课件17张PPT。第3章 因式分解 3.1 多项式的因式分解1.经历从分解因数到因式分解的类比过程.
2.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系.1. 整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式.
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an.
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.2. 乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2.3.试计算:
(1) 3a(a-2b+c) (2) (a+3)(a-3)
(3) (a+2b)2 (4) (a-3b)2
【解析】(1)3a(a-2b+c)=3a2-6ab+3ac
(2)(a+3)(a-3)=a2-9
(3)(a+2b)2=a2+4ab+4b2
(4)(a-3b)2=a2-6ab+9b2计算下列各式:
3x(x-1)= _______
m(a+b+c) = _______
(m+4)(m-4)= ______
(x-3)2= _________
a(a+1)(a-1)= ______根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=__________
(2) ma+mb+mc=_________
(3) m2-16=____________
(4) x2-6x+9=___________
(5) a3-a=____________3x2-3xma+mb+mcm2-16x2-6x+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(x-3)2a(a+1)(a-1)由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.在这里，解决问题的关键是把一个整式化成了几个数的积的形式.993-99能被100整除吗?你是怎样想的?与同伴交流.
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98. 所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除?因式分解与整式乘法有何关系?
因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式,称为把这个多项式因式分解.1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)(a-3)(a+3)=a2-9
(6)m2-42=(m+4)(m-4)
(7)2πR+ 2 πr= 2π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解2.把下列各式写成乘积的形式:
(1)1-x2
(2)4a2+4a+1
(3)4x2-8x
(4)2x2y-6xy2
(5)1-4x2
(6)x2-14x+49=(1+x)(1-x)=(2a+1)2=4x(x-2)=2xy(x-3y)=(1+2x)(1-2x)=(x-7)21．x2-px+ab=(x+a)(x+b)，则p=( )
A.-a+b B.-a-b
C.a-b D.a+b
【解析】选B.(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,
所以-p=a+b,即p=-(a+b)=-a-b.2．如果m=－25.6,a=53.2,b=66.4,c=－19.6，则代数式ma+mb+mc=_________.
【解析】ma+mb+mc=m(a+b+c)=－25.6×(53.2+66.4－19.6) =－2 560.
答案：－2 5603．一个多项式因式分解结果为-a(a+3)(a-3)，则这个多项式是_________.
【解析】根据因式分解与整式乘法是互逆变形，所以
-a(a+3)(a-3)=-a(a2-9)=-a3+9a.
答案：-a3+9a4.32 014－4×32 013＋10×32 012能被7整除吗？试说明理由.
【解析】能.
因为原式＝32 012（32－4×3＋10）
＝32 012×7，
显然它能被7整除.本节课我们主要学习了因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系.
在对因式分解意义的理解上要注意：
①等式的左边必须是多项式；
②分解的结果必须是几个整式的积；
③必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止. 真理喜欢批评，因为经过批评，真理就会取胜；谬误害怕批评，因为经过批评，谬误就会失败.课件23张PPT。3.2 提公因式法1.经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中能确定多项式的公因式.
2.会用提公因式法把多项式因式分解.
3.培养解决问题的能力.1.等式从左边到右边是什么变形？因式分解整式乘法2.因式分解的定义：
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.因式分解3.整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解是相反方向的变形.整式乘法因式分解相反方向的变形1.以下多项式由哪些项组成？ 都含有因式m2.这些项有什么共同特点？ 公因式的定义：
几个多项式的公共的因式称为它们的公因式.公因式m找出下列各多项式的公因式.
?ac+ bc
?3x2 +x
?30mb2 + 5nb
?3x+6
?a2b–2ab2 +ab
?7(a–3)–b(a–3)c x5b3aba-3找 2 x 2 + 6 x 3 的公因式.系数：
各项系数的最大公约数.2字母：
相同字母.x 所以公因式是2x2.指数：
相同字母指数的最低次幂.2下列各式的公因式分别是什么？
①7x2 -21x
②7x3y2 –42x2y 3
③a2b– 2ab2+ abc
④7(x–2)–x(2–x )7x7x2y2abx-2提公因式法的定义：
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法.分两步：第一步，找出公因式；
第二步，提公因式 ，即用多项式除以公因式.例1 把 9x2–6xy+3xz因式分解.
【解析】9x2–6xy+3xz
= 3x?3x-3x ? 2y+3x ? z
=3x(3x-2y+z).把 -24x3 +12x2 -28x 因式分解.
解：-24x3 +12x2 -28x
=-(24x3 -12x2 +28x)
=-(4x· 6x2-4x·3x+4x·7)
=-4x(6x2 -3x+7).当多项式第一项系数是负数时，通常先提出“-”，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.下列各式中的公因式是什么？判断：下列各式哪些成立？成立的有：（2）（4）（5）例2 试分解下列因式：分解下列因式：例3 1.（南通·中考）因式分解：ax2-ax=________.
【解析】提公因式ax,ax2-ax=ax(x-1).
答案：ax(x-1)
2.(宿迁·中考)若2a-b=2,则6+8a-4b=_________.
【解析】6+8a-4b=6+4(2a-b)=14.
答案：143.已知x+y=6，xy=-3，则x2y+xy2=________.
【解析】如果想从已知条件中直接求出x，y的具体数值，理论上是可行的，但以我们目前所掌握的知识是办不到的.观察所求代数式发现，先将所求代数式因式分解，然后再将条件等式代入即可.
原式=xy（x+y），
当x+y=6，xy=-3时，
原式=-3×6=-18.
答案：-18正确找出多项式各项的公因式的关键是什么？
1.系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母的最低次幂.
多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式.正直的人并不是渺小的，不要把谦虚和渺小、妄自菲薄混为一谈.
——契诃夫课件21张PPT。3.3 公式法1.使学生了解运用公式法因式分解的意义.
2.使学生掌握运用平方差公式因式分解.
3.使学生会用完全平方公式因式分解，进一步发展符号感和推理能力.一 看系数 二 看字母 三 看指数关键：确定公因式最大公约数相同字母 最低次幂1.把下列各式因式分解：
（1）3a3b2－12ab3.
（2）x(a+b)+y(a+b).
（3）a(m-2)+b(2-m).
（4）a(x－y)2－b(y－x)2.2.填空
(1)25x2 ＝ (_____)2
(2)36a4 ＝ (_____)2
(3)0.49b2 ＝ (_____)2
(4)64x2y2 ＝ (_____)2
(5) ＝ (_____)25x6a20.7b8xy(1)(x+5)(x-5)=____________.
(2)(3x-y)(3x+y)=___________.
(3)(1+3a)(1-3a)=___________.（整式乘法）（因式分解）1－9a2x2-259x2-y2(1) 下列多项式有什么共同特征?
①x2－25
②9x2－y2
(2)尝试将它们分别写成两个因式的乘积的形式,
并与同伴交流.a2?b2= (a+b)(a?b)□2－△2＝(□＋△)(□－△)平方差公式的特点两数的和与差的积.两个数的平方差；只有两项. 形象地表示为：①左边
②右边例1 把下列各式因式分解：
（1）25－16x2.解：(1)原式= 52－(4x)2=(5+4x)(5-4x).先化为□2－△2
例2 把下列各式因式分解:
(1)9(m＋ n)2－(m－n)2
(2)2x3－8x
解：(1)原式＝[3(m+n)]2－(m-n)2
＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
＝(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
＝(4m+2n)(2m+4n)
＝4(2m+n)(m+2n)有公因式哦首先提取公因式
然后考虑用公式
最终必是乘积式(2)2x3－8x
＝2x(x2-4)
＝2x(x2-22)
＝2x(x+2)(x-2)判断正误：
(1)x2+y2=(x+y)(x+y). ( )
(2)x2-y2=(x+y)(x-y). ( )
(3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y). ( )
(4)-x2-y2 =-(x+y)(x-y). ( ) 想一想:以前学过两个乘法公式把两个公式反过来，就得到 形如 或
的式子称为完全平方式.
由因式分解与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式从右到左地使用, 就可以把某些形式的多项式进行因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法.例3 把以下三个多项式因式分解：(x+6)2(x-y)2(a+b-3)2因式分解：3a(m+n)2-(a-2b)21.下列因式分解中，错误的是( )
A.1-9x2=(1+3x)(1-3x)
B.a2-4a+4 =(a-2)2
C.-mx+my=-m(x+y)
D.ax-ay-bx+by=(a-b)(x-y)
【解析】选C.-mx+my=-m(x-y).2.(江西·中考)因式分解2a2-8=________.
【解析】原式=2(a2-4)=2(a+2)(a-2).
答案：2(a+2)(a-2)
3．一个长方形的面积是(x2－9)平方米，其长为(x+3)米，用含有x的整式表示它的宽为______米.
【解析】因为x2－9＝(x+3)(x－3)，而其长为(x+3)米，所以由长方形的面积公式得其宽为(x－3)米.
答案：（x-3）4. 把下列各式因式分解：
（1）36（x+y）2－49（x－y）2.
（2）y3－4y2＋4y.
【解析】（1）36（x+y）2－49（x－y）2
=［6（x+y）］2－［7（x－y）］2
=［6（x+y）+7（x－y）］［6（x+y）－7（x－y）］
=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）
=（13x－y）（13y－x）.
（2）y3－4y2＋4y＝y(y2－4y+4)= y(y－2)2．5. 利用简便方法计算：
（1）123×0.24-12.3×0.4-20×1.23.
（2）1.992-2.992.
（3）2082-208×16+64．
【解析】（1）原式=123×0.24-123×0.04-123×0.2
=123×（0.24-0.04-0.2）=123×0=0.
（2）原式=（1.99+2.99）×（1.99-2.99）
=4.98×（-1）=-4．98.
（3）原式=2082-2×208×8+82=（208-8）2
=40 000．本课时我们学习了用平方差公式和完全平方公式进行因式分
解.
1.熟记公式的特点是关键.
2.注意当已知完全平方公式的平方项求中间项时，有正负两
种情况.
3.多项式中有公因式时，应先提取公因式，再套用公式.每个人都应该知道，把语言化为行动，比把行动化为语言困难得多.
——高尔基
