初中数学华师大版八年级上学期 第14章 14.1.1 直角三角形三边的关系
一、单选题
1．（2019九上·伊川月考）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=11cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C两点同时出发，当它们相距10cm时所需的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．3s或1.4s
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设运动时间为ts时PQ=10cm，则CP=（11﹣x）cm，CQ=2xcm，
根据题意得：4x2+（11﹣x）2=100，
解得：x1=1.4，x2=3.
故答案为：D.
【分析】设运动时间为ts时PQ=10cm，根据路程等于速度乘以时间得出AP=tcm，CQ=2tcm，故CP=（11﹣x）cm，根据勾股定理建立方程，求解即可。
2．（2019八下·天台期末）下列三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．6, 7, 8 B．2, 3, 4 C．3, 4, 6 D．6，8, 10
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 解：A、最大边82=64<62+72=85, 为锐角三角形，A不符合题意；
B、最大边42=16>32+22=13, 为钝角三角形，B不符合题意；
C、最大边62=36>32+42=25, 为钝角三角形，C不符合题意；
C、最大边102=100=62+82=100, 为直角三角形，D不符合题意；
故答案为：D
【分析】先找出最大边，然后根据勾股定理分析判断，最大边的平方小于另外两边的平方和是锐角三角形，等于另外两边的平方和是直角三角形，大于另外两边的平方和是钝角三角形。
3．（2019八下·赵县期末）在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】
∵∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠DEC,∠ACB=∠CDE，AC=CD,
∴△ACB≌△△DCE(AAS),
∴AB=CE，BC=DE,
由勾股定理可得，AC2=AB2+BC2=AB2+DE2
Sn=Sm+Sq=11+5=16.
n的面积为16
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形判定定理证明，再利用勾股定理求得线段的关系，得到面积。
4．（2019八下·赵县期末）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
【分析】根据题意，找到h最小、最大值的情况，利用勾股定理解答。
二、填空题
5．（2019八下·中山期末）若直角三角形两条直角边长分别为 和 ，则斜边上的中线长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理，可求得斜边长为 ，所以斜边上的中线长为 ．
故答案为： .
【分析】结合题意，由勾股定理即可计算得到斜边的长度，继而计算得到斜边上的中线长即可。
6．（2019八下·天河期末）若一直角三角形的两直角边长为 ，1，则斜边长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：斜边长＝ ＝2，
故答案为：2．
【分析】直接利用勾股定理计算即可.
三、解答题
7．（2019八上·伊川月考）如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则求此时梯顶离路灯的距离。
【答案】 解：由题意得：BO=
B'O=BO+BB'=6+2=8，
∴A'O=
∴AA‘=AO-A'O=8-6=2(米)；
故答案为：2米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】由勾股定理求出BO的长，于是B'D的长可求，在△A'BO中，用勾股定理求出A'D的长，则此时梯顶离路灯的距离可求.
8．（2019八下·天河期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，作AD⊥BC，垂足为D，若AD＝4cm，求AB的长．
【答案】解：∵AB＝AC，BC＝4cm，AD⊥BC， ∴BD＝ BC＝2， ∵AD＝4cm， ∴AB＝ ＝2 cm．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD的长，利用勾股定理求出AB的长即可.
9．（2019八下·桂林期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求BC．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，
∴BC＝ ＝12
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】因为 △ABC为直角三角形，已知两边的长，运用勾股定理即可直接求出第三边。
四、综合题
10．（2019八上·伊川月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
【答案】（1）解： 由题意可知，下一个勾是奇数11，
设斜边和另一条直角边为：m、n,
则m2-n2=112，
则(m+n)(m-n)=121×1，
∴m+n=121,m-n=1,
解得：m=61, n=60.
（2）；
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（2）设后两个数为：p,q, 且p>q,
由观察可知：则p=q+1,
则n2+q2=(q+1)2，
∴q=.
则p=
故答案为：,.
【分析】（1）由题意可知下一个奇数为11，设斜边和另一条直角边为m、n，由勾股定理列式，将左式分解因式，结合正整数的特点，求出斜边和直角边分别为61、60.
（2）设后两个数为：p,q, 且p>q, 由观察可知p=q+1,根据勾股定理列式，先把q用含n的代数式表示，则p也可用含n的代数式表示.
11．（2019八下·来宾期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．
求：
（1）△ABC的周长；
（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？
【答案】（1）解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
又AD＝12，BD＝16，CD＝5，
∴AB＝20，AC＝13，
△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54．
（2）解：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，
AB2+AC2≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1） 已知AD、BD、CD，在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别由勾股定理求得AB和AC，BC=BD+DC长度可求，则△ABC的周长可求；
（2）先找出最大边，再求较小两边的平方和，利用勾股定理的逆定理判断即可。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期 第14章 14.1.1 直角三角形三边的关系
一、单选题
1．（2019九上·伊川月考）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=11cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C两点同时出发，当它们相距10cm时所需的时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．3s或1.4s
2．（2019八下·天台期末）下列三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．6, 7, 8 B．2, 3, 4 C．3, 4, 6 D．6，8, 10
3．（2019八下·赵县期末）在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
4．（2019八下·赵县期末）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
二、填空题
5．（2019八下·中山期末）若直角三角形两条直角边长分别为 和 ，则斜边上的中线长为 ．
6．（2019八下·天河期末）若一直角三角形的两直角边长为 ，1，则斜边长为 ．
三、解答题
7．（2019八上·伊川月考）如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则求此时梯顶离路灯的距离。
8．（2019八下·天河期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，作AD⊥BC，垂足为D，若AD＝4cm，求AB的长．
9．（2019八下·桂林期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求BC．
四、综合题
10．（2019八上·伊川月考）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
11．（2019八下·来宾期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．
求：
（1）△ABC的周长；
（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设运动时间为ts时PQ=10cm，则CP=（11﹣x）cm，CQ=2xcm，
根据题意得：4x2+（11﹣x）2=100，
解得：x1=1.4，x2=3.
故答案为：D.
【分析】设运动时间为ts时PQ=10cm，根据路程等于速度乘以时间得出AP=tcm，CQ=2tcm，故CP=（11﹣x）cm，根据勾股定理建立方程，求解即可。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 解：A、最大边82=64<62+72=85, 为锐角三角形，A不符合题意；
B、最大边42=16>32+22=13, 为钝角三角形，B不符合题意；
C、最大边62=36>32+42=25, 为钝角三角形，C不符合题意；
C、最大边102=100=62+82=100, 为直角三角形，D不符合题意；
故答案为：D
【分析】先找出最大边，然后根据勾股定理分析判断，最大边的平方小于另外两边的平方和是锐角三角形，等于另外两边的平方和是直角三角形，大于另外两边的平方和是钝角三角形。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】
∵∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠DEC,∠ACB=∠CDE，AC=CD,
∴△ACB≌△△DCE(AAS),
∴AB=CE，BC=DE,
由勾股定理可得，AC2=AB2+BC2=AB2+DE2
Sn=Sm+Sq=11+5=16.
n的面积为16
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形判定定理证明，再利用勾股定理求得线段的关系，得到面积。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
【分析】根据题意，找到h最小、最大值的情况，利用勾股定理解答。
5．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理，可求得斜边长为 ，所以斜边上的中线长为 ．
故答案为： .
【分析】结合题意，由勾股定理即可计算得到斜边的长度，继而计算得到斜边上的中线长即可。
6．【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：斜边长＝ ＝2，
故答案为：2．
【分析】直接利用勾股定理计算即可.
7．【答案】 解：由题意得：BO=
B'O=BO+BB'=6+2=8，
∴A'O=
∴AA‘=AO-A'O=8-6=2(米)；
故答案为：2米.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】由勾股定理求出BO的长，于是B'D的长可求，在△A'BO中，用勾股定理求出A'D的长，则此时梯顶离路灯的距离可求.
8．【答案】解：∵AB＝AC，BC＝4cm，AD⊥BC， ∴BD＝ BC＝2， ∵AD＝4cm， ∴AB＝ ＝2 cm．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD的长，利用勾股定理求出AB的长即可.
9．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，
∴BC＝ ＝12
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】因为 △ABC为直角三角形，已知两边的长，运用勾股定理即可直接求出第三边。
10．【答案】（1）解： 由题意可知，下一个勾是奇数11，
设斜边和另一条直角边为：m、n,
则m2-n2=112，
则(m+n)(m-n)=121×1，
∴m+n=121,m-n=1,
解得：m=61, n=60.
（2）；
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（2）设后两个数为：p,q, 且p>q,
由观察可知：则p=q+1,
则n2+q2=(q+1)2，
∴q=.
则p=
故答案为：,.
【分析】（1）由题意可知下一个奇数为11，设斜边和另一条直角边为m、n，由勾股定理列式，将左式分解因式，结合正整数的特点，求出斜边和直角边分别为61、60.
（2）设后两个数为：p,q, 且p>q, 由观察可知p=q+1,根据勾股定理列式，先把q用含n的代数式表示，则p也可用含n的代数式表示.
11．【答案】（1）解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
又AD＝12，BD＝16，CD＝5，
∴AB＝20，AC＝13，
△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54．
（2）解：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，
AB2+AC2≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1） 已知AD、BD、CD，在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别由勾股定理求得AB和AC，BC=BD+DC长度可求，则△ABC的周长可求；
（2）先找出最大边，再求较小两边的平方和，利用勾股定理的逆定理判断即可。
1 / 1
