满足三个条件时，两个三角形是否全等呢？现在，我们就一起来探讨研究.
二、实践探索，总结规律
1、问题1：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形会全等吗？
做一做：给你三条线段、、，分别为、、，你能画出这个三角形吗？
先请几位同学说说画图思路后，教师指导，同学们动手画，教师演示并叙述书写出步骤.
步骤：
（1）画一线段AB使它的长度等于c（4.8cm）.
（2）以点A为圆心，以线段b（3cm）的长为半径画圆弧；以点B为圆心，以线段a（4cm）的长为半径画圆弧；两弧交于点C.
（3）连结AC、BC.
△ABC即为所求
把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起，你们会发现什么？
换三条线段，再试试看，是否有同样的结论
请你结合画图、对比，说说你发现了什么？
同学们各抒己见，教师总结：给定三 ( http: / / www.21cnjy.com )条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角形都是全等的.
这样我们就得到判定三角形全等的一种简便的方法：
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”，或简记为（S.S.S.）.
2、问题2：你能用相似三角形的判定法解释这个（SSS）三角形全等的判定法吗？
（我们已经知道，三条边对应成比例的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个三角形相似，而相似比为1时，三条边就分别对应相等了，这两个三角形不但形状相同，而且大小都一样，即为全等三角形.）
3、问题3、你用这个“SSS”三角形全等的判定法解释三角形具有稳定性吗？
（只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了）
4、范例：
例1 如图，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC
求证：∠B=∠D
解：已知 AD＝BC，AB＝DC，
又因为AC是公共边，由（S.S.S.）全等判定法，可知
△ABC≌△CDA
所以，∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）
5、练习：P73 练习1、2
6、试一试：已知一个三角形的三个内角分别为、、，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，你发现了什么？
（所画出的三角形都是相似的，但大小不一定相同）.
三个对应角相等的两个三角形不一定全等.
三、加强练习，巩固知识
1、如图，，，△ABC≌△DCB全等吗？为什么？
2、如图，AD是△ABC的中线，.与相等吗？请说明理由.
四、小结
本节课探讨出可用（SSS）来判定两个三角形全等，并能灵活运用（SSS）来判定三角形全等.
三个角对应相等的两个三角不一定会全等.
五、作业13.2 三角形全等的判定（6）
——斜边直角边
【教学目标】
1.经历探索直角三角形全等条件HL的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；
2.学习事物的特殊、一般关系、发展逻辑思维能力.
【重点难点】
1.重点：让学生掌握直角三角形全等的“HL”判定法；
2.难点：理解直角三角形为内角在构造三角形时特殊性，并能灵活地运用各种全等判定法判定两个直角三角形全等是否全等.
【教学准备】剪刀、卡纸.
【教学过程】
一、复习
如图，△ABC和△都是直角三角形，请你用所学的知识，须加上什么条件直角△ABC和△全等.并说明理由.
[，，（SAS）；
，（ASA）；
，，，（SSS）
，（AAS）]
等，让学生抢答.
二、创设问题情境
问题：舞台背景的形状是两个直角三角形.工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆计划遮住无法测量.
1、你能帮他想个办法吗？
2、如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
[问题1，学生可以回答去量斜边和一 ( http: / / www.21cnjy.com )锐角，或直角边和一个锐角；但对于问题2，学生则难肯定].工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
三、动手实践，探索新知
我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边 ( http: / / www.21cnjy.com )角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等，那么这两个三角形一定全等．如果有“角角角”分别对应相等，那么不能判定这两个三角形全等，这两个三角形可以有不同的大小．如果有“边边角”分别对应相等，那么也不能保证这两个三角形全等．
那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？
如图，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形．
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？
换两条线段，试试看，是否有同样的结论？
步骤：
1． 画一线段AB，使它等于4cm；
2． 画∠MAB＝90°；
3． 以点B为圆心，以5cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；
4． 连结BC．
△ABC即为所求．
如左图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠ACB＝∠A′C′B′＝90°， AB＝A′B′， AC＝A′C′．
由于直角边AC＝A′C′，我们移动其 ( http: / / www.21cnjy.com )中的Rt△ABC，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于线段A′C′的两侧．因为∠ACB＝∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，故∠B′C′B＝∠A′C′B′＋∠A′C′B＝180°，因此点B、C′、B′在同一条直线上．于是在△A′B′B中，由AB＝A′B＝A′B′（已知），得∠B＝∠B′．由“角角边”，便可知这两个三角形全等．于是可得
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H．L．（或斜边直角边）．
例4如右图，已知AC＝BD， ∠C＝∠D＝90°，求证：BC=AD．
证明∵∠C＝∠D＝90°，
∴ △ABC与△BAD都是直角三角形．
在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∵ AB＝BA，
AC＝BD，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．）.
∴BC=AD（全等三角形的对应边相等）
六、巩固练习
P75 练习1、2、3
七、小结
学生谈谈收获、疑惑.总结本节学习直角三角形全等的判定，除了一般三角形全等判定法外，还有“HL”.13.2.3 边角边
【教学目标】
1.使学生掌握SAS的内容，会运用SAS来判定两个三角形全等；
2.通过判定全等三角形的判定的学习，使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系，学习分析事物本质的方法；
3.经历如何总结出全等三角形判定方法，体会如何探讨、实践、总结，培养学生的合作能力.
【重点难点】
1.难点：三角形全等的判定：SAS；
2.重点：对全等三角形的判定的理解和运用.
【教学过程】
一、复习
1.什么叫全等图形？什么叫做全等三角形？
（能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形）.
2.将全等的△ABC与△DEF重合，再沿BC方向将△DEF推移如图位置，问线段AD与BE数量关系怎样？BC与EF位置关系怎样？为什么？
[ ，BC∥EF
∵ △ABC≌△DEF
∴
∴
∴
又∵ △ABC≌△DEF
∴
∴ BC∥EF ]
3.已知：如图，，，，，求的大小.
[，，
∴ △ACB≌△AED
∴
∴
∴
∴]
二、新授
1.引入；上一节课，我们已经知道两个三角形满足三个条件的三条边对应相等和三个角对应相等的情况.情况如何呢？
（三条边对应相等两个三角形；三个角对应相等的两个三角形不一定全等）
如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形会全等吗？-------这就是本节课我们要探讨的课题.
2.问题1：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？
（应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角.）
每一种情况下得到的三角形都全等吗？
3.做一做
（1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两条边分别为2.5cm和3cm，它们的夹角为，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴画的一定全等吗？
换两条线段和一个角试试，你发现了什么？
同学们各抒己见后总结：发现对于已知的两条线段和一个角，以该角为夹角，所画的三角形都是全等的.
这就是判别三角形全等的另外一种简便的方法：
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）
你能用相似三角形的判定法来解释这种“SAS”判定三角形全等的方法吗？
（一个角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个三角形相似，当相似比为1时，夹这个角的两边对应相等，这两个三角形的形状、大小都相同，即为全等三角形）
（2）如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边分别为2.5cm和3cm，长度为2.5cm的边所对的角为,情况会怎样呢
请画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？
（两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.）
4.范例
例1
如图,已知线段AC、BD相交于点E,AE=DE，BE=CE.
求证: △ABE ≌ △DCE
解 在△ABE 与△DCE中,
∵AE=DE（已知），
∠ AEB= ∠ DEC（对顶角相等），
BE=CE（已知）,
∴△ABE ≌△DCE(S.A.S.)
例2 因铺设电线的需要，要 ( http: / / www.21cnjy.com )在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。
小明的设计方案：先在池塘旁取一个 ( http: / / www.21cnjy.com )能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。
请你说明理由。
( http: / / www.21cnjy.com )
三、巩固练习
四、小结
学生谈收获、体会、疑惑后，进一步总结本节学 ( http: / / www.21cnjy.com )习了三角形全等的判定的另一种SAS，而两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，注意观察图形的特征，找出是否具备满足两个三角形全等的条件.13.2 三角形全等的判定（2）
——全等三角形的判定条件
【教学目标】
1.经历探索三角形全等条件的过程，体会如何探索研究问题.培养学生合作的精神，让学生体验分类的思想；
2.使学生懂得如何提出问题，分类讨论，并为以后研究提出问题.
【重点难点】
1.难点：培养学生探索问题能力；
2.重点：掌握探索问题的方法.
【教学过程】
一、复习
1.请一位同学叙述上一节所学的知识.
2.如图，△ABC≌△AEC，，，求出△AEC各内角的度数.
3.你是如何来判定两个三角形全等的？
从学生的回答中，提出：我们能不能找到一些较为简便的方法用来判定三角形的全等呢？有没有类似于相似三角形的判定方法呢？
回想一下，相似三角形有哪些判定方法？
本节开始，我们就一起来研究，探讨§13.2全等三角形的判定条件.
二、新授
要画一个三角形与老师在黑板上画的三角形ABC全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？一个条件、两个条件、三个条件……
1.做一做
（1）只给一个条件：一条边，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？一个角，大家画出三角形，小组交流画的三角形全等吗？
（2）给出两个条件画三角形时，有几种可能 ( http: / / www.21cnjy.com )的情况？这两个三角形一定会全等吗？分别按照下面条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等.
①三角形的两个内角分别为30°和70°；
②三角形的两条边分别为3 cm和5 cm
③三角形的一个内角为60°，一条边为3 cm；
1）这条长3cm的边是60°角的邻边；
2）这条长3cm的边是60°角的对边.
你们在画图和同学比较过程中，你能得出什么结论？
学生各抒己见后，教师归纳：你们一定会发现， ( http: / / www.21cnjy.com )如果只知道两个三角形有一个或两个对应相等的部分（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）.
2.议一议
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
（有四种可能：三条边、三个角、两边一角和两角一边）
对于按以上每一种可能画得三角形是否全等，以后我们一起分别逐个探讨研究，现在我们先一起来完成以下几个练习.
三、巩固练习
1.如图，点O是平行四边形ABCD的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点，△AOB绕O旋转180 ，可以与△___________重合，这说明△AOB≌△___________.这两个三角形的对应边是AO与__________，OB与__________，BA与__________；对应角是∠AOB与________，∠OBA与_________,∠BAO与___________.
2.如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，△ABD和△ACD全等吗？试根据等腰三角形的有关知识说明理由
四、小结
让学生谈收获、体会、疑惑后 ( http: / / www.21cnjy.com )，教师总结：本节通过画图实践可得，对于两个三角形的三条对应边、三个对应角中，只有满足其中一个条件或两个条件相等，两个三角形不一定全等.至于满足其中的三个条件相等的情况如何呢？
五、作业
1.如图，△AOD≌△BOC，写出其中相等的角.
2.如图，△ABC≌△，，，，则你能得到的角度和边的长度有哪些.
3.如图，△ABC≌△DEF，且A和D，B和E是对应顶点，则相等的边有 ，相等的角有 .
4.如图，已知△ADC≌△CBA，且，写出相等的边、角.
5.如图，△ACD≌△ECB，A、C、B在一条直线上，且A和E是一对对应顶点，如果，那么将△ACD围绕C点顺时针旋转多少度与△ECB重合.
