2023年秋期高中三年级期终质量评估
8.若函数f(x)=e2一ax2一x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为
数学
B.(0,十∞)
试题
A.(-∞，0)U(0,+o∞)
C0,2U(2+∞)
D.(0,1)U(1+∞)
注意事项：
r
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
9.设复数=一2
3
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳
2
i的共轭复数为乏，则下列结论正确的有
素笔书写，字体工整，笔迹清楚，
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
A.z=cos+in号
3
2
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损
C11=1
D.z2十z2=2小，
空
第I卷选择题（共60分）
10.为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，某
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
製
农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验.现有关于该地区近十年10
符合题目要求的.)
月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：℃）的记录如下：
1.已知集合A={1,3,n},B={n2,1},且AUB=A,则实数n的值为
35HH
田◆平均最高温度
A.0
B.1
C.0或土√3
D.±3
度
●平均最低温度信个首
2.已知随机变量X服从正态分布N(2,2),若P(X≤1一2a)+P(X≤1+a)=1,则实数a
的值为
A.-1
B.-2
C.0
D.2
20
3.函数y=1一士的图像大致为
15
大绿的
10中中甲由
的小火水码答酸，四
2
6
11
1621
26
3
-2-01
234
根据上述记录，下列说法正确的有
A
B
C
D
A.农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日
4.在三棱锥P-ABC中，PA=1,PB=2,PC=3,则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的
B.设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高气温的方差和最低气温的方
表面积为
差分别为D1,D2,则D1A.12元
B.13元
C.14π
D.15π
C.设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高气温的方差和最低气温的方
5.反比例函数y=
色（≠0）的图像可以看作是由双曲线经过旋转得到的，那么双曲线y=2
差分别为D1,D2,则D1>D2
的焦距为
D.从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在[27，
A.2W2
B.4√2
C.4
D.8
30]的概率为号
彩
6.已知数列{an}的前n项和为Sm.若a1=1,am+1=2Sm,则a2o24
A.32022
B.32023
C.2×3202
11.用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有
D.2X32022
A.截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
7.抛物线E:y2=x的焦点为F,P为准线上任意一点，过点P作E的切线，切点为A,则
PA·P的最小值为
B.截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
A
C.截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
B
C.1
D.2
D.截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
高三数学第1页（共4页）
高三数学第2页（共4页）2023 年秋期高中三年级期终质量评估
数学试题参考答案
一．选择题
1-8. CBDC BDAC
二．选择题
9.AC 10.ACD 11.ABD 12.CD
三．填空题
13. -12 14.（ 1,0） （1， ） 15. 89 16. 1 3
四．解答题 （答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）
17.解析：（1） m a,b ， n sinB, 3 cos A ，且m n 0，
a sin B 3b cos A 0，
由正弦定理得 sin Asin B 3 sin B cos A 0 .……………………………………………2 分
0 B π， sin B 0， sin A 3 cos A， tan A 3 .
0 A π A π ， .………………………………………………………………………5 分
3
（2） a 10， 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cosA 102 ，
即 b2 c2 bc 100 .…………………………………………………………………………7 分
b2 c2 2bc， 100 bc 2bc， bc 100 .
S 1 bc sin A 3 bc 3 100 25 3 ，………………………………………………8 分
2 4 4
当且仅当 b c时，△ABC面积有最大值，最大值为 25 3 .…………………………10 分
a
18.解析：（1）因为 n 1
an 2 2，所以 ana
3
n 1 a
1
n 1 an 1，anan 1 an 1 2 2
1 1 an an 1 an a则 n 1 2，
an 1 1 an 1 anan 1 an an 1 1 1 a 1
2 n
a
2 n 1
所以bn 1 bn 2，……………………………………………………………………………2 分
又 a1 0，所以b
1
1 1，故数列 bn 是首项为 1，公差为 2的等差数列，a1 1
所以bn 1 2(n 1) 2n 1，……………………………………………………………5 分
a 1n 1
1 2 2n
1 .…………………………………………………………6 分
bn 2n 1 2n 1
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2 1 1
（2）证明：（方法一）由（1）可得 Sn n ，所以 2 .Sn n
n 1 T = 1 1 7当 时， 1 .…………………………………………………………………7 分S1 4
n 2 1 1 1 1 1当 时， 2 2
n n 1 2 n 1 n 1
，…………………………………………8分
T 1 1 1 1n S1 S2 S3 S n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 4
3 5 n 2 n n 1 n 1
1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 7
2 2 n n 1 4 2 n n 1 4 .………………………………11 分
7
综上可得Tn .…………………………………………………………………………12分4
2 1 1
（方法二）由（1）可得 Sn n ，所以 .Sn n
2
1 7
当 n 1时，T1= 1 .…………………………………………………………………7 分S1 4
1 1 1 5 7
当 n 2时，T2= + 1+ = .…………………………………………………8 分S1 S2 4 4 4
当 n 3 1 1 1 1时， 2 ，…………………………………………………9分n n(n 1) n 1 n
T 1 1 1 1n S1 S2 S3 S n
1 1 + 1 1 +1 1 1 1 7 1 7 .…………………………………11 分
4 2 3 3 4 n 1 n 4 n 4
7
综上可得Tn .…………………………………………………………………………12分4
19.解析：(1)证明：如图，连接 A1C，在 A1AC中， A1A 2， AC 1， A1AC 60 ，
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由余弦定理，得
A 2 2 2 11C AA1 AC 2AA1 AC cos A1AC 4 1 2 2 1 3，2
所以 A1C 3
2 2 2
，所以 A1C AC A1A ，
所以 A1C AC， …………………………………………2 分
同理 A1C BC，又 BC AC C， AC,BC 平面 ABC ,
所以 A1C 平面 ABC ,又 A1C 平面 A1ACC1，
所以平面 ABC 平面 A1ACC1 . ……………………………………………5 分
(2) 由平面几何知识可知，AC⊥CP， ……………………………………………6 分
以C为坐标原点，以 CA，CP，CA1为 x,y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz，
则 A(1,0,0) 1 3， B( , ,0)， A (0,0, 3)，……………………………………………7 分
2 2 1
所以 AA1 ( 1,0, 3) AB
3 3
， ( , ,0)
2 2
m AA1 x1 3z1 0,
设平面 A
1AB的法向量为m (x1, y1, z1)，则
m·AB
3 x 3 1 y1 0, 2 2
z 1 令 1 ，得m ( 3,3,1) . …………………………………………………………9 分
又平面CA1P的法向量为 n (1,0,0)， …………………………………………10 分
cos m,n 3 39 …………………………………………11 分
3 9 1 13
130
所以二面角C A1P B1的正弦值为 .……………………………………………12 分
13
（若用综合几何法求解，请按照步骤酌情给分）
20.解析：(1)∵前四组频数成等差数列，
∴设 a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，
∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，
解得 d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.
居民月用水量在 2～2.5内的频率为 0.5×0.5＝0.25. ……………………………4 分
(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于等于 2.5的频率为 0.7<0.8，
∴为使 80%以上居民月用水价格为 4元/立方米，
0.8 0.7
应规定w 2.5 2.83…………………………………………………8 分
0.15
(3)将频率视为概率，设 A(单位：立方米)代表居民月用水量，
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{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}
可知 P(A≤2.5)＝0.7，
由题意，知 X～B(3，0.7)，
P(X＝0)＝C03×0.33＝0.027，
P(X＝1)＝C13×0.7×0.32＝0.189，
P(X＝2)＝C23×0.72×0.3＝0.441，
P(X＝3)＝C33×0.73＝0.343.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
………11 分
∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝3×0.7＝2.1.…………………………………………………12 分
21.解析：（1）设 P(x, y)，则 y b aQ x， xR y，a b
2 2
| 1 x ( b x) | | 1 y a ab x y ( y) | 1
由题意可得， 2 a 2 b 2 ，即 a2 b2 ，
x2 y2
故点 P的轨迹 C的方程为 2 2 1； ……………4分a b
x2
y2 1
（2）由（1）可知 C： 4
假设存在常数 n, 使 AD AE （常数），设直线 l：x my n ，代入 C，整理得
(m2 4）y2 2mny (n2 4) 0，设D(x1, y1),E(x2, y2)
y y 2mn n
2 4
则 1 2 2 , y y ……………6分m 4 1 2 m2 4
所以 AD AE (x1 4, y1) (x2 4, y2 )
(x1 4)(x2 4) y1y2 (my1 n 4)(my2 n 4) y1y2
(m2 1)y1y2 m(n 4)(y1 y2 ) (n 4)
2
……………7分
(m2 1)(n2 4) 2m2n(n 4)
2 2 (n 4)
2
m 4 m 4
（算法一）
2 2
整理化简得： (12 )m 5n 32n 60 4 0对 m R恒成立.……9分
故12 0,5n2 32n 60 4 0
12,5n2 2 32n 12 0 n 或 6(舍去） ……………11 分
5
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当直线 l为 x 轴时 AD AE 12
2
综上，存在常数 n ,对任意直线 l ,使
5 AD AE 12
（为定值） ……………12 分
（算法二）
(m2 1)(n2 4) 2m2n(n 4) ( n2 8n 4)m2 (n2 4)
2 (n 4)
2 (n 4)2
m 4 m2 4 m2 4
2 n2 4
根据对应系数成比例得： n 8n 4 . ……………9 分4
5n2整理得 32n 12 0
2
，解得 n 或n 65
当 n 6不能保证任意 l成立，故舍去.
将 n
2
代入上式可得 AD AE 125 ……………11 分
当直线 l为 x 轴时 AD AE 12
n 2综上，存在常数 ,对任意直线 l ,使
5 AD AE 12
（为定值） ……………12 分
22.解析：（1）依题意知： x 0, '， f x a ln x a，
g (x) a 1 1 2 (a
1
) …………………1分
x x x x
①a 0时， g (x) 0恒成立， g(x)在（0， ）上单调递减； ……………………3 分
1 1
② a 0时，由 g (x) 0,得0 x , g (x) 0,得x ,
a a
g(x) 1 1在（0，）上单调递减，（ ， ）上单调递增. ……………………5分
a a
（2）依题意，要证： x ln x ex sin x 1，
①当0 x 1时， x ln x 0,ex 1 sin x 0，故原不等式成立，…………………………7 分
②当 x 1时，要证： x ln x ex sin x 1，
即要证： x ln x ex sin x 1 0，
x
令 h(x) x ln x ex sin x 1, (x 1)则 h x ln x e cos x 1，
h x 1 ex sin x， ………………………………8分
x
x 1, h (x) 0 ………………………………9 分
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h x 在 1，+ 单调递减 h x h 1 1 e cos1 0 ………………………10 分
h(x)在 1，+ 单调递减， h(x) h(1) 1 e sin1 0，
即： x ln x ex sin x 1 0，故原不等式成立. …………………………………12 分
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{#{QQABbQCEogAIABAAAAgCQwWqCEGQkAGACAoOxBAAoAAAiQFABAA=}#}
