2023-2024学年人教版数学八年级下册18.2.3 正方形同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教版数学八年级下册18.2.3 正方形同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 244.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-29 17:21:49 | ||
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文档简介
18.2.3 正方形同步练习 2023-2024学年人教版数学八年级下册
一．选择题（共12小题）
1．下列结论错误的是（ ）
A．对角线相等、垂直的平行四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线垂直的四边形是菱形
2．下列说法正确的有几个（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；
②AE⊥BF；
③AO＝OE；
④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为10；③AP＝EF；④EF的最小值是．（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52 B．60 C．68 D．76
6．如图，从下列四个条件：
①AB＝BC，
②，
③AC＝BD．
④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且垂直的四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．点E，F是AD上两点，且DE＝DB，DF＝DC，若BD＝2，CD＝3．则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．菱形不是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．正方形有2条对称轴
10．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，则下列结论错误的是（ ）
A．BE＝DE B．CE+DE＝EF
C． D．
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
乙：若添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
丙：若添加“∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是正方形．
则说法正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
12．下列是关于某个四边形的三个结论：①它是一个菱形；②它是一个正方形；③它的对角线互相垂直．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由②推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②
二．填空题（共5小题）
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2．若S1＝9，S2＝5，则BC的长为 ．
15．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD．其中正确的序号是 ．
16．如图，如果要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（填一个符合要求的条件即可）
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，若BD＝3，CD＝1，则AD的长为 ．
三．解答题（共5小题）
18．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接CE、DF相交于点O，连接CH并延长交AD于P，解决下列问题：
（1）求证：CE⊥DF；
（2）如果点G、H分别是CE、DF的中点，连接GH，若AB＝4，求GH的长度．
19．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证AP＝EF；
（2）若正方形的边长为3+，∠CEF＝30°，求AP的长．
20．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
21．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC 与它的邻补角的平分线，CE⊥AE于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）联结ED交AC于点O，若∠AOE＝2∠B，求证：四边形ADCE是正方形．
22．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1--10DCCBB BDDCD 11--12BC
二．填空题（共5小题）
13．15
14．2
15．①③④
16．∠ABC＝90°（答案不唯一）
17．+2
三．解答题（共5小题）
18．（1）证明：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCF，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠1＝∠2，
又∵∠DCO+∠1＝90°，
∴∠DCO+∠2＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴CE⊥DF；
（2）解：连接PE，如图，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠3＝∠FCH．
∵H是DF的中点，
∴DH＝FH，
在△PDH和△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PH＝CH，PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴，
又∵点G是CE的中点，
∴GH是△PEC的中位线，
∴．
19．（1）证明：如图，连PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB，
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF＝PC，
∴AP＝EF；
（2）解：∵正方形的边长为3+，∠CEF＝30°，
∴CD＝3+，
∴CE＝CD﹣DE＝3+﹣DE，
∵∠CEF＝30°，
∴CE＝CF，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∵PE⊥DC，
∴∠PED＝∠PEC＝90°，
∴∠DPE＝45°，
∴PE＝DE，
∵四边形PFCE是矩形，
∴FC＝PE，
∴PE＝DE＝FC，
设PE＝DE＝FC＝x，
∴EF＝2x，
∴CE＝CF＝x，
∵CE＝CD﹣DE＝3+﹣x，
∴3+﹣x＝x，
∴x＝，
∴EF＝2x＝2，
∴AP＝EF＝2．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）由（1）可知，四边形AMCN为矩形，
∴只需AM＝MC，则矩形AMCN为正方形，
∵O为AC中点，M在BO上，
∴BO⊥AC，时，AM＝MC，
在△BOA与△BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（SAS），
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
故△ABC满足AB＝BC时，四边形AMCN是正方形．
21．（1）证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∵AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠DAC+∠CAE＝90°，即∠DAE＝90°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AD为高，
∴∠ADC＝90°
又∵CE⊥AE，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）证明：如图，
∵四边形ADCE为矩形，
∴AC＝DE，OE＝OD，OA＝OC，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COD＝2∠B，
∴2∠B+∠OCD+∠ODC＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE是正方形．
22．（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB＝，
∴DF＝＝＝，
∴正方形DEFG的面积＝DF2＝（）2＝
一．选择题（共12小题）
1．下列结论错误的是（ ）
A．对角线相等、垂直的平行四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线垂直的四边形是菱形
2．下列说法正确的有几个（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；
②AE⊥BF；
③AO＝OE；
④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为10；③AP＝EF；④EF的最小值是．（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）
A．52 B．60 C．68 D．76
6．如图，从下列四个条件：
①AB＝BC，
②，
③AC＝BD．
④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③ D．②④
7．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且垂直的四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D．点E，F是AD上两点，且DE＝DB，DF＝DC，若BD＝2，CD＝3．则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．菱形不是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．正方形有2条对称轴
10．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，则下列结论错误的是（ ）
A．BE＝DE B．CE+DE＝EF
C． D．
11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：若添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
乙：若添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
丙：若添加“∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是正方形．
则说法正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
12．下列是关于某个四边形的三个结论：①它是一个菱形；②它是一个正方形；③它的对角线互相垂直．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由②推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②
二．填空题（共5小题）
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB、AC为边的正方形的面积分别为S1、S2．若S1＝9，S2＝5，则BC的长为 ．
15．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD．其中正确的序号是 ．
16．如图，如果要使菱形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（填一个符合要求的条件即可）
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，若BD＝3，CD＝1，则AD的长为 ．
三．解答题（共5小题）
18．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接CE、DF相交于点O，连接CH并延长交AD于P，解决下列问题：
（1）求证：CE⊥DF；
（2）如果点G、H分别是CE、DF的中点，连接GH，若AB＝4，求GH的长度．
19．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）求证AP＝EF；
（2）若正方形的边长为3+，∠CEF＝30°，求AP的长．
20．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
21．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC 与它的邻补角的平分线，CE⊥AE于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）联结ED交AC于点O，若∠AOE＝2∠B，求证：四边形ADCE是正方形．
22．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1--10DCCBB BDDCD 11--12BC
二．填空题（共5小题）
13．15
14．2
15．①③④
16．∠ABC＝90°（答案不唯一）
17．+2
三．解答题（共5小题）
18．（1）证明：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCF，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴BE＝CF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠1＝∠2，
又∵∠DCO+∠1＝90°，
∴∠DCO+∠2＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴CE⊥DF；
（2）解：连接PE，如图，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠3＝∠FCH．
∵H是DF的中点，
∴DH＝FH，
在△PDH和△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PH＝CH，PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴，
又∵点G是CE的中点，
∴GH是△PEC的中位线，
∴．
19．（1）证明：如图，连PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB，
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP＝CP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF＝PC，
∴AP＝EF；
（2）解：∵正方形的边长为3+，∠CEF＝30°，
∴CD＝3+，
∴CE＝CD﹣DE＝3+﹣DE，
∵∠CEF＝30°，
∴CE＝CF，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，
∵PE⊥DC，
∴∠PED＝∠PEC＝90°，
∴∠DPE＝45°，
∴PE＝DE，
∵四边形PFCE是矩形，
∴FC＝PE，
∴PE＝DE＝FC，
设PE＝DE＝FC＝x，
∴EF＝2x，
∴CE＝CF＝x，
∵CE＝CD﹣DE＝3+﹣x，
∴3+﹣x＝x，
∴x＝，
∴EF＝2x＝2，
∴AP＝EF＝2．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形；
（2）由（1）可知，四边形AMCN为矩形，
∴只需AM＝MC，则矩形AMCN为正方形，
∵O为AC中点，M在BO上，
∴BO⊥AC，时，AM＝MC，
在△BOA与△BOC中，
，
∴△BOA≌△BOC（SAS），
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
故△ABC满足AB＝BC时，四边形AMCN是正方形．
21．（1）证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∵AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠DAC+∠CAE＝90°，即∠DAE＝90°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AD为高，
∴∠ADC＝90°
又∵CE⊥AE，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）证明：如图，
∵四边形ADCE为矩形，
∴AC＝DE，OE＝OD，OA＝OC，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COD＝2∠B，
∴2∠B+∠OCD+∠ODC＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE是正方形．
22．（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB＝，
∴DF＝＝＝，
∴正方形DEFG的面积＝DF2＝（）2＝