【天天练】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数
一、函数
1．小亮家距离学校8 km，昨天早晨，小亮骑车上学途中，自行车突然故障，恰好路边有自行车维修点，几分钟后车修好了，为了不迟到，他加快了骑车到校的速度，到校后，小亮根据这段经历画出如图所示的图象．该图象描绘了小亮距家的路程s与离家的时间t之间的关系。
请根据图象，解答下列问题：
（1）小亮行驶了多少千米时，自行车故障？修车用了多少时间？
（2）小亮到学校路上共用了多少时间？
（3）如果自行车没有故障，一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到学校多少时间？(精确到0.1)
【答案】（1）解：由图象可得小亮行驶了3 km时，出现自行车故障．
修车用了15- 10= 5( min)
（2）解：小亮共用了30 min．
（3）解：小亮修车前的速度为3÷10= (km/min)，按此速度到校共需时间为8÷ = (min)，30- = ≈3.3<(min)，所以他比实际情况早到学校约3.3分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）根据函数图象求出小亮共用了30 min 即可作答；
（3）先求出 km/min， 再计算求解即可。
二、一次函数
2．当k为何值时，函数y=(k+1)x2-|k|+4是一次函数？
【答案】解：由一次函数的定义，得2-|k|=1，且k+1≠0，解得k=1．
【知识点】一次函数的定义
【解析】【分析】根据题意求出 2-|k|=1，且k+1≠0， 再计算求解即可。
3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为x的正比例函数？
（1）每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y(元)与铅笔支数x(支)之间的关系。
（2）汽车由甲地驶往相距120千米的乙地，它的平均速度是40 km/h，汽车距乙地的路程y(km)与行驶时间x(h)的关系。
（3）一个长方形的面积是16cm2，它的一边长y(cm)与邻边长x(cm)的关系。
【答案】（1）解：y= x=0.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数．
（2）解：y=120-40x，y是x的一次函数。不是x的正比例函数．
（3）解：y= ，y既不是x的一次函数，也不是x的正比例函数。
【知识点】一次函数的定义；列一次函数关系式；正比例函数的定义
【解析】【分析】（1）根据 每盒铅笔12支，售价2.4元， 求函数解析式即可；
（2）根据题意求出 y=120-40x， 即可作答；
（3）根据 一个长方形的面积是16cm2， 求解即可。
三、一次函数的图象(1)
4．已知正比例函数y=3x，完成下列问题：
（1）画出函数图象。
（2）点(1，-3)在这个函数图象上吗？
（3）若x的取值范围是x>3，求y的取值范围。
【答案】（1）解：列表：
x …… -1 0 1 ……
y …… -3 0 3 ……
描点、连线得函数y=3x的图象如图所示．
（2）解：把x=1代入y=3x，得y=3，-3≠3，所以点(1，-3)不在这个函数图象上
（3）解：把x=3代入y=3x，得y=9．因为k=3>0，所以y随x的增大而增大，所以当x>3时，y>9．
【知识点】一次函数的图象；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）先列表，再作图即可；
（2） 把x=1代入y=3x，判断求解即可；
（3）先求出 y=9 ，再求出 y随x的增大而增大， 最后求解即可。
四、一次函数的图象(2)
5．已知一次函数y=-2x+4，完成下列问题：
（1）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象。
（2）说明y的值随x值的增大怎样变化？
（3）根据图象回答：当x为何值时，y>2？
【答案】（1）解：当x=0时，y=4，所以函数y=-2x+4的图象与y轴的交点坐标为(0，4)．当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，所以函数y=-2x+4的图象与τ轴的交点坐标为(2，0)．函数图象如图所示，
（2）解：y的值随x值的增大而减小．
（3）解：由图象可知，当x<1时，y>2．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数求出与x轴和y轴的交点坐标，再作图即可；
（2）根据函数图象求解即可；
（3）根据函数图象求出 当x<1时，y>2 即可作答。
五、一次函数的图象(3)
6．如图所示，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。
（1）求点A，B的坐标。
（2）求当x=-2时，y的值；当y=10时，x的值。
（3）过点B作直线BP与x轴相交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积。
【答案】（1）解：当y=0时，2x+3=0，解得x= ，则A( ，0)；
当x=0时，y=3，则B(0，3)．
（2）解：当x=-2时，y=2×(-2)+3=-1；
当y=10时，2x+3=10，解得x=
（3）解：因为OP= 20A，A( ，0)，所以OP=2× =3，则点P的位置有两种情况，点P在x轴的正半轴上或点P在x轴的负半轴上．
当点P在x轴负半轴上时，P(-3，0)，
则△ABP的面积为 ×(3- )×3=
当点P在x轴的正半轴上时，P(3，0)，
则△ABP的面积为 ×3×(3+ )=
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出 x= ， 再求出 y=3， 最后即可求点的坐标；
（2）把x和y的值代入函数解析式求解即可；
（3）分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可。
六、一次函数的图象(4)
7．如图所示，已知直线m的函数表达式为y= x+1，与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠BAC=90°。
（1）求四边形OACB的面积。
（2）若点P为x轴上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求点P的坐标。
【答案】（1）解：令x=0，则y=1，所以B(0，1)．令y=0，则0=- x+1，解得x=2，所以A(2，0)，由勾股定理，得AB= ．因为以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠BAC= 90° ，所以S△AOB= OA·OB=1，S△ABC= AB2 =
所以四边形OACB的面积= S△AOB+ S△ABC =
（2）解：因为S△ABP= S△ABC，S△ABC=
所以S△ABP= AP·OB= ×AP×1=，所以AP=5．
当点P在点A的右侧时，OP=2+5=7，点P的坐标为(7，0)；当点P在点A的左侧时，OP=5-2=3，点P的坐标为(-3，0)．所以点P的坐标为(7，0)或(-3，0)．
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出 得AB= ，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用三角形的面积公式求出 AP=5 ，再分类讨论求点的坐标即可。
七、确定一次函数的表达式(1)
8．如图所示，已知A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(0，3)。
（1）求过A，B两点的直线所对应的函数表达式。
（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=3OA，求△ABP的面积。
【答案】（1）解：设过A，B两点的直线所对应的函数表达式为y= kx +b(k≠0)；由题意，得0=- 2k+b，3=b，解得k= ，b=3．所以过A，B两点的直线所对应的函数表达式为y= x+3．
（2）解：设P点坐标为(x，0)．由题意，得x=±6，则P点坐标分别为P1(6，0)，P2(-6，0)．
所以S△ABP1= ×(6+2) ×3= 12，
S△ABP2= ×(6-2) ×3= 6．
所以△ABP的面积为6或12．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 P点坐标分别为P1(6，0)，P2(-6，0) ，再分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可。
八、确定一次函数的表达式(2)
9．已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0，1)和(1，-2)。
（1）求一次函数的表达式。
（2）求直线y=kx+b上到x轴距离为4的点的坐标。
【答案】（1）解：把(0，1)，(1，-2)分别代入y=kx+b，
得b=1，k+b=-2，解得k=-3，b=1．
所以一．次函数的表达式为y=-3x+1．
（2）解：当y=4时，-3x+1=4，解得x=-1，此时满足条件的点的坐标为(-1，4)．
当y=-4时，-3x+1=-4，解得x= ，此时满足条件的点的坐标为( ，-4)
综上所述，直线y=kx+b上到x轴距离为4的点的坐标为(-1，4)或（ ，-4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，求出 x=-1，x= ， 即可作答。
10．
（1）若点P(m，3)在函数y=2x-3的图象上，求点P的坐标。
（2）已知y+2与x-1成正比例，且当x=2时，y=6，求y与x的函数关系式。
【答案】（1）解：将点P(m，3)代入函数y=2x- 3，得
2m-3=3，解得m=3，所以点P的坐标为(3，3)．
（2）解：因为y+2与x-1成正比例，所以设y+2=k(x-1)，
当x=2时，y=6，即6+2=k(2- 1)，解得k= 8．
所以y+2=8(x-1)，即y=8x- 10．
所以y与x的函数关系式为y=8x- 10．
【知识点】函数解析式；一次函数的图象；正比例函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出 2m-3=3， 再求出 m=3， 最后求点的坐标即可；
（2）先求出 k= 8 ，再求函数解析式即可。
九、确定一次函数的表达式(3)
11．如图所示，一次函数y= x+6的图象与坐标轴交于A，B两点，BC是∠ABO的平分线。
（1）求点A，B的坐标。
（2）求BC所在直线对应的函数表达式。
【答案】（1）解：当x=0时，y=6，则A(0，6)；
当y=0时， x+6=0，解得x=8，则B(8，0)．
（2）解：如图所示，作CD⊥AB于点D．
因为BC是∠ABO的平分线，
所以∠CBD=∠CBO．
在△BCD和△BCO中，
所以△BCD≌△BCO(AAS)，
则BD= BO=8，0C= CD．
设C(O，t)．在Rt△OAB中，AB= = 10．
所以AD=10-8=2．
因为OC= DC=t，所以AC=6- t．
在Rt△ACD中，因为DC2 +AD2=AC2，所以t2+22=(6-1)2，解得t= ．所以C(0， )
设BC所在直线的函数表达式为y=kx+b，由题意，得b= ，8k +b=0，解得k= ，b=
所以BC所在直线的函数表达式为y= x+
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用一次函数的解析式计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ∠CBD=∠CBO ，再利用AAS证明 △BCD≌△BCO ，最后利用勾股定理和待定系数法求函数解析式即可。
十、确定一次函数的表达式(4)
12．在平面直角坐标系中，原点为O，已知一次函数的图象过点A(0，5)，点B(-1，4)和点P(m，n)。
（1）求这个一次函数的表达式。
（2）当n=2时，求直线AB、直线OP与x轴围成的图形的面积。
（3）当△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍时，求n的值。
【答案】（1）解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b．把点A(0，5)，点B(-1，4)的坐标代入，得b=5，-k+b=4，解得k=1，b=5．
所以这个一次函数的表达式是y=x+5．
（2）解：如图所示，设直线AB交x轴于点C，
当y=0时，x+5=0，解得x=-5，则C(-5，0)．
当n=2时，S△OPC= ×5×2=5，
所以直线AB、直线OP与x轴围成的图形的面积为5．
（3）解：因为△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍，
所以 ×5×|m|=2× ×1×5，解得m=2或m=-2．
所以P点的横坐标为2或-2．
当m=2时，n=m+5=7，此时P(2，7)；
当m=-2时，n=m+5=3，此时P(-2，3)．
综上所述，n的值为7或3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出 C(-5，0) ，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）利用三角形的面积公式求出 m=2或m=-2 ，再分类讨论，求解即可。
十一、一次函数的应用(1)
13．某种黄金饰品在A，B两个金店销售，A金店标价420元/克，按标价出售，不优惠；B金店标价450元/克，但若购买的黄金饰品质量超过3克，则超出部分可打八折出售。若购买的黄金饰品质量为x克。
（1）分别列出到A，B两个金店购买该种黄金饰品所需的费用(用含x的代数式表示)。
（2）王阿姨要买一条质量11克的此种黄金饰品，到哪个金店购买合算？
【答案】（1）解：设购买该种黄金饰品所需的费用为y元，则到A金店购买所需费用yA和质量：x之间的函数关系式为yA=420x(x≥0)．到B金店购买所需费用yB和质量x之间的函数关系式：当0≤x≤3时，yB=450x；当x>3时，yB=450×3+450×0.8×(x-3)=360x+270．
（2）解：当x=11时，yA=420×11=4 620(元)；
yB= 360×11+270=3 960+270=4 230(元)．
因为4 620>4 230，所以到B金店购买合算．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）将x=11分别代入函数解析式计算求解即可。
十二、一次函数的应用(2)
14．某牡丹园售票处规定：人园门票每张80元。非节假日的票价打6折售票；节假日根据团队人数实行分段售票：不超过10人，则按原票价购买；超过10人，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原票价打8折购买，某旅行社带团x人到牡丹园游览，设非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元。求：
（1）当x>10时，y1，y2与x的关系式。
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日(非节假日)带乙团到牡丹园游览，甲、乙两个团各25人，请问乙团比甲团便宜多少元？
【答案】（1）解：当x>10时，y1=0.6×80x=48x； ．
y2=0.8×80(x-10)+80×10= 64x+160．
（2）解：甲团的花费：64×25+160=1760(元)；
乙团的花费：48×25=1 200(元)．
1760-1200=560(元)，所以乙团比甲团便宜560元．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）先求出 甲团的花费为1760元，再求出乙团的花费为1200元，最后计算求解即可。
十三、一次函数的应用(3)
15．如图所示是某景区每日利润y1(元)与当天游客人数x(人)的函数图象。为了吸引游客，该景区决定改革，改革后每张票价减少20元，运营成本减少800元。设改革后该景区每日利润为y2(元)。(注：每日利润=票价收入-运营成本)
（1）解释点A的实际意义。
（2）分别求出y1，y2与x之间的函数表达式。
（3）当游客人数为多少人时，改革前的日利润与改革后的日利润相等？
【答案】（1）解：由题意，可得点A的实际意义为改革前该景区每日运营成本为2800元．
（2）解：设y1与x之间的函数表达式为y1=kx +b(k，b为常数，k≠0)．
根据题意，当x=0时，y1=-2800；当x=50时，y1=3200．所以b=-2800，50k+b=3 200，解得k=120，b=-2800．所以y1与x之间的函数表达式为y1= 120x-2800．根据题意，y2与x之间的函数表达式为y2=100x-2000．
（3）解：根据题意，当y1=y2时，得120x-2800=100x-2000，解得x=40．所以当游客人数为40人时，改革前的日利润与改革后的日利润相等．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意求出 120x-2800=100x-2000， 再求出 x=40 ，最后求解即可。
十四、一次函数的应用(4)
16．水龙头关闭不严会造成滴水，现用一个含有显示水量的圆柱形水杯接水做如图①所示的试验，研究水杯内盛水量w(L)与滴水时间t(h)的关系，根据试验数据绘制出如图②所示的函数图象，结合图象解答下列问题：
（1）求w与t之间的函数表达式．
（2）若杯子容积为2.2L，计算杯子最多可以接多少时间的水？
【答案】（1）解：设w与t的函数表达式为w=kt+b．由题意，得b=0.2，2k+b=1.2，所以2k+0.2=1.2，解得k=0.5．所以w与t的函数表达式为w=0.5t+0.2．
（2）解：当w=2.2时，2.2=0.5t+0.2，解得t=4．所以若杯子容积为2.2 L，杯子最多可以接4 h的水．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 2.2=0.5t+0.2， 再求出 t=4 ，最后求解即可。
十五、一次函数的应用(5)
17．小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min。小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示。
（1）家与图书馆之间的路程为多少米，小玲步行的速度为多少米/分？
（2）求小东离家的路程y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围。
（3）求两人相遇时离家多远？
【答案】（1）解：结合题意和图象可知，线段CD表示小东离家的路程y与时间x之间的函数图象，折线O一A-- B表示小玲离家的路程y与时间t之间的函数图象，则家与图书馆之间的路程为4000 m，小玲步行的速度为(4 000-2 000) ÷ (30-10)= 100(m/ min)．
（2）解：因为小东从离家4 000 m处以300 m/min的速度返回家，则x min时，他离家的路程y=4 000-300x．由4000-300x=0，解得x= ．所以自变量x的取值范围为0≤x≤
（3）解：由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，2000÷10=200(m/min)．所以4000-300x=200x，解得x=8，所以两人相遇时间为第8分钟．此时离家的距离是4 000- 300×8= 1600(m)．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）先求出 y=4 000-300x ，再求出 x= ，最后求解即可；
（3）根据题意求出 4000-300x=200x， 再求出 x=8， 最后求解即可。
十六、一次函数的应用(6)
18．某食品工厂将-种食品的加工任务平均分给甲、乙两个生产组共同完成。甲、乙两组同时以相同的效率开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间，乙组设备升级完毕后，工作效率有所提升，在完成本组任务后，还帮助甲组加工了60千克，最后两组同时停工，完成了此次加工任务。两组各自加工的食品量y(千克)与甲组工作时间x(小时)的关系如图所示。
（1）甲组每小时加工食品 千克，乙组升级设备停工了 小时。
（2）设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品多少千克？
（3）求a，b的值。
【答案】（1）30；2
（2）解：(210-30×2)÷(7-4)=50(千克/时)，所以，设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品50千克．
（3）解：根据题意，得50×(6-4)=30(b-2)+60×2，解得b=13． ．所以a=30×2+50×(13-4)= 510．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）求出 (210-30×2)÷(7-4)=50 即可作答；
（3）根据题意先求出 50×(6-4)=30(b-2)+60×2， 再计算求解即可。
十七、一次函数的应用(7)
19．（2019·常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
【答案】（1）解：设 ，根据题意得 ，
解得 ，
∴ ；
设 ，根据题意得：
，
解得 ，
∴ ；
（2）解：① ，即 ，解得 ，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
② ，即 ，解得 ，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③ ，即 ，解得 ，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据甲、乙两种卡的次数与金额的关系，可利用待定系数法求出关系式。
（2）根据三种情况，得出次数与费用的关系，找到合算的方案。
十八、一次函数的应用(8)
20．如图所示，l1，l2分别为走私船与我公安快艇航行时路程y(nmile)与时间x(min)之间的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）请问在刚出发时，我公安快艇距离走私船多少海里？
（2）请求出走私船与公安快艇的速度。
（3）请求出l1，l2的函数表达式。
（4）请问6分钟时走私船和我公安快艇相距几海里？
（5）猜想我公安快艇能否追上走私船，若能追上，那么在第几分钟时追上？
【答案】（1）解：由图象，得在刚出发时我公安快艇距离走私船5海里。
（2）解：v走私船= = 1(n mile/ min) ，v公安快艇= =1.5(n mile/ min)．
所以走私船的速度为1 n mile/ min，我公安快艇的速度为1.5 n mile/ min．
（3）解：设l1：y1=k1x+b，因为图象过点(0，5)和(4，9)，
则5=b，9=4k1 +b，解得k1=1，b=5，所以y1=x+5．
设l2：y2= k2x，
因为图象过点(4，6)，则6=4k2，所以k2= ，所以y2= x
（4）解：当x=6时，y1=11，y2=9.11-9=2(n mile)，所以6分钟时走私船和我公安快艇相距2 n mile．
（5）解：能．当y1=y2时，x+5= x，解得x=10． ．
所以第10分钟时我公安快艇追上走私船．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）求出走私船的速度为1 n mile/ min，我公安快艇的速度为1.5 n mile/ min即可作答；
（3） 先求出 k1=1，b=5， 再求出 k2= ， 即可作答；
（4）求出 当x=6时，y1=11，y2=9.11-9=2(n mile)， 即可作答；
（5）先求出 x+5= x， 再计算求解即可。
1 / 1【天天练】初中数学鲁教版七年级上册第六章一次函数
一、函数
1．小亮家距离学校8 km，昨天早晨，小亮骑车上学途中，自行车突然故障，恰好路边有自行车维修点，几分钟后车修好了，为了不迟到，他加快了骑车到校的速度，到校后，小亮根据这段经历画出如图所示的图象．该图象描绘了小亮距家的路程s与离家的时间t之间的关系。
请根据图象，解答下列问题：
（1）小亮行驶了多少千米时，自行车故障？修车用了多少时间？
（2）小亮到学校路上共用了多少时间？
（3）如果自行车没有故障，一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚到学校多少时间？(精确到0.1)
二、一次函数
2．当k为何值时，函数y=(k+1)x2-|k|+4是一次函数？
3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为x的正比例函数？
（1）每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y(元)与铅笔支数x(支)之间的关系。
（2）汽车由甲地驶往相距120千米的乙地，它的平均速度是40 km/h，汽车距乙地的路程y(km)与行驶时间x(h)的关系。
（3）一个长方形的面积是16cm2，它的一边长y(cm)与邻边长x(cm)的关系。
三、一次函数的图象(1)
4．已知正比例函数y=3x，完成下列问题：
（1）画出函数图象。
（2）点(1，-3)在这个函数图象上吗？
（3）若x的取值范围是x>3，求y的取值范围。
四、一次函数的图象(2)
5．已知一次函数y=-2x+4，完成下列问题：
（1）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象。
（2）说明y的值随x值的增大怎样变化？
（3）根据图象回答：当x为何值时，y>2？
五、一次函数的图象(3)
6．如图所示，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。
（1）求点A，B的坐标。
（2）求当x=-2时，y的值；当y=10时，x的值。
（3）过点B作直线BP与x轴相交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积。
六、一次函数的图象(4)
7．如图所示，已知直线m的函数表达式为y= x+1，与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠BAC=90°。
（1）求四边形OACB的面积。
（2）若点P为x轴上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求点P的坐标。
七、确定一次函数的表达式(1)
8．如图所示，已知A点坐标为(-2，0)，B点坐标为(0，3)。
（1）求过A，B两点的直线所对应的函数表达式。
（2）过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=3OA，求△ABP的面积。
八、确定一次函数的表达式(2)
9．已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0，1)和(1，-2)。
（1）求一次函数的表达式。
（2）求直线y=kx+b上到x轴距离为4的点的坐标。
10．
（1）若点P(m，3)在函数y=2x-3的图象上，求点P的坐标。
（2）已知y+2与x-1成正比例，且当x=2时，y=6，求y与x的函数关系式。
九、确定一次函数的表达式(3)
11．如图所示，一次函数y= x+6的图象与坐标轴交于A，B两点，BC是∠ABO的平分线。
（1）求点A，B的坐标。
（2）求BC所在直线对应的函数表达式。
十、确定一次函数的表达式(4)
12．在平面直角坐标系中，原点为O，已知一次函数的图象过点A(0，5)，点B(-1，4)和点P(m，n)。
（1）求这个一次函数的表达式。
（2）当n=2时，求直线AB、直线OP与x轴围成的图形的面积。
（3）当△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍时，求n的值。
十一、一次函数的应用(1)
13．某种黄金饰品在A，B两个金店销售，A金店标价420元/克，按标价出售，不优惠；B金店标价450元/克，但若购买的黄金饰品质量超过3克，则超出部分可打八折出售。若购买的黄金饰品质量为x克。
（1）分别列出到A，B两个金店购买该种黄金饰品所需的费用(用含x的代数式表示)。
（2）王阿姨要买一条质量11克的此种黄金饰品，到哪个金店购买合算？
十二、一次函数的应用(2)
14．某牡丹园售票处规定：人园门票每张80元。非节假日的票价打6折售票；节假日根据团队人数实行分段售票：不超过10人，则按原票价购买；超过10人，则其中10人按原票价购买，超过部分的按原票价打8折购买，某旅行社带团x人到牡丹园游览，设非节假日的购票款为y1元，在节假日的购票款为y2元。求：
（1）当x>10时，y1，y2与x的关系式。
（2）该旅行社在今年5月1日带甲团与5月10日(非节假日)带乙团到牡丹园游览，甲、乙两个团各25人，请问乙团比甲团便宜多少元？
十三、一次函数的应用(3)
15．如图所示是某景区每日利润y1(元)与当天游客人数x(人)的函数图象。为了吸引游客，该景区决定改革，改革后每张票价减少20元，运营成本减少800元。设改革后该景区每日利润为y2(元)。(注：每日利润=票价收入-运营成本)
（1）解释点A的实际意义。
（2）分别求出y1，y2与x之间的函数表达式。
（3）当游客人数为多少人时，改革前的日利润与改革后的日利润相等？
十四、一次函数的应用(4)
16．水龙头关闭不严会造成滴水，现用一个含有显示水量的圆柱形水杯接水做如图①所示的试验，研究水杯内盛水量w(L)与滴水时间t(h)的关系，根据试验数据绘制出如图②所示的函数图象，结合图象解答下列问题：
（1）求w与t之间的函数表达式．
（2）若杯子容积为2.2L，计算杯子最多可以接多少时间的水？
十五、一次函数的应用(5)
17．小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min。小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示。
（1）家与图书馆之间的路程为多少米，小玲步行的速度为多少米/分？
（2）求小东离家的路程y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围。
（3）求两人相遇时离家多远？
十六、一次函数的应用(6)
18．某食品工厂将-种食品的加工任务平均分给甲、乙两个生产组共同完成。甲、乙两组同时以相同的效率开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间，乙组设备升级完毕后，工作效率有所提升，在完成本组任务后，还帮助甲组加工了60千克，最后两组同时停工，完成了此次加工任务。两组各自加工的食品量y(千克)与甲组工作时间x(小时)的关系如图所示。
（1）甲组每小时加工食品 千克，乙组升级设备停工了 小时。
（2）设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品多少千克？
（3）求a，b的值。
十七、一次函数的应用(7)
19．（2019·常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
十八、一次函数的应用(8)
20．如图所示，l1，l2分别为走私船与我公安快艇航行时路程y(nmile)与时间x(min)之间的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）请问在刚出发时，我公安快艇距离走私船多少海里？
（2）请求出走私船与公安快艇的速度。
（3）请求出l1，l2的函数表达式。
（4）请问6分钟时走私船和我公安快艇相距几海里？
（5）猜想我公安快艇能否追上走私船，若能追上，那么在第几分钟时追上？
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由图象可得小亮行驶了3 km时，出现自行车故障．
修车用了15- 10= 5( min)
（2）解：小亮共用了30 min．
（3）解：小亮修车前的速度为3÷10= (km/min)，按此速度到校共需时间为8÷ = (min)，30- = ≈3.3<(min)，所以他比实际情况早到学校约3.3分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）根据函数图象求出小亮共用了30 min 即可作答；
（3）先求出 km/min， 再计算求解即可。
2．【答案】解：由一次函数的定义，得2-|k|=1，且k+1≠0，解得k=1．
【知识点】一次函数的定义
【解析】【分析】根据题意求出 2-|k|=1，且k+1≠0， 再计算求解即可。
3．【答案】（1）解：y= x=0.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数．
（2）解：y=120-40x，y是x的一次函数。不是x的正比例函数．
（3）解：y= ，y既不是x的一次函数，也不是x的正比例函数。
【知识点】一次函数的定义；列一次函数关系式；正比例函数的定义
【解析】【分析】（1）根据 每盒铅笔12支，售价2.4元， 求函数解析式即可；
（2）根据题意求出 y=120-40x， 即可作答；
（3）根据 一个长方形的面积是16cm2， 求解即可。
4．【答案】（1）解：列表：
x …… -1 0 1 ……
y …… -3 0 3 ……
描点、连线得函数y=3x的图象如图所示．
（2）解：把x=1代入y=3x，得y=3，-3≠3，所以点(1，-3)不在这个函数图象上
（3）解：把x=3代入y=3x，得y=9．因为k=3>0，所以y随x的增大而增大，所以当x>3时，y>9．
【知识点】一次函数的图象；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）先列表，再作图即可；
（2） 把x=1代入y=3x，判断求解即可；
（3）先求出 y=9 ，再求出 y随x的增大而增大， 最后求解即可。
5．【答案】（1）解：当x=0时，y=4，所以函数y=-2x+4的图象与y轴的交点坐标为(0，4)．当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，所以函数y=-2x+4的图象与τ轴的交点坐标为(2，0)．函数图象如图所示，
（2）解：y的值随x值的增大而减小．
（3）解：由图象可知，当x<1时，y>2．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数求出与x轴和y轴的交点坐标，再作图即可；
（2）根据函数图象求解即可；
（3）根据函数图象求出 当x<1时，y>2 即可作答。
6．【答案】（1）解：当y=0时，2x+3=0，解得x= ，则A( ，0)；
当x=0时，y=3，则B(0，3)．
（2）解：当x=-2时，y=2×(-2)+3=-1；
当y=10时，2x+3=10，解得x=
（3）解：因为OP= 20A，A( ，0)，所以OP=2× =3，则点P的位置有两种情况，点P在x轴的正半轴上或点P在x轴的负半轴上．
当点P在x轴负半轴上时，P(-3，0)，
则△ABP的面积为 ×(3- )×3=
当点P在x轴的正半轴上时，P(3，0)，
则△ABP的面积为 ×3×(3+ )=
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）先求出 x= ， 再求出 y=3， 最后即可求点的坐标；
（2）把x和y的值代入函数解析式求解即可；
（3）分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可。
7．【答案】（1）解：令x=0，则y=1，所以B(0，1)．令y=0，则0=- x+1，解得x=2，所以A(2，0)，由勾股定理，得AB= ．因为以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠BAC= 90° ，所以S△AOB= OA·OB=1，S△ABC= AB2 =
所以四边形OACB的面积= S△AOB+ S△ABC =
（2）解：因为S△ABP= S△ABC，S△ABC=
所以S△ABP= AP·OB= ×AP×1=，所以AP=5．
当点P在点A的右侧时，OP=2+5=7，点P的坐标为(7，0)；当点P在点A的左侧时，OP=5-2=3，点P的坐标为(-3，0)．所以点P的坐标为(7，0)或(-3，0)．
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出 得AB= ，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用三角形的面积公式求出 AP=5 ，再分类讨论求点的坐标即可。
8．【答案】（1）解：设过A，B两点的直线所对应的函数表达式为y= kx +b(k≠0)；由题意，得0=- 2k+b，3=b，解得k= ，b=3．所以过A，B两点的直线所对应的函数表达式为y= x+3．
（2）解：设P点坐标为(x，0)．由题意，得x=±6，则P点坐标分别为P1(6，0)，P2(-6，0)．
所以S△ABP1= ×(6+2) ×3= 12，
S△ABP2= ×(6-2) ×3= 6．
所以△ABP的面积为6或12．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 P点坐标分别为P1(6，0)，P2(-6，0) ，再分类讨论，利用三角形的面积公式计算求解即可。
9．【答案】（1）解：把(0，1)，(1，-2)分别代入y=kx+b，
得b=1，k+b=-2，解得k=-3，b=1．
所以一．次函数的表达式为y=-3x+1．
（2）解：当y=4时，-3x+1=4，解得x=-1，此时满足条件的点的坐标为(-1，4)．
当y=-4时，-3x+1=-4，解得x= ，此时满足条件的点的坐标为( ，-4)
综上所述，直线y=kx+b上到x轴距离为4的点的坐标为(-1，4)或（ ，-4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，求出 x=-1，x= ， 即可作答。
10．【答案】（1）解：将点P(m，3)代入函数y=2x- 3，得
2m-3=3，解得m=3，所以点P的坐标为(3，3)．
（2）解：因为y+2与x-1成正比例，所以设y+2=k(x-1)，
当x=2时，y=6，即6+2=k(2- 1)，解得k= 8．
所以y+2=8(x-1)，即y=8x- 10．
所以y与x的函数关系式为y=8x- 10．
【知识点】函数解析式；一次函数的图象；正比例函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出 2m-3=3， 再求出 m=3， 最后求点的坐标即可；
（2）先求出 k= 8 ，再求函数解析式即可。
11．【答案】（1）解：当x=0时，y=6，则A(0，6)；
当y=0时， x+6=0，解得x=8，则B(8，0)．
（2）解：如图所示，作CD⊥AB于点D．
因为BC是∠ABO的平分线，
所以∠CBD=∠CBO．
在△BCD和△BCO中，
所以△BCD≌△BCO(AAS)，
则BD= BO=8，0C= CD．
设C(O，t)．在Rt△OAB中，AB= = 10．
所以AD=10-8=2．
因为OC= DC=t，所以AC=6- t．
在Rt△ACD中，因为DC2 +AD2=AC2，所以t2+22=(6-1)2，解得t= ．所以C(0， )
设BC所在直线的函数表达式为y=kx+b，由题意，得b= ，8k +b=0，解得k= ，b=
所以BC所在直线的函数表达式为y= x+
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用一次函数的解析式计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ∠CBD=∠CBO ，再利用AAS证明 △BCD≌△BCO ，最后利用勾股定理和待定系数法求函数解析式即可。
12．【答案】（1）解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b．把点A(0，5)，点B(-1，4)的坐标代入，得b=5，-k+b=4，解得k=1，b=5．
所以这个一次函数的表达式是y=x+5．
（2）解：如图所示，设直线AB交x轴于点C，
当y=0时，x+5=0，解得x=-5，则C(-5，0)．
当n=2时，S△OPC= ×5×2=5，
所以直线AB、直线OP与x轴围成的图形的面积为5．
（3）解：因为△OAP的面积等于△OAB的面积的2倍，
所以 ×5×|m|=2× ×1×5，解得m=2或m=-2．
所以P点的横坐标为2或-2．
当m=2时，n=m+5=7，此时P(2，7)；
当m=-2时，n=m+5=3，此时P(-2，3)．
综上所述，n的值为7或3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出 C(-5，0) ，再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）利用三角形的面积公式求出 m=2或m=-2 ，再分类讨论，求解即可。
13．【答案】（1）解：设购买该种黄金饰品所需的费用为y元，则到A金店购买所需费用yA和质量：x之间的函数关系式为yA=420x(x≥0)．到B金店购买所需费用yB和质量x之间的函数关系式：当0≤x≤3时，yB=450x；当x>3时，yB=450×3+450×0.8×(x-3)=360x+270．
（2）解：当x=11时，yA=420×11=4 620(元)；
yB= 360×11+270=3 960+270=4 230(元)．
因为4 620>4 230，所以到B金店购买合算．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）将x=11分别代入函数解析式计算求解即可。
14．【答案】（1）解：当x>10时，y1=0.6×80x=48x； ．
y2=0.8×80(x-10)+80×10= 64x+160．
（2）解：甲团的花费：64×25+160=1760(元)；
乙团的花费：48×25=1 200(元)．
1760-1200=560(元)，所以乙团比甲团便宜560元．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）先求出 甲团的花费为1760元，再求出乙团的花费为1200元，最后计算求解即可。
15．【答案】（1）解：由题意，可得点A的实际意义为改革前该景区每日运营成本为2800元．
（2）解：设y1与x之间的函数表达式为y1=kx +b(k，b为常数，k≠0)．
根据题意，当x=0时，y1=-2800；当x=50时，y1=3200．所以b=-2800，50k+b=3 200，解得k=120，b=-2800．所以y1与x之间的函数表达式为y1= 120x-2800．根据题意，y2与x之间的函数表达式为y2=100x-2000．
（3）解：根据题意，当y1=y2时，得120x-2800=100x-2000，解得x=40．所以当游客人数为40人时，改革前的日利润与改革后的日利润相等．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意求出 120x-2800=100x-2000， 再求出 x=40 ，最后求解即可。
16．【答案】（1）解：设w与t的函数表达式为w=kt+b．由题意，得b=0.2，2k+b=1.2，所以2k+0.2=1.2，解得k=0.5．所以w与t的函数表达式为w=0.5t+0.2．
（2）解：当w=2.2时，2.2=0.5t+0.2，解得t=4．所以若杯子容积为2.2 L，杯子最多可以接4 h的水．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 2.2=0.5t+0.2， 再求出 t=4 ，最后求解即可。
17．【答案】（1）解：结合题意和图象可知，线段CD表示小东离家的路程y与时间x之间的函数图象，折线O一A-- B表示小玲离家的路程y与时间t之间的函数图象，则家与图书馆之间的路程为4000 m，小玲步行的速度为(4 000-2 000) ÷ (30-10)= 100(m/ min)．
（2）解：因为小东从离家4 000 m处以300 m/min的速度返回家，则x min时，他离家的路程y=4 000-300x．由4000-300x=0，解得x= ．所以自变量x的取值范围为0≤x≤
（3）解：由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，2000÷10=200(m/min)．所以4000-300x=200x，解得x=8，所以两人相遇时间为第8分钟．此时离家的距离是4 000- 300×8= 1600(m)．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）先求出 y=4 000-300x ，再求出 x= ，最后求解即可；
（3）根据题意求出 4000-300x=200x， 再求出 x=8， 最后求解即可。
18．【答案】（1）30；2
（2）解：(210-30×2)÷(7-4)=50(千克/时)，所以，设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品50千克．
（3）解：根据题意，得50×(6-4)=30(b-2)+60×2，解得b=13． ．所以a=30×2+50×(13-4)= 510．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）求出 (210-30×2)÷(7-4)=50 即可作答；
（3）根据题意先求出 50×(6-4)=30(b-2)+60×2， 再计算求解即可。
19．【答案】（1）解：设 ，根据题意得 ，
解得 ，
∴ ；
设 ，根据题意得：
，
解得 ，
∴ ；
（2）解：① ，即 ，解得 ，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
② ，即 ，解得 ，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③ ，即 ，解得 ，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据甲、乙两种卡的次数与金额的关系，可利用待定系数法求出关系式。
（2）根据三种情况，得出次数与费用的关系，找到合算的方案。
20．【答案】（1）解：由图象，得在刚出发时我公安快艇距离走私船5海里。
（2）解：v走私船= = 1(n mile/ min) ，v公安快艇= =1.5(n mile/ min)．
所以走私船的速度为1 n mile/ min，我公安快艇的速度为1.5 n mile/ min．
（3）解：设l1：y1=k1x+b，因为图象过点(0，5)和(4，9)，
则5=b，9=4k1 +b，解得k1=1，b=5，所以y1=x+5．
设l2：y2= k2x，
因为图象过点(4，6)，则6=4k2，所以k2= ，所以y2= x
（4）解：当x=6时，y1=11，y2=9.11-9=2(n mile)，所以6分钟时走私船和我公安快艇相距2 n mile．
（5）解：能．当y1=y2时，x+5= x，解得x=10． ．
所以第10分钟时我公安快艇追上走私船．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解即可；
（2）求出走私船的速度为1 n mile/ min，我公安快艇的速度为1.5 n mile/ min即可作答；
（3） 先求出 k1=1，b=5， 再求出 k2= ， 即可作答；
（4）求出 当x=6时，y1=11，y2=9.11-9=2(n mile)， 即可作答；
（5）先求出 x+5= x， 再计算求解即可。
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