武汉市马房山中学2024届高三上学期1月期末综合测评
数 学
本试卷满分 150分.考试用时 120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答
题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡
上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用 2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签
字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．已知集合 A {1,2,3}，B x Z (x 1)(x 2) 0 ，则 A B （ ）
A．{1,2,3} B．{1,2} C．{2,3} D．{1}
2 4i
2．若 z 3 i， z ' ，则（ ）
1 i
A． z ' z B． z ' z 2 C． z ' z D． z ' z 4
3．已知向量 a ( 3,1)，b (2, 2 3)，则 a与b的夹角为（ ）
5 3
A． B．
C． D．
6 6 3 4
4．已知正三棱锥V ABC 中，侧面与底面所成角的正切值为 2，AB 6，这个三棱锥
的内切球和外接球的半径之比为（ ）
2
A 3 1 B 3 1 2 1． ． C． D．
3 3 3 3
试卷第 1页，共 5页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
5．设 Sn是等差数列 an 的前 n项和，且a1 a5 14，S9 27，则使得 Sn取最小值时
的 n为（ ）
A．6 B．7 C．6或 7 D．8
6．某校高三年级有 8名同学计划高考后前往武当山 黄山 庐山三个景点旅游.已知 8名
同学中有 4名男生，4名女生.每个景点至少有 2名同学前往，每名同学仅选一处景点游
玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生 B与女生C去同一处景点游玩，则
这 8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A．564 B．484 C．386 D．640
7．已知 ABC中，AO AB (1 )AC，且O为 ABC的外心．若BA在 BC上的投影
cos AOC 1, 2向量为 BC，且
，则 的取值范围为（ ） 3 3
2 5 1 3 4 5 1 3
A ． , B． , C． , D． , 3 6 5 10 3 3 5 5
3 f x
8．已知 f x aln x 1 x3 4x2， g x xe x lnx x ，若不等式 0
4 g x 的解集
中只含有 2个正整数，则 a的取值范围为（ ）
25 72 9
A． , B． ,0
ln5 ln6 ln3
9 ,0 25C． D． ,
72
ln2 ln4 ln5
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有
选错的得 0分．
9．已知正数 x，y满足 x y 2，则（ ）
A． xy 2 2的最大值为 1 B． x y 的最大值为 2
2 1 3
C． x y 的最小值为 2 D． x y的最小值为
2
2
10．袋子中有 1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个
球，取球后不放回，设事件 A 第一个球是红球 ， B 第二个球是黄球 ，
C 第三个球是蓝球 ，则下列结论正确的是（ ）
A． P A P B B． P C 1
4
试卷第 2页，共 5页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
5
C．A与 B相互独立 D． P A C
12
11．已知等比数列{an}满足 a1 a2 6， a4 2a2 a3，设其公比为 q，前 n项和为 Sn，
则（ ）
A． q = 2 B． an 2n
C． S10 2048 D． Sn an
x x
12 ae e．已知 f x ， g x a x 2 e2x x 2 ， a 0则（ ）
2
A．当 a 1时， f x 为奇函数
B．当 a 1时，存在直线 y t与 y f x 有 6个交点
1
C．当 a 2 , 0 时， g x 在 0, 上单调递减 e
D．当 a 1时， g x 在 0, 上有且仅有一个零点
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，
2 x x 2y 613． 的展开式中 x4 y2的系数为 ．（用数字作答）
y
x2 y214．已知椭圆 C： 2 2 1(a b 0)的左右焦点为 Fa b 1
,F2 ．直线 y kx与椭圆C相交于
P,Q两点， 若 PF1 2QF
2π
1 ， 且 PF1Q ， 则椭圆C的离心率为 ．3
15．若 sin
m 1 m
，cos ，则 tan ．
m 2 m 2
f x x 1 g x 2cos 5π16．函数 与函数 x 1
的图象所有交点的横坐标之和
2
为 ．
四、解答题：本小题共 6小题，共 70分，其中第 17题 10分，18~22题 12
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 c
2 a2 b2 A
．在锐角 ABC中， A,B,C的对应边分别是 a,b,c，且 2bcos2 ．
2c 2
(1)求 cosB的取值范围；
2a c
(2)求 的取值范围．
b
18．已知首项为正数的等差数列 an 的公差为 2，前 n项和为 Sn，满足 S4 S1 S2 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
试卷第 3页，共 5页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
(2)令bn 4cos nπ
n 1
ba n Tn a
，求数列 n 的前 项和 n．
n 1
19．篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动.
喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 合计
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各 100名观众进行调查，
得到如上 2 2列联表，判断是否有 99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第 1次由甲将球传出，每次传球
时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定
每次传球都能被接到.记开始传球的人为第 1次触球者，第 n次触球者是甲的概率记为Pn，
即 P1 1 .
①求P3（直接写出结果即可）；
1
②证明：数列 Pn 为等比数列，并比较第 9次与第 10次触球者是甲的概率的大小.
3
P 2 x0 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
2 n ad bc
2
附： ， n a b c d .
a b c d a c b d
20．如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD，PA 2，底面 ABCD为直角梯形，
BAD 90 ，AB 2，CD AD 1，N是 PB的中点，点M ，Q分别在线段 PD与 AP
上，且DM MP， AQ QP．
试卷第 4页，共 5页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
(1)当 1时，求平面MDN与平面DNC的夹角大小；
2
(2) 若MQ∥平面 PBC，求 的最小值．
21．已知函数 f x sinx ln 1 ax ．
π
(1)若 x 0,
时， f x 02 ，求实数 a的取值范围；
1 3 n 2 n 1 3
(2)设 n N*，证明： sin ln ln sin 3 2 n 1 ．k 1 k k 2 4
22．已知点 F是抛物线C : x2 4y 的焦点，直线 l与抛物线 C相切于点 P x0 , y0 x0 0 ，
连接 PF交抛物线于另一点 A，过点 P作 l的垂线交抛物线于另一点 B．
(1)若 x0 1，求直线 l的方程；
(2)求三角形 PAB面积 S的最小值．
试卷第 5页，共 5页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
答案第 1页，共 1页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}高三数学参考答案
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B A A A C
题号 9 10 11 12
答案 AD ABD ABD ACD
填空：
13 4． 40 14 3． 15．0或 16．10
3 3
详细解析：
6．A
【详解】8人分三组可分为 2人，2人，4人和 2人，3人，3人，共两种情况.
第一种情况分成 2人，2人，4人：女生 B,C去同一处景点，当 B,C成 2人组时，
其他 6人分成 2人，4 1 2人两组且男生甲与女生A不同组，有C4A2 8种方法；
C1C1 2
当B,C
C
在 4 2 2人组时，有 2 4 42 C4AA 2
36种方法.
2
2
第二种情况分成 2人，3人，3人：当 B,C成 2人组时，有C4 6种方法；
B,C 1 2 1 1 2当 在 3人组时，有C2C5 C4C3A2 44种方法.
故这 8 3名同学游玩行程的方法数为 8 36 6 44 A3 564 .
故选：A.
7．A
答案第 1页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
【详解】
因为 AO AB (1 )AC AB AC AC ，
则 AO AC (AB AC )，所以CO CB，即 B，O，C三点共线．
因为O为 ABC的外心，即有 |OA | |OB | |OC |，
1 2
所以 ABC为直角三角形，因此 AB AC，O为斜边BC 的中点．因为 cos AOC
, ，
3 3
所以 AOC为锐角．
如图，过点A作 AQ BC，垂足为Q．
1
因为 BA在 BC上的投影向量为 BQ BC，所以 1，2
OQ BQ BO BC 1 BC 1
所以OA在 BC上的投影向量为 BC．2 2
1
1 OQ 2
BC
又因为 |OA | | BC |，所以 cos AOC 1 2 1 ．2 OA BC
2
cos AOC 1 , 2 因为 ，所以 2 1
1 , 2
3 3
，
3 3
2 5
故 的取值范围为 , ． 3 6
故选：A．
8．C
【详解】由 g x xe x 3 lnx x ，
4
x 1
可得 g x 1 x e ，
x
设G x 1 1 ex x，则G x e 2 0，x x
所以G x 在 0, 上单调递增，
又G 1 e 1 0，所以当 x 1时，G x G 1 0，
即当 x 1时， g x 1 1 x e x
x
0 ， g x 单调递增，
答案第 2页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
7
所以当 x 1时， g x g 1 e 0，
4
f x
所以若不等式 0g x 的解集中只含有 2个正整数，
即不等式 f x 0的解集中只含有 2个正整数，
又 f x aln x 1 x3 4x2 3 2的定义域为 1, ，且 f 2 aln1 2 4 2 8 0，
3 2
则 f x a 3x 7x 4x a 3x 2 4x ，
x 1 x 1
2
设F x 3x3 7x2 4x a F x 9x2 14x 4 9 x 7 13，则 ，
9 9
当 x 2时， F x F 2 12，
所以 F x 在 2, 上单调递减，且 F x 0至多有一个解，
所以若 f x 0有且只有 2个正整数解
f 3 aln2 33 4 32 0 9
则需满足 ，解得 a 0， f 4 a ln 3 4
3 4 42 0 ln 2
9
现证当 a 0时， f x 0在 4, 上恒成立，
ln 2
由 x 4, 时， F x 3x3 7x2 4x a F 4 43 7 42 4 4 a 96 a 0，
即当 x 4, 时， f x 0， f x 单调递减，
所以当 x 4, 时， f x 0，
9
综上所述 a 0，
ln 2
故选：C.
多选题
12．ACD
【详解】当a 1时， f x 0，可以说是奇函数，故 A正确；
当a 1时， f x ex在R 上单调递增，与 y t最多一个交点，故 B错误；
答案第 3页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
g x a x 2 e2x x 2 g x a e2x 2 x 2 e2x 2x因为 ，所以 1 ae 2x 3 1 .
对 C： g x 在 0, 2x上递减，需有 ae 2x 3 1 0（ x 0）恒成立.
x 3当 时，a
1 1
2x ，又 2x 0
1
e 2x 3 e 2x 3 ，且当 x 时，
0
2 e2x 2x 3 ，所以 a 0 .
3 1
当0 x 时， a .
2 e2x 2x 3
设h x e2x 2x 3 h x e2x，则 4x 4 ，由h x 0 x 1，所以 h x 在 0,1 上递减，
3
在 1, 上递增，
2
所以 h x 2 1的最小值为h 1 e ，所以 a
e2
.
1 1
所以 a 0且 a ，即 a , 0
e2 2
.故 C正确；
e
对 D 2x 2x：设m x ae 2x 3 1，则m x 4ae x 1 .因为 a 1，所以当 0 x 1时，
m x 0；当 x 1时，m x 0 .
所以m x 在 0,1 2上递增，在 1, 上递减，所以m x 的最大值为m 1 ae 1 0，
又m 0 3a 1 0，所以m x 0只在 1, 2x有一解，设为 x 00即ae 2x0 3 1 0，
所以 g x 在 0, x0 上递增，在 x0 , 上递减.
且 g 0 2 a 1 0，且当 x 2x时， g x a x 2 e x 2 ，所以 g x 在
0, 上有且仅有一个零点.故 D正确.
故选：ACD
填空：
16．10
【分析】判断函数 f x 的性质与最小值，判断函数 g x 的性质，作出函数 f x 与 g x 的
大致图象，判断两个图象在 1, 上的交点情况，根据对称性得结果.
【详解】因为 f 2 x 2 x 1 1 x f x ，所以函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，
且 f x 在 ,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
答案第 4页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
所以 f x 的最小值为 f 1 0．
g x 2cos 5π x 1 2cos 5π 5π x 2sin
5πx
2 2 2 2
所以函数 g x 的图象关于直线 x 1对称，且 g x 的最大值为 2．
由于 f x 的图象和 g x 的图象都关于直线 x 1对称，
所以先考虑两个图象在 1, 上的情形，
易知 g x 1, 7 7 9 9 11 在 上单调递减，在 , 上单调递增，在 ,5 5 5 5 5 上单调递减，
11 13 13
在 , 上单调递增，在 ,3 上单调递减．
5 5 5
f 13 13 8易知 1 2， f 3 3 1 2，
5 5 5
所以可作出函数 f x 与 g x 的大致图象如图所示，
所以 f x 的图象和 g x 的图象在 1, 上有 5个交点．
根据对称性可知两函数图象共有 10个交点，且两两关于直线 x 1对称，
因此所有交点的横坐标之和为2 5 10．
故答案为:10 .
大题
2 3
17．(1) ,2 2
(2) 2 2 1,2 3 2
答案第 5页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
c21 a
2 b2 2bcos2 A 1 cos A（ ） 2b b b cos A，
2c 2 2
c2 a2 b2
由 cos B ，故 acosB b bcos A，
2ac
a b c
由 sin A sin B sinC ，
故，
则 sin Acos B sin B cos A sin A B sin B，
由 ABC为锐角三角形，故 A B B，即 A 2B，
0 B 0 2B π则有 ， ，0 π 2B B ，
2 2 2
B 2 cosB 3
2 3
可得 ，故 ，即 cosB , ；--------5分
6 4 2 2 2 2
a b c
（2）由 sin A sin B sinC ， A 2B，
2a c 2sin A sinC 2sin 2B sin π 3B 2sin 2B sin 3B
则
b sin B sin B sin B
4sin B cos B sin B cos 2B sin 2B cos B 2
4cos B cos 2B 2sin B cos B
sin B sin B
4cosB 2cos2 B 1 2cos2 B 4cos2 B 4cosB 1
1 2
4 cos B 2，
2
2 3 2
由（1 3 2 ）知 cosB , ，故2 2 cos B
1
3
1 ，
4 2
2 2
2a c 2a c
故2 2 1 2 3 2，即 2 2 1,2 3 2b b .---------10分
18．(1)an 2n 1
1 1 1 1
(2)当 n为偶数时，Tn ，当 n为奇数时，T .2n 3 3 n 2n 3 3
（1）由题意得 an 是公差为 2的等差数列，且 S4 S1 S2，
即 4a1 12 a1 2a1 2 ，又因为 a1 0，所以 a1 3，
答案第 6页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
所以数列 an 的通项公式 an a1 (n 1)d 2n 1 .-------6分
4
n 1
（2）由（1）知bn cos nπ cos nπ
1 1
2n 1 ， 2n 3 -----7分 2n 1 2 n 3
n T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1当 为偶数时， n
，
3 5 5 7 7 9 2 n 1 2 n 3 2 n 3 3
-------9
分
n T T 1 1 1 1 1 1当 为奇数时， n n 1 bn ,n( 3)2n 1 3 2n 1 2n 3 2n 3 3 ，---------10分
1 1
经检验， n 1时，满足Tn ，2n 3 3
1 1
综上，当 n为偶数时，Tn ，---------11分2n 3 3
n T 1 1当 为奇数时， n .2n 3 3 --------12分
19．(1)有 99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.
(2) 1① 2 ；②证明见解析，第9次触球者是甲的概率大.
2
1）（1 200 (60 80 20 40) 100）根据列联表数据，经计算得 2 10.828 x ,
100 100 80 120 3 0.001
根据独立性检验：即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.------3分
（2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的
1
一人，故传给甲的概率为 ，故 P
1
2 3
.------------4分
2
②第 n次触球者是甲的概率记为Pn，则当 n 2时，第 n 1次触球者是甲的概率为 Pn 1，
第 n 1次触球者不是甲的概率为1 Pn 1，
P P 0 1 1 1则 n n 1 Pn 1 1 P2 2 n 1 ,
P 1 1 P 1从而 n
1 2
3 2 n 1
，又 P 0，
3 1 3 3
P 1 2 1所以 n 是以 3 为首项，公比为 的等比数列 3 2
，---------9分
2 1 n 1 1 8 9
P n , P
2 1 1 1 2 1 1 1
9
,P
3 2 3 3 2 3 3 10
,P9 P10 ,
3 2 3 3
故第9次触球者是甲的概率大.----------12分
答案第 7页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
π
20．(1)
6
(2)8
（1）因为 BAD 90 ， PA 底面 ABCD，
如图，以A为原点，AD、AB、 AP所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，
-------2分
当 1时， A 0,0,0 、B 0,2,0 、C 1,1,0 、D 1,0,0 P 0,0,2 M 1、 、 , 0,1
、
2
N 0,1,1 ，
DC 0,1,0 DM 1
则 ， ,0,1
，DN 1,1,1 ，
2
m
DN x y z 0
m x , y , z
1 1 1
设平面 MDN的法向量为 1 1 1 ，则 ，
m DM
1
x1 z 0 2 1
m 取 x1 2，可得 2,1,1 ，
n DC y 0
设平面 DNC的法向量为n x2 , y2 , z2
，则
2
，
n DN x2 y 2 z 2 0
取 x2 1
，可得 n 1,0,1 ，所以 cosm ,n m n 3 3 ，m n 6 2 2
MDN DNC cos cos m , n 3
π
设平面 与平面 的夹角为 ，所以 ，所以 ，
2 6
π
故平面 MDN与平面 DNC的夹角为 .---------------6分
6
（2） PB 0,2, 2 ， PC 1,1, 2 ，设平面 PBC的法向量为 t x3, y3, z3 ，
t PC x y 2 z 0
则
3 3 3
，取 y3 1，可得 t 1,1,1 ，
t PB 2 y3 2 z3 0
答案第 8页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
1 2 2
因为DM MP， AQ QP，所以M , 0, ，Q 0,0, ，
1 1 1
MQ 1 ,0, 2 2 则 ，因为MQ//平面 PBC，
1 1 1
所以MQ t ，即MQ t 0，
1 2 2 2 1 2
所以 1 0 1 1 0 ，即 0，
1 1 1 1 1
1 2
所以 0，所以 1 2 1 1 ，
u2 1 2 2 4 1 4 2 4 1所以 4 8，
1 1
当且仅当 4 ，即 时取等号，
2
u2
所以 的最小值为 8.-------12分
2
21．(1) a 1
π
(2)证明见解析；
（1）根据题意可得1 ax 0，
π
当a 0时，可得1 ax 0在 x 0,
2 上恒成立，
1
当 a<0时，由1 ax 0可得 x , ，
a
π 1 2
易知需满足 0, , ，解得 a 0， 2 a π
1 ax cos x a
又 f x cos x a ，
1 ax 1 ax
令 g x 1 ax cos x a， g 0 1 a，
2
当 a 0 g x 0 0, π π 时， 在
π 2
上恒成立，即 f (x) > 0在 0, 2 上恒成立，
所以 f x 0, π 在 2 上单调递增，即可得 f x f 0 0恒成立；
当a 0时， g x a cos x 1 ax sin x，令 h x g x a cos x 1 ax sin x，
答案第 9页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
则 h x 2a sin x 1 ax cos x，所以h x 0 在 0,
π
2 上恒成立，
即h x π 在 0, 上单调递减， 2
h 0 a 0 h π πa又因为 ，
1
0，
2 2
x 0, π 由零点存在定理可得 0 ，使得h x0 0；
2
当 x 0, x0 时， h x 0，即 g x 0，所以 g x 在 0, x0 上单调递增；
x x , π h x 0 g x 0 g x π 0 时， ，即 ，所以 在 x0 , 上单调递减；
2 2
（i）若0 a 1时， g 0 1 a 0，所以当 x 0, x0 时， g x 0，
又 g
π
a 0
π
x x , ，即 1 0 ，使得 g x 0；
2 2 1
当 x 0, x1 时， g x 0，即 f (x) > 0，所以 f x 在 0, x1 上单调递增，
x 当 x1,
π
时， g x 0，即 f x 0，所以 f x
π
在
2
x1 ,
2
上单调递减，
又因为 f 0 0 π πa ，所以要使 f x 0 x 0, π 在 2 上恒成立，只需 f 1 ln 1 0， 2 2
2 e 1 2 e 1a 解得 ，又 1 ,
π π
所以可得0 a 1；
（ii）当 a 1时， g 0 1 a 0，又 g x 在 0, x0 上单调递增，所以一定 x2 x0使得
x 0, x2 时， g x 0；
即 f x 0，所以 f x 在 0, x2 上单调递减,
即可得 f x f 0 0，
这与 f x 0 π 在 x 0,
2
上恒成立矛盾，不合题意；
2
综上可得 a 1
π
（2）令m x x sin x，则m x 1 cosx 0恒成立，所以m x x sin x在R 上单调递
增，
又m 0 0，所以当 x 0时，m x x sin x 0，即 sin x x，
答案第 10页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
n 1 n sin 1 1
n 1 1 1 1 1 1 1 3
所以
k 1 k k 2 k 1 k k 2 2 k 1 k k 2 2 1 2 n 1 n 2 4 ；
即不等式右侧恒成立；
π
由（1 ）可得得：当 a 1时，对于 x 0, ， f x2 sinx ln 1 x 0恒成立，
即 sinx ln 1 x ，当且仅当 x 0时，等号成立；
取 x
1
,k N* 1 0, π *
k k 2 ，易知 k k 2 2 ， k N
k 1 21 1
可得 sin ln 1 ln ln
k 1
ln k 2 ，
k k 2 k k 2 k k 2 k k 1
n n
所以 sin 1 sin 1 ln k 1 k 2 1 ln sin ln 3 ln n 2
k 1 k k 2 3 k 2 k k 1 , 3 2 n 1
n
综上可得：sin
1
ln 3 lnn 2 sin 1 3 3 2 n 1 .-----------12分k 1 k k 2 4
1
22．(1) y x
1
2 4
(2)16
x2 4 y 20 0 1
（1）由 得 x0 1， y0 ．所以 P 1,
1 x
，4 y y
x 1 x 1
x0 1 4 4 2 2
x 2 1 1 1 1
所以y 在点 P处的切线 l方程为： y x 1 ，即 y x ．
4 4 2 2 4
2 2 2 uur 2 uur 2
（2）设 P x
x0
0 , ，A x
x1
1, ，B x2 ,
x2 x
，由F 0,1 ，则 FP x0 , 0 1
x
4 4 4
，FA x , 1 1 1 ．
4 4
x2 x2
因为 A、F、P三点共线，所以 x 01 14
x 10 1 ．
4
1 4
所以 x0 x1 x4 1x0 4 0，由于
x0 x1，故 x1x0 4，即 x1 x ．0
所以 A
4
,
4
2 ．
x0 x0
1 x2 x2
由于 PB l 4 ，所以 2 0 x 0 1得 x2 x
8
0 ．
x2 x
x0
0 2
答案第 11页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
x2 2 2 2
直线 PB方程： y 0 x x 0 ，即 x y
x
0 2 0．
4 x0 x0 4
设 A到直线 PB的距离为 d，则
2 4 4 x2 4 x2
2
0 2 0
x0 2
2 2 2 x
d 0
x0 x0 4 x 0
4 2 x 0
2 2 2
2 2 2 1 1 1
x0 x0 x0
2 2 2
又 PB 1 2 2 8 2 x 2 x2 x0 1 2x0 4 1 0
x0 x0 x0 x0 2 x0
3 3
1 1 x 2 x
所以 S PB d 4 0 2 0
2
2 2 2 x
2 2 x
16 ．
0 0
当且仅当 x 20 时，等号成立．
所以 PAB面积的最小值为 16．-------------------12分
答案第 12页，共 12页
{#{QQABbQAEogggAhBAAQhCQwnKCkKQkBAACAoOgBAMsAAACBNABAA=}#}
