12.5 因式分解
一、课题： 12.5 因式分解（第二课时—公式法）
二、教学目标：
1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解.
2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.
3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力.
重点：掌握公式法进行因式分解.
难点：找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.
三、教学过程：
（一）读一读：
学生自主学习课本第44页例题1（3）（4）的内容，回答下列问题：
1.我们学过哪些乘法公式？请把公式表示出来.
2.乘法公式如果反过来用，它们的结果都是什么形式 能够成为什么公式呢？
这些公式用语言可以怎样叙述？
3.用这种方法对多项式进行因式分解的方法叫( )
（二）查一查：
下列各式能否用公式来分解因式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，请说明理由.
(1)x2-4x+4； (2)1+16a2 (3)4x2+4x-1； (4)x2+6x+9
（三）学一学
例1、对下列多项式进行因式分解：
（1）25x2 -16y2
（2）-z2+(x-y)2
分析：以上各式均满足使用( )公式分解因式的条件，所以可直接利用( )公式进行因式分解.
例2 把多项式x2+4xy+4y2分解因式．
分析：(1)判断左边是否为完全平方式．
(2)判断中间一项是哪两个数积的二倍．
(3)看清中间一项的符号，写出因式分解结果
例3. 把下列多项式分解因式
(1) 4x3y+4x2y2+xy3
(2) 3x3 -12xy
先用( )方法分解因式,再用( )方法分解因式.
（四）练一练:
课本45页练习题
（五）比一比：(学生独立完成)
1.把下列各式分解因式：
（1）-492+x2 （2）4(x+m)2 -(x-m)2
2.把下列各式分解因式：
(1)x2-12xy+36y2；
(2)a2-14ab+49b2；
(3)16a4+24a2b2+9b4；
(4)49a2-112ab+64b2．
3.把下列各式分解因式。
(1) a3-14a2+49a (2) 3a3-27ab2
(3) 2am+an+2bm+bn (4) -25xy+25x2+4y2
（六）谈一谈：
让学生自由发言，谈出本节课的收获，解答此类问题的关键。
（七）评一评：
四、教学反思：12.5因式分解 公开课教案
华东师大版初中八上12.5.1因式分解—提公因式法
一、教学目标
（一）知识与技能
明确因式分解与整式乘法的关系；
了解将因式分解的结果用整式乘法来验证因式分解的正确性；
掌握因式分解、公因式的概念。
（二）过程与方法
让学生在探索中进行新旧知识的比较，理解领悟因式分解，得到因式分解的基本方法——提公因式法。
（三）情感态度与价值观
培养学生灵活运用新旧知识的能力，学会举一反三。
二、教学重难点
教学重点：找公因式，能用提公因式法分解因式。
教学难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法
四、教学过程
（一）复习回顾：
整式乘法有几种形式？
单项式乘以单项式
单项式乘以多项式：
多项式乘以多项式：
（二）探索新知，讲授新课
1、请把下列多项式写成整式的乘积形式。
（1）
（2）
学生议一议：由得到的过程是什么运算？由得到
的变形与它有什么不同？
2、概括，归纳得出什么是因式分解？
把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。
3、做一做：
判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1) ；因式分解
(2) ；整式乘法
(3) ；整式乘法
(4) ；因式分解
想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解与整式乘法的关系：
结论：因式分解与整式乘法互为逆运算。分析对互为逆运算的理解。
4、想一想：
多项式中的每一项都含有一个相同的因式 m ？
由学生回答，教师点评。
我们称这个因式为公因式.
（三）例题讲解
例1 把分解因式。
分析：与公因式是什么，如何找公因式？
解：原式
——最后一步放在给出提公因式法以后给出。
点评：一看系数——系数的最大公约数
二看字母——相同的字母
三看指数——最低次数
介绍“提公因式法”：
把公因式提出来，多项式就可以分解成两个因式和的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
例2 把下列各式分解因式
（1）
（2）
解：（1）原式
(2) 原式
（四）课堂小结
因式分解和整式乘法互为逆运算的关系。
因式分解、公因式定义的掌握。
提供因式法，如何找公因式？（三看）
（五）随堂练习
留给学生3分钟时间阅读课本43页内容，教师写出下列四个练习题，请四位同学到黑板做。
（1）
（2）
（3）
（4）
（六）作业布置
课本45页练习 2（1）、（2）
练习册相应习题
因式分解
整式乘法课题：12.5华师大版八年级因式分解（1）
【教学目标】
1． 能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．
2． 通过与算术中的因数分解相比较，渗透类 ( http: / / www.21cnjy.com )比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。
3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。
【教学重点与难点】
重点：提公因式法分解因式
难点：多项式因式分解和整式乘法的关系
【教学方法与教学手段】
教学方法：采用“引导 类比 讨论 发现”的教学方法
教学手段：多媒体辅助教学
【教学过程】
教学环节 教学过程 设计意图
教师活动 学生活动
(一)生活情境设置悬疑 【多媒体演示】酸奶中的乳酸菌的营养；【介绍小知识】介绍活性乳酸杆菌在0℃～7℃的环境中存活是静止的，但随着环境温度的升高乳酸菌会快速死亡。 观看多媒体演示，并思考下面问题：每升酸奶在0℃～7℃时含有活性乳 酸杆菌2 ( http: / / www.21cnjy.com )20个，在10℃时活性乳酸杆菌死 亡了217个，在12 ℃时又死亡了219个，那么此时活性乳酸杆菌还剩多少个？你的列式是（学生列完式看到如此庞大的乘方可能会不知如何处理。教师就可适时地告诉学生：学完此节课就能解决这个问题。） 通过酸奶中活性乳酸杆菌数量的变化，创设问题，在学生感到新奇而又不知所措的过程中激发学生强烈的求知欲。设置悬疑，无疑对本节课的学习创设了良好的情绪状态。而从实际生活引入，体现了数学知识源于生活。
(二)复旧孕新导入新课: 1、做一做计算下列各式：(1)m(a+b+c)=_________ (2)(a+b)(a-b)=_________ (3)(a+b)2=___________填空：(1) ma+mb+mc=_____________(2) a2-b2 =_______________(3) a2+2ab+b2=_____________2、想一想填表：m(a+b+c)=ma+mb+mcma+mb+mc =m(a+b+c)(a+b)(a-b)= a2-b2a2-b2 = (a+b)(a-b)(a+b)2=a2+2ab+b2a2+2ab+b2 = (a+b)2等号左边等号右边等号左边等号右边通过启发学生回忆小学中引述分解与乘法的关系引导学生理解因式分解与整式乘法的关系。评述：一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。3、练一练下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？3(x+2)=3x+6ma+mb+mc=m(a+b+c)x2+1=x(x+)y2+x2-4=y2+(x-2)(x+2)5a3b-10a2bc=5a2b(a-2c)x2-4y2=(x-4y)(x+4y)4、议一议（1）3(x+2)=3x+6 整式乘法（3）x2+1=x(x+) 不是整式（4）y2+x2-4=y2+(x-2)(x+2) 不是积的形式（6）x2-4y2=(x-4y)(x+4y)分解前后值不一样观察并组织讨论因式分解概念的注意点。 学生独立思考，并回答问题。通过填表格比较、观察、思考：能发现这两组等式的联系与区别？积极思考，举手回答。学生讨论“注意点” 通过对旧知识的复习，从旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律。由浅入深，由表及里，逐渐深化。通过设计填表活动，为学生创设了类比、思 ( http: / / www.21cnjy.com )考、讨论、概括的时空，有利于学生理解多项式的因式分解与整式乘法的关系，从而达到分解本节课的难点的目的。同时，将两者的关系和“因数分解与乘法的关系”进行联想、比较，自然引出多项式的因式分解的概念。以习题形式反馈对概念的理解。边学边练，形成经验，也为下面讨论做铺垫。根据“练一练”来讨论“因式分解的注意点”有助于学生对因式分解的概念有更深层次的理解。
(三)师生互动探究新知 1、观察归纳，引出新知（1） 想一想多项式ma+mb+mc中的各项都含有一个相同的因式_______.多项式5a3b-10a2bc中的各项都含有一个相同的因式_______.评述：多项式中每一项都含有的相同的因式叫做公因式。（2）做一做你能找出下列多项式的公因式？多项式公因式4x+4y8x+12y8ax+12ay8a3bx+12a2b2y归纳：寻找公因式的一般步骤(3)练一练多项式公因式4a3b-8a2b29x2-6xy+3xxn+1ym-xnym-1(4)说一说填空：2x-6xy=2x( )-6x3+9x2=-3x2 ( )评述：把公因式提取出来，这样的因式分解的方法叫做提取公因式法。提公因式法分解因式法的依据：乘法的分配律2、例题学习，内化新知例1 分解因式：(1)-5a2+25a(2) 3a2-9ab讨论归纳提公因式法的一般步骤讨论：如何检验因式分解的正确性。例2 分解因式： -a2b2 + 2abc2 - 3abc易出现的错误：1、符号2、项数3、练习反馈，巩固新知练习1、把下列各式用提公因式法分解因式(1) x2y - xy2 (2) 4x + 10x2(3) 4x3 - 2x2 + 2x (4) ax2 – axy - ax练习2、把下列各式分解因式(1) -9x3 - 3x2 - 3x(2) -3x3y + 6x2y2 - 12xy3练习3、判断下列因式分解是否正确，若不正确，请指出错误的地方，并改正(1)6x2y2z-9xy3=3xy(2xyz-3y2) (2)9a2-6ab+3a=3a(3a-2b)(3)-7ab-14abx+49aby=-7ab(1+2x+7y) (4)4a2b+6ab2-8a=2ab(2a+3b)-8a4、简单应用，深化新知(1)做一做：回至引入,解决问题。每升酸奶在0℃～7℃时含有活性乳 ( http: / / www.21cnjy.com )酸杆菌220个，在10℃时活性乳酸杆菌死 亡了217个，在12 ℃时又死亡了219个，那么此时活性乳酸杆菌还剩多少个？你的列式是 220-217-219如何计算？(2)想一想：在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生 ( http: / / www.21cnjy.com )的密码，方便记忆。原理：如对于多项式x3y2＋6xy3因式分解的结果是xy2 (x2＋6y),若取x=9,y=9时，x=9,y2=81,x2＋6y＝135.于是可以把“981135”作为一个密码。对于多项式3x2y+2xy2，取x=10,y=10，用上述方法产生的密码是________。对于多项式3x4y2+5x2y3，取x=2,y=2，用上述方法产生的密码是 ________ 给学生一定时间思考，得出概念。以小组抢答的形式，来激活气氛。并且说明思想方法。比一比看谁的方法好？学生举手回答。学生举手回答。师生共同完成，纠正易出现的错误，写出规范解题格式。与例题配套的练习题，要求学生在练习纸上独立完成。然后讨论因式分解的正确性。学生抢答给学生一定的时间思考并解答。小组讨论、交流 从最简单的形式开始探究，引出“公因式”的概念，有利于难点突破。放手让学生思考讨论、自主小结，有助于学生思维互补，更有助于学生合作意识的提高，进而突破难点。通过练习训练进一步内化新知，突破难点，同时，也为下面的提公因式法分解因式做重要的准备。例题中的多项式，先出现二项式再出现三项式，层层递进，有利于学生更准确运用提公因式法。强调如何检验因式分解的正确性再一次使学生体会因式分解和整式乘法的关系，同时也为以后学习整式的恒等变形做准备。例1讲解完练习1，例2讲解完练习2，边讲边练，落实本节课重点。练习3的抢答提高学生学习浓度，使课堂气氛达到 ( http: / / www.21cnjy.com )高潮。并指出因式分解容易错误的地方，加以提醒。为学生总结经验教训，有助于学生对提公因式法有更深层次的理解。首尾呼应，让学生自我解决疑问，既是对所学知识的巩固运用，又让学生体验成功的喜悦。再一次运用实际问题，让学生体会数学来自于生活实际又为生活实际服务。并且使新知得到了巩固，能力得到训练，认识得到升华。
(四)自主小结深化提高 谈谈本节课学习的收获与体会这节课，我的收获是……我最感兴趣的地方是……我想进一步研究的问题是………… 畅所欲言 落实教师主导、学生主体地位。合作小结及有助于训练学生概括归纳能力，又有助于学生在归纳过程中把所学的知识条理化、系统化。
(五)分层作业发展个性 必做题：1、书上P41 练习2 (1)(2)2、练习册选做题：问32006-4×32005+10×32004能否被7整除？ 学生课外自主进行复习、练习、反思、研讨。 分层作业，使不同层次的学生都能有所收获。
【教学设计说明】
因式分解共二个课时，本节课 ( http: / / www.21cnjy.com )为第一课时。为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，本节课以类比发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅，并运用电教媒体化静为动，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。
1．在数学过程设计中，从 ( http: / / www.21cnjy.com )学生身边的生活情景引入，从生活场景中提炼数学知识，设置疑问，使学生带着问题学习新知识，最后又运用新知解决疑问和生活中的问题。这样，体现了“数学源于生活，又为生活服务。”
2．设计问题化、发现化的“概念形成”、 ( http: / / www.21cnjy.com )“探究新知”，通过“做一做”、“想一想”、“练一练”、“议一议”等活动，为学生提供充分从事数学活动的机会。利用数学情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。
3．现代教学理论认为：学习并非学生对于 ( http: / / www.21cnjy.com )教师所授予知识的被动接受，而是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构，强调学生学习的主动性、社会性和情景性。由此，本课组织学习因式分解概念与提公因式法时，让学生通过已学过的因数分解及整式乘法相类比，进行探索新知，自我小结归纳，再给出一系列辨析题。在最后的环节中，将学生可能会出现的错误问题全部展现，为学生提供经验与教训，让学生能更透彻地理解本节课的重点和化解难点。
4．本课教学流程图：
1、因式分解的意义
2、因式分解的解法
——提取公因式法
分层作业
发展个性
自主小结
深化提高
师生互动
探究新知
情境激趣
复旧孕新
